直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲

初三数学直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲一. 本周教学内容：直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆［学习目标］1. 直线为l ，⊙O 的半径为r ，圆心到直线的距离为d 。

（1）直线l 与⊙O 相离⇔>⇔d r ，无公共点； （2）直线l 与⊙O 相切⇔=d r ，⇔唯一公共点； （3）直线l 与⊙O 相交⇔<d r ，⇔两公共点。

注意：①由直线与圆的位置关系⇒数量关系 反之，数量关系⇒位置关系；②直线与圆的位置关系，d ，r 数量关系，公共点个数三者互相转化。

2. 重要公式：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高，则：1212A CBC A B CD ··=即：AC ·BC ＝AB ·CD （是求斜边上高的常用方法） 3. 切线的判定方法 ①定义法（不常用），即：唯一公共点； ②数量关系推理法，即d r =；③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4. 切线的性质：①与判定均为互逆定理；②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

例1. 已知半径为3的⊙O 上一点P 和圆外一点Q ，如果OQ ＝5，PQ ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 解：∵OP ＝3，PQ ＝4，OQ ＝5， ∴OP PQ OQ 222+=，∴△OPQ 是直角三角形，且∠OPQ ＝90°， ∴PQ ⊥OP 。

即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。

本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，O 为AB 上一点，AO ＝m ，⊙O 的半径r =12，问m 在什么范围内取值时，AC 与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。

点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

解：如图所示，过O 作OD ⊥AC 垂足为D ，∵∠°∠°A B =-=9060，∴O D AO m ==·°sin 6032（1）当OD r >，即3212m >，也即m >33时，则AC 与⊙O 相离；（2）当OD r =，即3212m =，也即m =33时，AC 与⊙O 相切；（3）当OD r <，即3212m <，也即033<<m 时，AC 与⊙O 相交。

例3. 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，FE ：FD ＝4：3。

求证：AF ＝DF ；证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC 。

∵∠B ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠B ＝∠DAC ＋∠CAE ∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，∴EA＝ED∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE＝90°∴AF＝DF例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O 的切线。

点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：连结OD。

∵AD∥OC，∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO为公用边，OD＝OB∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切线，AB是直径，∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。

点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。

而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

证明：连结OD、OA。

过O作OE⊥AC，垂足为E。

∵AB＝AC，O为BC的中点，又∵AB 切⊙O 于D 点， ∴OD ⊥AB ，又OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∴AC 与⊙O 相切。

点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d ＝r ”。

例6. 已知⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC ＝CD 。

点悟：要证PC ＝CD ，可证它们所对的角等，即证∠P ＝∠CDP ，又OA ⊥OB ，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

证明：连结OD ，则OD ⊥CE 。

∴∠EDA ＋∠ODA ＝90° ∵OA ⊥OB∴∠A ＋∠P ＝90°， 又∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠A ，∠P ＝∠EDA ∵∠EDA ＝∠CDP ，∴∠P ＝∠CDP ，∴PC ＝CD点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

例7. 在△ABC 中，∠A ＝70°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。

点悟：已知O 是内心，由内心的概念可知OB 、OC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线。

解：在△ABC 中，∠A ＝70°，∴∠∠°°°ABC ACB +=-=18070110 ∵O 是△ABC 的内心 ∴∠∠，O B C A B C =12∠∠O C B A C B =12。

∴∠∠∠∠°O B C O C B A B C A C B +=+=1255()∴∠°°°BOC =-=18055125例8. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。

解析：过点A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 为∠ABC 的平分线。

设I 为△ABC 的内心，内切圆⊙I 分别切三边于D 、E 、F ，则I 在AD 上， ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6， ∴AD ＝4连结IE ，则IE ⊥AC ，设⊙I 半径为x ， △∽△AIE AC D IE D CA I A C⇒=即x x 345=-解得x A B C =3232，即△内切圆半径长为例9. 任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，求证：△DEF 是锐角三角形。

证明：如图所示，连结FI 、EI ， ∵⊙I 与AB 、AC 切于点F 、E ∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°∴∠°°°∠°∠EIF A A =---=-3609090180 ∴∠∠°∠E D F E IF A ==-1901∵0180°∠°<<A，∴01290°∠∠°<<A∴∠EDF为锐角。

同理可证∠DFE、∠DEF都是锐角。

∴△DEF是锐角三角形。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题：1. 已知⊙O的半径r cm=2，直线l与圆O的距离d cm=3，则直线l与圆的位置关系（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 位置不确定2. 已知⊙O的半径R=3，直线l和点O距离为d，如果直线与⊙O有公共点，那么（）A. d=3B. d≤3C. d>3D. d<33. AB是⊙O的切线，下列条件能判定AB⊥CD的是（）A. AB与⊙O相切于直线CD上的点CB. CD经过圆心OC. CD是直线D. AB与⊙O切于C，CD过圆心O4. 已知AB是⊙O的直径，CB与⊙O切于点B，AC＝2AB，则（）A. ∠ACB＝60°B. ∠ACB＝30°C. ∠ACB＝45°D. ∠BAC＝30°5. 等边三角形外接圆半径、内切圆半径及三角形高的比是（）A. 2：1：3B. 3：2：4C. 3：2：3D. 1：2：3二、填空题：6. 已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5cm，那么直线l与⊙O有__________个公共点。

7. 过圆上一点可作圆的__________条切线，过圆外一点，可作圆的__________条切线，过__________点，不存在圆的切线。

8. 在⊙O中，AD是直径，AB是弦，过点D作切线交AB的延长线于C，如果AB＝BC，则∠ADB＝__________。

9. 在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则此三角形的内切圆的半径__________。

10. I为△ABC的内心，∠A＝60°，则∠BIC＝__________。

三、解答题：11. 已知等边△ABC的边长为2，以A为圆心，以r为半径作圆，当r为何值时⊙A与BC相交？13. 如图，在⊙O上，以O'为圆心的圆交⊙O于A、B，⊙O的弦OC交⊙O'于D，求证：D为△ABC的内心。

[参考答案]一、选择题： 1. A2. B3. D4. B5. A二、填空题： 6. 两 7. 1，2，圆内 8. 45°9. 210. 120°三、解答题：11. 作△ABC 的高AD ，求出AD =3∴当r >3时，⊙A 与BC 相交12. 证明：连结EF 、EDAD AED BC AD B AFE AD E AD E ABD AD E B 是直径∠°为切线∠°则∠∠△∽△∠∠⇒=⇒=⎫⎬⎭⇒=⇒=⎫⎬⎪⎭⎪9090⇒==⎫⎬⎭⇒⇒=∠∠∠∠△∽△AEF B EAF CAB AFE ABC AE AF ACAB ⇒=AE AB AF AC ·· 13. 连结O'A ，O'B ，AD⊙O 中，O A O B O A O B O CA O CB O C ACB '''''''=⇒⋂=⋂⇒=⇒∠∠平分∠ ⊙中，∠∠∠∠∠∠平分∠O BO D D AB BO C C AB C AB D AB AD C AB '''==⎫⎬⎪⎭⎪⇒=⇒22∴点D 为△ABC 的内心。