圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离

公式让学生写出点M

适合的条件r

=①

化简可得：222

()()

x a y b r

-+-=②

引导学生自己证明222

()()

x a y b r

-+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用及解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点

12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内

例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在

:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.

师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出

ABC 外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，

写出圆的标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

课堂练习：课本127p 第1、3、4

题 4.提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点及圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

圆的一般方程

学

环

节

图

课题引入

问题：求过三点A (0，0)，

B (1，1)，C(4，2)的圆的方程.

利用圆的标准方程解决此问

题显然有些麻烦，得用直线的知

识解决又有其简单的局限性，那

么这个问题有没有其它的解决方

法呢？带着这个问题我们来共同

研究圆的方程的另一种形式——

圆的一般方程.

让学生带着问题进行思

考

设疑激

趣导入

课题.

概念形成及深化

请同学们写出圆的标准方

程：(x–a)2 + (y –b)2 = r2，

圆心(a，b)，半径r.

把圆的标准方程展开，并整

理：

x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2

–r2=0.

取D= –2a，E= –2b，F=

a2+ b2–r2得x2+ y2+ Dx+ Ey+F

= 0①

整个探索过程由学

生完成，教师只做引导，

得出圆的一般方程后再

启发学生归纳.

圆的一般方程的特

点：

（1）①x2和y2的系

数相同，不等于0.

②没有xy这样的

二次项.

通

过学生

对圆的

一般方

程的探

究，使学

生亲身

体会圆

的一般

方程的

这个方程是圆的方程.

反过来给出一个形如x 2

+ y 2

+ Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0配方得

22224()()224

D E D E F

x y +-+++=

②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

（1）当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，方程②表示以(,)22

D E

--为圆心，

221

42

D E F +-为半径的圆；

（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解

,22

D E x y =-=-，即只表示一个点

(,)22

D E

-

-；（3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）及圆的标准方程相比较，它是一种特

殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准

方程则指出了圆心坐标及半径大小，几何特征

较明显.

特点，及

二元二次方程表示圆

所满足

的条件.