高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
二次函数与一元二次方程和不等式(热考题型)-解析版
专题07 二次函数与一元二次方程和不等式【思维导图】◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c= 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0 有一个 有两个相等的实数根b 2-4ac <0没有公共点没有实数根例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根为4x =，则另一个根为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．0【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，求出2ba-=，设20ax bx c ++=的另一根为m ，利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a，即可求出m ． 【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =， ∵12b a-=，即2ba -=，设20ax bx c ++=的另一根为m ， 利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a， ∵=2m -． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一个交点是B ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】 【分析】将()1,0A -代入抛物线242y ax ax =-+中求出a 的值，然后令2420y ax ax =-+=求出点B 的坐标，即可求出AB 的值． 【详解】抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -， 420a a ∴++=，即25a =-，∴抛物线为：228255y x x =-++，∴令2282055y x x =-++=，求出1215x x =-=，，(50)B ∴，，6AB ∴=． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x 轴交点坐标之间的联系是解题的关键．变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x -2 -1 0 6 y461下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∵抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一交点为B ，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据点A 在抛物线上，先求出a 的值，进而求出B 的坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A - ∵0=a +4a +2 ∵a =25-∵228255y x x =-++当y =0时，2282055x x -++=，解得121,5x x =-= ∵B （5，0） ∵AB =5-（-1）=6， 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键．◎考试题型2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
专题10 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)
专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>0【答案】C【解析】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先展开，移项，合并同类项，分解因式可得－≤x≤1，故选D.3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}【答案】A【解析】3x2－7x＋2<0⇒（3x－1）（x－2）<0⇒<x<2.4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．【答案】原不等式可变形为（x－a）（x－a2）>0，方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，有a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a>1时，有a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.【答案】（1）根据题意，由于x2＋x－1≥1，结合二次函数图象可知不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．（2）（a＋2）x2＋4x＋a－1>0，a＝－2不符合；当a≠－2时，由a＋2>0且Δ<0，得a>2.故a>2. （3）ax2＋x－a－1>0，即（x－1）（ax＋a＋1）>0.因为a<0，所以（x－1）<0，因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；当a＝－时，（x－1）2<0，解集为∅；当a<－时，1>－，解集为．6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.【答案】（1）原式可化为（x2－3x）a－2x＋6≤0，设f（a）＝（x2－3x）a－2x＋6≤0，则f（a）为关于a的一次函数，由题意∴解得∴x＝3.（2）原不等式可化为（x－3）（ax－2）≤0.那么由于a＝0表示的为一次函数，a≠0为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函数图形可知，需要整体分为a>0，a＝0，a<0来求解，那么对于a与的大小将会影响到根的大小，∴要将a 分为0<a<和a＝以及a>来得到结论，那么可知有：当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}；当0<a<时，原不等式的解集为；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝3}；当a>时，原不等式的解集为．题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}【答案】C【解析】∵不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，∴a＝5，b＝－6，∴不等式bx2－ax－1>0，即为－6x2－5x－1>0，∴6x2＋5x＋1<0，∴（3x＋1）（2x＋1）<0，∴－<x<－.8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}【答案】C【解析】由f（－1）＝f（3），知b＝－2，∴f（x）＝x2－2x＋1，∴f（x）>0的解集是{x|x≠1}，故选C.9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2【答案】C【解析】∵不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，∴－2，－为方程ax2＋bx－2＝0的两根，则根据根与系数关系可得－2＋（－）＝－，（－2）·（－）＝－，∴a＝－4，b＝－9，故选C.题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）【答案】D【解析】因为A＝{x|x≥或x≤－2}，B＝{x|x≥0或x<－3}，∴A∩B＝（－∞，－3）∪[，＋∞），故选D.11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}【答案】C题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）依题意得解得又n∈N*，所以n＝6.（2）s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5 040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？【答案】税率为P%时，销售量为（80－10P）万件，销售金额为f（P）＝80（80－10P），税金为g（P）＝80（80－10P）·P%，其中0<P<8.（1）由解得2≤P≤6.（2）∵f（P）＝80（80－10P）（2≤P≤6）为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额．（3）∵0<P<8，g（P）＝80（80－10P）·P%＝－8（P－4）2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最多，为128万元．题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－3【答案】C【解析】ax≥－(x2＋1)，a≥－(x＋)对一切x∈(0，]恒成立，当0<x≤时，－(x＋)≤－，∴a≥－，故选C.15.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)【答案】B【解析】由可求得－2<a<2.又当a＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)方法一⇒∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当m＝3时，x2－x－m＋1>0，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．(2)∵1>0，∴对任意的实数x，不等式x2－x－m＋1>0恒成立，则必须有(－1)2－4(－m＋1)<0，解得m<，∴实数m的取值范围是m<.19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)根据题意，由于－3<4x－4x2≤0，那么等价于－3<4x－4x2且4x－4x2≤0，先分析方程的根，结合二次函数图象可知，不等式的解集为(－，0]∪[1，)．(2)由于不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，那么可知，当m＝0时，－4<2x2＋4x，由于判别式小于零可知成立，恒大于零，不等式对任意x均成立；当m≠0时，要使不等式恒成立，只要开口向上，判别式小于零即可，得到－2<m≤2，且m≠0.综上可知－2<m≤2.。
2024届新高考数学复习：专项(二次函数与一元二次不等式)好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（二次函数与一元二次不等式）好题练习[基础巩固]一、选择题1．如果函数f(x)＝12(2－m)x2＋(n－8)x＋1(m>2)在区间[－2，－1]上单调递减，那么mn 的最大值为()A．16 B．18C．25 D．302．不等式x2＋3x－4>0的解集是()A．{x|x>1或x<－4}B．{x|x>－1或x<－4}C．{x|－4<x<1}D．{x|x<－1或x>4}3．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1，2)C．(1，2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是()A．{a|－4≤a≤4}B．{a|－4<a<4}C．{a|a≤－4或a≥4}D．{a|a<－4或a>4}5．已知函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值是5，最小值是1，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[2，4]C．(－∞，2] D．[0，2]6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240).每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台7．(多选)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为()A．－6 B．－5C．－4 D．08．当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m 的图象交点个数说法正确的是()A．当m∈[0，1]时，有两个交点B．当m∈(1，2]时，没有交点C．当m∈(2，3]时，有且只有一个交点D．当m∈(3，＋∞)时，有两个交点9．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是{x ⎪⎪x ≤－23 或x ≥12 } C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3 D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1二、填空题10．若0<a <1，则不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0， 则不等式f (x )≥x 2的解集为________．12．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．[强化练习]13．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞)14．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－6D ．若不等式的解集为∅，则k ≥6615．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >016．[2023ꞏ山东省实验中学模拟]某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15 ⎝⎛⎭⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数．若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，则k ＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L ，则速度x 的取值范围为________．参考答案1．B 因为m >2，所以函数f (x )的图象开口向下，所以8－n2－m≤－2，即8－n ≥－2(2－m )，所以n ≤12－2m ，故nm ≤(12－2m )m ＝－2m 2＋12m ＝－2(m －3)2＋18≤18，当且仅当m ＝3，n ＝6时等号成立，故选B.2．A 由x 2＋3x －4>0得(x －1)(x ＋4)>0，解得x >1或x <－4.故选A.3．C 由题意知－ba ＝1，即b ＝－a 且a >0. 则不等式(ax ＋b )(x －2)<0. 化为a (x －1)(x －2)<0. 故解集为(1，2).4．A 因为函数y ＝x 2＋ax ＋4的图象开口向上，要使不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a 2－16≤0.∴－4≤a ≤4.5．B f (x )＝x 2－4x ＋5可转化为f (x )＝(x －2)2＋1.因为函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，f (2)＝1，f (0)＝f (4)＝5， 且函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， 所以实数m 的取值范围为[2，4]，故选B. 6．C y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， 即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去). 7．CD 方法一 ∵x ∈[1，5]，∴不等式x 2＋ax －2>0化为a >2x －x ，令f (x )＝2x －x ，则f ′(x )＝－2x 2 －1<0， ∴f (x )在[1，5]上单调递减，∴f (x )min ＝f (5)＝25 －5＝－235 ，∴a >－235 .方法二 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根，于是不等式在[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得：a >－235 .8．B 设f (x )＝(mx －1)2，g (x )＝x ＋m ，其中x ∈[0，1]．A ．若m ＝0，则f (x )＝1与g (x )＝x 在[0，1]上只有一个交点(1，1)，故A 错误．B ．当m ∈(1，2]时，∵12 ≤1m ＜1，∴f (x )≤f (0)＝1，g (x )≥g (0)＝m ＞1，∴f (x )＜g (x )，即当m ∈(1，2]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象在x ∈[0，1]时无交点，故B 正确．C ．当m ∈(2，3]时，∵13 ≤1m ＜12 ，∴f (x )≤f (1)＝(m －1)2，g (x )≥g (0)＝m ，不妨令m ＝2.1，则f (x )≤1.21，g (x )≥ 2.1 ≈1.45，∴f (x )＜g (x )，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m ∈(3，＋∞)时，g (0)＝m ＞1＝f (0)，此时f (1)＞g (1)，此时两个函数图象只有一个交点，∴D 错误．9．BCD A 中，不等式2x 2－x －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12 ，A 不正确；B 正确；C 中，a >0，且21a ＝7，所以a ＝3，C 正确；D 中，－2＝q ，－p ＝q ＋1＝－2＋1＝－1，∴p ＝1，∴p ＋q ＝1－2＝－1，D 正确．故选BCD.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a 答案解析：∵0<a <1，∴a <1a ，∴不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 11．[－1，1]答案解析：当x ≤0时，由x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤2. ∴－1≤x ≤0，当x >0时，由－x ＋2≥x 2解得－2≤x ≤1， ∴0<x ≤1.综上，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1]. 12．(2，6)答案解析：由题意知m －2≠0 ∴m ≠2∵不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4>0的解集为R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，Δ<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，4（m －2）2－16（m －2）<0， 解得2<m <6. 13．ABCD 对于a (x －a )(x ＋1)>0，当a >0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a ，－1， 故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)； 当a <0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下，若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1<a <0，不等式的解集为(－1，a )， 若a <－1，不等式的解集为(a ，－1)， 综上，ABCD 都成立．14．ACD A 中，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25 ，A 正确；B 中，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0， 解得k ＝－6 ，B 错； C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0， 解得k <－6，C 正确； D 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0， 解得k ≥66 ，D 正确．15．C 方法一 若a ，b ，2a ＋b 互不相等，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，b ≤0，2a ＋b ≤0 时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝b ，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＝b ，2a ＋b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝2a ＋b ，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＝2a ＋b ，b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若b ＝2a ＋b ，则a ＝0，与已知矛盾；若a ＝b ＝2a ＋b ，则a ＝b ＝0，与已知矛盾． 综上，b <0，故选C.方法二 特殊值法：当b ＝－1，a ＝1时，(x －1)(x ＋1)(x －1)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝－1，a ＝－1时，(x ＋1)(x ＋1)(x ＋3)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝1，a ＝－1时，(x ＋1)(x －1)(x ＋1)≥0在x ≥0时不一定成立．故选C.16．100 [60，100]答案解析：由题意，当x ＝120时，15 ⎝⎛⎭⎫120－k ＋4 500120 ＝11.5， 解得k ＝100.由15 ⎝⎛⎭⎫x －100＋4 500x ≤9， 得x 2－145x ＋4 500≤0， 解得45≤x ≤100， 又∵60≤x ≤120. ∴60≤x ≤100.。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版附答案).docx
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅【例1】解下列不等式：（1）6x2＋5x＋1>0；（2）2x2＋7x＋3>0；（3）－2x2＋3x－2<0. （4）(x＋1)(x－7)≤2.【方法技巧】1. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．2. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．3. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．【针对训练】2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则x1＋x2,x1x2为何值？【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围．【方法技巧】1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c >0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c <0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ<0.3．f (x )≤a 恒成立⇔a ≥[f (x )]max ,f (x )≥a 恒成立⇔a ≤[f (x )]min .考点过关一、选择题A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C ．∅D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x 2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0},B ＝{x |x ∈N *,x ≤5},则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}3．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1} 4．不等式（x －2）2（x －3）x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}5．若0<t <1,则不等式(x －t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-t x 1<0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x t x 1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>t x t x x 或1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x t x x 或1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x x 1t 6．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3,a <0,那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}7．不等式组⎩⎨⎧x －1>a2x －4<2a有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)8．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎨⎧a>0Δ>0B ．⎩⎨⎧a>0Δ<0C ．⎩⎨⎧a<0Δ>0D ．⎩⎨⎧a<0Δ<09．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)D ．(－1,2)二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．12．当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立,则m 的取值范围是________．13．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0},B ＝{x |x －a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________．14．某地每年销售木材约20万m 3,每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗,决定按销售收入的t %征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t 的取值范围是________．15．不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 三、解答题16．求下列不等式的解集： （1）x 2－5x ＋6>0； （2）－12x 2＋3x －5>0.17．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.18．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． （1）解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； （2）b 为何值时,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?19．某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ,年用电量为a kw ·h .本年度计划将电价降低到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/kw ·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.（1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；20．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅（1）6x 2＋5x ＋1>0； （2）2x 2＋7x ＋3>0； （3）－2x 2＋3x －2<0. （4）(x ＋1)(x －7)≤2.[解] (1)由6x 2＋5x ＋1>0,得(2x ＋1)(3x ＋1)>0, ∴x >－13或x <－12,∴不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, (2)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0,所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3,x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0,所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. (4)由(x ＋1)(x －7)≤2,得x 2－6x －9≤0. 又x 2－6x －9＝(x －3)2－18, ∴原不等式化为(x －3)2－18≤0, ∴(x －3)2≤18, 即－32≤x －3≤32, 解得3－32≤x ≤3＋32,∴不等式的解集为[3－32,3＋32]． 【方法技巧】4. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．5. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．6. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】 解不等式： （1）x 2－4x －5≤0； （2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.[解]：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)原不等式可化为2292⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≤0,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=49x x (3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0,所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上,所以原不等式的解集为∅.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0,a <0,a >0三类进行讨论？②当a ≠0时,是否还要比较两根的大小？ [解] 当a ＝0时,原不等式可化为x >1. 当a ≠0时,原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0.当a <0时,不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0, ∵1a <1,∴x <1a或x >1. 当a >0时,原不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. 若1a <1,即a >1,则1a <x <1； 若1a ＝1,即a ＝1,则x ∈∅； 若1a >1,即0<a <1,则1<x <1a. 综上所述,当a <0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时,原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时,原不等式的解集为∅；当a >1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x .【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并． 【针对训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0, 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0,∴(x ＋1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2≤0. 当－2<a <0时,2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时,x ＝－1； 当a <－2时,－1≤x ≤2a .综上所述,当－2<a <0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12x a x ； 当a ＝－2时,解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤a x x 21-.考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ [提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合,亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理,满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3},满足y ＝0时x 的取值集合,亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y ＝0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程,当y >0或y <0时,就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ [提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3},观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则x 1＋x 2,x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－ba x1x2＝ca即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3},求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于abc 的方程组→错误!→错误!→错误![解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由根与系数的关系可知b a ＝－5,c a ＝6.由a <0知c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即x 2＋b cx ＋a c>0,即x 2－56x ＋16>0,解得x <13或x >12,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ,c ＝6a ,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131x x <0,故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131, 【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5,ca ＝6且a <0.∴c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2－bx ＋a >0,即x 2－b c x ＋a c <0,即x 2＋56x ＋16<0.解之得.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 知a ＜0.又31-×2＝c a＜0,则c ＞0. 又－13,2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,∴－b a ＝53,∴b a ＝－53.又c a ＝－23,∴b ＝－53a ,c ＝－23a , ∴不等式变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a ＜0, 即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0,∴2x 2＋5x －3＜0,所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x 法二：由已知得a ＜0 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-31＋2＝－b a,⎪⎭⎫ ⎝⎛-31×2＝ca知c ＞0,设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1,x 2, 则x 1＋x 2＝－b c ,x 1·x 2＝a c ,其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2＝－32,－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12＝－52,∴x 1＝1⎝⎛⎭⎫－13＝－3,x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x . 【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循： （1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； （3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】 解下列不等式： （1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.[解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3,∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1, ∴x ＋12x －3－1≤0, ∴－x ＋42x －3≤0, 即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x ≥0且x －32≠0,解得x <32或x ≥4,∴原不等式的解集为.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥<423x x x 或 【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.[解] (1)根据商的符号法则,不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧（x ＋1）（x －3）≥0x≠3.解这个不等式组,可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0,即2（x －1）x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0, 解得－1<x <1.所以,原不等式的解集为{x |－1<x <1}．考点5：一元二次不等式的应用【例5】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”,此时总收购量为m (1＋2x %)吨,“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )% ＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．依题意,得y ≥2 400m ×8%×78%,即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%,整理,得x 2＋42x －88≤0,解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义,知0<x ≤8,所以x 的范围为(0,2]．【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600),则中间草坪的长为(800－2x )m ,宽为(600－2x )m .根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600,整理得x 2－700x ＋600×100≥0,即(x －600)(x －100)≥0,所以0<x ≤100或x ≥600,x ≥600不符合题意,舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？[提示] 若a ＝0,显然f (x )>0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0,此时只有二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时,才满足题意,则⎩⎨⎧a ＞0Δ＝4－8a<0解得a >12.2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？[提示] 要使f (x )<0在[－3,－1]上恒成立,则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[－3,－1]上的图象在x 轴的下方,由f (x )的图象可知,此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）<0f （－1）<0即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0a －2<0 解得a <－2.故当a ∈(－∞,－2)时,有f (x )<0在x ∈[－3,－1]时恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？[提示] 由于本题中已知a 的取值范围求x ,所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数,求参数x 的取值问题,则令g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0g （－3）<0即⎩⎨⎧x2－2x ＋4<0x2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集,所以不存在实数x ,使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立． 【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解． [解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2,2]时的最小值为g (a ),则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,解得a ≤73,与a >4矛盾,不符合题意．(2)当－a 2∈[－2,2],即－4≤a ≤4时,g (a )＝3－a －a24≥0,解得－6≤a ≤2,此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,解得a ≥－7,此时－7≤a <－4.综上,a 的取值范围为－7≤a ≤2. 【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．[解] 若x ∈[－2,2],f (x )≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2,2]时,f (x )min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2f （x ）min ＝f （－2）＝7－3a≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥2或⎩⎨⎧－a2>2f （x ）min ＝f （2）＝7＋a≥2 解得a 的取值范围为[－5,－2＋22]．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围． 知识改变命运。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版).docx
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式A 组-[应知应会]1．（2020•广东学业考试）不等式270x x -<的解集是( ) A ．{|7x x <-或0}x > B ．{|0x x <或7}x > C ．{|70}x x -<<D ．{|07}x x <<【分析】不等式化为(7)0x x -<,求出解集即可．【解答】解：不等式270x x -<可化为(7)0x x -<,解得07x <<,所以不等式的解集是{|07}x x <<． 故选：D ．2．（2019春•浙江期中）不等式2560x x +->的解集是( ) A ．{|2x x <-或3}x > B ．{|23}x x -<<C ．{|6x x <-或1}x >D ．{|61}x x -<<【分析】把不等式化为(6)(1)0x x +->,求出解集即可．【解答】解：不等式2560x x +->化为(6)(1)0x x +->,解得6x <-或1x >,∴不等式的解集是{|6x x <-或1}x >．故选：C ．3．（2019秋•菏泽期末）不等式220x mx -+>的解集为{|1x x <或2}x >,则实数m 的值为( ) A ．2B ．3-C ．1D ．3【分析】利用一元二次不等式与对应方程的关系,即可求出m 的值． 【解答】解：不等式220x mx -+>的解集为{|1x x <或2}x >,所以方程220x mx -+=的实数解1和2, 由根与系数的关系知,123m =+=． 故选：D ．4．（2018秋•聊城期末）关于x 的不等式20x ax b ++的解集为{|3x x -,或1}x ,则(ab = ) A ．12B ．12-C ．6D ．6-【分析】利用韦达定理求出a ,b 的值即可求解；【解答】解：不等式20x ax b ++的解集为{|3x x -或1}x ,1212x x ax x b +=-⎧⎨=⎩； 2a ∴=,3b -； 6ab ∴=-．故选：D ．5．（2019•青岛三模）若不等式210ax ax +-的解集为实数集R ,则实数a 的取值范围为( ) A ．04aB ．40a -<<C ．40a -<D ．40a -【分析】讨论0a =和0a ≠时,求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【解答】解：0a =时,不等式210ax ax +-化为10-,解集为实数集R ；0a ≠时,应满足00a <⎧⎨⎩, 所以2040a a a <⎧⎨+⎩,解得40a -<；综上,实数a 的取值范围是40a -． 故选：D ．6．（2019春•南充期末）已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<,则不等式220x bx a ++<的解集为( )A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|1,2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或C ．{|21}x x -<<D ．{|2x x <-,或1}x >【分析】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<,220ax bx ++=的两根为1-,2,且0a <,根据韦达定理,我们易得a ,b 的值,代入不等式220x bx a ++< 易解出其解集． 【解答】解：不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<,220ax bx ∴++=的两根为1-,2,且0a <即12ba-+=-2(1)2a-⨯=解得1a =-,1b =则不等式可化为2210x x +-<解得1{|1}2x x -<<故选：A ．7．（2019秋•雨花区校级月考）某电商新售A 产品,售价每件50元,年销售量为11.8万件,为支持新品发售,第一年免征营业税,第二年需征收销售额%x 的营业税（即每销售100元征税x 元）,第二年电商决定将A 产品的售价提高50%1%x x -元,预计年销售量减少x 万件,要使第二年A 产品上交的营业税不少于10万元,则x 的最大值是( ) A ．2B ．5C ．8D ．10【分析】确定第二年A 产品年销售量及年销售收入的函数解析式,再根据第二年在A 产品上交的营业税不少于10万元,建立不等式,即可求得x 的最大值．【解答】解：依题意,第二年A 商品年销售量为(11.8)x -万件,年销售收入为50%(50)(11.8)1%x x x +--万元, 则第二年A 产品上交的营业税为50%(50)(11.8)%1%x x x x +--（万元）． 故所求函数为：50%(50)(11.8)%1%x y x x x =+--,(0)x >． 令50%(50)(11.8)%101%x x x x +--, 化简得212200x x -+,即(2)(10)0x x --,解得210x ．x ∴的最大值是10． 故选：D ．8．（多选）下列四个不等式中解集为R 的是( )A ．210x x -++B ．20x -C ．22340x x -+-<D ．26100x x ++>【分析】根据题意,利用判别式△判断一元二次方程根的情况,从而得出对应不等式解集的情况．【解答】解：对于A ,不等式210x x -++化为210x x --, 计算△1450=+=>,则不等式对应方程有两个不等的实数根, 所以原不等式的解集不是R ；对于B ,不等式20x ->中,计算△2040=-,则不等式对应方程有两个不等的实数根, 所以原不等式的解集不是R ；对于C ,不等式22340x x -+-<化为22340x x -+>, 计算△932230=-=-<, 则不等式对应方程没有实数根, 所以原不等式的解集是R ；对于D ,不等式2690x x ++>化为2(3)10x ++>,即2(3)1x +>-恒成立,所以原不等式的解集是R ． 故选：CD ．9．（2019秋•枣庄期中）已知不等式250x ax b -+>的解集为{|1x x <或4}x >,则a b += ．【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的实数根,利用根与系数的关系求出a 、b 的值,再求和． 【解答】解：根据不等式250x ax b -+>的解集为{|1x x <或4}x >,知方程250x ax b -+=的两个根是1和4, 则514a =+,14b =⨯,解得1a =,4b =； 所以5a b +=． 故参考答案为：5．10．（2019春•昆都仑区校级期中）设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是 ．【分析】对原不等式进行等价变形,利用根与系数的关系求出a 、b 的值,即可得出ab 的值．【解答】解：不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<,0a ∴<,∴原不等式等价于210ax bx ---<,由根与系数的关系,得113ba-+=-,113a -⨯=,3a ∴=-,2b =-, 6ab ∴=．故参考答案为：6．11．（2019春•凯里市校级期中）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|23}x x <<,则252b c a +++的最小值为 ．【分析】根据不等式的解集可得a ,b ,c 之间的关系,然后将252b c a +++用a 表示,再用基本不等式求其最小值即可．【解答】解：20ax bx c ++<的解集为{|23}x x <<,0a ∴>,5,6b ca a-==,则5b a =-,6c a =, ∴2525(2)222b c a a a ++=++-++,2(2)282a a +-=+, 当且仅当2522a a +=+,即3a =时取等号, 故252b c a +++的最小值为8． 故参考答案为：8．12．（2019•石景山区一模）已知集合{5A =-,1-,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个大众元素,这个不等式可以是 ．【分析】由题意知写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个大众元素,故不等式解集中的整数解只有一个在集合A 中即可．【解答】解：由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A 有且只有一个大众元素, 等式解集中的整数解只有一个在集合A 中即可．故不等式可以是(4)(6)0x x +->．解集为{|6x x >或4}x <-．解集中只有5-在集合A 中． 故参考答案为：(4)(6)0x x +->．13．（2019秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40/km h 的弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ,乙车的刹车距离略超10m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲,20.050.005s x x =+乙．则交通事故的主要责任方是 （填“甲”或“乙” )．【分析】先由题意列出不等式组,分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速,看它们是不是超速行驶,谁超速谁应负主要责任．【解答】解：由题意,解20.10.0112x x +>得,40x <-或30x >,0x >,30/x km h ∴>甲,解20.050.00510x x +>得,50x <-或40x >,0x >,40/x km h ∴>乙,∴乙车超过限速,应负主要责任．故参考答案为：乙．14．（2019秋•海淀区校级期中）解下列关于x 的不等式： （1）2280x x --； （2）2450x x ++>； （3）2x ax ．【分析】（1）根据2280x x --,得(4)(2)0x x -+,进一步得到不等式的解集；（2）由2245(2)11x x x ++=++,可知不等式2450x x ++>的解集为R ；（3）2x ax ,得2()0x ax x x a -=-,然后分0a =,0a >和0a <三种情况解一元二次不等式即可．【解答】解：（1）由2280x x --,得(4)(2)0x x -+, 所以24x -,所以不等式的解集为{|24}x x -；（2）因为2245(2)11x x x ++=++, 所以不等式2450x x ++>的解集为R ；（3）由2x ax ,得2()0x ax x x a -=-,所以当0a =时,0x =；当0a >时,0x a ；当0a <时,0a x , 所以当0a =时,不等式的解集为{0}； 当0a >时,不等式的解集为{|0}x x a ； 当0a <时,不等式的解集为{|0}x a x ．15．（2020春•福州期中）已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<．（1）若1m =-时,求不等式的解集；（2）若不等式的解集中恰有三个整数,求实数m 的取值范围． 【分析】（1）1m =-时不等式为2230x x --<,求出解集即可； （2）不等式化为()(3)0x m x --<,讨论m 的取值范围, 求出不等式的解集,从而求出符合题意的m 取值范围．【解答】解：（1）若1m =-,则不等式为2230x x --<,即(1)(3)0x x +-<；解得13x -<<,所以不等式的解集为{|13}x x -<<．（2）不等式2(3)30x m x m -++<,即为()(3)0x m x --<；①当3m <时,原不等式解集为(,3)m ,则解集中的三个整数分别为0、1,2, 此时10m -<；②当3m =时,原不等式解集为空集,不符合题意舍去；③当3m >时,原不等式解集为(3,)m ,则解集中的三个整数分别为4、5,6, 此时67m <；综上所述,实数m 的取值范围是1067m m -≤<<≤或．16．（2019秋•上饶期末）若关于x 的不等式2(1)460a x x --+<的解集是{|3x x <-或1}x >．（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式22(2)0x a x a +-->．【分析】（1）由题意知10a -<且3-和1是对应方程的两根,由根与系数的关系列方程求出a 的值； （2）由（1）化简不等式,求出解集即可．【解答】解：（1）由题意,知10a -<且3-和1是方程2(1)460a x x --+=的两根,所以10421631a a a ⎧⎪-<⎪⎪=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩,解得3a =．（2）由（1）得不等式22(2)0x a x a +-->, 即为2230x x -->, 解得1x <-或32x >． 故所求不等式的解集为{|1x x <-或3}2x >．17．（2019秋•会宁县期末）已知函数22()56()f x x ax a a R =-+∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若关于x 的不等式()2f x a 的解集为{|4x x 或1}x ,求实数a 的值．【分析】（1）不等式()0f x <化为(2)(3)0x a x a --<,讨论0a =、0a >和0a <时,求出对应不等式的解集；（2）不等式()2f x a 化为225620x ax a a -+-,由不等式的解集列方程求出a 的值．【解答】解：（1）不等式()0f x <,即22560x ax a -+<,可化为(2)(3)0x a x a --<,当0a =时,不等式为20x <,其解集为∅；当0a >时,23a a <,不等式的解集为{|23}x a x a <<；当0a <时,23a a >,不等式的解集为{|32}x a x a <<；（2）不等式()2f x a 可化为225620x ax a a -+-,由该不等式的解集为{|4x x 或1}x 知,1和4是不等式对应方程的两个实数根,所以21451462a a a +=⎧⎨⨯=-⎩, 解得1a =．18．（2019春•亭湖区校级月考）十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了更好的服务于人民,派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构,调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工,据预计,若能动员(0)x x >户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2%x ,而从事水果加工的农民平均每户收入将为92()50x a -,(0)a >万元 （1）若动员x 户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求x 的取值范围（2）在（1）的条件下,要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求a 的最大值【分析】（1）由题意可得：(100)2(12%)2100x x -⨯⨯+⨯,化简解得x 范围．（2）92()(100)2(12%)50x a x x --⨯⨯+,化为：4100125a x x++在(0,50)x ∈上恒成立．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：(100)2(12%)2100x x -⨯⨯+⨯,化为：2500x x -,解得050x <．（2）92()(100)2(12%)50x a x x --⨯⨯+,化为：4100125a x x++在(0,50)x ∈上恒成立． 4100410012192525x x x ++⨯=,当且仅当25x =时取等号． 9a ∴．故a 的最大值为9．B 组-[素养提升]1．（2020春•桥西区校级期中）不等式20ax bx c -+>的解集为{|12}x x -<<,那么不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为( )A ．{|03}x x <<B ．{|0x x <或3}x >C ．{|12}x x -<<D ．{|2x x <-或1}x >【分析】由不等式20ax bx c -+>的解集为{|12}x x -<<,求出a ,b ,c 的关系,代入要求解的不等式,然后求解即可．【解答】解：不等式20ax bx c -+>的解集为{|12}x x -<<,可得0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩并且0a < a b =,2a c -=代入不等式2(1)(1)2a x b x c ax ++-+>化为220x x --< 可得{|12}x x -<<,故选：C ．2．（2019春•安庆期末）若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的范围是 ． 【分析】利用一元二次不等式和函数之间的关系,利用判别式进行求解即可． 【解答】解：一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,0k ∴≠,且满足220342()08k k k <⎧⎪⎨=-⨯-<⎪⎩,即2030k k k <⎧⎨+<⎩,解得30k -<<,故参考答案为：30k -<<．3．（2020春•武侯区校级期中）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈．【分析】讨论△0>,△0=以及△0<时对应不等式的解集即可．【解答】解：关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中,△2242216a a =-⨯⨯=-,当4a >或4a <-时,△0>,对应的一元二次方程有两个实数根x =和x<,∴不等式的解集为{|x x <或x >；当4a =±时,△0=, 对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-,∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时,△0<,∴不等式的解集为R ；综上,4a >或4a <-时,不等式的解集为{|x x <或x >；4a =±时,不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时,不等式的解集为R ．知识改变命运。
高中试卷-专题2.3 二次函数与一元二次不等式(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题2.3 二次函数与一元二次不等式一、一元二次不等式的相关概念1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式2、一般形式：ax 2＋bx ＋c >0（≥0），ax 2＋bx ＋c <0（≤0），（其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数）3、一元二次不等式的解集使某一个一元二次不等式成立的x 的值，叫作这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
1 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 纯答案
答案：(1)× (2)√ (3)×解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .解析：选B.由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1x 2＝13×12＝c a，解得a ＝－6，c ＝－1. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <52解不含参数的一元二次不等式【解】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－3或x >－12. (2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.1．解析：选D.不等式－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x 2－x－3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，又二次函数y ＝2x 2－x －3的图象开口向上，所以不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32，故选D. 2．解：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >－2①，x 2－3x ≤10②，不等式①可化为x 2－3x ＋2>0，解得x >2或x <1.不等式②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5.故原不等式的解集为{x |－2≤x <1或2<x ≤5}．解含参数的一元二次不等式【解】 ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1.②当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1. ③当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 若a ＝1，即1a＝1时，不等式无解； 若a >1，即1a <1时，解得1a<x <1； 若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a. 综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1. 解：因为关于x 的不等式x 2＋x －a (a －1)>0，所以(x ＋a )(x ＋1－a )>0，当－a >a －1，即a <12时，x <a －1或x >－a ， 当a －1>－a ，即a >12时，x <－a 或x ＞a －1， 当a －1＝－a ，即a ＝12时，x ≠－12， 所以当a <12时，原不等式的解集为{x |x <a －1或x >－a }， 当a >12时，原不等式的解集为{x |x <－a 或x >a －1}， 当a ＝12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－12，x ∈R .三个“二次”之间的关系【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a<0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 解得－3<x <－2，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．若将本例中“⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2131|x x x 或”改为“{x |13<x <12}”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a >013＋12＝－b a 13×12＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ＝－56a <0，c ＝16a >0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得16ax 2＋56ax ＋a >0(a >0)， 即16x 2＋56x ＋1>0， 化简得x 2＋5x ＋6>0，解得x >－2或x <－3.所以所求不等式的解集为{x |x >－2或x <－3}．1．解析：选A.因为不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x ＜2}，所以1和2为方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以a ＋b ＝1＋2＝3，即a ＋b 的值为3. 2．解析：因为不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立．所以Δ＝(－a )2－8a <0，解得0<a <8.答案：0<a <8一元二次不等式的实际应用【解】 设DN 的长为x (x >0)m ，则AN 的长为(x ＋2)m.因为DN AN ＝DC AM ，所以AM ＝3（x ＋2）x， 所以S 矩形AMPN ＝AN ·AM ＝3（x ＋2）2x. 由S 矩形AMPN >32，得3（x ＋2）2x>32. 又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得0<x <23或x >6， 即DN 的长的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <23或x >6.1．解析：选C.由题意知y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．2．解：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m ，0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．1．解析：选A.因为3x 2－7x ＋2＝(x －2)(3x －1)<0，所以13<x <2. 2．解析：选A.原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －23(x －2)≤0，解得23≤x ≤2，故选A. 3．解析：要使17－6x －x2有意义，则7－6x －x 2>0，即(x ＋7)(x －1)<0， 所以－7<x <1.答案：－7<x <14．解析：由题意可列不等式如下： ⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 答案：3≤t ≤5[A 基础达标]1．解析：选C.①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C.2．解析：选A.不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.3．解析：选A.方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a . 因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.4．解析：选A.由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，则－1＋2＝－b a ，－1×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1.所以2x 2＋bx ＋a ＝2x 2＋x －1＜0，解得－1＜x ＜12. 5．解析：因为不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集为{}x |－7<x <－1，所以方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根为－7和－1，所以(－7)×(－1)＝21a，所以a ＝3. 答案：36．解析：因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集为{x |1＜x ＜m }．所以a >0，且1与m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根．则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，m ＝a ，即1＋m ＝6m . 所以m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，当m ＝－3时，a ＝m <0(舍去)，故m ＝2.答案：27．解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20.答案：208．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2>0；(2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1；(3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0.所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥1. (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R .9．解：(1)当m ＝3时，不等式为x 2－x －2>0，方程x 2－x －2＝0的两根为2和－1，根据函数y ＝x 2－x －2的图象，可知此不等式的解集为{x |x >2或x <－1}．(2)不等式x 2－x －m ＋1>0对任意实数x 恒成立，等价于二次函数y ＝x 2－x －m ＋1的图象在x 轴上方，即1－4(－m ＋1)<0，解得m <34， 所以实数m 的取值范围是m <34. [B 能力提升]10．解析：选A.因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D 选项．11．解析：方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，所以B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1a ＋1≥2，解得1≤a ≤2. 答案：1≤a ≤212．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8. 答案：2≤x <813．解：由于x 2＋3ax －4a 2<0可化为(x －a )·(x ＋4a )<0，且方程(x －a )(x ＋4a )＝0的两个根分别是a 和－4a . 当a ＝－4a ，即a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >－4a ，即a >0时，解不等式为－4a <x <a ；当a <－4a ，即a <0时，解不等式为a <x <－4a .综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >0时，不等式的解集为{x |－4a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |a <x <－4a }．[C 拓展探究]14．解：由题设条件应列式为－2x ＋118x 2≥22.5， 移项、整理、化简得不等式x 2－36x －405≥0.因为Δ>0，所以方程x 2－36x －405＝0有两个实数根x 1＝－9，x 2＝45，所以不等式的解为x ≤－9或x ≥45.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(原卷版附答案).pdf
【例 4】（1）（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知关于 x 的不等式 ax2 2x 3a 0 在
0, 2 上有解,则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ,
3 3
B．
,
4 7
C．
3 3
,
+
D．
4 7
,
（2）（2020·安徽金安。六安一中高一期中（理））若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0 在1 x 3 内有 解,则实数 a 的取值范围是（ ）
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形 式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终 大于或等于零,不等式的解集易得．
方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法 【一隅三反】
【参考答案】{x∣ 3„ x 2 或 0 x„ 1}．
x2 2x 1 1,
【解析】原不等式可化为
x2
2x
1„
2,
x2 2x 0,
x(x 2) 0,
即
x2
2x
3
0,
即
( x
3)(
x
1)„
0,
x 2或x 3„ x„ 1.
0,
如图,结合数轴,可得原不等式的解集为{x∣ 3„ x 2 或 0 x„ 1}．
4
【一隅三反】
1．（2019·山东济宁.高一月考）求关于 x 的一元二次不等式 x2 x a(a 1) 0 的解集．
2．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））解关于 x 的不等式 ax2 2(a 1)x 4 0(a R) ．
新高考数学复习考点知识与题型专题练习8---二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题练习 8 二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若26(8)0kx kx k -++≥（k 为常数）对一切x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <<C ．01k <≤D ．0k <或1k >【答案】A【解析】由已知得，当0k =时，原不等式为80≥，显然恒成立；当0k ≠时，需满足2364(8)0k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得01k <≤，所以k 的取值范围是01k ≤≤. 故选：A2．若0<m <1，则不等式(x －m )1()x m-<0的解集为（） A ．{}x m <B ．{x∣1x m>或}x m > C ．{x∣x m >或1x m ⎫>⎬⎭D ．1|x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵0<m <1，∴1m>1>m ， 故原不等式的解集为1x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选：D ． 3．与不等式302x x-≥-同解的不等式是（） A ．()()320x x --≥B ．021x <-≤C ．203xx -≥- D ．()()320x x -->【答案】B【解析】302x x -≥-，即()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x <≤， A 项：()()320x x --≥，解得23x ≤≤，不正确； B 项：021x <-≤，解得23x <≤，正确； C 项：203xx -≥-，即()()32030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得23x ≤<，不正确； D 项：()()320x x -->，解得23x <<，不正确， 故选：B.4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（） A ．{}1016x x ≤< B ．{}1218x x ≤< C ．{}1520x x << D ．{}1020x x ≤<【答案】C【解析】结合题意易知，30215400x x ，即2302000x x -+<，解得1020x <<， 因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销售单价x 的取值范围是{}1520x x <<， 故选：C.5．不等式222x x x --->0的解集为（）A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}【答案】A【解析】解析原不等式可化为()()10210202x x x x x +>-+⎧>⇒⎨-≠-⎩，解得x >－1且x ≠2． 故选：A ．6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －3）>0的解集是（）A ．{1x <-或}3x >B ．{x |－1<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x <1或x >3}【答案】A【解析】由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以（ax ＋b ）（x －3）＝a （x ＋1）（x －3）>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}. 故选：A7．若关于x 的不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．{}|2a a ≤- B ．{}|2a a ≥- C ．{}|6a a ≥- D ．{}|6a a ≤-【答案】A【解析】不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解等价于14x ≤≤时，2max (42)a x x ≤--.当14x ≤≤时，()2max422x x --=-，所以2a ≤-.故选：A.8．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（） A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x -<<D ．{2x x <-或}1x >【答案】A【解析】由题意可知：-1、2是关于x 的二次方程220ax bx ++=的两根，由韦达定理可得21212a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，不等式220x bx a ++>即为2210x x +->，解得1x <-或12x >． 因此，不等式220x bx a ++>的解集为{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．在一个限速40km/h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲､乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲=0.1x +0.01x 2，S 乙=0.05x +0.005x 2.则下列判断错误的是（） A ．甲车超速 B ．乙车超速 C ．两车均不超速 D ．两车均超速【答案】ACD【解析】设甲的速度为1x 由题得0.1x 1+0.0121x >12， 解之得140x <-或130x >； 设乙的速度为2x ， 由题得0.05x 2+0.00522x >10. 解之得x 2<-50或x 2>40.由于x >0，从而得x 1>30km /h ，x 2>40km /h . 经比较知乙车超过限速. 故选：ACD10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BCD【解析】解：当a ＝0时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x ≤0，解得0≤x ≤4，有5个整数解，∴A 错；当a ＝1时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +1≤0解得2x ≤2有3个整数解“1，2，3”，∴B 对；当a ＝2时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +2≤0，解得2x ≤22，有3个整数解“1，2，3”，∴C 对；当a ＝3时，一元二次不等式x 2﹣4x +a ≤0即为x 2﹣4x +3≤0，解得1≤x ≤3，有3个整数解“1，2，3”，∴D 对；故选：BCD ．11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【答案】BCD【解析】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下， 即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>， 又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确； 对D ，1ca=-，0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.12．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则能使不等式21()12()a x b x c ax ++-+<成立的x 可以为（） A ．{}|03x x << B ．{}|0x x < C ．{}|3x x > D ．{|2x x <-或}1x >【答案】BC【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<， 所以1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <， 所以121,122b ca a-=-+==-⨯=-. 则,2b a c a =-=-.由21()12()a x b x c ax ++-+<，得230ax ax -<， 因为0a <，所以230x x ->， 解得0x <或3x >，所以不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0x x <或3}x >. 故选：BC三、填空题：本题共4小题．13．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________． 【答案】{x |100<x <400} 【解析】解析5%<4%2007%200x x ⋅+⋅+<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．故答案为：{x |100<x <400}．14．一元二次不等式的一般形式：ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，其中a ，b ，c 均为____ 【答案】常数【解析】根据一元二次不等式的一般形式的相关概念可知，式中的参数a b c ，，均为常数 故答案为：常数. 15．在R 上定义运算：b a b c da d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________． 【答案】32【解析】由题意可知，()()()121211x a x x a a a x--=---++，不等式1211x a a x--≥+恒成立即()()()1211x x a a ---+≥恒成立，()()()1211x x a a ---+≥，()()2121x x a a --≥-+， 因为221551244x x x ⎛⎫--=--≥- ⎪⎝⎭，所以()()5214a a -≥-+，即2304a a --≤，解得1322a -≤≤，则实数a 的最大值为32， 故答案为：32. 16．在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．这次事故的主要责任方为________． 【答案】乙车【解析】解:由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10． 分别求解，得 x 甲<－40或x 甲>30． x 乙<－50或x 乙>40．由于x >0，从而得x 甲>30km /h ，x 乙>40km /h ． 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 故答案为:乙车.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知关于x 的不等式23208kx kx +-<.（1）若不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值；（2）若不等式23208kx kx +-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）18k =；（2）{}|30k k -<≤.【解析】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以0k ≠，且32-和1时关于x 的方程23208kx kx +-=的两个实数根，则338122k--⨯=，解得18k =. （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<恒成立，所以0k =或22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，即0k =或30k -<<， 则实数k 的取值范围为{}|30k k -<≤.18．232(,,)y ax bx c a b c R =++∈，若0,(32)0a b c a b c c ++=++>.求证：（1）方程2320ax bx c ++=有实数根；（2）若21b a -<<-，且12,x x 是方程2320ax bx c ++=1223x x ≤-<. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）若0a =，又0a b c ++=，则b c =-，2(32)0a b c c c ∴++=-≤，与已知矛盾，0a ∴≠.方程2320ax bx c ++=的判别式22(2)434(3)b a c b ac ∆=-⋅⋅=-，又知0a b c ++=，即()b a c =-+，22222134(3)4()4[()]024b ac a c ac a c c ∴∆=-=+-=-+>，故方程2320ax bx c ++=有实数根. （2）由题意得，12122,333b c a bx x x x a a a++=-==-， ∴22221212122244()43()()4(3)939b a b b b x x x x x x a a a a+-=+-=+=++22433431[()]()924923b b a a =++=++， 21b a -<<-，21214()39x x ∴≤-<，1223x x ≤-<. 19．设函数2y x mx n =++，已知不等式0y <的解集为{}|14x x <<. （1）求m 和n 的值；（2）若y ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）5,4m n =-=；（2）1a ≤-.【解析】（1）有题意得121,4x x ==是关于x 的方程20x mx n ++=的两个根， 所以12125,4m x x n x x -=+==⋅=，故5,4m n =-=；（2）由（1）得254y x x =-+，则254x x ax -+≥对任意0x >恒成立， 即45a x x≤+-，对任意0x >恒成立.又因为44x x +≥=（当且仅当2x =时，等号成立），所以451x x+-≥-， 所以1a ≤-.20．已知关于x 的不等式2220()x mx m m R -++≤∈的解集为M . （1）当M 为空集时，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求2251m m m +++的最小值；（3）当M 不为空集，且{}|14M x x ⊆≤≤时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|12m m -<<；（2）4；（3）18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）因为M 为空集，所以2244(2)02012m m m m m ∆=-+<⇒--<⇒-<<. 所以m 的取值范围为{}|12m m -<<；（2）由（1）可知12m -<<，则013m <+<，所以2225(1)4414111m m m m m m m ++++==++≥=+++，当且仅当4111m m m +=⇒=+等号成立，所以2252m m m +++的最小值为4.（3）设函数222y x mx m =-++，当M 不为空集时，由{}|14M x x ⊆≤≤，得22244(2)012201827482014m m m m m m m m ⎧∆=-+≥⎪-++≥⎪⇒≤≤⎨-++≥⎪⎪≤≤⎩. 所以实数m 的取值范围18|27m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.21．已知二次函数22y ax bx a =+-+.（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<<.求实数,a b 的值； （2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>. 【答案】（1）1a =-，2b =；（2）答案见解析.【解析】（1）因为关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}|13x x -<< 所以1-和3是方程220ax bx a +-+=的两根， 所以13213b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩， （2）当2b =时，220ax bx a +-+>即2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>，因为0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ 所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为1-和2a a -， 当21a a--<即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭， 当21a a--=即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-， 当21a a -->即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-， 综上所述：当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-， 当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a -⎫>⎬⎭. 22．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】{m |0<m ≤3}.【解析】p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为q 是p 的充分不必要条件，所以{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故12110mmm-≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得03m<≤.所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．。
二次函数与一元二次方程、不等式 练习(1)(解析版)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019北京高一期中）不等式x(x +2)<3的解集是（ ）． A ．{x|−1<x <3} B ．{x|−3<x <1} C ．{x|x <−1 ，或x >3} D ．{x|x <−3 ，或x >1} 【答案】B【解析】由题意x(x +2)<3，∴x 2+2x −3<0即(x +3)(x −1)<0，解得：−3<x <1， ∴该不等式的解集是{x|−3<x <1}，故选B ．2．（2019全国课时练习）已知集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0},则A ∪B = ( ) A ．[0,+∞) B ．(−∞,2] C ．[0,2)∪(2,+∞) D ．R 【答案】A【解析】∵集合A ={y|y −2>0}，集合B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， ∴A ∪B ={x|x ≥0}= [0,+∞)，故选A.3．（2019全国课时练习）不等式2620x x --+≤的解集是（ ）A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】22620620(21)(32)0x x x x x x --+≤⇒+-≥⇒-+≥2132或x x ⇒≤-≥．故选B ．4．（2019·安徽高一期中）若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ） A ．(1,2)- B ．(2,1)-C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-【答案】A【解析】由230ax bx ++>解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：()11122311122ba a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得：63a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求不等式为：23360x x --<，解得：()1,2x ∈- 本题正确选项：A5．（2019天津高一课时练习）在R 上定义运算⊗:a ⊗b =ab +2a +b ，则满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2)B ．(−2,1)C ．(−∞,−2)∪(1,+∞)D ．(−1,2)【答案】B【解析】由定义运算⊙可知不等式x ⊙（x －2）＜0为x(x −2)+2x +x −2<0，解不等式得解集为（－2,1）6．（2019全国高一课时练习）一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）A.（﹣3，0）B.（﹣3，0]C.[﹣3，0]D.（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞） 【答案】A【解析】由一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则，解得﹣3＜k ＜0．综上，满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0）． 故选A ． 二、填空题7．（2019全国高三课时练习）不等式220x x +-<的解集为___________． 【答案】()2,1-【解析】不等式220(2)(1)0x x x x +-<⇔+-<的解集为()2,1-.8.（2019广州市培正中学高二课时练习）若关于x 的不等式 −12x 2+2x >mx 的解集是{x|0<x <2}，则实数m 的值是_____________． 【答案】1.【解析】∵不等式−12x 2+2x >mx 的解集为{x|0<x <2}，∴0,2是方程−12x 2+(2−m )x =0的两个根，∴将2代入方程得m =1，∴m =1，故答案为1.9.（2019天津高一课时练习）如果关于x 的不等式5x 2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是____. 【答案】[80,125)【解析】由题意知a >0,由5x 2-a ≤0,得−√a5≤x ≤√a5,不等式的正整数解是1,2,3,4,则4≤√a5<5,∴80≤a <125.即实数a 的取值范围是[80,125).10．（2019·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】4m <【解析】240x mx -+>，且()1,3x ∈，所以原不等式等价于24x m x+<，不等式恒成立，则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由2444x x x x +=+≥=，当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以正确答案为4m <。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精炼)(解析版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题组一 解无参数的一元二次不等式】 解下列不等式：（1）2340x x -->； （2）2 120x x --≤； （3）2340x x +->； （4）2 1680x x -+≤． （5）12-x 2＋3x －5＞0 （6）－2x 2＋3x －2＜0； （7）－2＜x 2－3x ≤10．【答案】（1）{|1x x <-或4}3x >；（2）{|34}x x -≤≤；（3）{|4x x <-或1}x >； （4）{|4}x x =.(5)∅(6)R(7)[－2，1)∪(2，5]【解析】（1）由题意，不等式234(1)(34)0x x x x --=+->，则不等式的解集为{|1x x <-或4}3x >；（2）由题意，不等式212(4)(3)0x x x x --=-+≤，则不等式的解集为{|34}x x -≤≤； （3）由题意，不等式234(4)(1)0x x x x +-=+->，则不等式的解集为{|4x x <-或1}x >； （4）由题意，不等式22(468) 10x x x =--+≤，则不等式的解集为{|4}x x =；（5）原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅（6）原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R（7）原不等式等价于2232310x x x x ⎧->-⎪⎨-≤⎪⎩①②，①可化为x 2－3x ＋2＞0，解得x ＞2或x ＜1②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5] 【题组二 解有参数的一元二次不等式】1．（2020·安徽金安 六安一中高一期中（理））设函数2()(1)1f x mx m x =-++．（1）若对任意的x ∈R ，均有()0f x m +≥成立，求实数m 的取值范围； （2）若0m >，解关于x 的不等式()0f x <． 【答案】（1）13m ≥；（2）答案见解析．【解析】（1）由题意得，()0f x m +≥对任意的x ∈R 成立， 即2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x ∈R 成立， ①当0m =时，10x -+≥，显然不符合题意；②当0m ≠时，只需00m >⎧⎨∆≤⎩，即()()201410m m m m >⎧⎪⎨+-+≤⎪⎩， 化简得()()03110m m m >⎧⎨-+≥⎩，解得13m ≥，综上所述，13m ≥. （2）由()0f x <得2(1)10mx m x -++<，即(1)(1)0x mx --<，①当1m =时，2(10)x -<，解集为∅；②当1m 时，11m <，解集为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当01m <<时，11m >，解集为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭． 2．（2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末）解关于x 的不等式：()2220ax x ax a -≥-<.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得()2220ax a x +--≥，即()()120x ax +-≥.∵0a <，∴()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭当20a -<<时，21x a≤≤- 当2a =-时，1x =- 当2a <-时，21x a-≤≤ 综上所述：当20a -<<时，解集为21xx a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭当2a =-时，解集为{}1x x =-当2a <-时，解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭3．（2019·四川仁寿一中高一月考）设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【答案】详见解析 【解析】①时，恒成立．②0m >时，不等式可化为()()310mx mx +-<，即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m -<，此时不等式的解集为31|x x m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；③当0m <时，不等式可化为()()310mx mx +-<，即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m ->，此时不等式的解集为13|x x mm ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；4．（2020·上海高三专题练习）解关于x 的不等式：()()2220mx m x m R +-->∈. 【答案】见解析【解析】（1）当0m =时,(),1x ∈-∞-;（2）当0m ≠时,原不等式化为()()210mx x -+>. ①当0m >时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭.()2,1,x m ⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.②当0m <时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. a.当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭；b .当2m =-时，x ∈∅；c .当2m <-时，21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述：①当2m <-时,21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； ②当2m =-时,x ∈∅;③当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭； ④当0m =时,(),1x ∈-∞-; ⑤当0m >时,.()2,1,x m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 5．（2020·上海高一课时练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a-++>．【答案】见解析【解析】将不等式()2230x a ax a-++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >； 当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠； 当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；6（2020·浙江高一课时练习）解关于x 的不等式：10ax x a->-． 【答案】答案见解析.【解析】当0a =时，不等式化为10x->，解得0x <； 若0a >，则原不等式可化为10a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭>-，1()()0x a x a-->， 当01a <<时，1a a <，解得x a <或1x a>， 当1a =时，不等式化为2(1)0x ->，解得x ∈R 且1x ≠，当1a >时，1a a>，解得1x a <或x a >；若0a <，则不等式可化为1(0)()x a x a--<当1a <-时，1a a <，解得1a x a<<，当1a =-时，不等式可化为2(1)0x +<，其解集为∅， 当10a -<<时，1a a >，解得1x a a<<．综上，当1a <-时，不等式的解集为1xa x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣; 当1a =-时，不等式的解集为∅；当10a -<<时，不等式的解集为1xx a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣; 当0a =时，不等式的解集为{0}xx <∣; 当01a <<时，不等式的解集为{xx a <∣或1}x a>; 当1a =时，不等式的解集为{x x R ∈∣且1}x ≠； 当1a >时，不等式的解集为{1xx a<∣或}x a >． 7．（2020·上海高一课时练习）解下列含参数的不等式： （1）2220x ax a --<； （2）()2110ax a x -++≤；（3）230x mx m --≤．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）原不等式等价于()()20x a x a -+<， 对应方程两根为212,x a x a ==-， 比较两根的大小情况，可得当0a >时，不等式的解集为(),2a a -； 当0a =时，不等式的解集为∅； 当0a <时，不等式的解集为()2,a a -．（2）当0a =时，不等式化为10x -+≤．解得[)1,x ∈+∞．当0a ≠时，方程()2110ax a x -++=的两根为11x =，21x a=． ①0a >时，分情况讨论：01a <<时，11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；1a =时，{}1x ∈； 1a >时，1,1x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．②0a <时，[)1,1,x a⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦．综上，当1a >时，不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当1a =时，不等式的解集为{}1； 当01a <<时，不等式的解集为11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当0a =时，不等式的解集为[)1,+∞；当0a <时，不等式的解集为[)1,1,a⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦．（3）()21212m m m m ∆=+=+．①>0∆，即0m >或12m <-时，不等式的解集为66m m ⎡-+⎢⎢⎥⎣⎦；②0∆=，即0m =或12=-m 时， 不等式的解集为6m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； ③∆<0，即120m -<<时，不等式的解集为∅. 【题组三 三个一元二次的关系】1．（2020·全国高一开学考试）关于x 的不等式230x ax +-<，解集为3,1-（），则不等式230ax x +-<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2-（）C ．1(,1)2-D ．()3,12-【答案】D【解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =,所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选：D 2．（2020·全国高一课时练习）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤-或4m ≥ B ．54m -<≤- C ．54m -≤≤- D ．52m -<<-【答案】B【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意； 当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意. 故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >， 则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-. 故选B.3．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集 .【答案】{|23}x x -<<.【解析】由题意，不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根， 由根与系数的关系得112311()23p q⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解得11,66p q ==-所以不等式210qx px ++>，即为2111066x x -++>， 整理得260x x --<，解得23x -<<即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<.4．（2020·上海高一开学考试）关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根0m ≠且>0∆，即：()22214410m m m +-=+>且0m ≠，解得14m >-且0m ≠.故选：D. 5．（2019·山东济宁.高一月考）已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ） A ．{2|x x a <，或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <，或2x a ⎫>⎬⎭ D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->，由于0a <，故不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选B. 6．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<. （1）求,a b 的值；（2）求关于x 的不等式220bx ax -->的解集． 【答案】（1）1,1a b =-=；（2）{}21x x x -或.【解析】（1）关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<， ∴0a <，且﹣1和2是方程220ax bx ++=的两实数根，由根与系数的关系知，12212b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1,1a b =-=；（2）由（1）知，1,1a b =-=时，不等式220bx ax -->为220(2)(1)012x x x x x x +-=⇒+->⇒><-或， ∴不等式220bx ax -->的解集是{}21x x x -或.7．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围． 【答案】（1）25k =-（2）6k <-（3）k ≥【解析】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根, 由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-； (2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ∆=-<<,解得6k <-(3)不等式的解集为∅,得24240,0k k ∆=-≤>,解得k ≥ 8．（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若该方程的两根分别为12,x x ，且满足12122x x x x +=，求k 的值.【答案】（1）(,1)-∞；（2）0k =.【解析】（1）由题意方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根，则满足()()2222[21]4148444880k k k k k k ∆=----=-+-+=-+>，解得1k <，即实数k 的取值范围是(,1)-∞； （2）由（1）可知1k <，又由一元二次方程中根与系数的关系，可得()21212211x x k x x k +=-=-,，因为12122x x x x +=，所以()22122k k -=-，整理得2k k =，解得1k =（舍去）或0k =，所以0k =.9（2020·浙江高一课时练习）已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠． （1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-；（2）6k =-；（3）6k <-；（4）6k ≥． 【解析】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<， 且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =．（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得k <．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得6k ≥． 【题组四 一元二次恒成立问题】1．（2020·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________．【答案】4m <【解析】240x mx -+>，且()1,3x ∈，所以原不等式等价于24x m x +<，不等式恒成立，则24minx m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由2444x x x x +=+≥=，当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以正确答案为4m <． 2．（2020·全国高一课时练习）对任意x ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值总为非负，则m 的取值范围为________.【答案】{0}【解析】由题意知∆＝(m －4)2－4(4－2m )= m 2≤0，得m ＝0.故答案为：{}0.3．（2020·江西高一期末）对任意实数x ，不等式()22130x k x k ++++>恒成立，则k 的取值范围是______． 【答案】21k -<<【解析】∵()22130x k x k ++++>对任意实数x 恒成立，2x 的系数10> ∴()()241430k k ∆=+-+<，解得：21k -<<，∴k 的取值范围是：21k -<<．故答案为：21k -<<．4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为__________________.【答案】(3,0]-【解析】当0k =时，308-<，满足题意； 当0k ≠时， 则00k <⎧⎨∆<⎩，即2034?2?08k k k <⎧⎪⎨+<⎪⎩解得：30k -<<，综上：30k -<≤.故答案为：(3,0]-.5．（2019·天津河西 高二期中）已知函数()f x =22,x ax a R ++∈.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求不等式()21f x x ≥-的解集；（2）若对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x ≥或1}2x ≤；（2）1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）{}|01a a ≤<. 【解析】（1）由220x ax ++≤的解集是[]12，，可得220x ax ++=有2个不等的实根1和2， 由韦达定理1212b x x a a +=-=-=+，可得3a =- 此时()21f x x ≥-等价于22321x x x -+≥-，即22310x x -+≥，解得1x ≥或12x ≤所以不等式()21f x x ≥-的解集是{|1x x ≥或1}2x ≤；（2）对于任意的[]1,1x ∈-，不等式()()214f x a x ≤-+恒成立，也即2220x ax a -+-≤ 对任意的[]1,1x ∈-恒成立，因为222y x ax a =-+-二次函数开口向上，最大值在1x =或1x =-处取得，所以只需满足12201220a a a a -+-≤⎧⎨++-≤⎩，解得：113a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，据此可得13a ≤； 综上可得，实数a 的取值范围是：1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. （3）若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解， 可得到()21210a x x -+-=在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有实数根. 参数分离得21211,,32a x x x ⎛⎤-=-∈ ⎥⎝⎦，则11,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 结合二次函数的性质可得[)2121,0x x -∈-， 所以[)11,0a -∈-，也即01a ≤<.综上可得，实数a 的取值范围是：{}|01a a ≤<.6．（2020·浙江宁波.高一期末）已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈-+-+≥=-∞-⋃+∞． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅰ）已知(),2t ∈-∞，若不等式()22234150x k x k m m -+--++≥在4t x ≤≤上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅰ）[]1,5-.【解析】（Ⅰ）由题意可知，1-和5是方程()22310x k x k -+-+=的两个根，所以由韦达定理得152531k k -+=+⎧⎨-=-+⎩， 故实数2k =. （Ⅰ）由2k =，原不等式可化为224940x x m m -+-+≥，所以22449x x m m -≥--在()42t x t ≤≤<上恒成立，令()22424y x x x =-=--，因为()42t x t ≤≤<，所以min 4y =-，所以不等式恒成立等价于2494m m --≤-，故由2450m m --≤，解得：15m -≤≤，故实数m 的取值范围为：[]1,5-.【题组五 实际运用题】1．（2019·全国高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈ 【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则()()21602500302130500y x x x x x =-⋅-+=-+-，080x <<，N x +∈， 根据题意，可得221305001300x x -+-≥，解得2045x ≤≤，故当2045x ≤≤，且N x +∈时，每天获得的利润不利于1300元.故选B.2．（2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考（文））某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件x 元,利润为y则(8)[10010(10)]y x x =---依题意,得(8)[10010(10)]320x x --->即2281920x x -+<,解得1216x <<所以每件销售价应定为12元到16元之间故选:C3．（2020·沙坪坝 重庆八中高一期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：27002900v y v v =++（0v >）. （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？【答案】（1）当30km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .【解析】（1）依题得2700700700350900290062312v y v v v v ==≤==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 当且仅当900v v=，即30v =时，上时等号成立， max 35031y ∴=（千辆/时）. ∴当30km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时； （2）由条件得2700102900v v v >++，因为229000v v ++>， 所以整理得2689000v v -+<，即()()18500v v --<，解得1850v <<.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h . 4．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（01x <<），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【答案】（1）26000200020000y x x =-++，(01)x <<；（2）1(0,)3． 【解析】（1）由题意得：[12(10.75)10(1)]10000(10.6)y x x x =+-+⨯⨯+，(01)x <<，整理得：26000200020000y x x =-++，(01)x <<（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须(1210)100000y --⨯>，(01)x << 即2600020000x x -+>，(01)x <<． 解得103x <<，所以投入成本增加的比例应在1(0,)3范围内．。
2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(真题测试)解析版
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。
2022年高考数学一轮复习专题2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(含答案解析)
专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3.培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.（2）二次函数的图象和性质在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减函数的图象关于x＝－对称2.一元二次不等式的概念及形式（1）概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0).（3）一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.（2）三个“二次”之间的关系：{x|x≠－}3.不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题（1）ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足； （2）ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足； （3）ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足； （4）ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足.2.含参数的一元二次不等式恒成立.若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式.则可以转化为函数值域求解.设f (x )的最大值为M ，最小值为m .（1）k <f (x )恒成立∅k <m ，k ≤f (x )恒成立∅k ≤m . （2）k >f (x )恒成立∅k >M ，k ≥f (x )恒成立∅k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.1. 已知二次函数()f x 满足()21,(1)1f f =--=-，且()f x 的最大值是8，求二次函数()f x 的解析式．【答案】()2447f x x x =-++【解析】【分析】设()2(0)f x ax bx c a =++≠，由()21,(1)1f f =--=-，且()f x 的最大值是8，列出方程组，求得,,a b c 的值，即可求解.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠，因为()21,(1)1f f =--=-，且()f x 的最大值是8，则24211484a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩，解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求二次函数为()2447f x x x =-++.【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，其中解答中熟记二次函数的解析式的形式，以及二次函数的性质，合理利用待定系数求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）2. 已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有11()()22f x f x +=-成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1).（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33[,]22m n ，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；1,22m n ==. 【解析】【分析】（1）根据11()()22f x f x +=-，得到函数()f x 图象的对称轴为12x =，利用其最小值，设出二次函数的顶点式，根据函数图象过(0,1)，即可求出解析式； （2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，根据（1）函数值的范围，求出m的取值范围，利用函数单调性，建立,m n 等量关系式，求解即可.【详解】（1）因为11()()22f x f x +=-，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()()24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意， 由（1）得331,242m m ≥≥，而()f x 在1[,)2+∞上递增，所以()f x 在[,]m n 单调递增，3()23()2f m m f n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =在1[,)2+∞上两不等实根， 即2312x x x -+=，整理得25102x x -+=，解得121,22x x ==， 所以1,22m n ==. 【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，涉及到的知识点有二次函数解析式的求解，二次函数在某个闭区间上的值域，属于中档题目.高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）3. 对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法．【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））4. 函数21y x x =--的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法，带入数值计算函数值，验证图像的正确性 【详解】当1x =-时， 1|11|1y =---=-,所以舍去A ,D , 当2x =时， 1|24|1y =--=-,所以舍去B , 综上选C ..【点睛】利用特殊值法来分析图像的正确性高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））5. 若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是A. (－∞，8]B. [40，＋∞)C. (－∞，8]∪[40，＋∞)D. [8，40]【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系得到k 的取值范围∅【详解】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =∅且抛物线的开口向上，∅函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∅18k≤或58k ≥∅解得8k ≤或40k ≥∅∅实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【点睛】二次函数在给定区间上的单调性依赖于两个方面，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系∅解决二次函数单调性的问题时，要根据这两个方面求解即可∅本题考查数形结合的思想方法在数学中的应用∅【总结提升】研究二次函数单调性的思路（1）二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.（2）若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ∅，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧).【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)6. 已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是（ ）A. [B.C. [2，3]D. [1，2]【答案】B 【解析】【分析】由函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在(－∞，1]上递减，可得t ≥1，从而可得f (x )在[0，t ＋1]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，进而得1－(－t 2＋1)≤2，从而求出t 的取值范围【详解】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1， 要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]， 都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得t ≤≤又t ≥1，∴1t ≤≤. 故选：B【点睛】此题考查了二次函数的性质，属于基础题.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z 20)2019届联考）】7. 设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈，当[2,2]x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.【答案】258【解析】【分析】若去掉绝对值可得()()()2=±+±+f x x a x b ，可知()f x 的最大值为()2f -，2f （），12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一，将四个不等式相加使用绝对值三角不等式可得结果. 【详解】去绝对值，则()2()()f x x a x b =±+±+，根据二次函数的性质所以()f x 在[]22-，的最大值为()2f -，()2f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭中之一， 所以可得(,)(2)|4||2|M a b f a b ≥-=++-+，(,)(2)|4||2|M a b f a b ≥=+++，111(,)242M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭，111(,)242M a b f a b ⎛⎫≥-=++-+ ⎪⎝⎭，上面四个式子相加可得1114(,)2|4||2||2|422M a b a a b b b b ⎛⎫⎛⎫≥++++-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11125,24|22|4222⎛⎫≥-++++= ⎪⎝⎭M a b 即有25(,)8M a b ≥， 可得(),M a b 的最小值为258. 故答案为：258. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查分析能力，属中档题.【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略（1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动.（2）解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））8. 若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】【分析】只要满足213max (23)2a x x --++≤，求出最值，解不等式，即可求出实数a 的最大值【详解】：设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可．22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、指数函数的单调性．高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））9. 已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩ 当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】 (1). 3- (2). 1[,1]4【解析】【分析】第一空：根据二次函数图象性质确定各段最小值，即得()f x 的最小值，第二空：先分段讨论，再利用变量分离法转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数性质取最值，即得结果.【详解】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩， －3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2， 0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14， 所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]4 【点睛】本题考查分段函数性质以及其二次函数性质，考查分类讨论思想方法、变量分离以及基本求解能力，属中档题.【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：（1）a ≥f (x )恒成立∅a ≥f (x )max ；（2）a ≤f (x )恒成立∅a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）10.已知函数2,0()0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩.若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,3][1,)-∞-⋃-+∞【解析】【分析】当0x =时，显然不成立，当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为11a x x ≤+-，利用基本不等式得出1x x+的最大值，从而得出213a ≤--=-，当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为211a⎫≥-⎪⎭，由二次函数的性质得出1a ≥-，即可得出答案.【详解】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+- 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立，当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤ 即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(,3][1,)-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上有解的问题，属于中档题. 高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））11. 已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =；（2）(1,2].【解析】【分析】（1）由()f x 的值域为[0,)+∞，可得22min 11()10242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，从而可求出a 的值，进而可求出关于x 的方程()4f x =的解；（2）22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点等价于方程22[()]2()10f x mf x m -+-=在[2,1]-上有三个不同的根，而22[()]2()10f x mf x m -+-=时，有()1f x m =+或()1f x m =-，结合图像可得114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，从而可求出m 的取值范围 【详解】（1）因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以22min 11()10242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则2(1)2f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =；（2）22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点等价于方程22[()]2()10f x mf x m -+-=在[2,1]-上有三个不同的根.因为22[()]2()10f x mf x m -+-=，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以2(1)2f x x x =++.结合()f x 在[2,1]-上的图像可知，要使方程22[()]2()10f x mf x m -+-=在[2,1]-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[2,1]-上有一个实数根，()1f x m =-在[2,1]-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤. 故m 的取值范围为(1,2].【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，考查了函数与方程，考查了函数的零点，考查了数形结合的思想，考查了运算能力，属于中档题.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标.2.注意灵活运用根与系数的关系解决问题.【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）12. 已知二次函数()()223f x ax b x =+-+，且1,3-是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤；（2）若()()sin g x f x =，求函数()g x 的值域【答案】（1）()223f x x x =-++；{}|02x x x ≤≥或；（2）()[]0,4g x ∈.【解析】【分析】（1）根据()f x 的零点求出a ，b 的值，得出函数()f x 的解析式，然后解二次不等式即可；（2）利用换元法，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，然后结合二次函数的图象及性质求出最值.【详解】（1）由题意得213313b a a -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩ 所以()223f x x x =-++∴ 当2233x x -++≤时，即220x x -≥，∴{}|02x x x ≤≥或.（2）令sin t x =,则()()222314g t t t t =-++=--+，[]1,1t ∈-， 当1t =-时，()g t 有最小值0，当1t =时，()g t 有最大值4，故()[]0,4g t ∈.【点睛】本题考查二次函数的解析式求解、值域问题以及一元二次不等式的解法，较简单.解答时只要抓住二次方程、二次函数、二次不等式之间的关系，则问题便可迎刃而解.高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））13. 若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】将不等式化为2226x x ax b x x -+≤+≤-+，令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若b 最大，则y ax b =+恒过()1,5A 且与()f x 相切；联立直线与()f x 方程，利用0∆=求出切线斜率，即为a 的值，从而求得b 的最大值.【详解】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x -+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a =+-联立252y ax a y x x=+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-= ()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a < 4a ∴=- ()max 549b ∴=--=本题正确选项：A【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值. 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：（1）a ≥f (x )恒成立∅a ≥f (x )max ；（2）a ≤f (x )恒成立∅a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））14. 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(),1-∞-【解析】【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.高频考点八：二次函数的综合应用例8.（2016·上海市松江二中高三月考）15. 设()||2()f x x x a x a R =-+∈.(1) 若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值；(2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[2,4]a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）max ()9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2(,)2a +-∞，(,)a +∞，单调减区间2(,)2a a +；（3）918t <<. 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，利用函数的单调性，即可求出结论；（2）去绝对值化简函数解析式，根据对称轴与a 的大小关系以及抛物线的开口方向，即可得出函数的单调区间；（3）要使方程有三个不相等的实数解，()f x 要有三个单调区间，结合（2）的讨论，确定出a 的范围，然后()tf a 要在()f x 的极小值和极大值之间，从而建立,a t 不等量关系，分离参数t ，转化为t 与关于a 的新函数在确定的范围内的最值关系，即可得出结论.【详解】（1）当2a =时，224,2()22,2x x x f x x x x x x ⎧-+<=-+=⎨≥⎩, ()f x ∴在R 上为增函数，()f x ∴在[0,3]上为增函数，则max ()(3)9f x f ==；（2）22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a ⎧-++<=⎨+-≥⎩,2a >, 022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，()f x ∴在(,)a +∞为增函数 , 当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<, ()f x ∴在2(,)2a +-∞为增函数，在2(,)2a a +为减函数 , ()f x 的单调增区间为2(,)2a +-∞，(,)a +∞，单调减区间2(,)2a a +； （3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 在R 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得2()()()2a f a tf a f +<<,2(2)224a a at +<<,即2(2)18a t a+<<在(2,4]有解， 由2(2)118822a a a a +=++在(2,4]上为增函数, 当4a =时，2(2)8a a +的最大值为98,则918t <<. 【点睛】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，通过分离参数可转化为参数与新函数的最值关系，求解新函数的最值即可.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解. 【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）16. 已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x -≥在21[,1)e 上恒成立，求n 的取值范围. 【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠ ；（2）52n ≥-. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合(2)y f x =-是偶函数的条件，列出等量关系，求得6m =，得到2()4f x x x =+，进而求得6()4(0)g x x x x=-+≠； （2）令ln x t =，换元，之后将恒成立问题转化为求最值解决，进而求得结果.【详解】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--，∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数，∴60m -=，∴6m =，∴()246f x x x =+-， ∴6()4(0)g x x x x=-+≠. （2）令ln x t =， ∵21[,1)x e ∈，∴[2,0)t ∈-， 不等式(ln )ln 0g x n x -≥在21[,1)e 上恒成立， 等价于()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立， ∴2264646411t t n t t t t t-+≥=-+=-++. 令26411,z s t t t=-++=，则12s ≤-， 256412z s s =-++≤-， ∴52n ≥-. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据偶函数求函数解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，注意分离参数转化为参数与新函数的最值关系，属于中档题目.。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(答案版)
1. 一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式是0022<++>++c bx ax c bx ax 或。
2. 二次函数的零点：一般地，对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，我们把使02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点。
3.一元二次不等式的解与解集：使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解集，其解的集合，称为一元二次不等式的解集。
4. 解一元二次不等式常用的方法（1）因式分解法：一般地，如果21x x <，则不等式0)(21<--x x x x ）（的解集是21x x x <<；不等式0)(21>--x x x x ）（的解集是21x x x x <>或。
（2）配方法：一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 通过配方总是可以变为k h x k h x <->-22）或（）（的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
（3）判别式法： 5. 三个“二次”的关系6. 一元二次方程恒成立问题（1）一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解；（2）一元二次不等式f(x)≥0在[]b a x ,∈上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值等于0，从而求参数的范围。
二次函数与一元二次方程、不等式知识讲解（3）一元二次不等式对于参数[]b a m ,∈恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。
一、选择题1．不等式()()120x x -->的解集为（ ） A ．{}12x x x <>或B ．{}|12x x <<C ．{}21x x x <->-或D ．{}|21x x -<<-解析：将不等式()()120x x -->化为()()120x x --<，解得12x <<， 所以解集为{}|12x x <<故选B.2. 若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．11a -≤≤ B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-解析：对任意()1,x ∈+∞，不等式()()110x ax -+≤恒成立10x ->即10ax +≤恒成立1101ax a a x+≤⇒≤-⇒≤- 故答案为D 。
高中数学(必修一)二次函数与一元二次方程、不等式练习题
高中数学（必修一）二次函数与一元二次方程、不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、解答题1．（1）解不等式：245014x x -->+；（2）已知102α-<<，13β<<，求123αβ-的范围．2．当自变量x 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1)2362y x x =-+;(2)225y x =-;(3)2610y x x =++;(4)231212y x x =-+-.3．已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤ (1)求集合A 和B ；(2)求A ∪B ，A ∩B ，4．某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：3m ）与天数()*n n N ∈的关系是10)n S n =.水库原有水量为800003m ，水闸泄水量每天40003m .当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由（水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险）.5．某小企业生产某种产品，月销售量x （件）与货价p （元/件）之间的关系为1602p x =-，生产x 件的成本50030r x =+元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？6．解下列不等式：（1）24210x x +-< （2） 230x x -+≥（3）210x -> （4）26x x -+<-7．求函数y . 8．设全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤.(1)求A B ，A B ；(2)求()R B A .9．甲、乙两城相距100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10．已知各城供电费用（元）与供电距离（）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0．25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，（1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域；（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．10．已知集合{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<.(1)求A B ；(2)定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，求A B -.11．如图，为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：(1)指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；(2)用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.参考答案：1．（1）{}59x x <<；（2）112233αβ-<-<-．【分析】（1）通过一元二次不等式的解法计算即可；（2）通过不等式的性质计算即可.【详解】解：（1）214450x x --+>245014x x ∴+<- ()()590x x -∴<-{}59x x ∴<<（2）1032αβ-<<<<，111120133αβ∴-<<-<-<-， 112233αβ∴-<-<-2．(1)等于0,⎪⎪⎩⎭;大于0,|x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭;小于0,|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. (2)等于0,{5,5}-;大于0,{|55}x x -<<;小于0,{|5x x <-或5}x >.(3)等于0,∅;大于0,R ;小于0,∅.(4)等于0,{2};小于0,{|2}x x ≠;大于0,∅.【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数2362y x x =-+令23620x x -+=由一元二次方程的求根公式可知x =所以12x x ==结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与x 轴有两个交点,所以当x ∈⎪⎪⎩⎭时,函数值等于0;当|x x x ⎧⎪∈<⎨⎪⎩x >⎪⎭时,函数值大于0;当x x x ⎧⎪∈<<⎨⎪⎪⎩⎭时,函数值小于0.（2）二次函数225y x =-令2250x -=解一元二次方程可知5x =±所以125,5x x =-=结合二次函数的图像与性质可知:当{}5,5x ∈-时,函数值等于0;当{|5x x x ∈<-或}5x >时,函数值大于0;当{}|55x x x ∈-<<时,函数值小于0.（3）二次函数2610y x x =++则()231y x =++结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时x 为∅;当x ∈R 时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;（4）二次函数231212y x x =-+-则()232y x =--结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与x 轴有一个交点,所以:当{2}x ∈时函数值等于0; 当{}2x x x ∈≠时,函数值大于0;当函数值小于0时x 为∅;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.3．(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤【分析】（1）分别解两个不等式，即可得出答案；（2）根据交集和并集的运算即可得出答案.（1）解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤；（2） 解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.4．第9天会有危险【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第9天会有危险.【详解】设第n 天发生危险.由题意得400012800080000n >-，即2242560n n +->，得8n >.所以汛期的第9天会有危险.【点睛】注意对于数学应用性问题，首先要认真审题，理解题意；其次是建立合理的数学模型；最后用所学的数学知识去求解.同时，所得结果注意与事实相符，如本题n 是天数，需满足0n >.5．20~45【分析】根据销售额和成本以及获利要求列不等式，解一元二次不等式求得产量的取值范围.【详解】设月产量为x 件.由题意可知(1602)(50030)1300x x x -⨯-+≥，即2659000x x -+≤，得2045x ≤≤.【点睛】本小题主要考查函数的实际应用问题，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．（1）{}73x x -<<；（2）{}03x x ≤≤；（3）{1x x <-或}1x >；（4）{2x x <-或}3x >.【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可【详解】（1）由24210x x +-<，得(7)(3)0x x +-<，得73x -<<， 所以不等式的解集为{}73x x -<<，（2）由230x x -+≥，得230x x -≤，得03x ≤≤， 所以原不等式的解集为{}03x x ≤≤，（3）由210x ->，得(1)(1)0x x +->，解得1x <-或1x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x >，（4）由26x x -+<-，得260x x -->，(2)(3)0x x +->，解得2x <-或3x >， 所以原不等式的解集为{2x x <-或}3x >7．定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 【分析】根据原函数列出不等式组求解即可.【详解】因为函数y 所以24506210x x x ⎧-++≥⎨-->⎩，解得1552x x -≤≤⎧⎪⎨<⎪⎩， 所以原函数定义域为512x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭，用区间表示为51,2. 8．(1){23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =(2)(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解； （2）先根据补集的定义求出B R ，然后再由交集的定义即可求解. （1）解：因为{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{23A B x x ⋂=-<≤或}9x =，A B R =；（2）解：因为全集为R ，{3A x x =≤或}9x ≥，{}29B x x =-<≤，所以{2R B x x =≤-或}9x >，所以(){2R B A x x ⋂=≤-或}9x >.9．（1）（2）1003km 【详解】试题分析：（∪）甲城供电费用y 1=0．25×20x 2，乙城供电费用y 2=0．25×10（100-x ）2，总费用y=y 1+y 2，整理即可；因为核电站距甲城xkm ，则距乙城（100-x ）km ，由x≥10，且100-x≥10，得x 的范围；（∪）因为函数y=7．5x 2-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-2b a时，函数y 取得最小值试题解析：（1）由题意知：经化简，为．定义域为[10,90]--- -5分（2）将（1）中函数配方为，所以当月供电总费用最小，为元．---10分．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值10．(1){}|2x x ≥(2){}235x x x |≤≤≥或【分析】(1)直接根据集合并集的定义进行求解；(2)根据新定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，即元素属于集合M 当不属于集合N ，从而可求出所求.（1）{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}|2A B x x =≥；（2）{}|M N x x M x N -=∈∉且，{}|2A x x =≥，{}|35B x x =<<，∴{}235A B x x x -=|≤≤≥或.11．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d ，得到答案.（2）根据正弦定理得到()212sin sin d AM ααα=+，()221sin sin d AN βββ=-，再根据余弦定理得到答案. (1)需要测量的数据：A 到,M N 的的俯角11,αβ，B 到,M N 的的俯角22,αβ，AB 之间的距离d .(2)第一步：计算AM ABM 中，根据正弦定理：()122sin πsin d AM ααα=--，故()212sin sin d AM ααα=+. 第二步：计算AN ABN 中，根据正弦定理：()()212sin sin πd AN βββ=--，故()221sin sin d AN βββ=-. 第三步：计算MN AMN 中，根据余弦定理：()222112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⋅-，即MN =。
高中试卷-2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式(含答案)
2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法；2. “三个二次”关系的应用；3. 含参数的一元二次不等式的解法；4. 一元二次不等式恒成立问题；5. 含参数的一元二次不等式恒成立；6. 一元二次不等式的实际应用一、单选题1．（2021·湖南怀化·高二期末）设集合{}2|340A x Z x x =Î--£，{}|21B x x =-<，则A B =I （ ）A ．{1,0,1,2}-B ．[1,2)-C ．{1,0,1}-D ．[1,2]-【答案】A 【解析】由题意得，{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =Î--£=Î-££=-，{}{}|21|3B x x x x =-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|31,0,1,2A B x x =-<=-I I ，故选：A ．2．（2021·陕西西安·高三三模（文））已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B I 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B Ç=-，其子集个数为224=.故选B.3．（2021·山东济宁·高一月考）已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ）A ．{2|x x a<，或}1x >B ．2|1x x a ìü<<íýîþC ．{|1x x <，或2x a ü>ýþD ．2|1x x a ìü<<íýîþ【答案】B 【解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->，由于0a <，故不等式的解集为2|1x x a ìü<<íýîþ.故选B.4．（2021·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．［－4，4］B ．（－4，4）C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D 【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.5．（2021·浙江高一课时练习）“不等式x 2―x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（ ）A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1【答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m ＞14，又∵m ＞14⇒△＝1﹣4m＜0，所以m ＞14是“不等式x 2﹣x+m＞0在R 上恒成立”的充要条件， 故选：A ．6．（2021·全国高三课时练习（理））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a=（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A 【解析】因为关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，所以212122,8x x a x x a +==-，又2115x x -=，所以2222212121()()43615x x x x x x a -=+-==，解得52a =±，因为0a >，所以52a =.故选：A.7．（2021·浙江高三专题练习）若不等式210x ax ++³对于一切10,2x æùÎçúèû恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C 【解析】不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x æùÎçúèû成立，∵y=-x-1x 在区间10,2æùçúèû上是增函数∴115222x x --£--=-∴a≥-52∴a 的最小值为-52故答案为C ．8．（2021·安徽金安·六安一中高一期末（文））若不等式组2142x a x aì->í-<î的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A【解析】原不等式组等价于2124x a x a ì>+í<+î,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+Þ--<13a Þ-<<，故选：A ．9．（2021·浙江高一单元测试）对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．22a -<£B ．22a -££C ．2a <-或2a ³D ．2a £-或2a ³【答案】A 【解析】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<ìíD =---´-<î即2,22,a a <ìí-<<î解得22a -<<．又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立．故a 的取值范围是22a -<…．故选：A ．10．（2021·浙江高一课时练习）定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ）A ．3122a -<<B ．1322a -<<C ．11a -<<D ．02a <<【答案】B 【解析】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -×--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，\()21410a a D =-´-+<，解得1322a -<<.故选B.二、多选题11．（2021·山东济宁·高一月考）已知集合{}()(){}2,1,0,1,|120A B x x x =--=-+£，则 ( )A ．{}2,1,0,1A B Ç=--B ．{}2,1,0,1A B È=--C ．{}1,0,1A B =-ID ．{}|21A B x x È=-££【答案】AD 【解析】由()()120x x -+£解得21x -££，故{}2,1,0,1A B Ç=--,{}|21A B x x È=-££.故选AD.12．（2021·山东滕州市第一中学新校高二月考）下列四个不等式中，解集为Æ的是（ ）A ．210x x -++£B ．22340x x -+<C ．23100x x ++£D ．2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø【答案】BCD 【解析】对于A ，210x x -++£对应函数21y x x =-++开口向下，显然解集不为Æ；对于B ，22340x x -+<，对应的函数开口向上，9320=-<V ，其解集为Æ；对于C ，23100x x ++£，对应的函数开口向上9400=-<V ，其解集为Æ；对于D ，2440(0)x x a a a æö-+-+>>ç÷èø对应的函数开口向下41641640a a æö=-+£-´=ç÷èøV ，其解集为Æ；故选：BCD.13．（2021·山东文登·高一期末）已知函数2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，则( )A ．224a b -£B ．214a b+³C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，故可得240a b D =-=，即可240a b =>.对A ：224a b -£等价于2440b b -+³，显然()220b -³，故A 正确；对B ：21144a b b b +=+³=，故B 正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，故可得120x x b =-<，故C 错误；对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，4====，故可得4c =，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·山东聊城·高二期末）若“2340x x +-<”是“()222330x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．4【答案】ACD 【解析】2340x x +-<，解得41x -<<，()222330x k x k k -+++>即()[(3)]0x k x k --+>，解得x k <或3x k >+，由题意知(4,1)-⫋(,)(3,)k k -¥È++¥，所以1k ³或34k +£-，即(,7][1,)k Î-¥-È+¥.故选：ACD 三、填空题15．（2021·宁夏原州·固原一中高三其他（理））已知命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.【答案】14m ³【解析】若命题“x R $Î，210mx x -+<”是假命题，则“x R "Î，210mx x -+³”为真命题，则只需满足0140m m >ìíD =-£î，解得14m ³.故答案为：14m ³.16．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(―2,2)【解析】∵不等式x 2―kx +1>0对任意实数x 都成立，∴△=k 2―4＜0∴―2＜k ＜2故答案为：(―2,2)17．（2021·山东济宁·高一月考）若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -¥+¥U ，则a 的值为______．【答案】-3【解析】显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）若不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，则a =________．b =________．【答案】15- 45- 【解析】由题意不等式210ax bx ++³的解集为{}51x x -££，故1，5-是方程210ax bx ++=的两个根1(5)a b \+-=-，1(51)a´-=15a \=-，45b =-故答案为：15-；45-．19．（2021·凤城市第一中学）2[0,3],25,x a x x "γ-+则a 的范围是___;2[0,3],25,x a x x $γ-+则a 的范围是_______【答案】[8,)+¥ [4,)+¥ 【解析】令22()25(1)4f x x x x =-+=-+，对[0,3]x Î，()(3)8max f x f ==，()(1)4min f x f ==，[0,3]x "Î，225a x x ³-+即()8max a f x ³=；[0,3]x $Î，225a x x ³-+即()4min a f x ³=．故答案为：[8,)+¥；[4,)+¥20．（2017·浙江南湖·嘉兴一中高一期中）已知不等式2(1)0x a x a -++<.（1）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是__________；（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,+¥ [)3,+¥【解析】（1）原不等式变为(1)()0x x a --<当1a =时，解集为Æ当1a >时，解集为(1,)a 当1a <时，解集为(,1)a 若不等式在(1,3)上有解，则1a >（2）若不等式在(1,3)上恒成立，则由(1)可知(1,3)(1,)a Í，所以3a …故答案为：（1）()1,+¥；（2）[)3,+¥21．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =³，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q Ç=，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],2-¥- ()4,+¥【解析】{}{}228042P x x x x x x =-->=><-或，{}Q x x a =³，若P Q R =U 则2a £-，若P Q Q Ç=，则P Q Ê,所以4a >.故答案为：(],2-¥-，()4,+¥.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）260x x -->；（2）2251010x x -+>；（3）2210x x -++<.【答案】（1）{2x x <-或}3x >；（2）15x x ìü¹íýîþ；（3）12x x ì<-íî或}1x >.【解析】（1）不等式260x x -->即为()()230x x +->，解得2x <-或3x >，因此，不等式260x x -->的解集为{2x x <-或}3x >；（2）不等式2251010x x -+>即为()2510x ->，解得15x ¹，因此，不等式2251010x x -+>的解集为15x x ìü¹íýîþ；（3）不等式2210x x -++<即为2210x x -->，即()()2110x x +->，解得21x <-或1x >.因此，不等式2210x x -++<的解集为12x x ì<-íî或}1x >.23．（2021·全国高一课时练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，求不等式20cx bx a -+>的解集.【答案】11|23x x ìü-<<-íýîþ.【解析】由题意不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，则23230b ac a a ì+=-ïïï´=íï<ïïî，解得560b ac a a =-ìï=íï<î，代入不等式20cx bx a -+>，可得2650(0)ax ax a a ++><，即26510x x ++<，解得1123x -<<-，所以所求不等式的解集为11|23x x ìü-<<-íýîþ.24．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）记不等式3201x x +-³+的解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><的解集为B ．（1）求A ；（2）若B A Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()[),11,-¥-+¥U ；（2）2a £-或112a £<【解析】（1）因为3201x x +-³+，所以101x x -³+，所以()()110,1x x x +-³¹-，解得1x ³或1x <-，所以()[),11,A =-¥-+¥U ，（2）因为()()()1201x a a x a ---><，所以()()120x a x a ---<，因为1a <，所以12a a >+，解得21a x a <<+，所以()2,1B a a =+因为B A Í，所以11a £-+或21a ³，解得2a £-或112a £<.25．（2021·荆州市北门中学高一期末）已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<¹（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为Æ，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-（2）k <（3）k ³【解析】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<¹的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-；(2)不等式的解集是R,所以24240,0k k D =-<<,解得k <(3)不等式的解集为Æ,得24240,0k k D =-£>,解得k ³26．（2021·浙江高一课时练习）命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++->（1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R Î上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精练）1．（2023春·山东滨州）若不等式260ax bx ++>的解集为{|3x x <-或2}x >-，则（）A ．1a =，=5b -B ．1a =-，5b =C ．1a =-，=5b -D ．1a =，5b =【答案】D【解析】因为不等式260ax bx ++>的解集为{|3x x <-或2}x >-，所以3x =-和2x =-时，260ax bx ++=，即9360a b -+=，4260a b -+=，解得1a =,5b =,故选：D ．2．（2023·高一课时练习）若01t <<，则不等式1()0x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是（）A ．1,t t ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1(,),t t ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,(,)t t ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于01t <<，所以1t t >,所以不等式1()0x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集1,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D3．（2023·广东广州）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]【答案】A【解析】原不等式可化为()()10x a x --≤.当a ＜1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要3a ≤即可，即13a <£.综上可得：43a -≤≤.故选：A.4．（2023春·辽宁）关于x 的不等式()200ax bx c a ++>≠的解集为()3,1-，则不等式20cx bx a ++<的解集为（）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3-∞-⋃+∞C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为关于x 的不等式()200ax bx c a ++>≠的解集为()3,1-，所以0a <，且31b a -+=-，31ca-⨯=，所以2b a =，3c a =-，所以20cx bx a ++<化为23210x x --<，解得113-<<x .故选：A.5（2022秋·河南周口·高一校考阶段练习）已知关于x 的不等式210ax bx -+>的解集为()2,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m >，则1b m+的最小值为（）A ．4B．C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意关于x 的不等式210ax bx -+>的解集为()2,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m >，可知0a >，且2,m m 为210ax bx -+=的两根，且2m m≤，即221,b m m m a m a +=⨯=，即11,,22ma b m m ==+≥，所以2221m b m m +=+≥，当且仅当2m =时取等号，故选:C.6．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为(3,4)，则2412a b +的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由题可知：3和4是方程210+-=ax bx 的两个实数根，由韦达定理可知：34134b a a ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：112712a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则24125a b +=.故选：C7．（2023春·福建泉州）“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是（）A ．01a <<B ．103a <<C ．01a ≤≤D ．a<0或13a >【答案】C【解析】因为不等式220x ax a -+>的解集为R ，所以应有()()224410a a a a ∆=--=-<，解得01a <<.选择的必要不充分条件的范围，应该大于01a <<包含的范围，显然只有C 项满足.故选：C.8．（2023·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解，则实数a 的取值范围是（）A ．{}2a a ≥-B ．{}2a a ≤-C ．{}6a a ≥-D ．{}6a a ≤-【答案】C【解析】若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解,则()16420a ∆=++≥，解得6a ≥-.故选：C.9．（2023·广东广州）已知关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[6,2]--B ．(6,2)--C ．(,6][2,)-∞-⋃-+∞D ．(,6)(2,)-∞--+∞ 【答案】B【解析】因为关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，所以2m x x =--在区间()1,2内有实根，令()2f x x x =--，()1,2x ∈，所以()f x 在()1,2上单调递减，所以()()()21f f x f <<，即()()6,2f x ∈--，依题意y m =与()y f x =在()1,2内有交点，所以()6,2m ∈--.故选：B10．（2023春·浙江温州·）（多选）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（）A ．1-B ．32C ．74D ．2【答案】CD【解析】不等式化简为()()120ax x a +-<的解集中恰有3个正整数，当0a =时，不等式化为0x <，则解集中有无数个整数.当0a <时，不等式()()120ax x a +-<的解集中有无数个正整数，故A 错误；所以0a >，10a-<，20a >，所以12a a-<所以不等式的解集为：1|2x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，根据0一定属于此集合，则由不等式()()120ax x a +-<的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：1,2,3，则324a <≤，解得322a <≤故a 可取74和2，故C,D 正确，AB 错误；故选：CD.11．（2023·河南郑州）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭【答案】AD【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,结合二次函数2y ax bx c =++和一元二次方程20ax bx c ++=以及不等式的关系，可得0a >，且3,4-是20ax bx c ++=的两根，A 正确；则3434b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，故12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以0bx c +>即120,12ax a x -->∴<-，即0bx c +>的解集为{12}xx <-∣，B 错误；由于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,故1x =时，20ax bx c ++<，即0a b c ++<，C 错误；由以上分析可知不等式20cx bx a -+<即2120ax ax a -++<，因为0a >，故211210,4x x x -∴<-->或13x >，故不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭，D 正确，故选：AD12．（2023·河北唐山）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b +>D ．关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为{}31x x -<<-【答案】BC【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以13和1是方程20ax bx c ++=的两个根，由根与系数的关系可得113113b ac a ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得()3,40a c b c a ==-<，故A 错误，B 正确，0a b c +=->，故C 正确，不等式20cx bx a ++>变为22430430cx cx c x x -+>⇒-+<，解得{}13x x <<，故D 错误，故选：BC13．（2022秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件销售价可能为（）A ．13元B ．15元C ．17元D ．18元【答案】AB【解析】设销售价定为每件x 元，利润为y 元，则(8)[10010(10)]y x x =---，依题意有(8)[10010(10)]320x x --->，即2281920x x -+<，解得1216x <<，所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，故选︰AB ．14．（2023春·四川南充）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或}3x ≥，则下列说法正确的是（）A ．a<0B ．0ax c +>的解集为{}|6x x <C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABD【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或}3x ≥，故a<0，且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得到=-b a ，6c a =-，对选项A ：a<0，正确；对选项B ：0ax c +>，即()60a x ->，解得6x <，正确；对选项C ：8438418140a b c a a a a ++=--=->，错误；对选项D ：20cx bx a ++<，即260ax ax a --+<，即2610x x +-<，解得1123x -<<，正确.故选：ABD 15．（2022·江苏·高一专题练习）（多选）已知函数23y ax bx =+-，则下列结论正确的是（）A ．关于x 的不等式230ax bx +-<的解集可以是{}>3x xB ．关于x 的不等式230ax bx +->的解集可以是∅C ．函数23y ax bx =+-的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >”【答案】BCD【解析】若不等式230ax bx +-<的解集是{}>3x x ，则=0a 且330b -=，得1b =，而当=0a ，1b =时，不等式230ax bx +-<，即30x -<，得3x <，与3x >矛盾，故A 错误；取1a =-，=0b ，此时不等式230x -->的解集为∅，故B 正确；函数23y ax bx =+-的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即230ax bx +-=可以有2个正根，取1a =-，4b =，则由2430y x x =-+-=，得=1x 或3，故C 正确；若关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根，则0,3<0,a a≠⎧⎪⎨-⎪⎩得0a >，若0a >，则2120b a ∆=+>，故关于x 的方程230ax bx +-=有两个不等的实根12,x x ，且1230x x a=-<，即关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >”，故D 正确．故选：BCD ．16．（2023·云南大理）不等式()2110m x mx m +-+-<的解集为∅，则m 的取值范围是________.【答案】233⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】∵不等式()2110m x mx m +-+-<的解集为∅，∴()2110m x mx m +-+-≥恒成立.①当10m +=，即1m =-时，不等式化为20x -≥，解得：2x ≥，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去；②当10m +≠，即1m ≠-时，对任意x ∈R ，要使()2110m x mx m +-+-≥，只需10m +>且()()()24110m m m ∆=--+-≤，解得：m ≥综上，实数m 的取值范围是233⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：233⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．（2023·全国·高一假期作业）若不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】315a -<≤【解析】①当210a -≠，即1a ≠±时，()()22210Δ1410a a a ⎧-<⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得315a -<<.②当210a -=，即1a =±时，若1a =，则原不等式为10-<，恒成立．若1a =-，则原不等式为210x -<，即12x <，不符合题目要求，舍去．综上所述，当315a -<≤时，原不等式的解集为R .故答案为：315a -<≤.18．（2023·高一单元测试）已知()21f x x x =-+，当[1,2]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m的范围为__________．【答案】5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得212x x x m -+>+对任意的[1,2]x ∈-恒成立，即231m x x <-+对任意的[1,2]x ∈-恒成立.令()231g x x x =-+，[1,2]x ∈-，()23524g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-，则()min 3524g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以54m <-,所以实数m 的范围为5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为:5,4⎛⎫-∞- ⎝⎭.19．（2023·海南）已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为__．【答案】[7,2]-【解析】2()3f x x ax a =++-开口向上，对称轴为2ax =-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，则有：当22a -≤-，即4a ≥时，则()()2730f x f a ≥-=-≥，解得743a ≤<，不合题意；当222a -<-<，即44a -<<时，则2124()024a a af x f --⎛⎫≥-=≥ ⎪⎝⎭，解得42a -<≤；当22a-≥，即4a ≤-时，则()()270f x f a ≥=+≥，解得74a -≤≤-；综上所述：a 的取值范围为[7,2]-．故答案为：[7,2]-．20（2023·河南）对()()22R,4210x a x a x ∀∈--<＋＋恒成立，则实数a 的范围为________________.【答案】62,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭－【解析】对()()224210R,x a x a x ∀∈-++-<恒成立．①当240a -=时，可得2a =±.若2a =-，则有10<－，合乎题意；若2a =，则有410x -<，解得1<4x ，不合乎题意；②若240a -≠，则()()22240Δ2440a a a ⎧-<⎪⎨=++-<⎪⎩，解得625a <<－综上，实数a 的范围为62,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭－.21．（2022秋·湖南衡阳·高一湖南省常宁市第一中学校考阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ；命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ，当0m =时，不等式4<0-恒成立；当0m ≠时，则满足2160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得160m -<<，综上可得160m -<≤．由命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．22．（2023·湖北）解下列关于x 的不等式210x ax ++<．【答案】答案见解析【解析】由对应函数21y x ax =++开口向上，且24a ∆=-，当240a ∆=-≤，即22a -≤≤时，210x ax ++≥恒成立，原不等式解集为∅；当240a ∆=->，即2a <-或2a >时，由210x ax ++=，可得2a x -=，所以原不等式解集为{|}22a a x x ---+<<；综上，22a -≤≤解集为∅；2a <-或2a >解集为{|x x <<.23．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式()()22100ax a x a +++>≠．【答案】见解析【解析】方程：()221=0ax a x +++且0a ≠22(2)440,a a a ∴∆=+-=+>解得方程两根：122a x a --=222a x a--=；当0a >时，原不等式的解集为：|;x x x ⎧⎪><⎨⎪⎪⎩⎭当a<0时，原不等式的解集为：.x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭综上所述,当0a >时，原不等式的解集为：22|;22a a x x x a a ⎧-----⎪><⎨⎪⎪⎩⎭或当a<0时，原不等式的解集为：.x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭24．（2023春·湖北武汉）已知R a ∈，解关于x 的不等式()2330ax a x +++>．【答案】答案见解析【解析】当0a =时，不等式为330x +>，解得1x >-；当0a ≠时，不等式化为()310a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，当a<0时，不等式为()310x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得31x a -<<-；当0a >时，不等式为()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若3a =，不等式为()210x +>，解得1x ≠-；若0<<3a ，解得3x a<-或1x >-；3a >，解得1x <-或3x a>-.综上所述，当a<0时，原不等式的解集是31x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集是{}|1x x >-；当03a <≤时，原不等式的解集是3|x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当3a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或3x a ⎫>-⎬⎭．25．（2023·上海虹口）已知a ∈R ，求解关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】22(1)40(2)(2)0ax a x ax x -++>⇔-->，（1）当0a =时，()22140ax a x -++>即240x -+>解得2x <（2）当0a ＜时，()22140ax a x -++>()()220ax x ⇔-->⇔()()220ax x -+-<解得22x a<<（3）当0a >时①当1a =时，()22140ax a x -++>即2440x x -+>解得2x ≠②当01a <<时，22a>()()220ax x -->⇒2x <或2x a >③当1a >时，22a <()()220ax x -->⇒2x a<或2x >综上所述：当0a =时，原不等式的解集为(),2-∞当0a ＜时，原不等式的解集为2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当01a ＜＜时，原不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭当1a =时，原不等式的解集为{}|2x x ≠当1a ＞时，原不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 26．（2023·河南南阳）已知不等式：2220x ax a -->.(1)若0a >，求不等式解集；(2)若R a ∈，求不等式解集.【答案】(1){|x x a <-或}2x a >(2)答案见解析【解析】（1）2220x ax a -->，()()20x a x a +->，当0a >时，解得x a <-或2x a >.所以不等式的解集为{|x x a <-或}2x a >.（2）2220x ax a -->，()()20x a x a +->，当0a >时，由（1）得不等式的解集为{|x x a <-或}2x a >.当0a =时，不等式的解集为{}|0x x ≠.当a<0时，不等式的解集为{|2x x a <或}x a >-.27．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数()()()21,R f x ax x a =+-∈.(1)若12a =，解不等式()0f x ≥；(2)解关于x 的不等式()0f x <.【答案】(1){4x x ≤-或}1x ≥(2)答案见解析【解析】（1）当12a =时，()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由()0f x ≥得()()14102x x +-≥，解得4x ≤-或1x ≥，故()0f x ≥的解集为{4x x ≤-或}1x ≥.（2）由()0f x <得()()210ax x +-<，当0a =时，不等式化为()210x -<，解得1x <，故不等式的解集为{}1x x <；令()()210ax x +-=，解得12x a=-或21x =，当21a->，即20a -<<时，不等式解得1x <或2x a >-，故不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当21a-=，即2a =-时，不等式化为()210x ->，解得1x ≠，故不等式的解集为{}1x x ≠；当201a <-<，即2a <-时，不等式解得2x a <-或1x >，故不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；当201a -<<，即0a >时，不等式解得21x a -<<，故不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；综上：当0a >时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，不等式的解集为{}1x x <；当20a -<<时，不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠；当2a <-时，不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；28．（2023春·江苏镇江）已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像过点()2,0-和原点，对于任意R x ∈，都有()2f x x ≥．(1)求函数()f x 的表达式；(2)设()(1)g x m x =-，若函数()f x ≥()g x 在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的最大值．【答案】(1)2()2f x x x =+(2)4+【解析】（1）由题意得0420c a b c =⎧⎨-+=⎩，所以22,0,()2b a c f x ax ax ===+，因为对于任意R x ∈，都有()2f x x ≥，即22(1)0ax a x +-≥恒成立，故()20Δ410a a >⎧⎪⎨=-≤⎪⎩，解得1a =，2b ∴=.所以2()2f x x x =+；（2）由()f x ≥()g x 得22(1)x x m x +≥-当1x =时，不等式恒成立；当1x >时，221x x m x +≤-，令10t x =->，则222433441x x t t t x t t+++==++≥+-即4m ≤+，当且仅当t =1x =+时，实数m 取得最大值4+29．（2022秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-．(1)当0a >时，若()=0f x 两根一个比1小，一个比1大，求a 范围．(2)解关于x 的不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ．【答案】(1)01a <<(2)答案见解析【解析】（1）解：对于函数()()212f x ax a x a =+-+-，当0a >时，()=0f x 有两根一个比1小，一个比1大，所以()1<0>0f a ⎧⎨⎩，即+1+2<0>0a a a a --⎧⎨⎩，解得01a <<；（2）解：不等式()()2121ax a x a a a +-+-<-∈R ，即()()110ax x +-<，当=0a 时，原不等式即10x -<，解得1x <，所以不等式的解集为{}|1x x <；当0a >时，即()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得11x a -<<，所以不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；若0a <，不等式即()110x x a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，当1a =-时，不等式化为2(1)0x ->，解得1x ≠，所以不等式的解集为{}|1x x ≠；当1a <-时，11a >-，不等式化为1(1)(0x x a -+>，解得1x >或1x a <-，所以不等式的解集为{|1x x >或1}x a<-；当10a -<<时，11a <-，不等式化为1(1)()0x x a-+>，解得1x <或1x a>-，所以不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-．综上可得，当=0a 时，不等式的解集为{|1}x x <；当0a >时，不等式的解集为1{|1}x x a-<<；当1a =-时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当1a <-时，不等式的解集为{|1x x >或1}x a<-；当10a -<<时，不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-．30．（2023·上海黄浦）已知关于x 的不等式()()()2223310k k x k x k +-++->∈R 的解集为M ．(1)若M =∅，求实数k 的取值范围；(2)若存在两个不相等的正实数a b ､，使得(),M a b =，求实数k 的取值范围．【答案】(1)13,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）当2230k k +-=时，=1k 或3k =-，当=1k 时，不等式化为410x ->，解集不是空集，舍去；当3k =-时，不等式化为10->，此时解集为空集；当1k ≠且3k ≠-时，要使M =∅，则需满足()()222+23<0Δ=+3+4+230k k k k k --≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得135k -<≤．综上可得，实数k 的取值范围是13,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）要存在两个不相等的正实数,a b ，使得(),M a b =，则2230k k +-<且方程()()2223310k k x k x +-++-=的两个相异正根为a ，b ，则222+23<0+3+=+231=>0+23k k k a b k k ab k k -----⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得115k <<，即实数k 的取值范围是1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭．31．（2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知函数()222,R y x a x a a =-++∈.(1)当1a =-时，求解关于x 的不等式0y >；(2)若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求2112x x x x +的最小值.【答案】(1)1(,(1,)2-∞-+∞ ；(2)6【解析】（1）当1a =-时,不等式0y >即为2210x x -->，解得12x <-或1x >，故不等式解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ ；（2）方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，即22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根12,x x ，故()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >；所以222221121212121212()22132(1)x x x x x x x x a a x x x x x x a ++-+++===-，令1t a =-，则0t >，故22112(1)2(1)132x x t t x x t +++++=82262t t =++≥+=，当且仅当82t t =即4,5t a ==时取得等号，故2112x x x x +的最小值为6.32．（2023北京）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【答案】(1){}1a a <(2){}30a a -<<(3){}01a a <≤【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．33．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【答案】(1){1x x ≥或}1≤-x (2){}13t t -<<【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1x ≥或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.1．（2023·河北）已知对一切[2,3]x ∈，[3,6]y ∈，不等式220mx xy y -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．6m ≤B ．60m -≤≤C ．0m ≥D ．06m ≤≤【答案】C【解析】∵[2,3]x ∈，[3,6]y ∈，则111[,32x ∈，∴[1,3]yx∈，又∵220mx xy y -+≥，且2[2,3],0x x ∈>，可得2y y m x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，令[]1,3yt x=∈，则原题意等价于对一切[]1,3t ∈，2m t t ≥-恒成立，∵2y t t =-的开口向下，对称轴12t =，则当1t =时，2y t t =-取到最大值2max 110y =-=，故实数m 的取值范围是0m ≥.故选：C.2．（2022秋·高一校考单元测试）已知0a >，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-≥恒成立，则4b a+的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】设2y ax =-（0x >），25y x bx =+-（0x >），因为0a >，所以当20x a<<时，20y ax =-<；当2x a=时，20y ax =-=；当2x a>时，20y ax =->；由不等式()2(2)50ax x bx -+-≥恒成立，得：22050ax x bx -≤⎧⎨+-≤⎩或22050ax x bx -≥⎧⎨+-≥⎩，即当20x a<≤时，250x bx +-≤恒成立，当2x a≥时，250x bx +-≥恒成立，所以当2x a =时，250y x bx =+-=，则20425b a a +-=，即225a b a=-，则当0a >时，45245222a a b a a a a +=-+=+≥=当且仅当522a a =，即5a =时等号成立，所以4b a+的最小值为故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A ．224a b -≤B ．224a b -≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12x x ，，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12x x ，，且124x x -=，则4c =【答案】AD【解析】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以240a b ∆=-=，即24a b =，由于0a >，所以0b >.()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==故A 正确，B 错误.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12x x ，，所以120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12x x ，，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12x x ，，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，所以4c =，故D 正确.故选：AD4．（2023·福建泉州）（多选）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（）A ．当1a b <<时，不等式的解集为∅B ．当2a =时，不等式的解集可以表示为形式{}|x c x d ≤≤C ．若不等式的解集恰为{}|≤≤x a x b ，则0b =或43b =D ．若不等式的解集恰为{}|≤≤x a x b ，则4b a -=【答案】AD 【解析】A 选项，若23344x x b -+≤有解，即233404x x b -+-≤有解，则有，()()233443304b b ∆=--⨯⨯-=-+≥，所以，1b ≥.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为∅；B 选项，作出23()344f x x x =-+的图象以及y =a ，y =b 的图象.由图可知，此时不等式23344a x xb ≤-+≤的解集应由两部分组成；C ，D 选项：因为不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰为{}|≤≤x a x b ，即可以转化为二次函数23()344f x x x =-+在{}|≤≤x a x b 上的取值是{}|y a y b ≤≤.则必有()f b b =，即23344b b b -+=，解得，43b =或4b =.又因为23()344f x x x =-+在R 上的最小值为(2)1f =，则应有1a ≤且()f a b =.当43b =时，有()f a b =.即2343443a a -+=，解得，43a =或83a =，与1a ≤不相符，舍去；当4b =时，有()f a b =.即233444a a -+=，解得，a =0或a =4（舍去）.所以，a =0,b =4.故选：AD.5．（2022·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =，12b =-(2)(][),620,-∞-+∞ (3)[)(]3,410,11 【解析】（1）∵关于x 的不等式()()23220f x x a x a b =+-+++>的解集为{4x x <-或}2x >，∴方程()23220x a x a b +-+++=的两根为14x =-，22x =，∴()121223822x x a x x a b ⎧+=-=--⎨=-=++⎩，∴解得1a =，12b =-.（2）令()()()2322g x f x b x a x a =-=+-++，若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，则()0g x ≤在[]1,3x ∈上有解，∴只需使()g x 在区间[]1,3上的最小值()min 0g x ≤.()()2322g x x a x a =+-++图象是开口向上，对称轴为3322a a x --=-=的抛物线，∴()g x 在区间3,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间3,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，①当312a -≤，即5a ≤时，()g x 在区间[]1,3上单调递增，∴()()min 160g x g a ==+≤，解得6a ≤-，此时，(],6a ∈-∞-；②当332a -≥，即9a ≥时，()g x 在区间[]1,3上单调递减，∴()()min 3200g x g a ==-+≤，解得20a ≥，此时，[)20,a ∈+∞；③当3132a -<<，即59a <<时，()g x 在区间31,2a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间3,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min3141024a a a g x g --+-⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭，解得7a ≤-7a ≥+，此时，a ∈∅；综上所述，实数a 的取值范围是(][),620,-∞-+∞ .（3）令()()()2123210h x f x b x a x a =--=+-+-若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，则()0h x <的解集中恰有3个整数，()()()()()()22321032525h x x a x a x a x a x x a =+-+-=+-+-=---⎡⎤⎣⎦，①当52a -=，即7a =时，()0h x <解集为∅，不合题意；②当52a ->，即7a >时，()0h x <解集为()2,5a -，若解集中恰有3个整数，则这3个整数为3，4，5，∴556a <-≤，解得1011a <≤，∴此时(]10,11a ∈；③当52a -<，即7a <时，()0h x <解集为()5,2a -，若解集中恰有3个整数，则这3个整数为1-，0，1，∴251a -≤-<-，解得34a ≤<，∴此时[)3,4a ∈；综上所述，实数a 的取值范围是[)(]3,410,11 .6．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知二次函数22y ax bx =++（,a b 为实数）(1)若1x =时，1y =且对(2,5)x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若1x =时，1y =且对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围；(3)对R x ∀∈，0b >时，0y ≥恒成立，求2a b+的最小值．【答案】(1)(3)∞-+(2)(3)1【解析】（1）1x = 时1y =，21a b ∴++=，即1b a =--，(2,5)x ∀∈ ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>恒成立，(1)2ax x x ∴->-恒成立，(2,5)x ∈ ，2(1)x a x x -∴>-对(2,5)x ∀∈恒成立，max2(1)x a x x ⎡⎤-∴>⎢⎥-⎣⎦．令2t x =-，则(0,3)t ∈，则22132(1)(2)(1)323x t t x x t t t t t t-===≤=--++++++当且仅当2t t=，即t =2x =“”=，所以实数a的取值范围时(3)∞-+．（2）1x = 时1y =，21a b ∴++=，即1b a =--，[]2,1a ∀∈-- ，0y >恒成立，即2(1)20ax a x -++>对[]2,1a ∀∈--恒成立，2()20x x a x ∴--+>对[]2,1a ∀∈--恒成立．2222020x x x ⎧-++>∴⎨-+>⎩，x <<，所以实数x的取值范围是1144⎛ ⎝⎭．（3）对R x ∀∈，0b >时，0y ≥恒成立，20Δ80a b a >⎧∴⎨=-≤⎩，则28b a ≥．2222818b a b b b b ++∴≥=+≥，当且仅当28b b =且28b a =，即4,2b a ==时取等号，所以2a b+最小值是1．7．（2023·山东临沂）已知命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题.(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式()()320x a x a ---<的解集为A ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,B =+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）因为命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题，所以命题[]2:1,1,0p x x x m ⌝∀∈---<是真命题，所以2m x x >-在[]1,1x ∈-上恒成立，令()()211f x x x x =--≤≤，则()f x 开口向上，对称轴为12x =，所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，又()()()21112f -=---=，()21110f =-=，所以()()max 12f x f =-=，所以m>2，即()2,m ∈+∞，故()2,B =+∞.（2）因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集，又()2,B =+∞，因为()()320x a x a ---<对应的方程()()320x a x a ---=的根为3x a =或2x a =+，当32a a >+，即1a >时，由()()320x a x a ---<得23a x a +<<，则()2,3A a a =+，所以22a +≥，则0a ≥，故1a >；当32a a =+，即1a =时，由()()320x a x a ---<得()230x -<，显然x ∈∅，即A =∅，满足题意；当32a a <+，即1a <时，由()()320x a x a ---<得32a x a <<+，则()3,2A a a =+，所以32a ≥，则23a ≥，故213a ≤<；综上：23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.8．（2023·重庆璧山）已知函数()222()44(R,R)f x a x bxb a b =-+-∈∈．(1)问题：若关于x 的方程()222()3(34)f x a x a b x a b =-+-++-______，求实数a 的取值范围；从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．）(2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x ≤；(3)当02b a <<+时，若关于x 的不等式()0f x ≤的解集中有且仅有2023个整数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)404622021a <<【解析】（1）方程()()()2223+34f x a x ab x a b =--++-等价于()230x a x a +-+=．若选①，原问题等价于()2340300a a a a ⎧-->⎪->⎨⎪>⎩，解得01a <<．所以实数a 的取值范围为()0,1.若选②，原问题等价于()2340300a a a a ⎧-->⎪-<⎨⎪>⎩,解得9a >．所以实数a 的取值范围为()9,∞+.若选③，原问题等价于()23400a a a ⎧-->⎪⎨<⎪⎩，解得a<0．所以实数a 的取值范围为(),0∞-.（2）当1b =时，()0f x ≤等价于()224410a x x -+-≤．①当240a -=，即2a =±时，14x ≤；②当240a ->，即2a >或2a <-时，当2a >时，1122x a a≤≤-+；当2a <-时，1122x a a ≤≤+-．③240a -<，即22a -<<时，当20a -<<时，12x a ≤-或12x a ≥+；当02a <<时，12x a ≤+或12x a≥-．当0a =时，x ∈R ．综上，当2a >时，1122x a a ≤≤-+；当02a <<时，12x a ≤+或12x a≥-；当0a =时，x ∈R ；当20a -<<时，12x a ≤-或12x a ≥+；当2a <-时，1122x a a≤≤+-；当2a =±时，14x ≤．（3）()0f x ≤等价于()()220a x b a x b +--+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．因为解集中整数解恰有2023个，则2a >．因为02b a <<+，所以122b b x a a ≤≤<-+．则2023个整数解为0，1-，L ，2022-．即202320222b a-<≤--．即()()2022220232a b a -≤<-．又02b a <<+，所以()202222a a -<+，解得40462021a <．又2a >，所以404622021a <<．所以，实数a 的取值范围是404622021a <<．9．（203·天津西青）设函数()()()223f x ax b x a R =+-+∈，(1)若不等式()0f x <的解集为()13，，求a b +的值；(2)若3b a =--，求不等式()42f x x >-+的解集．(3)若()14f =，1b >-，0a >，求11a ab ++的最小值．【答案】(1)1a b +=-(2)答案不唯一，具体见解析(3)54【解析】（1）由不等式()0f x <的解集为()13，可得：方程()2230ax b x +-+=的两根为1，3且0a >，由根与系数的关系可得：1a =，2b =-，所以1a b +=-（2）由()42f x x >-+得()22342ax b x x +-+>-+，又因为3b a =--，所以不等式()42f x x >-+化为()2110ax a x -++>，即()()110x ax -->，当0a =时，原不等式变形为10x -+>，解得1x <当0a <时，11a <，原不等式()11101x x x a a ⎛⎫⇔--<⇔<< ⎪⎝⎭．若0a >，原不等式()110x x a ⎛⎫⇔--> ⎪⎝⎭．此时原不等式的解的情况应由1a与1的大小关系决定，故当1a =时，不等式()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解为1x ≠；当1a >时，11a <，不等式()1110x x x a a ⎛⎫-->⇔< ⎪⎝⎭或1x >；当01a <<时，11a >，不等式()1101x x x a ⎛⎫-->⇔< ⎪⎝⎭或1x a >综上所述，不等式的解集为：当0a <时，11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，{}1x x <；当01a <<时，11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a =时，{}1x x ≠；当1a >时，11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．（3）由已知得()14f =，()14a b ++=，又1b >-则111441a ab a a b a a b ++=++++1151444≥++=当且仅当141b a b a +=+，即8213a b =+=时等号成立.10．（2022·湖南长沙）设二次函数()2f x ax bxc =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【答案】(1)1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)证明见详解(3)(),2∞--【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k <-则k 的取值范围为(),2∞--.11．（2023天津）已知函数()222y ax a x =-++，a R∈(1)32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当0a >时，求不等式0y ≥的解集；(3)若使关于x 的方程()2220ax a x -++=有四个不同的实根，求实数a 的取值.【答案】(1)(]4,0-(2)答案见解析；(3)()()0,22,+∞U 【解析】（1）由32y x <-得：()22232ax a x x -++<-恒成立，210ax ax ∴--<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩，解得：40a -<<；综上所述：实数a 的取值范围为(]4,0-.（2）当0a >时，()()()222210y ax a x ax x =-++=--≥；令()()210ax x --=，解得：12x a =，21x =；当21a=，即2a =时，0y ≥恒成立，∴不等式的解集为R ；当201a <<，即2a >时，不等式的解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ；当21>a ，即02a <<时，不等式的解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；综上所述：当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎝⎦ ；当02a <<时，不等式的解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭.（3）由()2220ax a x -++=得：()()210a x x --=；当0a =时，()210x --=，解得：1x =±，方程有且仅有两个实根，不合题意；当a<0时，20a x -=无解，则1x =，解得：1x =±；方程有且仅有两个实根，不合题意；当0a >时，则2x a=或1x =，解得：2x a =±或1x =±， 方程()2220ax a x -++=有四个不同的实根，21a ∴≠，解得：2a ≠，则0a >且2a ≠；综上所述：实数a 的取值范围为()()0,22,+∞U .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。