高中数学数列的概念

数列的概念

【知识点精讲】

1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）

2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示a n =f(n)。 （通项公式不唯一）

3、数列的表示:

(1)列举法:如1,3,5,7,9……; (2)图解法:由(n,a n )点构成;

(3)解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1

(4)递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,a n =1+2a n-1

4、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列； 有界数列，无界数列

5、任意数列{a n }的前n 项和的性质

Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n

n

6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11

n n

n n a a a a

考虑数列的单调性

【例题选讲】

例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项

（1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…; (3),...;99

10

,638,356,154,32

(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (5)1,0,1,0,1,0,…;

解：（1）a n =(-1)n (6n-5); (2)()

11097-=

n n a (3))

12)(12(2+-=n n n

a n (4)2sin 5πn a n =; (5)()

*+∈-+=

N n a n n 2

)1(11

;()*∈=N n n a n 2sin 2π [点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。

练习:⑴, (5)

4

,21,114,72⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..

解：

()()()()()

()()2

2221121211221312231741n n n n n n n

n n n a n n n a a n a ⋅-+++⋅⎪⎩

⎪⎨⎧--=+=+=-=或为正偶数为正奇数2

22

22

cos 212sin n

n n n n a ⋅++⋅=ππ或

例2、已知数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧-+-192992

2n n n （1）求这个数列的第10项； （2）

101

98

是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；

（4）在区间⎪⎭⎫

⎝⎛32,31内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。

解：设132

31

9299)(22+-=-+-=n n n n n n f （1）令n=10,得第10项；32

28

10=a （2）令

3009,101

98

1323==+-n n n 得，此方程无自然数解，所以不是其中的项 （3）证明：

10,11

33

0,1331133131323<<∴<+<∴∈+-=+-+=+-=*n n a n N n n n n n n a

（4）令⎪⎩

⎪⎨

⎧

<>∴⎩⎨⎧+<--<+∴<+-=<386726696913,32132331n n n n n n n n a n 3

8

67<<∴n 在区间内当且仅当,2=∴n [点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解

例3、下面各数列的前n 项和Sn 的公式,求{a n }的通项公式. (1) Sn=2n 2-3n (2) Sn= 3n -2 解: (1),111-==S a 当n ≥2时,541-=-=-n S S a n n n 由于a 1也适合此等式,所以54-=n a n (2),111-==S a 当n ≥2时,

1132--⋅=-=n n n n S S a ⎩⎨⎧≥⋅==∴-23

211

1

n n a n n [点评]已知数列前n 项和Sn,相当于知道了n ≥2时候a n ,但不可忽视n=1.

即⎩⎨⎧≥-==-211

1

n s s n s a n n n

练习:已知数列的前n 项和Sn 满足log 2(Sn+1)=n+1,求{a n }的通项公式

解:由题意⎩⎨⎧≥==∴-=+2

2

1

3

1

21n n a s n

n n n 例4、有一数列{a n }，a 1=a ，由递推公式a n+1=

a

a n

n +12，写出这个数列的前4项，并根据前4项

观察规律，写该数列的一个通项公式。

详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。 （理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法） 变式：在数列{a n }，a 1=1，a n+1=

na

a n

n

+

1，求a n 。

详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。

[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。

例5、已知数列{a n }的通项公式()(),11101*

∈⎪

⎭⎫

⎝⎛+=N n n a n

n 试问数列{a n

}有没有最大项?若有,

求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.

解:()()119111011101111021

1n

n n a a n

n n n n -⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪

⎭

⎫

⎝⎛+=-++ 当n<9, n n n n a a a a >>-++11,0 当n>9, n n n n a a a a <<-++11,0 当n=9, n n n n a a a a ==-++11,0 故........11109321>>=<<<

所以, 数列{a n }有最大项, 为第9,10项

[点评] 求数列{a n }的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对a n 的单调性进行讨论 练习:已知(),99

98*

∈--=

N n n n a n 则在数列{a n

}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?

解:∴--+

=99

98991n a n 最大a 10最小a 9

【课堂小结】

1、了解数列的概念、分类与表示法；

2、重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求

数列的项；

3、任意数列{a n }的前n 项和的性质