1-2-2 同角三角函数的基本关系
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能 力 提 升
一、选择题
1．已知sin α－cos α＝－5
4，则sin α·cos α等于( )
A.74 B ．－916
C ．－932
D.932
[答案] C
[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝25
16，故sin αcos α
＝－932
.
2．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1
1－cos A ＝n ，则lgsin A
的值为( )
A ．m ＋1
n B ．m －n C.12(m ＋1n ) D.1
2(m －n ) [答案] D
[解析] ∵m －n ＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A ) ＝lg(1－cos 2A )＝lgsin 2A ＝2 lgsin A ， ∴lgsin A ＝1
2
(m －n )．
3．函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2x
sin x 的值域是( )
A ．{0,2}
B ．{－2,0}
C ．{－2,0,2}
D ．{－2,2} [答案] C
[解析] 化简得y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |
sin x ，当x 的终边分别在第一、二、
三、四象限时分类讨论符号即可．
4．如果sin x ＋cos x ＝1
5，且0 A ．－43 B ．－43或－34 C ．－34 D.43或－34 [答案] A [解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－12 25， ∵0 3 . 5．若非零实数m 、n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于( ) A.n －m m ＋n B.m －n 2 C.m ＋n 2 D.m －n n ＋m [答案] A [解析] 已知两等式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α－sin α＝m ， tan α＋sin α＝n ， 解得tan α＝ m ＋n 2，sin α＝n －m 2，则cos α＝sin αtan α＝n －m n ＋m . 6．化简(1sin α＋1tan α)(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin α D ．1＋cos α [答案] A 二、填空题 7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝________. [答案] 60° [解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝1 2 ，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°. 8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________. [答案] －1＋5 2 [解析] 由于tan α＝sin α cos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1 －sin 2 α，解得sin α＝－1±5 2 . 又sin α＝cos 2 α≥0，所以sin α＝－1＋5 2 . 三、解答题 9．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α 1－sin α的值． [解析] ∵cos α＝－3 5，且tan α>0， ∴α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2 α＝－4 5 ， tan αcos 3α1－sin α＝sin αcos α cos 3 α 1－sin α＝sin (1－sin 2α)1－sin α ＝sin α(1＋sin α)＝－45×(1－45 ) ＝－425 . 10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1， 求(1)tan α； (2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解 析 ] (1)2cos 2α ＋ 3cos αsin α － 3sin 2α ＝ 2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α sin 2α＋cos 2 α ＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α， 则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1， 即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－1 4 或tan α＝1. (2)原式＝2sin αcos α－ 3cos α cos α4sin αcos α－ 9cos αcos α＝2tan α－3 4tan α－9 ， 当tan α＝－14时，原式＝7 20； 当tan α＝1时，原式＝1 5 . 11．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1 cos α. [证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2α cos α＋ cos α＋cos 2α sin α