高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0

【答案】A 【解析】

由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】

由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－

2b

a

＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.

2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）

A ．()f x 的图象关于y 轴对称

B ．方程()0f x =的解的个数为2

C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增

D ．()f x 的最小值为1

4

-

【答案】B 【解析】

结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，

2211

()()24

g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．

【详解】

42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，

又()()4

2

42

()f x x x x x -=---=-()f x =，

所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，

解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；

练基础

令2t x =，2211

()()24

g t t t t =-=--

，1x >时， 函数2t x =，2

()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；

由12

t =

时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是1

4-，故D 正确．

故选：B ．

3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】

2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；

易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.

4．（2021·全国高三月考）已知函数2

()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫

⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

”是“方程()0f x =有两个不

同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】

根据二次函数的图象与性质，求得(())02

b

f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】

由2

()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2

b x =

，

要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02

b

f >，

要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，

因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02

b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02

b t f =>，即()0f t >，

当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.

所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.

5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1

在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】

如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.

由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，

则1log 21a

a >⎧⎨⎩，解得1

故答案为：1

6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是

_________.