直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲

初三数学直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲

一. 本周教学内容：

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆

［学习目标］

1. 直线为l ，⊙O 的半径为r ，圆心到直线的距离为d 。 （1）直线l 与⊙O 相离⇔>⇔d r ，无公共点； （2）直线l 与⊙O 相切⇔=d r ，⇔唯一公共点； （3）直线l 与⊙O 相交⇔

②直线与圆的位置关系，d ，r 数量关系，公共点个数三者互相转化。 2. 重要公式：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高，则：

12

12

A C

B

C A B C

D ··=

即：AC ·BC ＝AB ·CD （是求斜边上高的常用方法） 3. 切线的判定方法 ①定义法（不常用），即：唯一公共点； ②数量关系推理法，即d r =；

③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。 4. 切线的性质：

①与判定均为互逆定理；

②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。 5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。 关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。 与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

例1. 已知半径为3的⊙O 上一点P 和圆外一点Q ，如果OQ ＝5，PQ ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定 解：∵OP ＝3，PQ ＝4，OQ ＝5， ∴OP PQ OQ 2

2

2

+=，

∴△OPQ 是直角三角形，且∠OPQ ＝90°， ∴PQ ⊥OP 。

即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，O 为AB 上一点，AO ＝m ，⊙O 的半径r =12

，问m 在什么范

围内取值时，AC 与圆：

（1）相离；（2）相切；（3）相交。

点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。 解：如图所示，过O 作OD ⊥AC 垂足为D ，

∵∠°∠°A B =-=9060，

∴O D AO m ==·°sin 6032

（1）当OD r >，即

3212m >，也即m >

33时，则AC 与⊙O 相离；

（2）当OD r =，即3212m =，也即m =33

时，AC 与⊙O 相切；

（3）当OD r <，即32

12

m <，也即033

<<

m 时，AC 与⊙O 相交。

例3. 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，FE ：FD ＝4：3。

求证：AF ＝DF ；

证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC 。

∵∠B ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠B ＝∠DAC ＋∠CAE ∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠B ，

∴EA＝ED

∵DE是半圆C的直径，

∴∠DFE＝90°

∴AF＝DF

例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O 的切线。

点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：连结OD。

∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD

∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边，OD＝OB

∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC

∵BC是切线，AB是直径，

∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，

∴CD是⊙O的切线。

点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。

∵AB＝AC，O为BC的中点，

又∵AB 切⊙O 于D 点， ∴OD ⊥AB ，又OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，

∴AC 与⊙O 相切。

点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d ＝r ”。

例6. 已知⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC ＝CD 。

点悟：要证PC ＝CD ，可证它们所对的角等，即证∠P ＝∠CDP ，又OA ⊥OB ，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

证明：连结OD ，则OD ⊥CE 。 ∴∠EDA ＋∠ODA ＝90° ∵OA ⊥OB

∴∠A ＋∠P ＝90°， 又∵OA ＝OD ，

∴∠ODA ＝∠A ，∠P ＝∠EDA ∵∠EDA ＝∠CDP ，

∴∠P ＝∠CDP ，∴PC ＝CD

点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

例7. 在△ABC 中，∠A ＝70°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。

点悟：已知O 是内心，由内心的概念可知OB 、OC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线。 解：在△ABC 中，∠A ＝70°，

∴∠∠°°°ABC ACB +=-=18070110 ∵O 是△ABC 的内心 ∴∠∠，O B C A B C =

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