奥本海姆《信号与系统(第二版)》习题参考答案

第一章作业解答
解：（b ）jt t t j e e e t x --+-==)1(2)(
由于)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++-+-++-，故不是周期信号；
（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ）n j e n x π73][= 则πω70= 7
2
20
=
ωπ
是有理数，故其周期为N=2；
解：]4[1][1)1(]
1[1][4
3--=--==+---=∑∑∞
=∞
=n u m n m
k k n n x m k δδ
-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n
1
…
减去：
-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n
u[n-4]
等于：
-3 –2 –1 0 1 2 3
4 5 6 n
…
故：]3[+-n u 即：M=-1，n 0=-3。

解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：
而：g(t)如图(c)所示
……
dt
t dx )
(如图（d ）所示：
……故：
)1(3)(3)
(--=t g t g dt
t dx 则：1t ,0t 3,3
2121==-==；A A 1.15
解：该系统如下图所示： 2[n]
（1）
]
4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{2
1
]}3[4]2[2{]3[2
1
]2[][][1111111222-+-+-=-+-+-+-=-+
-==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y
即：]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y
（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。

（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。

解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =
举一反例：当)0()y(,0int s x t =-=-=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；
（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。

1.20
解：（a ）)(2
1)2cos()(221t j t
j e e t t x -+=
= 则：)(2
1
)}(21{)(33221t j t j t j t j e e e e T t y --+=+=；
(b) t j j t j j t j t j e e e e e e t t x 2121)12()12(22
1
21)(21))21(2cos()(-----+=+=-=
则：)3
1(3cos )(212121)()3
1
(3)31
(331312-=+=+=-----t e e e e e e t y t j t j t j j t j j
（注意：此系统不是时不变系统。

）
(b)x(2-t)
（c）x(2t+1)
(d)x(4-t/2)
2
(b)x[3-n]
1
1
1 1
x[n+3]
1 x[-n+3]
1
1
1
解：
x[3n+1]
1
1
1 1
x[n+1]
（注意：离散信号压缩后，只取整数点的值，压缩后会损失信息） (e) x[n]u[3-n]=x[n]
1
1
1
1 x[n]u[3-n]
则：)]()([21)(t x t x t x e -+=
，)]()([2
1
)(t x t x t x o --=分别如下图所示：
（注意：在对信号做奇偶分解时，尽量用图形的方式直观；而表达式烦琐，且容易出错）
解：(a))3
4cos(3)(π
+
=t t x 是周期信号， 40=ω 2
20
π
ωπ
=
=
T
6
解：（a ）)176sin(
][+=n n x π 7
60π
ω= 则：
3
7
20
=
ωπ
为有理数，故该信号是周期的，其周期N=7； （b ）)8
1cos(][π-=n n x 8
10=
ω 则：
πωπ
1620
=为无理数，故该信号不是周期的；
7
先证明几个基本的系统：时移系统、反折系统、尺度系统的线性、时不变、因果、稳定性； 一：时移系统：)()(1t t x t y -=
(1) 线性：
)
()()()(122111t t x t y t t x t y -=-=
令：
满足可加性
)()()1()1()()()()()(2121133213t y t y t x t x t t x t y t x t x t x +=-+-=-=→+=满足齐次性)()()()()()(11114414t ky t t kx t t x t y t kx t x =-=-=→=
故：时移系统是线性系统； (2) 时不变性：)()(111t t x t y -=
令：)()()()()(101122012t t t x t t x t y t t x t x --=-=→-=
而：)()(01101t t t x t t y --=-
统。

故时移系统是时不变系)
()(201t y t t y =- （3）因果性：由定义可知，当01≥t ，则系统是因果的；否则为非因果系统； （4）记忆性：由定义可知，时移系统是记忆系统；
（5）稳定性：由于信号进行时移后，不影响幅度，故时移系统是稳定的；
二 反折系统： 线性、时变、非因果、记忆、稳定； 三 尺度系统：线性、时变、非因果、记忆、稳定；
(a) )2()2()(t x t x t y -+-=
解：由于该系统由时移与反折系统所组成，故性质由二者决定: 线性、时变、非因果、记忆、稳定；
（b ）)(]3[cos )(t x t t y =
线性(略)：是线性的 时不变性：)(]3[cos )(1t x t t y =
令：)(]3[cos )(]3[cos )()()(0122012t t x t t x t t y t t x t x -==→-= 而：)()](3[cos )(01001t t x t t t t y --=-
故系统时变)
()(201t y t t y ≠-
(总结：若y(t)与x(t)之间的关系除了x(t)的形式外，还包括有关于t 的函数，则该系统是时变系统)
因果性：输出仅与x(t)的当前值有关，故系统因果；
(注意，因果性的定义：仅与当前值或以前值有关【二者只要满足一个就是】)
记忆性：输出仅与x(t)的当前值有关，故为非记忆系统；
稳定性：由于cos3t 是有界的函数，则x(t)有界，y(t)有界，故系统稳定；
（c ）⎰∞-=t
d x t y 2)()(ττ
解：线性：该系统是线性的（参考1小题证明）；
时不变性：
⎰∞
-=t
d x t y 211)()(ττ
令：)()(012t t x t x -=
则：
⎰
⎰
⎰⎰-∞
--∞
-∞
-∞
-===--==0
21210201222)(')'('
)()()(t t t t t t
d x d x t d t x d x t y τ
ττττττ
τττ令
而：
⎰
⎰
-∞
--∞
-==-00221)(2101)()()(t t t t d x d x t t y τ
τττ
故系统时变)
()(201t y t t y ≠-
（注意，若这里的积分上限是t ，不是2t ，则系统是时不变的） 其他为：记忆、非因果，不稳定； （d ）该式改写为：
)()]2()([)(t u t x t x t y -+=
线性：系统是线性、时变、因果、记忆、稳定的； 1.31
解：(a)
)2()((112--=t x t x t x
由于该系统是LTI 系统，则)2()((112--=t y t y t y
（b ）)1()1((113-++=t x t x t
x
由于该系统是LTI 系统，则
)1()1()(113-++=t y t y t y
t
t。