面面垂直的判定定理公式
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的条件
面面垂直的条件
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相
垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直
性质定理：
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个
平面内
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直
如何证明面面垂直
面与面的垂直，其实就是两个面法向量的的垂直关系。
即是读者要找到两个面的法向量，然后判别两个法向量的位置关系即可。
分别算出两个平面的法向量，n1,n2.找法向量一般根据平面的书写形似即可找到。
两个面的法向量之间的向量积结果是零的话，就说明两个平面是垂直的。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
证明面面垂直的判定定理与性质
证明面面垂直的判定定理与性质
证明面面垂直的判定定理及性质是平面几何中重要的内容。
面面垂直定理及性质，也称为特殊三角形定理，它是一条有关三角形的重要的定理，定义如下：若三角形ABC的对角线AC
所在的平面与BC所在的平面互相垂直，则A、B、C三点都
在同一个直线上，即三点共线。
证明：
设ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平面互相垂直，即三角形ABC符合面面垂直的定义，由此构成三角形ABC，
易知AB为两个边，同时AC、BC为两个对边，可知AC与
BC之间有两个夹角∠ACB和∠BCA，又由于面面垂直定理的
定义，可知角∠ACB 等于角∠BCA，即两个对边的夹角相等，这种情况的三角形称为平行三角形，同时，由平行三角形的性质可知，平行三角形的相邻两边之间的夹角等于180°或者360°，而面面垂直定理是属于平行三角形，根据平行三角形的定义，知ABC三点必定在同一条直线上，即三点共线。
根据面面垂直定理的定义及上述证明，总结一下面面垂直定理的性质如下：
（1）若三角形ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平
面互相垂直，即两个对边的夹角相等；
（2）若三角形ABC的对角线AC所在的平面与BC所在的平
面互相垂直，则三点A、B、C都在同一条直线上，即三点共
线。
以上就是面面垂直的判定定理及其性质的证明。
通过对面面垂直定理的分析，可以将其应用到几何图形的分析中，从而获得更深入的认识，为理解平面几何提供帮助。
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
面面垂直判定定理
面 P A C面 P B C
例三 如图,在四棱锥P－ABCD中,PC⊥底面 ABCD,底面ABCD是直角梯 形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 二AD =二CD = 二．E是PB的中点． [I]求证 平面EAC⊥平面PBC; [II]若二面角B－AC－E为四五0,求直线PA与 平面EAC所成角的正弦值．
一 二面角及二面角的平面
[角一]半平面 平面的一条直线把平面分
为两部分,其中的每一部 分都叫做一个半平面.
[二]二面角 从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二 面角.
二面 角的 面 二面 角的 棱
l
二面角－AB－
A
二
面
角
的 表
B
示 二面角－ l－
方
法
l
[三]二面角的平面
角 过二面角棱上任一点在两个
4.等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，∠BAD=90°， E 是 BC 的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为___________.
5.在三棱锥 O-ABC 中，三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直，且OA OB OC ,M 是 AB 边的
中点，则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值_______
A．平面 ABD⊥平面 ABC
B．平面 ADC⊥平面 BDC
C．平面 ABC⊥平面 BDC
D．平面 ADC⊥平面 ABC
3.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ABC 90 0 , AA1 2, AB BC 1 ,则异面直线 A1B 与 AC
所成角余弦值的的大小是___________
二面角的平面角必须满足
1）角的顶点在棱上
二 面
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直的判定与性质定理
面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。
面面垂直的判定定理
线线垂直
α
线面垂直
证明两个平面垂直有那些方法？ 1.定义法
2.两平面垂直的判定定理
B
面面垂直
3
建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？ 应 用 于 生 活
4
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
如果:AB⊥β, α过AB ,
那么:α⊥β
证明： ∵AB⊥β,CD 是交线 ∴AB⊥CD 在平面β内过点B作直线BE⊥CD ∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角 ∵ AB⊥β BE在β内 ∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ∴二面角α—CD — β是直二面角 ∴α⊥β
α
A
B
D
β E
C
5
平面与平面垂直的判定定理
1
ι
观 察 生 活
注意观察：
1.门轴与地 面的关系
2.门轴与门 面的关系
3.门面与地 面的关系
你发现了什么？
2
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号:AB⊥α, β经过AB,
β
则α⊥β
A
简记：线面垂直，则面面垂直
面面垂直的判定方法
面面垂直的判定方法面面垂直判定方法什么是面面垂直判定？面面垂直判定是指在二维平面上判断两条直线是否垂直的方法。
垂直是指两条直线的斜率乘积为-1。
在图形学、几何学和物理学等领域中，面面垂直判定是一个基础且重要的概念。
基本原理判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率来进行。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。
具体来说，斜率可以通过两点之间的纵坐标差除以横坐标差来计算。
面面垂直判定方法汇总以下是常见的面面垂直判定方法：1.斜率法–计算两条直线的斜率，若斜率乘积为-1，则它们垂直。
–注意处理斜率为无穷大的情况，即直线与坐标轴垂直。
2.向量法–求出两条直线的向量方向，若两向量的点积为0，则它们垂直。
–向量法可以应用于三维空间中的垂直判定。
3.公式法–利用两条直线的一般式或截距式方程进行比较，若方程中所含的系数乘积为-1，则它们垂直。
–常用的一般式方程是 Ax + By + C = 0，而截距式方程是y = mx + c。
4.几何法–判断两条直线的几何关系，如：直角相交、棱形相交等，可以判断它们是否垂直。
–几何法适用于直观的图形判断。
结论通过上述不同的面面垂直判定方法，我们可以准确地判断两条直线是否垂直。
在实际应用中，根据具体问题的需求和数据的提供形式，选择合适的判定方法，可以提高判断的准确性和效率。
面面垂直判定不仅仅是学术研究领域中的问题，也广泛应用于工程、建筑、制图等行业中。
了解不同的判定方法，可以帮助我们更好地理解直线的关系，并在实际问题中应用垂直性的概念。
面面垂直判定涉及到各种数学知识和几何概念，在学习和应用过程中需要多加练习和实践，以提高对垂直关系的理解和运用能力。
面面垂直判定定理
②根据面面垂直的判定定理 (2)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问 题来解决.
β
α
(3)二面角的平面角 垂直于二面角棱的任一平面与两个半 平面的交线所成的角也是二面角的平面角。
①二面角的平面角与点（或垂直平面） 的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小有关。 ②二面角就是用它的平面角来度量的。 一个二面角的平面角多大，我们就说 这个二面角是多少度的二面角。
二面角的平面角必须满足：
猜想： 如果一个平面经过了另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直.
面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直
l α αβ l β
线线 垂直 线面 垂直
l
B C D
A
面面 垂直
两个平面垂直的表示
β
β
α
α
例题讲解 例1. 在Rt△ABC中，∠B=90，P为△ABC 所在平面外一点，PA⊥平面ABC，问：四面 体PABC中有几个直角三角形？
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
l
B
A O
B
B
A C
D
o
哪个对?怎么画才对?
10
(4)直二面角
A
(5) 两平面垂直
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直
O
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
问题探究：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
复习
2.3.2 面面垂直判定定理
A
B
二面角－ l－
l
二面角的平面角
过二面角棱上任一点在两个
半平面内分别作垂直于棱的射线，
则这两条射线所成的角叫做二面角
的平面角。
O。
B
O1 。 A
B1
A1
β
α
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
二 面
2）角的两边分别在两个面内
角 3）角的边都要垂直于二面角的棱
的 平
面
证明:连接BD,∵AB=AD,∠DAB=60°, ∴△ADB为等边三角形,∵E是AB的中 点,∴AB⊥DE. ∵PD⊥平面ABCD,AB⊂平面 ABCD,∴AB⊥PD. 又∵DE⊂平面PED,PD⊂平面 PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥平面PED,∵AB⊂平面PAB.∴平面 PED⊥平面PAB.
归纳小结：
二 根据定义作出来 A
面 角 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.垂面法 作与棱垂直的平面与
O
lB
平 两半平面的交线得到 l
面 3.垂线法
O
角 的
A
γA
B
作
法
Dl O
12
(4)二面角的范围
。
。
[0 ,180 ]
(5)直二面角
A
平面角为直角的二面角
叫做直二面角
O
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
A
A
角
l
O
B
O B
哪个对?怎么画才对?
10
①二面角的平面角与点的位置 无任何关系，只与二面角的张 角大小有关。
面面垂直判定定理
猜想：
如果一个平面经过了另一个 平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α 符号表示： αβ l β
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
面面垂直的判定定理
：线面垂直则面面垂直
如果一个平面经过另一个平面 如果一个平面内有一条直线垂直于 的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 . 另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
β l α
符号表示：
l l A
线面垂直 面面垂直
线线垂直
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线，则α⊥β.（ ）
平面与平面 垂直的判定
复习：直线与平面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面. 关键：线不在多，相交则行
m n mn P l l m l n 线线垂直ຫໍສະໝຸດ 线面垂直lα
m
P
n
问题：
如何检测所砌的墙面和地 面是否垂直？（即如何判定面 面垂直呢？）
×
2.如果平面α内有一条直线垂直于 平面β内的两条直线，则α⊥β.（
×） √
）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于 平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（
4.若m⊥α，m
β，则α⊥β.(
)√
∪
例1、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为 垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B 的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
作业：数学书74页B组第1题 晚修练习：限时训练P108
面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，它是在平面几何中对于垂直关系的判定定理。
所谓面面垂直，就是指两个平面互相垂直，也可以说是两个面所成的角度为90度。
那么，面面垂直判定定理的公式是怎么样的呢？
在空间直角坐标系中，设有两个平面P1和P2，它们的方程分别为：
P1：Ax+By+Cz+D1=0
P2：Ax+By+Cz+D2=0
那么，P1和P2互相垂直的充分必要条件是A、B、C满足：
A1A2+B1B2+C1C2=0
其中，A1、A2分别是P1和P2的法向量在x轴上的分量，B1、B2分别是P1和P2的法向量在y轴上的分量，C1、C2分别是P1和P2的法向量在z轴上的分量。
以上就是面面垂直判定定理的公式，但只有知道公式是不够的，我们还需要了解如何应用这个定理来解决实际问题。
首先，我们可以通过观察两个平面的方程是否满足公式中的条件来判断它们是否垂直。
如果满足条件，那么两个平面就互相垂直。
其次，我们可以应用面面垂直判定定理来解决一些比较常见的几何问题，例如：求空间中一条直线与一个平面的垂线、求平行于某个面的平面、求两个平面的夹角等。
综上所述，面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，掌握它可以帮助我们解决很多几何问题。
因此，我们在学习数学时要认真理解这个定理的公式，并且多做一些练习题来加深对它的理解。
同时，我们还需要关注一些具体的应用场景，这样才能在实际问题中使用它更加得心应手。
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面面垂直的判定定理公式
定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β
扩展资料：
性质定理：
定理1：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α
求证：OP⊥β。
证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ
∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β
∴OP⊥β
定理2：
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。
求证：AB⊂α
证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。
（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）
当A在α和β的交线外时，则B是垂足
∵AB⊥β于B
∴B∈β
设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α
连接AC
∵AC⊂α
∴AC⊥BC
但AB⊥β，BC⊂β
∴AB⊥BC
即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。
当A在α和β的交线上时，A是垂足。
设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β
但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的
性质定理矛盾
∴假设不成立，AB⊂α
定理3：
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三
个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。
求证：l⊥γ
证明：设α∩γ=a，β∩γ=b
∵a∩b=l
∴a与b相交
设a∩b=P，则P∈l
若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ
于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。
∴假设不成立，l⊥γ
定理4：
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
已知α⊥β，a⊥β，a∉α。
求证a∥α
证明：假设a与α不平行，那么他们相交。
设交点是A
又设a⊥β，垂足为B。
α∩β=l
在α内作AC⊥l，由定理1可知AC⊥β
则过点A有AB、AC与β垂直，与线面垂直的性质定理矛盾
∴a∥α。