广东省佛山市顺德区第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年广东省佛山市顺德一中高一（下）期中数学试卷一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4
2．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）
A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.5
3．若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）
A．B．C．D．
4．已知向量＝（m，2），＝（3，﹣6），若|+|＝|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4
5．已知，则tan（α+β）的值为（）A．B．C．D．1
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．已知关于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，﹣1）8．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题，合计20分）
9．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在
①、②、③处可依次写上（）
A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新10．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则（）
A．BD＝10（3+）m B．DC＝10m
C．DC＝10m D．BC＝10m
11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
12．下列说法正确的是（）
A．若非零向量（+）＝0，且＝，则△ABC为等边三角形
B．已知＝，＝，＝，＝，四边形ABCD为平行四边形，则+﹣﹣＝
C．已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1
D．已知向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），则与夹角的范围是
三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）
13．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．
14．复数z满足z（+1）＝1+i，其中i是虚数单位，则|z|＝
15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则•的范围为．
16．若AB＝2，AC＝BC，则三角形ABC面积S△ABC的最大值为．四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）．
（1）若||＝||，求角α的值；
（2）若•＝﹣1，求的值．
18．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD＝，求CD的长．
20．已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|﹣|＝，求证：⊥；
（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．
21．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b（sin C+cos C）．（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．
22．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？
参考答案
一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4
解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，
得a＝3，b＝﹣2．
故选：A．
2．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）
A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.5
解：设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝
共线，
则：利用向量共线基本定理：k＝，
故选：D．
3．若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）
A．B．C．D．
解：∵α是第三象限的角
∴sinα＝﹣＝﹣，所以sin（α+）＝sinαcos+cosαsin＝﹣
＝﹣．
故选：A．
4．已知向量＝（m，2），＝（3，﹣6），若|+|＝|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4
解：向量＝（m，2），＝（3，﹣6），
∴+＝（m+3，﹣4），
﹣＝（m﹣3，8），
又|+|＝|﹣|，
∴＝，
化简得12m＝48，
解得m＝4．
故选：D．
5．已知，则tan（α+β）的值为（）A．B．C．D．1
解：tan（α+β）＝tan[（α﹣）+（+β）]＝＝＝1，
故选：D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
解：△ABC中，∵c＜b cos A，
∴sin C＜sin B cos A，
即sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A，
∴sin A cos B＜0，sin A＞0，
∴cos B＜0，B为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，
故选：A．
7．已知关于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，﹣1）解：方程可转化为
＝，
设，则问题可转化为和
的图象有两个不同的交点，如图，
由图象观察可知，，解得﹣2＜m＜﹣1．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（）
A．6B．7C．8D．9
解：∵y＝sin x对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，m），
都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，
要使m取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故选：C．
二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题，合计20分）
9．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且
有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在
①、②、③处可依次写上（）
A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，
故选：B．
10．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则（）
A．BD＝10（3+）m B．DC＝10m
C．DC＝10m D．BC＝10m
解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝，
∴，，
在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，，
∴根据正弦定理得：，解得AD＝，
∵∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝45°，
∴在△ACD中，，根据余弦定理得：CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC•cos45°1800+1600﹣2400＝1000，∴，
在△ABD中，∠DAB＝75°，，∠ABD＝60°，且
，
∴根据正弦定理得：，解得．
故选：AC．
11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件．故选：ACD．
12．下列说法正确的是（）
A．若非零向量（+）＝0，且＝，则△ABC为等边三角形
B．已知＝，＝，＝，＝，四边形ABCD为平行四边形，则+﹣﹣＝
C．已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1
D．已知向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），则与夹角的范围是
解：对于A：在△ABC中，非零向量（+）＝0，说明角A的平分线垂直于边BC，所以△ABC为等腰三角形，且满足，所以A＝，故△ABC为等边三角形，故A正确；
对于B：若O为四边形ABCD的中心，则+﹣﹣≠，若点O不为中心，则+﹣﹣＝不一定成立，故B错误；
对于C：如图所示，建立直角坐标系，设内切圆的半径为r，则r•3×2＝×，解得r＝1．
设P（x，y），﹣1≤y≤1．则x2+y2＝1．A（﹣，﹣1），B（，﹣1），则
＝（﹣﹣x，﹣1﹣y）•（﹣x，﹣1﹣y）＝x2﹣3+（﹣1﹣y）2＝2y﹣1≤1，
因此C正确．
对于D．向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），
∴＝+＝（cosα+2，sinα+2），点A（x，y）满足方程（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2．
设直线OA方程为：y＝kx，则≤，可得：2﹣≤k≤2+，
设与夹角为θ，则2﹣≤tanθ≤2+，解得：≤θ≤，∴θ的取值范围是[，]，因此D不正确．
故选：AC．
三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）
13．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．
解：由图可得，，则T＝8，
∴，
由五点作图的第三点可得：φ＝π，则φ＝．
∴函数解析式为f（x）＝sin（x+）．
由，k∈Z，
得﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．
故答案为：[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．
14．复数z满足z（+1）＝1+i，其中i是虚数单位，则|z|＝1或
解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，
∵z（+1）＝1+i，
∴（a+bi）（a+1﹣bi）＝1+i，
∴a2+b2+a+bi＝1+i，
∴，解得或，
∴z＝i或z＝﹣1+i，
∴|z|＝1或，
故答案为：1或．
15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则•的范围为[﹣3，4﹣9]．
解：建立平面直角坐标系如图，∵菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，
∴A（0，0），D（1，），C（3，），M（2，），
∵P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，
∴设P（2cosθ，2sinθ），（0≤θ≤60°），
则＝（2cosθ﹣2，2sinθ﹣），＝（3，），
则•＝3（2cosθ﹣2）+（2sinθ﹣）＝6cosθ+2sinθ﹣9
＝4（cosθ+sinθ）﹣9＝4sin（θ+60°）﹣9，
∵0≤θ≤60°，∴60°≤θ+60°≤120°，
∴sin（θ+60°）∈[，1]，则4sin（θ+60°）∈[6，4]，
则4sin（θ+60°）﹣9∈[﹣3，4﹣9]，
即•的范围为[﹣3，4﹣9]，
故答案为：[﹣3，4﹣9]
16．若AB＝2，AC＝BC，则三角形ABC面积S△ABC的最大值为2．解：如图所示，A（﹣1，0），B（1，0）．
设C（x，y）（y≠0）．
∵AC＝BC，
∴＝，
化为：（x﹣3）2+y2＝8（y≠0）．
可知：当且仅当取C（3，±2），三角形ABC的面积的最大值＝×2×2＝2．故答案为：2．
四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）．
（1）若||＝||，求角α的值；
（2）若•＝﹣1，求的值．
解：，．
（1）∵，
∴．
化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．
又，
故．
（2）∵，
∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，
化简得：，
两边平方得：，
∴，
故sinα﹣cosα＞0，
而，
∴，
18．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（）＝sin（ω﹣）＝0，
∴ω﹣＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD＝，求CD的长．
解：（1）设AD＝2x，AB＝3x，
由余弦定理得：cos＝＝，
解得x＝1，∴AD＝2，AB＝3，
∴由正弦定理得：，
解得sin∠ABD＝．
（2）sin（∠ABD+∠CBD）＝sin，∴sin∠CBD＝cos∠ABD，
cos＝，∴sin，
由正弦定理得，解得CD＝．
20．已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|＝，求证：⊥；
（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．
解：（1）证明：由|﹣|＝，即（﹣）2＝2﹣2•+2＝2，
又因为2＝2＝||2＝||2＝1．
所以2﹣2•＝2，即•＝0，
故⊥；
（2）因为+＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）＝（0，1），
所以，
即，
两边分别平方再相加得1＝2﹣2sinβ，
∴sinβ＝，sinα＝，
又∵0＜β＜α＜π，
∴α＝，β＝．
21．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b（sin C+cos C）．（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＝b（sin C+cos C），
∴sin A＝sin B（sin C+cos C），…（1分）
∴sin（π﹣B﹣C）＝sin B（sin C+cos C），
∴sin（B+C）＝sin B（sin C+cos C），…
∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin B cos C，…
∴cos B sin C＝sin B sin C，
又∵C∈（0，π），故sin C≠0，…
∴cos B＝sin B，即tan B＝1．…
又∵B∈（0，π），
∴．…
（Ⅱ）在△BCD中，DB＝2，DC＝1，
∴BC2＝12+22﹣2×1×2×cos D＝5﹣4cos D．…
又，由（Ⅰ）可知，
∴△ABC为等腰直角三角形，…
∴，…
又∵，…
∴．…
∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…
22．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？
解：（1）∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理得：＝＝
所以AN＝，AM＝
（2）AP2＝AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP
＝sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）
＝[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4
＝[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+
＝﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）＝sin（θ+60°））
当且仅当2θ+150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2．
故答案为：（1）AN＝，AM＝
（2）AN＝AM＝2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．。