不等式的解法
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。
在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。
一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。
1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。
1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。
1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。
二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。
2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。
三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。
解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。
3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。
3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是代数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题、函数图像等方面都有着重要的应用。
在解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种解不等式的常用方法。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax+b-c>0；2. 根据a的正负情况进行讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为x>-b/a+c；b. 若a<0，则不等式的解集为x<-b/a+c。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的值；2. 根据Δ的正负情况进行讨论：a. 若Δ>0，则二次函数有两个不等实根，即x的取值范围为x<x1或x>x2；b. 若Δ=0，则二次函数有两个相等的实根，即x的取值范围为x=x1=x2；c. 若Δ<0，则二次函数无实根，即不等式无解。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|<c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 分情况讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为-b<c<ax+b；b. 若a<0，则不等式的解集为-b<c<-ax-b。
四、分式不等式的解法。
对于分式不等式f(x)>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出分式的定义域；2. 求出分式的零点；3. 根据零点的正负情况进行讨论：a. 若零点为实数且大于0，则不等式的解集为定义域内使分式大于0的实数；b. 若零点为实数且小于0，则不等式的解集为空集。
五、不等式组的解法。
对于不等式组{f(x)>0, g(x)>0}，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出每个不等式的解集；2. 将每个不等式的解集取交集，得到不等式组的解集。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
不等式的解法
不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。
解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。
然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。
最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。
根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。
然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。
本文将介绍几种常用的不等式的解法。
一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。
例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。
所以x的取值范围为大于2的所有实数。
2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。
例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。
所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。
因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。
二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。
1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。
例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。
然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。
2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。
例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。
然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。
解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。
因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。
三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。
不等式的解法
不等式的解法 一．不等式解法总结： 1.一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 2.高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.3.分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4.无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩ ⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 5.指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>；⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 6.对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 7.含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.8.含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 9.含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 10.恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥ 二．练习： 1.解不等式：（1）23440x x -++> （2）213022x x ++> （3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x2. 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 ______.3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是______.4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =______ c =______. 5.解关于ｘ的不等式)1(12)1(≠>--a x x a6.若关于x 的不等式210,ax ax a ++-<的解集为R ，则a 的取值范围是______. 7.不等式220ax bx ++>解集为1123x -<<，则ab 值分别为______. x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。
解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。
在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。
一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。
通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。
例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。
在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。
二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。
通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。
然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。
三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。
通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。
然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。
四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。
通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。
通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。
综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。
求解不等式的方法
求解不等式的方法在数学学习中，不等式是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用。
因此，掌握解不等式的方法对于中学生来说是至关重要的。
本文将介绍一些常见的解不等式的方法，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
解一元一次不等式的方法与解方程的方法类似，可以通过移项、合并同类项等步骤来求解。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将3移到等式的另一边，得到2x > 7 - 3，即2x > 4。
接着，我们将不等式两边都除以2，得到x > 2。
因此，不等式的解集为{x | x > 2}。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要考虑不等式的开口方向以及二次函数的图像。
对于形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，我们可以先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以先求出二次函数x^2 - 4x + 3 = 0的零点，得到x = 1和x = 3。
然后，我们可以绘制二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为{x | 1 < x < 3}。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
解绝对值不等式的方法比较灵活，可以根据不等式的形式来选择不同的解法。
对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以分两种情况讨论。
当ax + b > 0时，不等式可以化简为ax + b > c，解得x > (c - b)/a；当ax + b < 0时，不等式可以化简为-(ax + b) > c，解得x < (b - c)/a。
因此，绝对值不等式的解集为{x | x < (b - c)/a 或 x > (c - b)/a}。
解不等式常用公式
解不等式常用公式解不等式是数学中的一个重要内容，它在实际问题中具有广泛的应用。
在解不等式的过程中，我们可以运用一些常用的公式和方法来简化计算，提高求解的效率。
本文将介绍一些常用的不等式解法公式，并通过实际例子来说明它们的应用。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax+b>0的解集为x>-b/a；2. 当a<0时，不等式ax+b>0的解集为x<-b/a；3. 当a>0时，不等式ax+b<0的解集为x<-b/a；4. 当a<0时，不等式ax+b<0的解集为x>-b/a。
例如，对于不等式2x-3>0，我们可以将其转化为2x>3，再除以2，得到x>3/2。
因此，不等式2x-3>0的解集为x>3/2。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2，其中x1和x2分别为方程ax^2+bx+c=0的两个根；2. 当a<0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x1<x<x2。
例如，对于不等式x^2-3x+2>0，我们可以先求出方程x^2-3x+2=0的根，即x1=1和x2=2。
由于a=1>0，因此不等式x^2-3x+2>0的解集为x<1或x>2。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
对于绝对值不等式|ax+b|>c来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a-c/a或x>-b/a+c/a；2. 当a<0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a+c/a或x>-b/a-c/a。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法
二 不等式 11. 方程 函数 与 不等式方程 函数 （图像） 不等式①－2x ＋4=0 → x =2 y =－2x ＋4 → y =0 → x =2 －2x ＋4 ＞0→x ＜2－2x ＋4 ＜0→x ＞2②2x －3x ＋4=0 → y =2x －3x ＋4 2x －3x ＋4＞0 →x ∈R2x －3x ＋4＜0 →∅③2x －3x ＋2=0 → x =1 or x = 2 y =2x －3x ＋2 2x －3x ＋2＞0 (x －1)( x －2) ＞0 y =0 → x =1 or x =2 → x ＜1 or x ＞2 (x －1)( x －2) ＜ 0 2x －3x ＋2＜0 → 1＜x ＜2 方程0)(=x f 有无实根等价于函数)(x f y =对应的曲线是否与x 轴产生交点，方程0)(=x f 的实根即函数)(x f y =对应的曲线与x 轴产生交点（的横坐标），也即y =0时x 的取值；解不等关系)(x f ＞0，（或 )(x f ＜0）.即寻求x 取何值时，函数值y ＞0，（或y ＜0）.亦即寻求x 取何值时，函数)(x f y =对应的曲线在x 轴上方（或x 轴下方）. 曲线在x 轴上方（或x 轴下方）是由曲线与x 轴产生的交点即对应方程的根来分割的. 所以不等式的解集与方程的根密切相关. 也可以说不等式的解集由对应方程根的取值情况来确定的.2.三个基本不等式的解法① 一元一次不等式：b ax +>0 (或<0) a ± ？②※ 一元二次不等式：c bx ax ++2>0 (或<0).10 考察判别式∆（确定的方程根的取值情况）.20△≤0 →借助函数的图像（直接）下结论.30∆＞0 → 确定方程的根 → 由根确定不等式的解集③高次不等式（对应方程的根可知）形如 ))()()(()(d x c x b x a x x f ----=)(k x ->0 (或<0)曲线与x 轴产生的交点 即 方程的根 显然分别为d c b a ,,, …k （标根法）1. 不等式ax ＋1>0的解集为｛x ∣x < 2｝,则a =2. 不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,则不等式ax bx +2＋1>0的解集为3. 不等式2x ＋2x ＋3>0的解集为4. 不等式2x ＋2x －3>0的解集为5. 不等式2x ＋2x ＋1≤0的解集为6. 不等式212-+x x ≤0的解集为7. 不等式212-+x x ≤1的解集为8. 不等式42122+++x x x >1的解集为 9. 不等式232+-x x x ≤2的解集为10. 不等式︱x 2－3︱≥2的解集为11. 不等式︱x x 32-︱≥2的解集为12. 不等式︱ax ＋1︱>3的解集为｛x ∣ x <-1 或 x >2｝,则a ？13. 不等式)3)(4)(12)(2(--++x x x x ≤0的解集为14.不等式bx ax +2＋1>0的解集为R,试探讨a ，b 的取值情况或相关关系.二 不等式 21. 分式不等式基本形 ：)()(x g x f ＞0 （or <0 ，o r ≥0 ）形如 )()(x g x f >m2. 含绝对值不等式基本形 ：①∣x ∣>a → x a >或 a x -<②∣x ∣<a → a x a <<- (几何意义)绝对值基本性质 ： 若 0≥x → ∣x ∣= x若 0<x → ∣x ∣= -x(去掉绝对值号)3. 无理不等式基本形 ：① )(x f > g(x)② )(x f < g(x)4. 指数不等式基本形 ：① )()(x g x f a a >② )(x f a > m ()m a a log = 同底5. 对数不等式基本形 ：① )(log )(log x g x f a a > 同底② )log ()(log m a a a m x f =>1． 不等式 321<-<x 的解集是2. 不等式 3)2(-+x x x < 0 的解集是3. 不等式 x x 1- ≥ 2 的解集是 4. 不等式 121<-x 的解集是5. 不等式 22-x < 12)21(+x 的解集是6. 不等式x2> 0.99 的解集是7. 不等式 01391<-++x x 的解集是8. 不等式 )1ln()3ln(2->-x x x 的解集是三 不等式 3 例1. 不等式bx ax +2＋1>0的解集为｛x ∣-1<<x 3｝,→ －1 与3 为方程bx ax +2＋1=0 的两根，且 a < 0. → －1＋3=－a b ，－1×3=a1 一般地，含参不等式的解集确定，其中参数应为定值，（特殊情况除外）.否则，其解集会随参数的改变而改变.例2. 不等式1-x > ax 的解集为｛x ∣<<x b 5｝.→ 5与 b 为方程1-x = ax 的根.例3. 不等式x -1 < ax 的解集为｛x ∣21＜x ≤ 1｝. →21是方程x -1 = ax 的根. 而1并不是该方程的根. (可借助图像观察) x ≤ 1是x -1有意义的前提条件！另外，原不等式是严格不等式，而其解集中x 可取1，非严格，矛盾.故1 不应是该方程的根！例4. 求不等式)12ln()12ln(++<++x x x x 的解集→ x ㏑（2x -1）<0 ( ∣a ＋b ∣≤ ∣a ∣＋∣b ∣恒成立当ab ≥0时，∣a ＋b ∣ = ∣a ∣＋∣b ∣当ab <0时, ∣a ＋b ∣ < ∣a ∣＋∣b ∣ )→ 2x －1>0 → x >21>0 → ㏑（2x -1）<0 = ㏑1 → 2x -1 <1 →21< x < 1例5. 求不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣>7 的解集求不等式 ∣x －2∣－∣x ＋3∣>7 的解集不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣> m 恒成立 …等问题，基本的处理办法是利用分段讨论的方法设法脱去绝对值号，转化为基本不等式求解.或借助于绝对值的几何意义处理.(数轴上实数x 到－3与2的距离之和or 距离之差)练习：1. 已知a log 52 < 1, 则a 的取值范围是 A ．（0，52） B. (1, +∞) C. （0，52）⋃(1, +∞) D. ( ,25+∞) 2. 角βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的范围是A. 0<-<-βαπB. πβαπ<-<-C. 02<-<-βαπD. 22πβαπ<-<-3. 设b a ,∈+R ，且1=+b a ，那么)1)(1(bb a a ++的最小值为 A ．4 B.425 C. 2 D. 24 4. 设b a ,∈+R ，则下列命题 ① 221≥++ab b a ② 4)11)((≥++b a b a ③ 22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ ④ b a b a 22222+≥++ 中，真命题有—— 5. 已知点()y x ,在直线032=-+y x 上，那么yx u 42+=的最小值为 6. 已知)2,0(∈x ，那么函数)38(x x y -=的最大值为———— 7. 已知,12,0,022=+>>b a b a 那么21b a z +=的最大值为———— 8. 点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是———9．△ABC 内部及边界围成可行域，其中A （1，1）B （4，2）C （3，4），函数y ax z +=的最大值的最优解有无穷多个点（),y x ，则=a ———10. 实数y x ,满足不等式组 02200≥--≥-≥y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是——— 11. 设函数()12--=mx mx x f ， ① 若,R x ∈∀0)(<x f 恒成立，则m 的取值范围是———②若对于[]5)(,3,1+-<∈m x f x 恒成立，则m 的取值范围是———。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中最基本的一个概念，它包括两个数的比较，表达方法是“大于”，“小于”，“等于”类型的箭头符号，如“3>2”，表明3大于2；“2≤7”，表明2小于等于7。
不等式是学习运算及分析问题时，很常见的知识点，学过基本运算、数学概念的学生，都需要掌握这方面的知识。
不等式的解法，是一种数学技能，通过这种技能，能够对不等式问题做出正确的判断和结论。
二、不等式的解法1、一元不等式的解法一元不等式的解法指的是，一个变量的不等式的解法，常见的一元不等式比如“x>2”，“2x-1<7”等。
解一元不等式的思路通常如下：（1）将不等式两边同乘以变量上的系数，使不等式两边都变成常数；（2）重新组合不等式两边，取一个公约数；（3）正负号的变换，有助于理解；（4）最后求得不等式的解。
2、二元不等式的解法二元不等式的解法指的是，两个变量的不等式的解决，如解决“x+y<3”等。
解二元不等式的步骤通常如下：（1）首先将不等式的一边化为一个数，再解两个变量的方程；（2）解出方程的解，再结合方程的不等式；（3）求出不等式的解。
三、不等式在实际应用中的作用1、不等式在经济学上的应用不等式也可以用于把经济问题表达为数学模型，比如把一种商品的价格变化率表示为不等式，“P-M<0”，其中P代表市场价格，M代表成本价格。
这样，就可以利用不等式，比较客观的研究经济问题，获取有效的经济数据。
2、不等式在工程学上的应用不等式也可以用于工程中，比如在水力学或梯形法中，用于研究水的流速、水的流量及水的流压。
在这些模型中，都会使用不等式来表达某个条件，从而获取工程中有用的结论。
3、不等式在物理学上的应用在物理学中，也可以使用不等式来表达某个物理现象，比如动量定理：“p=mv”，其中p代表动量，m代表质量，v代表速度。
另外，物理学中的许多原理，如能量守恒原理，都可以用不等式的形式来描述，可以更方便地描述物理现象，从而让科学家更好地掌握科学知识。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种数值关系表达式，描述了数值之间的大小关系。
解不等式就是确定使不等式成立的数值范围，也就是找到不等式的解集。
一、线性不等式的解法线性不等式是指变量之间的关系是一次函数的不等式，可以分为一元线性不等式和多元线性不等式。
解线性不等式的方法如下：1. 利用乘法和除法性质：当不等式两侧同乘或同除一个正数时，不等号的方向不变；当不等式两侧同乘或同除一个负数时，不等号的方向反转。
2. 利用加法和减法性质：当不等式两侧同加或同减一个数时，不等号的方向不变。
3. 将不等式转化为方程：将不等式两边相等的地方标记，再在标记的点处进行讨论，确定不等式成立的范围。
4. 图解法：将不等式对应的线性函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示，例如[a, b]表示解集的范围在a 到b之间。
二、二次不等式的解法二次不等式是指变量之间的关系是二次函数的不等式，解二次不等式的方法如下：1. 将二次不等式转化为标准形式：将不等式的所有项移项，使得一边为零。
2. 利用乘法性质：当不等式两侧同乘一个正数时，不等式的方向不变；当不等式两侧同乘一个负数时，不等式的方向反转。
3. 利用根的位置和形状：通过求解二次函数的根来确定二次不等式的解集。
4. 图解法：将二次不等式对应的二次函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指变量的绝对值与一个数之间的大小关系的不等式，解绝对值不等式的方法如下：1. 利用绝对值的定义：讨论变量的取值范围，将绝对值不等式转化为对应的条件不等式。
2. 利用绝对值的性质：当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式大于等于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式小于0时，不等式无解。
3. 将绝对值不等式转化为分段函数形式：将绝对值不等式分成多个条件不等式，讨论每个条件不等式的解集。
数学不等式的解法
数学不等式的解法
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.
不等式的解法：
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：
(2)绝对值不等式：若，则 ; ;
注意：
(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;
(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是数学中的重要内容，它在我们的日常生活和工作中都有着广泛的应用。
解不等式的方法有很多种，接下来我们将逐一介绍常见的解不等式方法，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为等式ax+b=0；2. 求出等式的解x0；3. 根据a的正负分情况讨论：a）若a>0，则不等式的解集为{x|x>x0}（或{x|x<x0}）；b）若a<0，则不等式的解集为{x|x<x0}（或{x|x>x0}）。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 利用一元二次不等式的解法，将不等式化为二元一次不等式；2. 求出二元一次不等式的解集{x1, x2}；3. 根据a的正负和二次项系数b的正负分情况讨论：a）若a>0，且Δ=b^2-4ac>0，则不等式的解集为{x|x<x1}∪{x2<x<x2}（或{x|x>x1}∪{x2>x>x2}）；b）若a>0，且Δ=0，则不等式的解集为{x|x=x1}；c）若a>0，且Δ<0，则不等式的解集为空集；d）若a<0，则不等式的解集为{x1<x<x2}。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以通过以下步骤来解决：1. 根据不等式的正负情况分情况讨论：a）若c≥0，且a>0，则不等式的解集为{x|x<-b-a}∪{x>-b+a}（或{x|x>-b-a}∪{x<-b+a}）；b）若c≥0，且a<0，则不等式的解集为{x|x<-b+a}∪{x>-b-a}（或{x|x>-b+a}∪{x<-b-a}）；c）若c<0，则不等式的解集为全体实数集。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。
一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。
常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。
求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。
2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。
- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。
3. 以解集的形式表示不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。
2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。
- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。
3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。
二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。
常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。
求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。
2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。
- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。
解不等式的常用方法与技巧
解不等式的常用方法与技巧不等式是数学中常见的一种关系式，表示两个数或者两个式子之间的大小关系，总结解不等式的方法与技巧对于数学学习来说是非常重要的。
本文将介绍解不等式的常用方法和技巧，供大家参考。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式指的是只有一个变量的一次方程，例如：ax + b > 0。
解一元一次不等式的方法如下：第一步：将不等式中的一元一次方程转化为等式，例如将ax + b > 0转化为ax + b = 0。
第二步：解一元一次方程，求出方程的解x0。
第三步：根据x0的值，判断不等式的解集：- 如果x0 > 0，则不等式的解集为x > x0；- 如果x0 < 0，则不等式的解集为x < x0；- 如果x0 = 0，则不等式的解集为x ≠ 0。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是只有一个变量的二次方程，例如：ax^2 + bx + c > 0。
解一元二次不等式的方法如下：第一步：将不等式中的一元二次方程转化为等式，例如将ax^2 + bx + c > 0转化为ax^2 + bx + c = 0。
第二步：求出一元二次方程的根x1和x2。
如果方程的判别式Δ =b^2 - 4ac > 0，即有两个不相等的实根x1和x2；如果Δ = b^2 - 4ac = 0，即有两个相等的实根x1 = x2；如果Δ < 0，即方程没有实根。
第三步：根据x1和x2的值，判断不等式的解集：- 如果x1和x2都大于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1和x2都小于0，则不等式的解集为x > x1或者x < x2；- 如果x1大于0，x2小于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1小于0，x2大于0，则不等式的解集为x < x2或者x > x1；- 如果x1等于0，x2大于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1等于0，x2小于0，则不等式的解集为x < x2或者x > x1。
基本不等式的解法
基本不等式的解法如下：
方法一：代数方法。
通过变形和化简等操作，将不等式转化为更简单的形式，从而得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 5 > 3x - 1，可以移项得到2x - 3x > -1 - 5，然后化简为-x > -6，最后根据-x的系数为负数，将不等式两边的符号取相反，得到x < 6。
方法二：图像法。
将不等式转化为图像的形式，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x > -2。
然后在数轴上标出-2和1、2、3等点，根据不等号的符号确定解集。
方法三：比较法。
通过比较两个不等式的解集来确定它们是否相同。
例如，对于不等式x + 2 > 0和x + 1 > 0，可以通过比较它们的解集来确定它们是否相同。
方法四：同解变形法。
将不等式进行同解变形，使其转化为另一个不等式，然后求解新的不等式。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x + 1 > -1的形式，然后根据同解变形法则得到x + 1 > 0，从而得到原不等式的解集。
需要注意的是，基本不等式的解法有很多种，不同的方法适用于不同的不等式类型和问题背景。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
不等式的解法及其应用
不等式的解法及其应用不等式是数学中常见的一种关系表示方法，它描述了数值之间的相对大小关系。
在实际问题中，我们经常需要求解不等式的解集，并将其应用于解决各种问题。
本文将介绍不等式的解法及其应用。
一、不等式的解法1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法，它通过将不等式表示为数轴上的区间，来确定不等式的解集。
具体步骤如下：（1）将不等式中的变量系数化为正数。
（2）根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），在数轴上标出相应的开闭区间。
（3）确定解集，将标出的区间合并。
例如，对于不等式3x - 2 > 7，我们可以将其转化为3x > 9，然后在数轴上标出大于等于3的区间，最终确定解集为x > 3。
2. 线性不等式的解法线性不等式是指不等式中只含有一次线性项的不等式。
常用的线性不等式解法有两种方法：代入法和区间判断法。
（1）代入法：将待求解的不等式代入到一个确定的数值中，判断该数值是否满足不等式，从而得到解集。
（2）区间判断法：将不等式转化为一个关于未知数的方程，通过求解该方程，得到解集。
然后根据不等式的类型，对解集进行调整，最终确定合适的解集。
二、应用：不等式在实际中的应用不等式在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学应用在经济学中，不等式常用于描述供需关系、收入分配、资源利用等问题。
通过求解不等式，可以确定经济模型中各个变量的取值范围，帮助分析和解决相关经济问题。
2. 几何学应用在几何学中，不等式可以用于描述图形的属性和关系。
例如，在证明三角形的性质时，通过不等式可以判断三边的关系，从而推导出不等式。
3. 工程学应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题、约束条件的建立等方面。
通过建立和求解不等式，可以帮助解决各类工程问题，并得出最佳解决方案。
4. 自然科学应用在自然科学中，不等式常被用于描述物理规律、化学反应等现象。
通过求解不等式，可以得到相应的物理量范围，帮助科学家更好地理解和预测自然界的现象。
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不等式的解法
（1）不等式解法的理论体系见下表：
（2）有理不等式： 1）一元不等式：
2）分式不等式：不等式
()
0()f x g x >与不等式组()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0
f x
g x <⎧⎨<⎩同解；不等式()
0()f x g x <与不等式组()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x >⎧⎨<⎩
同解。
（3）无理不等式
：
()g x >与2
()[()]()0
()0
f x
g x f x g x ⎧>⎪
>⎨⎪≥⎩
或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩同解
；()g x 与2()[()]()0()0f x g x f x g x ⎧<⎪≥⎨⎪>⎩
()()()0()0f x g x f x g x >⎧⎪
>⎨⎪≥⎩
同解；
（4）指数不等式：1a >时，()
()f x g x a
a >与()()f x g x >同解； 01a <<时，()()f x g x a a >与()()f x g x <同解；
（5）对数不等式：1a >时，log ()log ()a a f x g x >与()()()0()0f x g x f x g x >⎧⎪
>⎨⎪>⎩
同解；
01a <<时，log ()log ()a a f x g x >与()()()0()0f x g x f x g x <⎧⎪
>⎨⎪>⎩
同解；
（6）含绝对值得不等式：
(0)
||(0)
c x c c x c c -<<>⎧<⇔⎨
∅≤⎩，,(0)||0(0)(0)x c x c c x c x c R c ><->⎧⎪
>⇔≠=⎨⎪<⎩
或，22|()||()|[()][()]f x g x f x g x >⇔>；
不等式的解法
例1 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解 将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>- 讨论 当b a >时，b
a b a ab x -+>
)
(；
当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈； 当b a <时，b
a b a ab x -+<
)
(。
例2 解关于x 的不等式0)1(2
>---a a x x 解 原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x 。
若)1(-->a a 即21
>
a 则a x >或a x -<1； 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x ，R x x ∈≠,21
；
若)1(--<a a 即2
1
<a 则a x <或a x ->1。
例3 关于x 的不等式02
<++c bx ax 的解集为}2
1
2|{->-<x x x 或，求关于x 的不
等式02
>+-c bx ax 的解集。
解 由题设0<a 且25-=-
a b ， 1=a
c
，从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-a c x a b x ，即：01252<+-x x ∴22
1
<<x 。
例4 关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围． 解：当0a >时不合，0a =也不合，∴必有：
⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<0
1230
0)1(4)1(022
a a a a a a a
310
)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a 。
例5 若函数)8(6)(2++-=
k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
解 显然k =0时满足 而k <0时不满足102)8(4360
2
≤<⇒⎩
⎨⎧≤+-=∆>k k k k k ， ∴k 的取值范围是[0,1]。
例6 解不等式03
22
32
2<--+-x x x x 略解一（分析法）3211312
103202322<<<<-⇒⎩⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<-->+-x x x x x x x x x 或或，
或221232013230x x x x x x x -<<⎧-+<⎧⇒⇒∅⎨⎨<->-->⎩⎩
或，3211<<<<-x x 或。
解二 （列表法）原不等式可化为0)
1)(3()
2)(1(<+---x x x x 列表
注意 按根的由小到大排列
解三 （标根法）作数轴；标根；画曲线，定解
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”
例7 解不等式 6232
3
+>+x x x
解 原不等式化为 0)2)(2)(3(>-++x x x , ∴原不等式的解为
232-<<->x x 或。
-1 0
1
2
3
4
-2
例8 解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x
解 ∵022>++x x 恒成立，∴原不等式等价于0542
<--x x 即15x -<<。
例9 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x
解 原不等式等价于0)2)(1)(1(<-+-x x x 且 1,2≠-≠x x ，∴原不等式的解为
}21221|{-<-<<-<<x x x x 或或。
例10 解不等式80)4)(1)(2)(5(-≤--++x x x x 解 原不等式等价于080)2)(20(22≤+-+-+x x x x
即：0120)(22)(222≤++-+x x x x ，0)10)(12(22≤-+-+x x x x ，
0)2
41
1)(2411)(3)(4(≤---+--
-+x x x x ， ∴32
41124114≤≤+-+-≤≤-x x 或。
例11 解不等式
11
16
-<-x x 解 原不等式等价于
01
)
3)(5(>-+-x x x ，∴原不等式的解为：513><<-x x 或。
例12 k 为何值时，下式恒成立：13
64222
2<++++x x k
kx x 解 原不等式可化为：03
64)
3()26(22
2>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ， ∴原不等式等价于0)3()26(22
>-+-+k x k x ， 由0)3(24)26(2
<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3。
例13 解不等式)1(33
2)2
1
(2
2---<x x x 解 原不等式可化为：)1(33
222
2----<x x x ，∵底数21>，∴)1(3322--<--x x x ，
整理得：062
<-+x x ，解之，不等式的解集为{|32}x x -<<。
例14 解不等式293183
1
>⋅+-+x x
解 原不等式可化为：0183293
32>+⋅-⋅x x
，即：0)233)(93(>-⋅-x x ，解之：
93>x 或323<
x ，∴x >2或32log 3<x ，∴不等式的解集为32{|2log }3
x x x ><或。
例15 解不等式2)1(log 3≥--x x
解 原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤-<-<>-2)3(11300
1x x x x ，解之得：45x <≤，∴
原不等式的解集为{|45}x x <≤。