专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练21二次函数的图像变换问题

1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.

（1）a、b的值；

（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；

（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.

【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：

{9a−3b+3=0

a−b+3=0，

解得：a=1、b=4．

（2）解：连接MQ、QD、DN，

由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；

由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），

当x=0时，y=3， ∴Q （0，3）；

设直线OM 的解析式为y=kx ， ∴-2k=-1， ∴k= 1

2 ，

∴直线OM ：y= 1

2 x ，联立直线y=-2x+9，得： {

y =1

2x

y =−2x +9 ， 解得 {x =18

5y =95 ． 则D （

185,95 ）；

曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×1

2×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−

185

|=

845

；

（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 1

2 x 上，可设其坐标为（h ， 1

2 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 1

2 h ；

①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有： h2+ 1

2 h=9，解得：h= −1−√1454

（依题意，舍去正值）

②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：

{

y =−2x +9

y =(x −h)2+12

h

， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 1

2 h-9=0，

则：△=（2h-2）2-4（h2+ 1

2 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，

结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜

−1−√145

4

或h ＞4．

2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.

（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝1

2

x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）

（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.

（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.

【答案】（1）②；④

（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，

∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），

∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，

∴AB2＝AD2+BD2 ，

∴16＝4+16a2+4+16a2 ，

∴a＝±1

2

；

（3）解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE＝CE＝OE＝BE，

∴S△ABE＝1

4S

矩形ABCD

＝1

4

×12 √3＝3 √3，

∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，

∴△ABE是等边三角形，

过点A作AH⊥BE，

∴AH＝ABsin∠ABE＝√3

2AB＝√3

2

BE，

∴√3

4

BE2＝3 √3，

∴BE＝2 √3，

∴AH＝3，EH＝√3，

∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.

∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.

【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，

∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；

由抛物线y＝1

2

x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，

∴抛物线y＝1

2

x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；

故答案为②；④；

3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b

（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值

（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-3

2

①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；

②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围

【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2

则顶点坐标为（0，-2）

把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2