三角形问题中的数学思想方法

三角形问题中的数学思想方法
数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.
一、分类讨论思想
由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.
例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.
分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.
解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=2
1
x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+2
1
x=15. 由x+
21x=6得x=4.把x=4代入y+21
x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+2
1
x=6. 由x+
21x=15得x=10.把x=10代入y+2
1
x=15得y=1. 10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.
例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.
分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.
解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)
∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠
BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.
图1
图2
A
B
C D H E
∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)
∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.
在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.
注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.
例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.
分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角
和定理求度数之和.
解:因为∠A +∠C+∠E=180°， 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.
三、方程思想
求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.
例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.
因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.
又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.
A B
D
H
C
E
图3
图5
A
E
G
F
B C
D
图4
剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.
四、转化思想
用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.
例5 如图6，求五角星各顶角之和.
分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．
解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，
又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.
五、数形结合思想
例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.
分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.
解:在△ABC 中，
∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=2
1∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，
∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.
点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.
图6
A D 图7
数学思想方法在三角形中的应用
一、方程思想方法：
例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.
分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.
解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8
∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)
点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.
二、分类讨论的思想方法：
例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.
分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.
图1
A
C
D
解：∵△ABC 为斜三角形，
∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形， （1） 当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.
（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），
H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.
三、转化的数学思想方法：
例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.
解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，
∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.
在△AMN中，由三角形内角和定理，得
∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，
∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，
∴∠3+∠4=∠B+∠E.
在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，
∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。