2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
数学（理科）
使用地区：河南、山西、河北、江西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．设复数z 满足1+z
1z
-=i ，则|z|=
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=
（ ）
A ．3
2
-
B ．
32
C ．12-
D ．
12
3．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为
（ ）
A ．2n n n ∀∈N 2，＞
B ．2n n n ∃∈N 2，≤
C ．2n n n ∀∈N 2，≤
D ．=2n n n ∃∈N 2，
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（ ）
A ．0.648
B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312
5．已知00()M x y ,是双曲线2
212
x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若
120MF MF <，则0y 的取值范围是
（ ）
A ．33()33
-
， B ．33()66
-
， C ．2222()33-
， D ．2323
()33
-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（ ）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则
（ ）
A ．1433
AD AB AC =-+ B ．14
33AD AB AC =
- C ．4133
AD AB AC =
+ D ．41
33
AD AB AC =-
8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为
（ ）
A ．13
π,π+44k k k -∈Z （）,
B ．13
2π,2π+44
k k k -∈Z （）,
C ．13
,+44k k k -∈Z （）,
D ．13
2,2+44
k k k -∈Z （）,
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =
（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为
（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =
（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．设函数()()21x f x e x ax a ＝－
－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是
（ ）
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------无--------------------
效--------
--------
姓名________________ 准考证号_____________
A ．
3[)21,e
-
B ．4
3[,)23e -
C ．3[
,)234
e D ．3[
,)21e
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2
()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆
22
=1164
x y
+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
15．若x ，y 满足约束条件10,
0,40,x x y x y -⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
≥≤≤则y x 的最大值为________.
16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n+1
1
=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量
i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x
y
ω
2
8
i=1
()i
x
x -∑
2
8
i=1
()
i
ωω∑-
8
i=1
()()i
i
y x x y
-∑-
8
i=1
()()i
i y y ω
ω--∑
46.6
563
6.8
289.8 1.6 1 469
108.8
表中i ω=i x ，ω=
1
8
8
i i=1
ω∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截
距的最小二乘估计分别为1
2
1
()()
,()n
i
i i n
i
i u
u v v v u u
u βαβ==--=
=--∑∑.
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线2
4
C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数31
()4
f x x ax =++
，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π
4
θρ=
∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；
（Ⅱ）若f x （）
的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】A 【解析】由
1=i 1z z
+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D
【解析】原式1
sin 20cos10cos20sin10sin302
=+==
，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C
【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．
【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为223
3C 0.60.40.6=0.648.⨯+
【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【考点】概率． 5.【答案】
A
【解析】由题知12(F F ，，2
20012
x y -=，
所以
222120000000(3,)(3,)331
MF MF x y x
y x y y =-----=+-=-<，解得
0y <<
，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则1
16
238,43
r r ⨯⨯=⇒=
所以米堆的体积为 2
111632035,4339⎛⎫
⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
故堆放的米约为
320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．
【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A
【解析】由题知1
114()3
3
3
3
AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+
【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为
AC AC ，的形式．
【考点】向量运算． 8.【答案】D
【解析】由五点作图知，1
π42,
53π
4
2ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得13
22,,44
k x k k -<<+∈Z
故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭Z ，故选D ．
【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C
【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==1
0,0.5,2
n m ==
= 0.5,0.25,2m
S S m m =-==
=1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2m
S S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，
0.125,0.0625,2m
S S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，
0.0625,0.03125,2m
S S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，
0.03125,0.015625,2m
S S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，
0.015625,0.0078125,2
m
S S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第
7次，
0.0078125,S S m =-=2
m
m =
0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．
【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C
【解析】在25
()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212
532C C C 30,=故选C ．
【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22221
4ππ2π225π41620π2
r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．
【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D
【解析】设()()e 21,,x
g x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线
y ax a =-的下方．
因为()e (21)x
g'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当1
2
x >-，
()0,g'x >所以当1
2
x =-时，12min [()]2e g x -=-．
当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，
且1
(1)3e g a a --=-≥--，解得312e
a ≤<，故选D ．
【提示】设()()e 21,,x
g x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线
y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且
1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．
【考点】带参函数．
第Ⅱ卷
二、填空题 13.【答案】1
【解析】由题知ln(y x =是奇函数，
所以2
2
ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =
【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．
14.【答案】2
232524x y ⎛
⎫±+= ⎪⎝
⎭
【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则2
22(4)2,a a -=+解得3
2
a =±
， 故圆的标准方程为2
232524x y ⎛
⎫±+= ⎪⎝
⎭．
【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3
【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故
y
x
的最大值3.
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x
的最大值．
【考点】线性规划问题．
16.
【答案】
【解析】如下图所示：延长BA
CD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =
，2AE x =
，4
DE x =，CD m =
，
2BC =，
sin151m ⎫
∴+︒=⎪⎪⎝⎭
⇒m +=∴04x <<，
而2AB m x +-
,2
x
∴AB
的取值范围是．
【提示】如图所示，延长BA
CD ，交于点，设12AD x =
，2AE x =
，4
DE x =，CD m =
m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题
17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）
11
646
n -
+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，2
11112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，
22
1122n n n n a a a a --+--=
14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，
所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
，
所以数列{}n b 前n 项和为12111111
1=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++
+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
=11
646
n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：
（Ⅱ）求出11
n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．
【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BD
AC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设
1GB =，
由∠ABC=120
°，可得AG GC ==
由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，
∴EG EG AC =⊥，
在Rt EBG △
中，可得BE
，故DF =
在Rt FDG △
中，可得FG =
在直角梯形BDEF 中，由2BD =
，BE
，2
DF =，
可得2
EF =
， ∴2
2
2
EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵AC
FG G =，
∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，
建立空间直角坐标系G xyz -
，由（Ⅰ）可得0,A （
，(E
，2F ⎛- ⎝⎭
，C ，
∴AE =
，1,CF ⎛=- ⎝⎭
．
故cos ,3||||
AE CF
AE CF AE CF <>==
-，
所以直线AE 与CF ．
【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定
理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.
（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角
坐标系G xyz -，求得A
E F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．
【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．
19.【答案】
（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24
【解析】（Ⅰ）
由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．
(Ⅱ)令w =
先建立y 关于w 的线性回归方程，由于8
1
8
2
1
()()
108.8
=
68,16
()
i
i
i i
i w w y
y d w w ==--=
=-∑∑ ∴56368 6.8
100.6.==c y d w -⨯=-
∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68
y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y
的预报值576.6
y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-
（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润
z 的预报值20.12z x =x +--，
∴13.6
6.8,2
=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．
【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．
（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以
解决．
（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】
0y a --=
0y a ++=
（Ⅱ）答案见解析
【解析】（Ⅰ）由题设可得)M
a ，()N a -，或()M a
-，)
N a ．
∵12y
x '=，故2
4x y =
在
x =C
在)a 处的切线方程为
y a x -=-0
y a --=，
故2
4
x y =在x =-处的导数
值
为，C 在()a -处的
切线方程
为
y a x -=
+，
0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．
将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．
∴12124,4x x k x x a +==-．
∴12121212
12122()()()
=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a
--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直
线PN 的倾斜角互补，故
OPM OPN ∠=∠，
所以(0,)
P a -符合题意．
【提示】（Ⅰ）求出C
在)a 处的切线方程，故2
4
x y =在x =-即可求出方程．
（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y
，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12
k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可
得12()
=
k a b k k a
++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34
a =- （Ⅱ）答案见解析
【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即
3
00
20
10430
x ax x a ⎧++=⎪⎨
⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若5
4
a ≥-
，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，
故1x =是()h x 的零点；
若5
4a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，
故x =1不是()h x 的零点．
当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．
(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，
则2
()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1
(0)4
f =，5
(1)4
f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零
点．
(ⅱ)若30a -<<，则()f x
在⎛ ⎝
单调递减，在⎫
⎪⎪⎭
单调递增，
故当x =()f x
取的最小值，最小值为14f =．
①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．
②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；
③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当5
34
a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．
综上，当34a >-或5
4a <-时，()h x 有一个零点；
当34a =-或5
4a =-时，()h x 有两个零点；
当53
44
a -<<-时，()h x 有三个零点．
【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数
(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导
数研究其单调性极值即可得出．
【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=
【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得
DE DC =，
∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，
∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．
（Ⅱ）设1
CE AE x ==，
，由已知得AB =
，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，
∴2x =
x = ∴60ACB ∠=．
【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．
（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x
的方程2x =，解方程可得x 值，
可得所求角度．
【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)
1
2
【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．
（Ⅱ）将=4
θπ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，
得240ρ-+=，解得1ρ
=2ρ
12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △
的面积11
1sin 45=22
⨯．
【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而
求出2C MN △的面积．
【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．
24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
（Ⅱ）(2)+∞，
【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1
211x x +-->，
等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得2
23x <<，
∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三
角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫
⎪⎝⎭
，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22
(1)3
a +， 由题设得22
(1)63
a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，
． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．
【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。