中考数学练习册专题5
备战2023年上海中考数学真题(5年)与一二模题(1年)分类汇编几何中档题含详解
专题05 几何中档题1．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF BE =，2AE AQ AB =⋅． 求证：（1）CAE BAF ∠=∠； （2）CF FQ AF BQ ⋅=⋅．2．（2021•上海）如图，在圆O 中，弦AB 等于弦CD ，且相交于点P ，其中E 、F 为AB 、CD 中点．（1）证明：OP EF ⊥；（2）连接AF 、AC 、CE ，若//AF OP ，证明：四边形AFEC 为矩形．3．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =⋅，求证：AG DF =．4．（2019•上海）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，且AB AC =，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交O 于点E ，联结CD 并延长交O 于点F ． （1）求证：BD CD =；（2）如果2AB AO AD=，求证：四边形ABDC是菱形．5．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE AP⊥，DF AP⊥，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF AE BE=-；（2）连接BF，如果AF DFBF AD=．求证：EF EP=．6．（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM MN ND==，联结CM、CN．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）如果AE AF=，求证：四边形ABCD是菱形．7．（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG BC⊥，交BC的延长线于点G．（1）求证：BE FG=；（2）如果AB DM EC AE⋅=⋅，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．8．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对． 如图，在ABC ∆中，AB AC =，顶角A 的正对记作preA ，这时BCpreA AB==底边腰． 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）60pre ︒的值为 ． （A ）12； （B ）1；（C ； （D ）2．（2）对于0180A ︒<<︒，A ∠的正对值preA 的取值范围是 ． （3）如果8sin 17A =，其中A ∠为锐角，试求preA 的值．9．（2022•黄浦区二模）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB AC =，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点． （1）求证：AOM AON ∠=∠；（2）如果//AE ON ，//AF OM ，求证：212OE OM AO ⋅=．10．（2022•长宁区二模）已知：如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG GD =，联结BG 并延长，交边AC 于点E ． （1）求证：2AE BDCE BC=； （2）如果D 是边BC 的中点，P 是边BC 延长线上一点，且CP BC =，延长线段BE ，交线段AP 于点F ，联结CF 、CG ，求证：四边形AGCF 是平行四边形．11．（2022•金山区二模）如图，已知：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，其中点D 在边BC 上，点F 是AB 边上一点，且BF CD =． （1）求证：//DE CF ；（2）联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF FM FC =⋅，求证：//DF AC ．12．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，//DF AC ，2BD AD =，2AE EC =．（1）如果2AB AC =，求证：四边形ADFE 是菱形；（2）如果AB ，且1BC =，联结DE ，求DE 的长．13．（2022•徐汇区二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF AE ⊥，交边CB 的延长线于点F ，联结EF 交边AB 于点G ，连接AC ．（1）求证：AEF DAC ∆∆∽；（2）如果FE 平分AFB ∠，联结CG ，求证：四边形AGCE 为菱形．14．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ． （1）求证：ABF EAD ∆≅∆；（2）如果2BE AB EF =⋅，求证：ECF BAE ∠=∠．15．（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别是线段OC 、OD 的中点，联结AF 、BE ．（1）求证：四边形ABEF 是等腰梯形；（2）过点O 作OM AB ⊥，垂足为点M ，联结ME ，如果OME BAC ∠=∠，求证：四边形AMEF 是菱形．16．（2022•松江区二模）已知：如图，两个DAB ∆和EBC ∆中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上，联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：DF ABBF BC=； （2）如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．17．（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AC AD =，点E 在边BC 上，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，联结DE ． （1）求证：BC DE =；（2）当AC BC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．18．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 的延长线上，DE DC =，联结BE ，分别交边DC 、对角线AC 于点F 、G ，AD FD =． （1）求证：AC BE ⊥； （2）求证：CF ACDF BE=．19．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，AB AC =，点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，且AM CN =，AM AN <，联结OM 、ON ． （1）求证：OM ON =；（2）当BAC ∠为锐角时，如果2AO AM AC =⋅，求证：四边形AMON 为等腰梯形．20．（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，//CF AE ，12CF BD =． （1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2AE AD DC =⋅．21．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD ，以AB 为边在正方形外作等边ABE ∆，过点E 作EF AB ⊥与边AB 、CD 分别交于点F 、点G ，点O 在线段EG 上，且DO CD =． （1）求证：//AE DO ；（2）联结AO 、DE ，DE 分别交AO 、AB 于点M 、Q ，求证：EQ EFAD DM=．22．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，B A∠>∠，点D、E分别是边AB、AC的中点，//CF AB交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）联结BE，如果BE CD⊥，求证：AB=．23．（2022•徐汇区模拟）如图，四边形ABCE中，90BAC∠=︒，AB AC=，BF CE⊥于点F，点D为BF上一点，且BAD CAE∠=∠．（1）求证：AD AE=；（2）设BF交AC于点G，若22BC BD BG=⋅，判断四边形ADFE的形状，并证明．24．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边ABC∆中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD BF=，以AD为边向左作等边ADE∆，联结CF、EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）当45DEF∠=︒时，求BDCD的值．25．（2022•宝山区模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且DEF ADC ∠=∠．（1）求证：EF ABBF DB=； （2）如果22BD AD DF =，求证：平行四边形ABCD 是矩形．26．（2022•徐汇区校级模拟）如图，已知O 经过菱形ABCD 的顶点A ，C ，且与CD 相切，直径CF 交AB 于点E ． （1）求证：AD 与O 相切； （2）若34DC CF =，求AECE的值．27．（2022•普陀区模拟）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90BCD ∠=︒，BC DC =，点E 在对角线BD 上，作90ECF ∠=︒，连接DF ，且满足CF EC =． （1）求证：BD DF ⊥．（2）当2BC DE DB =时，试判断四边形DECF 的形状，并说明理由．28．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF AB⊥，EG AC⊥，垂足分别为F，G．求证：（1）EG CG AD CD=；（2）FD DG⊥．29．（2022•徐汇区模拟）如图，已知梯形ABCD中，//AB CD，90D∠=︒，BE平分ABC∠，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE BE⊥．求证：（1）四边形BCEF是菱形；（2）2BE AE AD BC⋅=⋅．30．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC∆中，AB AC=，点D在BC上，以AD、AE 为腰做等腰ADE∆，且ADE ABC∠=∠，连接CE，过E作//EF BC交CA延长线于F，连接BF．（1）求证：ECA ABC∠=∠；（2）如果AF AB=，求证：四边形FBDE是矩形．31．（2022•浦东新区校级模拟）如图，ABC∆的边AB是O的直径，点C在O上，点D 是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．（1）求证：四边形CMDN是矩形；（2）联结CD，当CD AB⋅=⋅．EF CB AB ME⊥时，求证：232．（2022•嘉定区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，//=，过点D作AD BC，AB DC=．连接BF、CF、AC．DE BC⊥，垂足为E，并延长DE至F，使EF DE（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果2=，求证：四边形ABFC是矩形．DE BE CE33．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，//AD BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．2CD CG CF=⋅，AED CFD∠=∠．（1）求证：AB CD=；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF CM⋅=⋅．=时，求证：EA AB AD MD34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在线段BC 上，连接AD 交线段PQ 于点E ，且CP QE CD BD=，点G 在BC 延长线上，ACG ∠的平分线交直线PQ 于点F ． （1）求证：PC PE =；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形．专题05 几何中档题1．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF BE =，2AE AQ AB =⋅．求证：（1）CAE BAF ∠=∠；（2）CF FQ AF BQ ⋅=⋅．【答案】见解析【详解】证明：（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，CF BE =，CF EF BE EF ∴-=-， 即CE BF =，在ACE ∆和ABF ∆中，AC AB C BCE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABF SAS ∴∆≅∆，CAE BAF ∴∠=∠；（2）ACE ABF ∆≅∆，AE AF ∴=，CAE BAF ∠=∠，2AE AQ AB =⋅，AC AB =， ∴AE AC AQ AF=， ACE AFQ ∴∆∆∽，AEC AQF ∴∠=∠，AEF BQF ∴∠=∠，AE AF =，AEF AFE ∴∠=∠，BQF AFE ∴∠=∠，B C ∠=∠，CAF BFQ ∴∆∆∽， ∴CF AF BQ FQ=， 即CF FQ AF BQ ⋅=⋅．2．（2021•上海）如图，在圆O 中，弦AB 等于弦CD ，且相交于点P ，其中E 、F 为AB 、CD 中点．（1）证明：OP EF ⊥；（2）连接AF 、AC 、CE ，若//AF OP ，证明：四边形AFEC 为矩形．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接OP ，EF ，OE ，OF ，OB OD =．AE EB =，CF FD =，AB CD =，OE AB ∴⊥，OF CD ⊥，BE DF =，90OEB OFD ∴∠=∠=︒，OB OD =，Rt OEB Rt OFD(HL)∴∆≅∆，OE OF ∴=，90OEP OFP ∠=∠=︒，OP OP =，Rt OPE Rt OPF(HL)∴∆≅∆，PE PF ∴=，OE OF =，OP EF ∴⊥．（2）证明：连接AC ，设EF 交OP 于J ．AB CD =，AE EB =，CF DF =，AE CF ∴=，BE DF =，PE PF =，PA PC ∴=，PE PF =，OE OF =，OP ∴垂直平分线段EF ，EJ JF ∴=，//OP AF ，EP PA ∴=，PC PF ∴=，PA PE =，∴四边形AFEC 是平行四边形，EA CF =，∴四边形AFEC 是矩形．3．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =⋅，求证：AG DF =．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，D B ∠=∠，DF BE =，()CDF CBE SAS ∴∆≅∆，DCF BCE ∴∠=∠，//CD BH ，H DCF ∴∠=∠，H BCE ∴∠=∠，B B ∠=∠，BEC BCH ∴∆∆∽．（2）证明：2BE AB AE =⋅，∴AB BEBE AE=，//CB DG，AEG BEC∴∆∆∽，∴AE AG BE BC=，∴AG BE BC AB=，BC AB=，AG BE∴=，CDF CBE∆≅∆，DF BE∴=，AG DF∴=．4．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是O的两条弦，且AB AC=，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交O于点E，联结CD并延长交O于点F．（1）求证：BD CD=；（2）如果2AB AO AD=，求证：四边形ABDC是菱形．【答案】见解析【详解】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，AB、AC是O的两条弦，且AB AC=，A∴在BC的垂直平分线上，OB OA OC==，O∴在BC的垂直平分线上，AO∴垂直平分BC，BD CD∴=；（2）如图2，连接OB，2AB AO AD=，∴AB ADAO AB=，BAO DAB ∠=∠，ABO ADB∴∆∆∽，OBA ADB∴∠=∠，OA OB=，OBA OAB∴∠=∠，OAB BDA∴∠=∠，AB BD∴=，AB AC=，BD CD=，AB AC BD CD∴===，∴四边形ABDC是菱形．5．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE AP ⊥，DF AP ⊥，垂足分别是点E 、F ．（1）求证：EF AE BE =-；（2）连接BF ，如果AF DF BF AD=．求证：EF EP =．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，BE AP ⊥，DF AP ⊥，90BEA AFD ∴∠=∠=︒，1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，13∴∠=∠，在ABE ∆和DAF ∆中13BEA AFD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE DAF ∴∆≅∆，BE AF ∴=，EF AE AF AE BE ∴=-=-；（2）如图，AF DF BF AD =， 而AF BE =， ∴BE DF BF AD =， ∴BE BF DF AD=， BEF DFA ∴∆∆∽，43∴∠=∠，而13∠=∠，41∴∠=∠，∴∠=∠，45即BE平分FBP∠，而BE EP⊥，∴=．EF EP6．（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM MN ND==，联结CM、CN．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）如果AE AF=，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【详解】证明：（1）点E、F分别是边BC、DC的中点，BM MN ND==，ME∴是BCN∆的中位线，∆的中位线，NF是CDMNF CM，∴，////ME NC∴四边形AMCN是平行四边形；（2）如图，连接AC交BD于O，连接EF，由（1）可知，四边形AMCN是平行四边形，=，=，OM ONAM CN∴=，OA OC=，BM ND∴+=+，OM BM ON ND即OB OD=，∴四边形ABCD是平行四边形，=，AE AF∴∠=∠，AEF AFE点E、F分别是边BC、DC的中点，EF∴是BCD∆的中位线，AMN AEF∠=∠，∴∠=∠，ANM AFE∴∠=∠，AMN ANM∴=，AM ANOM ON=，∴⊥，AC MN即AC BD⊥，∴平行四边形ABCD是菱形．7．（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG BC⊥，交BC的延长线于点G．（1）求证：BE FG=；（2）如果AB DM EC AE⋅=⋅，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=︒，90B ECD∴∠+∠=︒，90BAE BEA又FG BC⊥，∴∠=∠=︒，BGF B90线段AE绕点E顺时针旋转90︒，即：90∠=︒，AEF∴∠+∠=︒，GEF BEA90∴∠=∠，BAE GEF在ABE∆与EGF∆中，B BGF BAE GEF AE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE EGF AAS ∴∆≅∆，BE FG ∴=；（2）如图，连接AM ，DE ，B ECD ∠=∠，BAE GEF ∠=∠，ABE ECM ∴∆∆∽， ∴AB AE EC EM=， AB DM EC AE ⋅=⋅， ∴AB AE EC DM=， ∴AE AE EM DM=， EM DM ∴=，在Rt AEM ∆与Rt ADM ∆中，EM DM AM AM =⎧⎨=⎩， Rt AEM Rt ADM(HL)∴∆≅∆，AD AE ∴=．∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，EM DM =，∴点M 在线段DE 的垂直平分线上，AM ∴垂直平分DE ．8．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在ABC ∆中，AB AC =，顶角A 的正对记作preA ，这时BC preA AB==底边腰．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：（1）60pre ︒的值为 ．（A ）12； （B ）1；（C ； （D ）2．（2）对于0180A ︒<<︒，A ∠的正对值preA 的取值范围是 ．（3）如果8sin 17A =，其中A ∠为锐角，试求preA 的值．【答案】见解析【详解】（1）在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒， ABC ∴∆为等边三角形，BC AB ∴=，601BC pre AB∴︒==， 故答案为：B ；（2）在ABC ∆中，根据三角形的三边关系得，BC AB AC <+， AB AC =，2BC AB ∴<，2BC preA AB∴=<， 0preA >，02preA ∴<<，故答案为：02preA <<；（3）如图，过点B 作BD AC ⊥于D ，则90ADB ∠=︒， 8sin 17BD A AB ==，∴设17AB k =，8(0)BD k k =≠，在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，15AD k ，ABC ∆是等腰三角形，17AB AC k ∴==．2DC AC AD k ∴=-=，在Rt BCD ∆中，BC ==，BC preA AB ∴===．9．（2022•黄浦区二模）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB AC =，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点．（1）求证：AOM AON ∠=∠；（2）如果//AE ON ，//AF OM ，求证：212OE OM AO ⋅=．【答案】见解析【详解】证明：（1）M 、N 分别是AB 、AC 的中点， OM AB ∴⊥，ON AC ⊥，AB AC =，AM AN ∴=，在Rt AMO ∆和Rt ANO ∆中，AO AO AM AN =⎧⎨=⎩， Rt AMO Rt ANO(HL)∴∆≅∆，AOM AON ∴∠=∠；（2）//AE ON ，//AF OM ，∴四边形AEOF 是平行四边形，EAO AON ∠=∠， AOM AON ∠=∠，EAO AOM ∴∠=∠，EA EO ∴=，∴四边形AEOF 是菱形，连接EF ，与AO 交于点H ，AO EF ∴⊥，12OH OA =， 90OHE OMA ∠=∠=︒，EOH AOM ∠=∠，OEH OAM ∴∆∆∽， ∴OE OH OA OM=， OE OM OH OA ∴⋅=⋅，212OE OM AO ∴⋅=． 10．（2022•长宁区二模）已知：如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG GD =，联结BG 并延长，交边AC 于点E ．（1）求证：2AE BD CE BC=； （2）如果D 是边BC 的中点，P 是边BC 延长线上一点，且CP BC =，延长线段BE ，交线段AP 于点F ，联结CF 、CG ，求证：四边形AGCF 是平行四边形．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图，过点D 作//DH AC ，交BE 于H ，//DH AC ，DHG AEG ∴∆∆∽， ∴DG DH AG AE=， 2AG GD =，12DH AE ∴=， //DH AC ，BDH BCE ∴∆∆∽， ∴12AE BD DH BC CE CE==， ∴2AE BD CE BC=； （2）证明：如图，D 是边BC 的中点，22BC BD CD ∴==， ∴21AE BD CE BC==， AE CE ∴=，2CP BC CD ==， ∴13CD CP =， 2AG GD =， ∴13DG AD =， ∴CD DG CP AD=，又ADP GDC ∠=∠，DGC DAP ∴∆∆∽，DGC DAP ∴∠=∠，//GC AP ∴，GEC FEA ∴∆∆∽， ∴1GE CE EF AE==， GE EF ∴=，∴四边形AGCF 是平行四边形．11．（2022•金山区二模）如图，已知：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，其中点D 在边BC 上，点F 是AB 边上一点，且BF CD =．（1）求证：//DE CF ；（2）联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF FM FC =⋅，求证：//DF AC ．【答案】见解析【详解】证明：（1）如图1，ABC ∆是等边三角形，AC BC ∴=，60ACB B ∠=∠=︒，在ACD ∆和CBF ∆中，AC CB ACD B CD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆，CAD BCF ∴∠=∠，ADE ∆是等边三角形，60ADE ACB ∴∠=∠=︒，ADE BDE ACB CAD ∠+∠=∠+∠，BDE CAD ∴∠=∠，BDE BCF ∴∠=∠，//DE CF ∴；（2）如图2，2DF FM FC =⋅， ∴DF FC FM DF=， DFM CFD ∠=∠，DFM CFD ∴∆∆∽，FDM FCD ∴∠=∠，CAD BCF ∠=∠，FDM CAD ∴∠=∠，//DF AC ∴．12．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，//DF AC ，2BD AD =，2AE EC =．（1）如果2AB AC =，求证：四边形ADFE 是菱形；（2）如果AB ，且1BC =，联结DE ，求DE 的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：2BD AD =，2AE EC =， ∴BD AE AD CE=，//DF AC ， ∴BD BF AD CF =， ∴BF AE CF CE=， //EF AB ∴，又//DF AC ，∴四边形ADFE 是平行四边形，2AB AC =，23AE AC =， 13AE AB ∴=， AD AE ∴=，四边形ADFE 是平行四边形，∴四边形ADFE 是菱形；（2）如图，在ADE ∆和ACB ∆中，A ∠是公共角，133AB AC AD AC AC AC ===，2233AC AC AE AB AB ===， ADE ACB ∴∆∆∽，1BC =，DE ∴=．13．（2022•徐汇区二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF AE ⊥，交边CB 的延长线于点F ，联结EF 交边AB 于点G ，连接AC ．（1）求证：AEF DAC ∆∆∽；（2）如果FE 平分AFB ∠，联结CG ，求证：四边形AGCE 为菱形．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形，//AB CD∴，AB DC=，90BCD DAB ABC D∠=∠=∠=∠=︒，18090ABF ABC∴∠=︒-∠=︒，AE AF⊥，90FAE∴∠=︒，FAE BAE DAB BAE∴∠-∠=∠-∠，BAF DAE∴∠=∠，90D ABF∠=∠=︒，ABF ADE∴∆∆∽，∴AB AF AD AE=，∴DC AFAD AE=，90D FAE∠=∠=︒，AEF DAC∴∆∆∽；（2）如图：FE平分AFB∠，AFE CFE∴∠=∠，90FAE BCD∠=∠=︒，EF EF=，()AFE CFE AAS∴∆≅∆，AF CF∴=，AE EC=，FG FG=，()AFG CFG SAS∴∆≅∆，FAG FCG∴∠=∠，BAF DAE∠=∠，DAE FCG∴∠=∠，90DAE AED∠+∠=︒，90BCG DCG∠+∠=︒，DCG AED ∴∠=∠，//AE CG ∴，//AB CD ，∴四边形AGCE 是平行四边形，AE EC =，∴四边形AGCE 为菱形．14．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；（2）如果2BE AB EF =⋅，求证：ECF BAE ∠=∠．【答案】见解析【详解】证明：（1）//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠， //DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，BAF AED ∠=∠， ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠， AB AE ∴=，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形，AF CD ∴=，AF DE ∴=，在ABF ∆和EAD ∆中，AB AE BAF AED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴∆≅∆；（2）2BE AB EF =⋅，AB AE =， ∴BE EF AE BE=， 又AEB BEF ∠=∠，EBF EAB ∴∆∆∽，FBE BAE ∴∠=∠，由（1）得ABF EAD ∆≅∆，BF AD ∴=，在平行四边形AFCD 中，AD CF =，BF CF ∴=，FBE ECF ∴∠=∠，ECF BAE ∴∠=∠．15．（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别是线段OC 、OD 的中点，联结AF 、BE ．（1）求证：四边形ABEF 是等腰梯形；（2）过点O 作OM AB ⊥，垂足为点M ，联结ME ，如果OME BAC ∠=∠，求证：四边形AMEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AO CO =，BO DO =，AC BD =，DO CO ∴=，AO BO =，点E 、F 分别是线段OC 、OD 的中点，//EF DC ∴，12OE OC =，12OF OD =， //EF AB ∴，OE OF =，OF OB OE OA∴+=+，即AE BF=，∴四边形ABEF是等腰梯形；（2）连接MF，点E、F分别是线段OC、OD的中点，∴12EF CD=，OA OB=，OM AB⊥，∴12AM BM AB==，四边形ABCD是矩形，AB CD∴=，EF AM∴=，由（1）知：//EF AM，∴四边形AMEF是平行四边形，同理：四边形BMFE是平行四边形，OA OB=，OAB OBA∴∠=∠，又OME BAC∠=∠，OME OBA∴∠=∠，90OME BME∠+∠=︒，90OBA BME∴∠+∠=︒，OB ME∴⊥，∴平行四边形BMFE是菱形，BE BM∴=，又四边形ABEF是等腰梯形，BE AF∴=，又BM AM=，AF AM ∴=，∴四边形AMEF 是菱形．16．（2022•松江区二模）已知：如图，两个DAB ∆和EBC ∆中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上，联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：DF AB BF BC=； （2）如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．【答案】见解析【详解】证明：（1）DA DB =，EB EC =， ∴DA DB EB EC=， ADB BEC ∠=∠，DAB EBC ∴∆∆∽，DAB EBC ∴∠=∠，DA AB EB BC=， //AD EB ∴，DAF AEB ∴∠=∠，ADF DBE ∠=∠，ADF EBF ∴∆∆∽， ∴AD DF EB BF =， ∴DF AB BF BC=； （2）2BE BF BD =⋅， ∴BE BD BF BE=， DBE EBF ∠=∠，BFE BED ∴∆∆∽，BEF BDE ∴∠=∠，DAF AEB ∠=∠，DAF BDE ∴∠=∠，ADF DBE ∠=∠，AD DB =，()ADF DBE ASA ∴∆≅∆，DF BE ∴=．17．（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AC AD =，点E 在边BC 上，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，联结DE ．（1）求证：BC DE =；（2）当AC BC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见解析【详解】证明：（1）BAE CAD ∠=∠，BAE EAC CAD EAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠．在ABC ∆与AED ∆中，AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()ABC AED SAS ∴∆≅∆．BC DE ∴=；（2）由（1）可知，ABC AED ∆≅∆，B AED ∴∠=∠，BC DE =，AC AD =，AC BC =，BC AD DE ∴==，EAD AED ∴∠=∠，B EAD ∴∠=∠，AB AE =，AEB B ∴∠=∠，EAD AEB ∴∠=∠，//AD BC ∴，∴四边形ABCD 是平行四边形．18．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 的延长线上，DE DC =，联结BE ，分别交边DC 、对角线AC 于点F 、G ，AD FD =．（1）求证：AC BE ⊥；（2）求证：CF AC DF BE=．【答案】见解析【详解】证明：（1）DE DC =，AD FD =，90EDF CDA ∠=∠=︒， ()CDA EDF SAS ∴∆≅∆，AEG ACD ∴∠=∠，90ACD DAC ∠+∠=︒，90AEG DAC ∴∠+∠=︒，90AGE ∴∠=︒，AC BE ∴⊥．（2）在矩形ABCD 中，//BC AD ，//BC DE ∴， BCF EDF ∴∆∆∽， ∴CF BC DF DE=， BC AD =，DE CD =， ∴CF AD DF CD=， 由（1）得90AGE CDA ∠=︒=∠，AEG ACD ∠=∠， CDA EAB ∴∆∆∽， ∴AC AD BE AB=， AB CD =， ∴AC AD BE CD=，∴CF AC DF BE=． 19．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，AB AC =，点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，且AM CN =，AM AN <，联结OM 、ON ．（1）求证：OM ON =；（2）当BAC ∠为锐角时，如果2AO AM AC =⋅，求证：四边形AMON 为等腰梯形．【答案】见解析【详解】证明：（1）过点O 作OE AB ⊥于点E ，OF AC ⊥于点F ，如图，AB AC =，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OE OF ∴=，12AE CF AB ==． AM CN =，AE AM FC CN ∴-=-，即：EM FN =．在OEM ∆和OFN ∆中，90EM FN MEO NFO OE OF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OEM OFN SAS ∴∆≅∆．OM ON ∴=；（2）连接OB ，如图，2AO AM AC =⋅，AC AB =，2AO AM AB ∴=⋅， ∴OA AB OM OA=． MAO OAB ∠=∠，OAM BAO ∴∆∆∽，AOM B ∴∠=∠．OA OB =，OAB B ∴∠=∠，OAB AOM ∴∠=∠，OM AM ∴=．OM ON =，AM ON ∴=．OE OF =，OE AB ⊥，OF AC ⊥，OAB OAC ∴∠=∠，AOM OAC ∴∠=∠，//OM AN ∴．AM AN <，OM AN ∴<，∴四边形AMON 为梯形，AM ON =，∴四边形AMON 为等腰梯形．20．（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，//CF AE ，12CF BD =． （1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2AE AD DC =⋅．【答案】见解析【详解】证明：（1）90BAD ∠=︒，E 为BD 的中点， 12AE DE BD ∴==， 12CF BD =， AE CF DE ∴==，//CF AE ，∴四边形AECF 是平行四边形， 90BCD ∠=︒，E 为BD 的中点，12CE BD ∴=， AE CE ∴=，∴四边形AECF 为菱形；（2）四边形AECF 为菱形，//AD CE ∴，ADE DEC ∴∠=∠， DCG DEC ∠=∠，ADE DCG ∴∠=∠，//AE CF ，EAD CFD ∴∠=∠，ADE FCD ∴∆∆∽，∴AD DE CF CD=， CF DE AD CD ∴⋅=⋅， AE CF DE ==，2AE AD DC ∴=⋅．21．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD ，以AB 为边在正方形外作等边ABE ∆，过点E 作EF AB ⊥与边AB 、CD 分别交于点F 、点G ，点O 在线段EG 上，且DO CD =．（1）求证：//AE DO ；（2）联结AO 、DE ，DE 分别交AO 、AB 于点M 、Q ，求证：EQ EF AD DM=．【答案】见解析【详解】（1）证明：ABE ∆是等边三角形， AE AB ∴=，四边形ABCD 是正方形，AB BE AD CD ∴===，90BAD ADC ∠=∠=︒， OD CD =，OD AE ∴=，EF AB ⊥，//AB CD ，EF CD ∴⊥，∴四边形ADGF 为矩形，AF DG ∴=，AD FG =，在Rt AFE ∆和Rt DGO ∆中，AE OD AF DG =⎧⎨=⎩， Rt AFE Rt DGO(HL)∴∆≅∆，EF OG ∴=，OE FG ∴=，AD OE ∴=，又//AD OE ，∴四边形ADOE 为平行四边形，//AE DO ∴；（2）证明：四边形ADOE 为平行四边形，AD OD CD ==， ∴四边形ADOE 为菱形，AO ED ∴⊥，90AMD ∴∠=︒，又90EFQ ∠=︒，AMD EFQ ∴∠=∠，又//AD EF ，ADM QEF ∴∠=∠，QEF ADM ∴∆∆∽， ∴EQ EF AD DM=． 22．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，B A ∠>∠，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，//CF AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）联结BE ，如果BE CD ⊥，求证：AB =．【答案】见解析【详解】证明：（1）点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， 90ACB ∠=︒， 90AED ACB ∴∠=∠=︒，DF AC ∴⊥，//DE BC ，//CF AB ，∴四边形DBCF 为平行四边形， DF BC ∴=，1122EF DF DE BC CB CB ∴=-=-=， DE EF ∴=，AE CE =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AC DF ⊥，∴四边形ADCF 是菱形；（2）如图，设DE a =，CE b =，则2BC a =，BE CD ⊥，90COE OCE CEO ∴∠=∠+∠=︒，90CBE BEC ∠+∠=︒，DCE CBE ∴∠=∠，90BCE CED ∠=∠=︒，BCE CED ∴∆∆∽， ∴CE BC ED CE =，即2b a a b=， 222b a ∴=，由勾股定理得：22223CD a b a =+=，222222(2)6BE BC CE a b a =+=+=，222BE CD ∴=，12AD CD AB ==，AB ∴=．23．（2022•徐汇区模拟）如图，四边形ABCE 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BF CE ⊥于点F ，点D 为BF 上一点，且BAD CAE ∠=∠．（1）求证：AD AE =；（2）设BF 交AC 于点G ，若22BC BD BG =⋅，判断四边形ADFE 的形状，并证明．【答案】见解析【详解】（1）证明：BF CE ⊥，90BFC ∴∠=︒，BFC BAC ∴∠=∠，CGF AGB ∠=∠，ABG ACF ∴∠=∠，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，()BAD CAE ASA ∴∆≅∆，AD AE ∴=；（2）解：四边形ADFE 是正方形，理由如下：ABC ∆是等腰直角三角形，222BC AB ∴=，22BC BD BG =⋅，2AB BD BG ∴=⋅，ABD ABG ∠=∠，ABD GBA ∴∆∆∽，90BAG BDA ∴∠=∠=︒，BAD CAE ∆≅∆，90BDA AEC ∴∠=∠=︒，90ADF DAE E ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，AD AE =，∴四边形ADFE 是正方形．24．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边ABC ∆中，D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CD BF =，以AD 为边向左作等边ADE ∆，联结CF 、EF ．（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；（2）当45DEF ∠=︒时，求BD CD的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，AC CB ∴=，ACD B ∠=∠，又CD BF =，()ACD CBF SAS ∴∆≅∆，DAC FCB ∴∠=∠，BAD ACF ∴∠=∠，180120EDB ADE ADC ADC∠=︒-∠-∠=︒-∠，180120FCB B CFB CFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，EDB FCB ∴∠=∠，//CF DE ∴，∴四边形CDEF 是平行四边形； （2）解：过F 作FG BC ⊥于G ，四边形CDEF 是平行四边形，45DEF ∠=︒，45FCB DEF ∴∠=∠=︒，FG CG ∴=，设BG x =，则tan 60CG FG BG ==⋅︒=，2cos60BG CD BF x ===︒，(1BC BG CG x ∴=+=，(121)BD BC CD x x x ∴=-=+-=，∴BD CD ． 25．（2022•宝山区模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且DEF ADC ∠=∠．（1）求证：EF AB BF DB=；（2）如果22BD AD DF =，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【答案】见解析【详解】（1）证明：平行四边形ABCD ，//AD BC ∴，//AB DC180BAD ADC ∴∠+∠=︒，又180BEF DEF ∠+∠=︒，BAD ADC BEF DEF ∴∠+∠=∠+∠，DEF ADC ∠=∠， BAD BEF ∴∠=∠，//AD BC ，EBF ADB ∴∠=∠，ADB EBF ∴∆∆∽， ∴EF AB BF DB=； （2）ADB EBF ∆∆∽， ∴AD BE BD BF=， 在平行四边形ABCD 中，12BE ED BD ==， 212AD BF BD BE BD ∴==， 22BD AD BF ∴=，又22BD AD DF =，BF DF ∴=，DBF ∴∆是等腰三角形，BE DE =，FE BD ∴⊥，即90DEF ∠=︒，90ADC DEF∴∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD是矩形．26．（2022•徐汇区校级模拟）如图，已知O经过菱形ABCD的顶点A，C，且与CD相切，直径CF交AB于点E．（1）求证：AD与O相切；（2）若34DCCF=，求AECE的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接OA，OD，O与CD相切，OC为半径，90DCO∴∠=︒，O经过菱形ABCD的顶点A，C，OA OC∴=，AD CD=，OD OD=，()OAD OCD SSS∴∆≅∆，90OAD OCD∴∠=∠=︒，OA 为半径，AD ∴与O 相切；（2）解：如图2，连接OA ，OD ，，，， ， ， ，，垂直平分，，，，，， 在中，． 27．（2022•普陀区模拟）如图，在梯形中，，，，点在对角线上，作，连接，且满足．（1）求证：．（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．AC 12CO CF =34DC CF =∴32DC CO =2tan 3CO CDO CD ∴∠==DC DA =OA OC =OD ∴AC 90CDO ACE ∴∠+∠=︒90OCD ∠=︒90DCA ACE ∴∠+∠=︒CDO ACE ∴∠=∠2tan tan 3CDO ACE ∴∠=∠=Rt CAE ∆2tan 3AE ACE CE ∠==ABCD //AD BC 90BCD ∠=︒BC DC =E BD 90ECF ∠=︒DF CF EC =BD DF ⊥2BC DE DB =DECF【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，，，，，；（2）解：四边形是正方形．，，，， ，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形． 28．（2022•宝山区模拟）如图，在中，，是边上的高，点在线段上，，，垂足分别为，．求证：（1）； （2）．【答案】见解析【详解】（1）证明：在和中，是边上的高，，，，又为公共角，，．（2）证明：在四边形中，，四边形为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），90BCD ECF ∠=∠=︒BCE DCF ∴∠=∠BC DC =EC CF =BCE DCF ∴∆≅∆EBC FDC ∴∠=∠BC DC =90BCD ∠=︒45DBC BDC ∴∠=∠=︒45FDC ∴∠=︒90FDB ∴∠=︒BD DF ∴⊥DECF 2BC DE DB =BC DC =2DC DE DB ∴=∴DC DE DB DC=CDE BDC ∠=∠CDE BDC ∴∆∆∽90DEC DCB ∴∠=∠=︒90FDE ECF ∠=∠=︒∴DECF CE CF =∴DECF ABC ∆90BAC ∠=︒AD BC E DC EF AB ⊥EG AC ⊥F G EG CG AD CD=FD DG⊥ADC ∆EGC ∆AD BC EF AB ⊥EG AC ⊥90ADC EGC ∴∠=∠=︒C ∠ADC EGC ∴∆∆∽∴EG CG AD CD=AFEG 90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=︒∴AFEG．由（1）知， ， ， 为直角三角形，，，，又，，即，．29．（2022•徐汇区模拟）如图，已知梯形中，，，平分，交于点，是的中点，联结、，且．求证：（1）四边形是菱形；（2）．【答案】见解析【详解】证明：（1），， 平分，，，，，，是的中点，，AF EG ∴=EG CG AD CD =∴AF CG AD CD =∴AF AD CG CD=ABC ∆AD BC ⊥FAD C ∴∠=∠AFD CGD ∴∆∆∽90CDG ADG ∠+∠=︒90ADF ADG ∴∠+∠=︒90FDG ∠=︒FD DG ∴⊥ABCD //AB CD 90D ∠=︒BE ABC ∠CD E F AB AE EF AE BE ⊥BCEF 2BE AE AD BC ⋅=⋅//AB CD EBF BEC ∴∠=∠BE ABC ∠CBE FBE ∴∠=∠BEC CBE ∴∠=∠CE CB ∴=AE BE ⊥90AEB ∴∠=︒F AB AF EF BF ∴==，，，而，四边形为平行四边形，，四边形为菱形；（2）过点作于，如图，，，，，，，，，即， ， ， 即．30．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，，点在上，以、为腰做等腰，且，连接，过作交延长线于，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是矩形．FBE FEB ∴∠=∠FEB CBE ∴∠=∠//EF BC ∴//CE BF ∴BCEF CB CE =∴BCEF C CH BE ⊥H CE CB =BH EH ∴=90AED DAE ∠+∠=︒90CEB AED ∠+∠=︒DAE CEB CBE ∴∠=∠=∠D CBH ∠=∠ADE BHC ∴∆∆∽∴AD AE BH BC=BH AE AD BC ⋅=⋅12BH BE =∴12BE AE AD BC ⋅=⋅2BE AE AD BC ⋅=⋅ABC ∆AB AC =D BC AD AE ADE ∆ADE ABC ∠=∠CE E //EF BC CA F BF ECA ABC ∠=∠AF AB =FBDE【答案】见解析【详解】证明：（1），，， 同理，，，，又，，，；（2），， ，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，， ，即，平行四边形是矩形．31．（2022•浦东新区校级模拟）如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点．AB AC =ABC ACB ∴∠=∠1802BAC ABC ∴∠=︒-∠1802DAE ADE ∠=︒-∠ABC ADE ∠=∠BAC DAE ∴∠=∠BAD CAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =()ABD ACE SAS ∴∆≅∆ECA ABC ∴∠=∠ECA ABC ∠=∠ABC ACB ∠=∠ECF ACB ∴∠=∠//EF BC EFC ACB ∴∠=∠EFC ECF ∴∠=∠EF EC ∴=ABD ACE ∆≅∆BD EC ∴=BD EF ∴=∴FBDE AF AB AC ==AFB ABF ∴∠=∠ABC ACB ∠=∠180AFB ABF ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒90ABF ABC ∴∠+∠=︒90CBF ∠=︒∴FBDE ABC ∆AB O C O D AB E D BC DE BC M D DE EC F DF AC N。
九年级上册数学练习册答案 (5)
九年级上册数学练习册答案第一章：有理数1.1 有理数的概念与表示答案略1.2 有理数的运算1.有理数的加法和减法–有理数的加法满足交换律、结合律和分配律；–有理数的减法可以转化为加法运算进行计算。
2.有理数的乘法和除法–有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律；–有理数的除法可以转化为乘法运算进行计算。
1.3 有理数的大小比较1.有理数的大小比较方法–对于同符号的有理数，绝对值越大表示数值越大；–对于异符号的有理数，绝对值不同的比较绝对值大小。
2.有理数的大小比较练习题：1.比较下列有理数的大小：-3，-5，-4，0，-1，1；2.在数轴上表示出-7/3、-8/3、-9/3三个有理数，并比较它们的大小。
第二章：代数式与方程2.1 代数式1.代数式的概念与性质–代数式由常数和变量通过四则运算符号组成；–代数式可以进行加、减、乘、除等运算。
2.代数式化简的基本方法–同类项合并；–因式分解。
2.2 简单方程1.方程的概念与性质–方程由等号连接的两个代数式组成；–方程称为恒等式当且仅当方程对于任何数都成立。
2.一元一次方程–一元一次方程的定义与解法。
2.3 一元一次方程的应用1.一元一次方程的实际问题–利用一元一次方程解决实际问题的例题。
第三章：相交与平行线3.1 平面与角1.角的概念与性质–角是由两条射线共同起点所围成的图形；–角的比较方法：锐角、直角、钝角。
2.角的计算–利用已知角求未知角的计算方法。
3.2 平行线与相交线1.平行线与相交线的定义与判定条件–两直线平行的条件；–两直线相交的条件。
2.平行线与相交线的性质–平行线与相交线所形成的角的性质；–相交线所形成的邻补角和对顶角的关系。
3.3 平行线与相交线的应用1.解题思路与方法–利用平行线与相交线性质解决几何问题的思路与方法。
2.实际问题–利用平行线与相交线解决实际问题的例题。
第四章：平面中的图形4.1 多边形及其性质1.多边形的定义与性质–多边形是由多条线段组成的封闭图形；–多边形的边数与角数对应关系。
数学中考基础冲刺训练5(含答案)
数学中考基础冲刺训练一．选择题（每题3分，满分30分）1．在有理数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2中，最大的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．22．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5 B．x≤5C．x≥5D．x＞53．下列运算中，正确的是（）A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a54．从不同方向看某物体得到如图所示的三个图形，那么该物体是（）A．长方体B．圆柱C．正方体D．圆锥5．解方程组的最佳方法是（）A．代入法消去a，由②得a＝b+2 B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2aC．加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3 D．加减法消去b，①+②得3a＝96．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，则配方后所得的方程为（）A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝87．实数在数轴上位于两个连续整数之间，这两个连续整数为（）A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和78．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（）A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°C．x+y+z＝180°D．y+z﹣x＝90°9．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153 B．218 C．100 D．21610．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ 的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．二．填空题（满分24分，每小题3分）11．计算（﹣π）0﹣（﹣1）2018的值是．12．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为．13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝．14．如图，点A在线段DE上，AB⊥AC，垂足为A，且AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别为D、E，若ED ＝12，BD＝8，则CE长为．15．20个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人一天生产3个螺栓或4个螺母，且一个螺栓配2个螺母，如何分配工人生产螺栓和螺母？如果设生产螺栓的工人数为x个，根据题意可列方程为：．16．圆锥侧面积为32πcm2，底面半径为4cm，则圆锥的母线长为．17．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是．18．如图，已知▱ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．三．解答题19．（8分）解不等式，并把解集表示在数轴上．20．（8分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．21．（8分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？（1）请利用题意补全图形（2）理由．22．（9分）不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，它们除颜色外无其它差别．（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出所有等可能的结果有多少种？两次摸出的球中至少有一个红球的概率是多少？（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球都是红球”的概率是．23．（8分）甲、乙两个公司为某国际半程马拉松比赛各制作6400个相同的纪念品．已知甲公司的人数比乙公司人数少20%，乙公司比甲公司人均少做20个，甲、乙两公司各有多少人？24．（10分）某班级组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有10人参加本次比赛，成绩如下（10分制）甲10 8 7 9 8 10 10 9 10 9乙7 8 9 7 10 10 9 10 10 10（1）甲队成绩的众数是分，乙队成绩的中位数是分．（2）计算乙队成绩的平均数和方差．（3）已知甲队成绩的方差是1分2，则成绩较为整齐的是队．参考答案一．选择题1．解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜1＜2，∴在有理数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2中，最大的数是2．故选：D．2．解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C3．解：A、6a﹣5a＝a，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，正确；C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；D、（a2）3＝a6，故此选项错误；故选：B．4．解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，故选：B．5．解：解方程组的最佳方法是加减法消去b，①+②得3a＝9，故选：D．6．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，故选：D．7．解：∵＜＜，∴的值在两个连续整数之间，这两个连续整数是：4和5．故选：B．8．解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．9．解：设y＝ax2+bx+c，，得，∴y＝0.1x2﹣8x+153，∵C型小正方形白色块数与黑色块数之和是：25×25﹣7×7×3﹣5×5＝453，∴x+（0.1x2﹣8x+153）＝453，解得，x1＝100，x2＝﹣30（舍去），∴y＝0.1×1002﹣8×100+153＝353，即C型小正方形黑色块数为100，故选：C．10．解：∵AD＝5，AN＝3，∴DN＝2，如图1，过点D作DF⊥AB，∴DF＝BC＝4，在RT△ADF中，AD＝5，DF＝4，根据勾股定理得，AF＝＝3，∴BF＝CD＝2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s，∴AP＝3，即QP⊥AB，∴只分三种情况：①当0＜t≤2时，如图1，过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴，由题意得，NQ＝t，MP＝t，∵AM＝1，AN＝3，∴AQ＝t+3，∴，∴QG＝（t+3），∵AP＝t+1，＝AP×QG＝×（t+1）×（t+3）＝（t+2）2﹣，∴S＝S△APQ当t＝2时，S＝6，②当2＜t≤4时，如图2，∵AP＝AM+t＝1+t，＝AP×BC＝（1+t）×4＝2（t+1）＝2t+2，∴S＝S△APQ当t＝4时，S＝10，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ ＝t ﹣4，PB ＝t +AM ﹣AB ＝t +1﹣5＝t ﹣4， ∴PQ ＝BC ﹣CQ ﹣PB ＝4﹣（t ﹣4）﹣（t ﹣4）＝12﹣2t ， ∴S ＝S △APQ ＝PQ ×AB ＝×（12﹣2t ）×5＝﹣5t +30， 当t ＝5时，S ＝5，∴S 与t 的函数关系式分别是①S ＝S △APQ ＝（t +2）2﹣，当t ＝2时，S ＝6，②S ＝S △APQ ＝2t +2，当t ＝4时，S ＝10，③∴S ＝S △APQ ＝﹣5t +30，当t ＝5时，S ＝5，综合以上三种情况，D 正确 故选：D ． 二．填空11．解：原式＝1﹣1 ＝0，故答案为：012．解：4400000000＝4.4×109．故答案为：4.4×109 13．解：原式＝﹣y （y 2﹣6xy +9x 2）＝﹣y （3x ﹣y ）2， 故答案为：﹣y （3x ﹣y ）2 14．解：∵BD ⊥DE ，CE ⊥DE ， ∴∠D ＝∠E ＝90°，∠ABD +∠BAD ＝90°， ∵AB ⊥AC ，∴∠BAD +∠EAC ＝90°， ∴∠ABD ＝∠EAC ， 在△ABD 和△CAE 中，，∴△ABD ≌△CAE （ASA ）， ∴BD ＝AE ＝8，AD ＝CE ， ∴AD ＝ED ﹣AE ＝12﹣8＝4， ∴CE ＝4故答案为：4．15．解：设安排x 名工人生产螺栓，则需安排（20﹣x ）名工人生产螺母，根据题意，得：2×3x ＝4（20﹣x ）， 故答案是：2×3x ＝4（20﹣x ）． 16．解：设圆锥的母线长为lcm ， 则×2π×4×l ＝32π，解得，l ＝8， 故答案为：8cm ．17．解：∵A （﹣2，1），B （1，﹣2），由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜1． 故答案为x ＜﹣2或0＜x ＜1．18．解：过点B 作BD ⊥直线x ＝7，交直线x ＝7于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线x ＝2与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线x ＝7与AB 交于点N ，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD＝OF＝2，∴OE＝7+2＝9，∴OB＝．∵OE的长不变，∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9．故答案为：9．三．解答19．解：2（x+2）﹣5（x﹣2）≥20，2x+4﹣5x+10≥20，2x﹣5x≥20﹣4﹣10，﹣3x≥6，x≤﹣2，将不等式的解集表示在数轴上如下：20．解：（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝．21．解：（1）补全图形，如图所示．（2）理由：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠B＝∠EDC＝90°．在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED．22．解：（1）画树状图为：共有25种等可能的结果数，两次摸出的球中至少有一个红球的结果数为21，所以两次摸出的球中至少有一个红球的概率＝；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，两次取出的球都是红球的结果数为6，所以两次取出的球都是红球的概率＝＝．故答案为23．解：设乙公司有x人，则甲公司有（1﹣20%）x人，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣20%）x＝64．答：甲公司有64人，乙公司有80人．24．解：（1）甲队成绩中出现次数最多的是10分，因此众数是10，乙队成绩从小到大排列后处在第5、6两个数的平均数为＝9.5，因此中位数为9.5，故答案为：10，9.5；（2）乙队的平均数为：＝9，＝[（7﹣9）2×2+（8﹣9）2+（10﹣9）2×5]＝1.4，∵1＜1.4，∴甲队比较整齐，故答案为：甲．。
中考必刷题练习册2024数学
中考必刷题练习册2024数学【练习一】代数基础1. 计算下列表达式的值：(a) \( 3x^2 - 2x + 1 \) 当 \( x = -1 \) 时(b) \( \frac{2}{3}a^3b - \frac{1}{4}a^2b^2 +\frac{1}{6}ab^3 \) 当 \( a = 2 \) 且 \( b = 3 \) 时2. 解下列一元一次方程：(a) \( 5x - 3 = 14 \)(b) \( 2x + 7 = 3x - 2 \)3. 简化下列代数式：(a) \( 4x^2 + 5x - 6 \) 与 \( 3x^2 - 2x + 1 \) 的差(b) \( \frac{2a^2 - 3a + 1}{a + 1} \) 乘以 \( \frac{a - 1}{a^2 - 1} \)【练习二】几何问题1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 6 厘米和 8 厘米，求斜边的长度。
2. 一个圆的半径为 10 厘米，求圆的周长和面积。
3. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是 36 厘米，求长和宽。
【练习三】统计与概率1. 一个班级有 30 名学生，其中 18 名喜欢足球，12 名喜欢篮球。
如果随机选择一名学生，求以下概率：(a) 选中喜欢足球的学生(b) 选中喜欢篮球的学生2. 一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，如果随机抽取两个球，求以下概率：(a) 抽到两个红球(b) 抽到一个红球和一个蓝球3. 一个骰子掷出两次，求以下概率：(a) 两次都掷出 6(b) 至少一次掷出 6【练习四】函数与图像1. 画出函数 \( y = x^2 \) 在 \( -3 \leq x \leq 3 \) 范围内的图像。
2. 已知函数 \( y = 2x + 3 \)，求当 \( y = 0 \) 时的 \( x \) 值。
3. 函数 \( y = |x - 2| \) 的图像是什么样的？描述其特征。
九年级中中考学数学第一轮复习资料5试题
德安初级中学九年级数学中考第一轮复习资料5 新人教版【课前热身】1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，那么大树的高约为________米．〔结果保存根号〕〔第1题〕 2. 某坡面的坡度为13，那么坡角是_______度．3．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( ) A ．150m B ．350m C ．100 m D ．3100m【考点链接】1．解直角三角形的概念：在直角三角形中一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：____________；___________________．3．如图〔1〕解直角三角形的公式：〔1〕三边关系：__________________．〔2〕角关系：∠A+∠B＝_____， 〔3〕边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____， tanA=_____ ，tanB=_____．4．如图〔2〕仰角是____________,俯角是____________．5．如图〔3〕方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图〔4〕坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．A45︒北西东60︒AC 70︒OOA B c baACB〔图2〕 〔图3〕 〔图4〕【典例精析】例1 Rt ABC ∆的斜边AB ＝5, 3cos 5A =，求ABC ∆中的其他量.例2 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．假如渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例3〔07〕为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道〔其横断面为等腰梯形〕，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了．〔如下图〕 求：〔1〕渠面宽EF ；〔2〕修200米长的渠道需挖的土方数．【中考演练】1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，那么 sinA 的值是_________.2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，假设两眼间隔 地面，那么旗杆高度约为_______.〔取3 1.73=，结果准确到〕3．：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保存根号)﹡4．如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一程度面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．测角仪器高CE=，CD=30米，求塔高AB ．〔保存根号〕第七章 四边形课时33．多边形与平面图形的镶嵌【课前热身】1.四边形的内角和等于__________．2．一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，那么第三个正多边形的边数是 ．3. 内角和为1440°的多边形是．4. 一个正多边形的每一个外角都等于72°,那么这个多边形的边数是_________.5.只用以下图形不能镶嵌的是〔〕A．三角形 B．四边形C．正五边形D．正六边形6. 假设n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是〔〕A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形7. 一个多边形内角和是1080，那么这个多边形是〔〕A．六边形 B．七边形C．八边形D．九边形【考点链接】1. 四边形有关知识⑴ n边形的内角和为．外角和为．⑵假如一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．⑶ n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条．2. 平面图形的镶嵌⑴当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.⑵只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．3．易错知识辨析多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．【典例精析】例1 多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．例2 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探究、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的考虑过程．﹡例３请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案.【中考演练】1．假设一个多边形的内角和等于720，那么这个多边形的边数是〔〕A．5 B．6 C．7 D．82.某商店出售以下四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．假设只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖一共有〔〕A．4种 B．3种 C．2种 D．1种3. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，那么∠CAD的度数是°．4. 下面各角能成为某多边形的内角的和的是〔〕A．430° B．4343° C．4320° D．4360°C D5. 一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570，那么这个多边形的边数为〔 〕A ．5B ．6C ．7D ．86．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．〔1〕求它的边数； 〔2〕求少的那个内角的度数．7. 求以下图中x 的值．课时34．平行四边形【课前热身】1．平行四边形ABCD 中，假设∠A＋∠C＝130 o，那么∠D 的度数是 . 2．ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，那么四边形ABCD 的面积是_____.3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，那么对角线AC 的长是 . 4．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°，AE ⊥BD 于E ，那么∠DAE ＝ 度．〔第4题〕5．平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C:∠D 的值可以是〔 〕 A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4ABCDE6．〔08〕在平行四边形ABCD 中，60B ∠=，那么以下各式中，不能．．成立的是〔 〕 A ．60D ∠= B ．120A ∠= C ．180C D ∠+∠= D ．180C A ∠+∠= 【考点链接】 1．平行四边形的性质〔1〕平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.〔2〕平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．〔填“平行〞或者“垂直〞〕〔3〕平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的断定〔1〕定义法：________________________.〔2〕边：________________________或者_______________________． 〔3〕角：________________________． 〔4〕对角线：________________________．【典例精析】 例1 如图，在中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证：△ABF ≌△DCE ；例2 如图,小明用一根36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长为8m ，A BDCEFFD其他三条边各长多少?例3 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 上的点，且DE ＝BF 。
【刷题】初中数学(全国通用)中考专项复习(图形的性质)试题题库05(50题含解析)
【刷题】初中数学（全国通用）中考专项复习（图形的性质）试题题库05（50题含解析）一、填空题1．（2020·温岭模拟）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4 √2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 ．2．（2023·东洲模拟）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．3．（2017·阜宁模拟）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是 ．4．（2023·徐汇模拟）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD，点F是´CD的中点，AF与边DC交于点E，那么EFAE=¿ ．5．（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点A(8，0)、点B(0，6)，⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 ．6．（2023·松江模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正 边形．7．（2023·松江模拟）已知相交两圆的半径长分别为R和r，如果两圆的圆心距为6，且R=2r，试写出一个符合条件的r的值： ．8．（2023·天河模拟）如图，Rt△ABC中，AB=AC=3，点O在AC上，且AO=1，D为BC上任意一点，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为．9．（2022·周村模拟）借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE=¿ °．10．（2022·阳泉模拟）如图，含30°角的直角三角板的直角顶点C落在直尺下边沿上，60°角的顶点A落在直尺上边沿，直角边CD与直尺上边沿交于点B．若∠1＝33°，则∠2＝ ．11．（2022·大理模拟）在平行四边形ABCD中，AB=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AD的长为 ．12．（2022·大理模拟）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c所截，若∠1=30°，则∠2=¿ °．13．（2022·玉溪模拟）如图，已知AB∥CD，若∠1=37°40′，则∠D的度数为 ．14．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB长为8cm，则此弦中点E到这条弦所对弧的中点F的距离是 cm.15．如图，设定点A（1，﹣ √3 ），点P是二次函数 y=12（x+5）2+√3 图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′.已知点B（2，0）、C（3，0）.（1）若点P为（-5，√3），求旋转后得到的点P′的坐标为 .（2）求△BCP′的面积最小值为 .二、选择题16．（2019九下·邓州模拟）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A．认B．真C．复D．习17．（2018·南湖模拟）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=EDB∠；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= 23 MF.其中正确结论的是（ ）A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤18．（2019·松桃模拟）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A．3cm2B．4cm2C．√3cm2D．2 √3 cm2 19．（2020·莲湖模拟）如图，在半径为 √13 的 ⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点E，∠DEB=75° ， AB=6，AE=1 ，则CD的长是（ ）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3 20．（2021·惠山模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）A．40°B．50°C．80°D．100°21．（2021·苏州模拟）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形22．（2023·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）A．内切B．外切C．相交D．外离23．（2023·松江模拟）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（ ）A．12B．13C．14D．2524．（2023·石家庄模拟）阅读下面的材料：甲、乙两人后续证明的部分思路如下：甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．下列判断正确的是（ ）A．甲思路正确，乙思路不符合题意B．甲思路错误，乙思路正确C．甲、乙两人思路都正确D．甲、乙两人思路都错误25．（2023·高明模拟）如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若AB=AC=10，AD=8，则BC的长度为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1626．（2023·东莞模拟）如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC ，分别交BC 、BD 于E 、F ，下列结论：①△ABF ACE ∽△；②BD=AD+BE ；③BE CE =23；④若△ABF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为3+2√2．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．（2023·安徽模拟）如图，在Rt △ABC 中，CE 、CD 分别为斜边AB 上的中线、高线，若AB =10，sin B =35，则下列结论错误的是（ ）A ．∠B =∠BCEB ．S △CDE =8425C ．AD ：DE ：BE =18：7：25D ．BC 2−A C 2≠2DE ⋅AB28．（2023·黄山模拟）在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP 为．（ ）A ．2√3cmB ．√3cmC ．3cmD ．2cm29．（2023·合肥模拟）如图，点P 是⊙O 外的一点，PA 、PC 是⊙O 的切线，切点分别为A ，C ，AB是⊙O的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（ ）A．PO∥BCB．PD=2ODC．若∠ABC=2∠CPO，则△PAC是等边三角形D．若△PAC是等边三角形，则∠ABC=2∠CPO30．（2022·石景山模拟）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱31．（2022·丽江模拟）如图，AB CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（ ）A．64°B．32°C．62°D．96°32．（2022·沈阳模拟）如图，AB是⊙O的切线，切点为点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD，若∠B=32°，则∠OCD的度数为（ ）A．32°B．29°C．28°D．26°∥，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（ ）33．（2023·长丰模拟）直线BD EFA．75°B．80°C．85°D．95°∥，则∠1的度数是（ ）34．（2022·庆云模拟）一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC DEA．65°B．70°C．75°D．80°35．如图，在等边三角形ABC中，AB=8，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，作 MD⊥BC ，垂足为D，作 NE⊥BC ，垂足为E，则DE的长为（ ）A．10B．8√3C．11D．1236．将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示放置，下列结论：①∠1=2∠；②∠3=4∠；③∠2+4=90°∠；④∠4+5=180°.∠正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、综合题37．（2020·晋中模拟）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB ＝2 √5 ，BD ＝4，求OE 的长．38．（2023·徐汇模拟）已知：如图1，四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠B =∠C <90°．（1）求证：四边形ABCD 是等腰梯形；（2）边CD 的垂直平分线EF 交CD 于点E ，交对角线AC 于点P ，交射线AB 于点F ．①当AF =AP 时，设AD 长为x ，试用x 表示AC 的长；②当BF =DE 时，求AD BC的值．39．（2023·徐汇模拟）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．（1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD =120°，求当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离．（结果保留根号）（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？40．（2023·徐汇模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO 并延长交边BC 于点D ，连接OC ，且D C 2=OD ⋅AD ．（1）求证：AC =BC ；（2）当AB =AD 时，过点A 作边BC 的平行线，交⊙O 于点E ，连接OE 交AC 于点F ．请画出相应的图形，并证明：AD ⋅AE =BC ⋅EF ．41．（2023·徐汇模拟）如图，AD 、AE 分别是△ABC 边BC 上的高和中线，已知BC =8，tan B =13，∠C =45°．（1）求AD 的长；（2）求sin ∠BAE 的值．42．（2023·庐江模拟）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．①求证：AP=BQ；②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC=√2，求PB的长；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若AC=1，BC=3，求CD长．43．（2023·大庆模拟）如图，已知一次函数y1=32x−3的图象与反比例函数y2=kx第一象限内的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B．（1）求n和k的值；（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD 于点E，连接AE、BE，求S△ABE．44．（2023·庐江模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是´BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若BE=OE=2，求弧AD的长度．45．（2022·遂川模拟）（1）计算：¿；（2）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC．求证：∠C=2∠D．46．如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x的图象交于A (1，6)，B (a，3)两点.（1）求 k1 、 k2 的值？（2）直接写出 k1x+b−k2x>0 时x的取值范围？（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE OD⊥于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.47．如图所示，已知A、B两点坐标分别为（30，0）和（0，30），动点P从A点开始在折线AO—OB—BA上以每秒3个长度单位的速度运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF x ∥轴），并且分别与y 轴、直线AB 交于E 、F 点.连结FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒.当直线EF 经过点B 时，点P 与直线EF 停止运动.（1）连接PE ，t 为何值时，四边形APEF 为平行四边形？（2）t 为何值时，直线EF 经过点P ？（3）设经过点F 的反比例函数为 y =k x，与AB 的另一个交点为G ；①当t 为何值时，k 有最大值，最大值为多少？②请探索从直线EF 第一次经过点P 起，顺次连接PEGF 所得多边形的面积S 是否存在最大值，若有请求出最大值及相应t 的值，并简要说明理由；若不存在，请说明理由.48．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点.（1）如图，在Rt ABC △中，∠ACB ＝90°，AC=BC ，P 为△ABC 的布洛卡点，且满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB.①求∠APB 的度数；②若AC= √10 ，求线段CP 的长.（2）在等腰三角形ABC 中，AD BC ⊥交BC 边于点D ， AB AD = 54，P 为△ABC 的布洛卡点，求P A PC的值. 49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L ：y =a x 2+bx +3(a≠0)与x 轴交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线L的解析式；（2）已知第一象限内抛物线上一点P，其纵坐标为3，连接BC.将原抛物线L沿射线BC方向平移3√2个单位，得到新的抛物线，点P的对应点为点D，点E为的对称轴上任意一点，在上确定一点F，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点F的坐标. 50．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC.（1）求证：∠CAD=∠ECB：（2）若⊙O的半径为5，CE是⊙O的切线，AE=6.4，求EC的长.答案解析部分1．【答案】4 √5【解析】【解答】解：如图2中，连接EG，作GM EN⊥交EN的延长线于M．在Rt EMG△中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝ √E M2+G M2 ＝ √122+42 ＝4 √10，∴EH EG√2 4 √5，故答案为：4 √5．【分析】连接EG，作GM EN⊥交EN的延长线于M，在Rt EMG△中，利用勾股定理算出EG，进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出EH的长.2．【答案】3 4【解析】【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5三种；故其概率为：3 4．【分析】根据题意，用列举法列举出从有4根细木棒中任取3根所有的取法，从而得出所有等可能的结果共有4中，其中根据三角形三边的关系得出能搭成三角形的共有3种，根据概率公式即可得出答案。
中考数学专题复习单元达标检测真题第五章(含答案)
单元达标测试(五)(第五章)(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形DA．5个B．6个C．7个D．8个2．一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2 570°，则这个内角的度数为B A．120°B．130°C．135°D．150°3．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是AA．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm,第3题图),第4题图),第5题图),第6题图)4．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是BA．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②5．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是DA．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形6．(2017·台湾)已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)，今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示．若旋转后C 点的坐标为(3，0)，则旋转后D点的坐标为DA．(2，2) B．(2，3) C．(3，3) D．(3，2)7．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC 交BD于点O，则∠DOC的度数为AA．60°B．67.5°C．75°D．54°8．(2017·贵阳)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，若△CED 的周长为6，则▱ABCD 的周长为BA ．6B ．12C ．18D ．24,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)9．(2017·呼和浩特)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若AE ＝5，∠EAF ＝135°，则下列结论正确的是CA ．DE ＝1B ．tan ∠AFO ＝13C ．AF ＝102D ．四边形AFCE 的面积为9410．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，∠ADC ＝30°，①四边形ACED 是平行四边形；②△BCE 是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10＋213；④四边形ACEB 的面积是16.则以上结论正确的个数是CA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝120°.,第11题图) ,第12题图),第14题图)12．(2017·怀化)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，OE ＝5 cm ，则AD 的长是10cm .13．(2017·菏泽)菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24 cm ，则菱形的面积为183cm 2.14．(2017·大庆)如图，点M ，N 在半圆的直径AB 上，点P ，Q 在AB ︵上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为5，则正方形的边长为2.15．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当AC AB ＝32时，四边形ADFE 是平行四边形．,第15题图) ,第17题图),第18题图)16．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x ，1)，若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x ＝4或－2.17．(2017·咸宁)如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF ∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°.当n ＝2 017时，顶点A 的坐标为(2，23)．18．(2017·扬州)如图，把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，且DP ⊥BC ，若BP ＝4 cm ，则EC ＝(2＋23)cm .三、解答题(共66分)19．(8分)(2017·大连)如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AC ，垂足E 在CA 的延长线上，DF ⊥AC ，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∴∠BAC ＝∠DCA.∴180°－∠BAC ＝180°－∠DCA.∴∠EAB ＝∠FCD.∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEA ＝∠DFC ＝90°.易证△BEA ≌△DFC.∴AE ＝CF.20．(8分)(2017·漳州)如图，在五边形ABCDE 中，AP 平分∠EAB ，BP 平分∠ABC.(1)五边形ABCDE 的内角和为540度；(2)若∠C ＝100°，∠D ＝75°，∠E ＝135°，求∠P 的度数．解：∵在五边形ABCDE 中，∠EAB ＋∠ABC ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝540°，∠C ＝100°，∠D ＝75°，∠E ＝135°，∴∠EAB ＋∠ABC ＝230°.∵AP 平分∠EAB ，BP 平分∠ABC ，∴∠PAB ＝12∠EAB ，∠PBA ＝12∠ABC.∴∠PAB ＋∠PBA ＝115°.∴∠P ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝65°.21．(8分)(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E ，交CB 的延长线于点F ，连接AF ，BE.(1)求证：△AGE ≌△BGF ；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠AEG ＝∠BFG .∵EF 垂直平分AB ，∴AG ＝BG .在△AGE 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG ＝∠BFG ∠AGE ＝∠BGF AG ＝BG，∴△AGE ≌△BGF(AAS )． (2)四边形AFBE 是菱形，理由如下：∵△AGE ≌△BGF ，∴AE ＝BF.∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形．又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形．22．(10分)(2017·日照)如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即AD ＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．解：(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA AD ＝CE AC ＝CA，∴△DCA ≌△EAC(SSS )． (2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由如下：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°.由(1)得：△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°.∴四边形ABCD 为矩形；故答案为：AD ＝BC(答案不唯一)．23．(10分)(2017·镇江)如图，点B ，E 分别在AC ，DF 上，AF 分别交BD ，CE 于点M ，N ，∠A ＝∠F ，∠1＝∠2.(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；(2)已知DE ＝2，连接BN ，若BN 平分∠DBC ，求CN 的长．解：(1)证明：∵∠A ＝∠F ，∴DE ∥BC.∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF ，∴∠DMF ＝∠2.∴DB ∥EC.∴四边形BCED 为平行四边形．(2)∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN ＝∠CBN.∵EC ∥DB ，∴∠CNB ＝∠DBN.∴∠CNB ＝∠CBN.∴CN ＝BC ＝DE ＝2.24．(10分)如图，正方形ABCD 的边长为6.菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在正方形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，且AH ＝2，连接CF.(1)当DG ＝2时，求证：菱形EFGH 为正方形；(2)设DG ＝x ，试用含x 的代数式表示△FCG 的面积．解：(1)证明：在△HDG 和△AHE 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D ＝∠A ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴HG ＝HE.∵DG ＝AH ＝2，∴Rt △HDG ≌Rt △EAH.∴∠DHG ＝∠AEH.∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°.∴∠GHE ＝90°.∴菱形EFGH 为正方形．(2)过点F 作FM ⊥CD ，垂足为点M ，连接GE.∵CD ∥AB ，∴∠AEG ＝∠MGE.∵GF ∥HE ，∴∠HEG ＝∠FGE.∴∠AEH ＝∠FGM.又∵∠A ＝∠M ＝90°，HE ＝FG ，∴Rt △AHE ≌Rt △MFG .∴MF ＝2.∵DG ＝x ，∴CG ＝6－x.∴S △FCG ＝12CG·FM ＝6－x.25．(12分)(2017·十堰)已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，∠BAO ＝90°，AC ∥OP 交OM 于点C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于点E.(1)如图①，若点B 在OP 上，则①AC ＝OE(填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA ，CO ，CD 满足的等量关系式是AC 2＋CO 2＝CD 2；(2)将图①中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(0°＜α＜45°)，如图②，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；(3)将图①中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°＜α＜90°)，请你在备用图中画出图形，并直接写出线段CA，CO，CD满足的等量关系式CO－CA＝2CD.解：(2)如图②，(1)中的结论②不成立，理由是：连接AD，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，D为OB的中点，∴AD＝BD＝DO，AD⊥OB.∴∠ADO＝90°.∵∠CDE＝90°，∴∠ADO ＝∠CDE.∴∠ADO－∠CDO＝∠CDE－∠CDO，即∠ADC＝∠EDO.∵∠ADO＝∠ACO＝90°，∴∠ADO＋∠ACO＝180°，∴∠CAD＋∠DOC＝180°.又∵∠DOC＋∠DOE＝180°，∴∠CAD＝∠DOE.易证△ACD≌△OED.∴AC＝OE，CD＝DE.又∵∠CDE＝90°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴OE＋OC＝2CD，∴CA＋CO＝2CD，∴CA2＋CO2＋2CA·CO＝2CD2.若(1)中的结论②成立，则有2CA·CO＝CA2＋CO2，即AC＝CO.又∵0°＜α＜45°，∴AC≠CO.∴(1)中的结论②不成立．(3)如图③，结论：OC－CA＝2CD，理由是：连接AD，则AD＝OD，同理：∠ADC ＝∠EDO.∵∠CAB＋∠CAO＝∠CAO＋∠AOC＝90°，∴∠CAB＝∠AOC.∵∠DAB＝∠AOD＝45°，∴∠DAB－∠CAB＝∠AOD－∠AOC，即∠DAC＝∠DOE.∴△ACD≌△OED.∴AC＝OE，CD＝DE.∴△CDE是等腰直角三角形．∴CE2＝2CD2.∴(OC－OE)2＝(OC－AC)2＝2CD2.∴OC－AC＝2CD，故答案为：OC－AC＝2CD.。
九年级中考数学五个专题练习汇总
九年级数学分析判断函数图象专题练习班级姓名1.甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车途中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地，如图是甲、乙两车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的函数图象。
当两车相距20千米时，乙车行驶了多少小时？2.图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，3.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场，图中的图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间，y2表示乌龟所行的路程，y1表示兔子所行的路程)，问兔子在途中何处追上乌龟？4.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，问乙走了多少km后遇到甲？5.在一次自行车越野赛中，出发m h后，小明骑行了25km，小刚骑行了18 km，此后两人分别以a km/h，b km/h匀速骑行，他们骑行的时间t(单位：h )与骑行的路程s(单位：km ) 之间的函数关系如图，观察图象，问小刚追上小明时离起点多少km？6.甲、乙两车分别从相距480 km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原速反回A地，乙车从B 地直达A地，两车同时到达A地，甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图，问当两车相距120千米，乙车行驶了多少小时？九年级数学专题二 判断几何运动问题的函数图象班级 姓名1.如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动，设∠APB=y （单位：度）,那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）2.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP 的面积y(cm 2)关于x(cm)的函数关系的图象是（ ）3.如图，已知A ，B 是反比例函数)0,0(>>=x k xky 图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）4.一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成，为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）5.如图，在等边三角形ABC 中，AB=2，动点P 从点A 出发，沿三角形边界按顺时针方向匀速运动一周，点Q 在线段AB 上，且满足AQ+AP=2，设点P 运动的时间为x ，AQ 的长为y ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）6.如图，边长为2的等边△ABC 和边长为1的等边△A ’B’C’，它们的边B’C’，BC 位于同一条直线l 上，开始时，点C’与B 重合，△ABC 固定不动，然后把△A’B’C’自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外（点B’与C 重合）停止，设△A’B’C’平移的距离为x ，两个三角形生命部分的面积为y ，则y关于x 的函数图象是（ ）7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=600，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动，设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y(cm2)，则y与x的函数图象大致是（）8.如图①，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t的函数图象如图②，则下列结论错误的是（）4A.AE=6cmB.sin∠EBC=5C.当0<t≤10时，y=0.4t2D.当t=12s时，△PBQ是等腰三角形班级 姓名1.若代数式x+5y+mx+ny+1的值与字母x, y 无关，则m=_________, n=__________。
40分钟限时练习5-挑战2023年中考数学基础满分训练(原卷版)
40分钟限时练习（5）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）下列各数中，比﹣4小的数是（）A．﹣2.5B．﹣5C．0D．22．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a2B．a3•a3＝a9C．（a3）2＝a6D．（ab）2＝ab24．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的一个根是2，则m﹣n的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．45．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（）A．1B．2C．3D．46．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.09.09.09.0方差0.251.002.503.00则成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点C的坐标为（2，3），则BD的长为（）A．3B．3√2C．√13D．48．（3分）如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5√2m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A ．5√22mB ．5mC ．52mD ．10m二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．（4分）要使分式x+1x−4有意义，则x 的取值应满足 ．10．（4分）请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．（答案不唯一）11．（4分）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，据统计，全球每秒钟约有19.2万吨污水排入江河湖海，把19.2万吨用科学记数法表示为 吨．12．（4分）已知a +b ＝5，ab ＝3，b a +a b = ．13．（4分）小虎同学在解方程组{y =kx +b y =3x的过程中，错把b 看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为{x =−2y =−6．又已知直线y ＝kx +b 过点（1，﹣8），则b 的值为 ． 14．（4分）菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长 ．15．（4分）一副三角板如图所示放置，已知斜边互相平行，则∠1的度数为 ．16．（4分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，以点C 为圆心的圆与AB 相切，⊙C 的半径为2.4，则AB ＝ ．三．解答题（共4小题，满分44分）17．（10分）计算：（1）√−83+√(−1)2−√643×√14；（2）√(−4)2−√−13+√102−62．18．（10分）解方程：（1）2x+1−1x=0；（2）x−2x+2−16x2−4=1．19．（12分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）当AF平分∠CAD时，且CF＝5，DF＝2，求AD的值．。
中考数学必刷题基础练习册
中考数学必刷题基础练习册【练习一：有理数的加减法】1. 计算下列各题的和：- 5 + (-3)- (-8) + 7- 12 + (-9) + 62. 填空题：- 如果 a = -3，b = 5，那么 a + b = ____- 如果 x = 2，y = -4，那么 x - y = ____- 如果 m = -7，n = 3，那么 m + n = ____【练习二：有理数的乘除法】1. 计算下列各题的积：- (-2) × 3- 4 × (-5)- (-6) × (-7)2. 计算下列各题的商：- 12 ÷ (-3)- (-18) ÷ 6- 24 ÷ (-4)【练习三：绝对值和相反数】1. 求下列各数的绝对值：- |-5|- |4|- |-9|2. 求下列各数的相反数：- -3 的相反数是 ____- 0 的相反数是 ____- 7 的相反数是 ____【练习四：解一元一次方程】1. 解下列方程：- 3x + 5 = 14- 2x - 7 = 1- 4x = 202. 应用题：- 一个数的3倍加上5等于14，求这个数。
- 一个数的2倍减去7等于1，求这个数。
- 如果一个数的4倍是20，求这个数。
【练习五：代数式求值】1. 已知 a = 2，b = -3，求下列代数式的值： - 3a + 2b- a - b2. 已知 x = 4，y = -1，求下列代数式的值： - 2x + 3y- x^2 - y^2【练习六：几何图形的周长与面积】1. 计算下列图形的周长：- 一个正方形，边长为5厘米。
- 一个长方形，长为8厘米，宽为4厘米。
2. 计算下列图形的面积：- 一个圆，半径为3厘米。
- 一个三角形，底为6厘米，高为4厘米。
【结束语】通过本练习册的练习，同学们应该能够掌握中考数学中的基础知识点，包括有理数的加减乘除、绝对值和相反数、一元一次方程的解法、代数式的求值以及几何图形的周长与面积的计算。
中考刷题数学练习册
中考刷题数学练习册中考数学练习册是专为中考学生设计的，旨在帮助学生巩固数学基础知识，提高解题技巧。
以下是一套中考数学练习题及答案，供学生练习使用。
中考数学练习册一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：- A. 1- B. -1- C. 0- D. 2答案：C二、填空题1. 一个数的绝对值是它到原点的距离，若|-5|=______。
答案：52. 一个多项式 \( ax^2 + bx + c \) 的首项系数是 ______。
答案：a3. 一个圆的半径为 \( r \) ，则它的面积是 \( \pi r^2 \)。
三、计算题1. 计算下列表达式的值：\( (-3)^2 + 4 \times (-2) - 5 \)答案：42. 解方程：\( 2x - 5 = 3x + 1 \)答案：x = -6四、解答题1. 一个长方体的长、宽、高分别是 4 米、3 米和 2 米，求它的体积和表面积。
答案：体积 = 24 立方米，表面积 = 52 平方米2. 一个班级有 50 名学生，其中 30 名学生参加了数学竞赛。
求参加竞赛的学生占班级总人数的百分比。
答案：60%五、应用题1. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产 100 个，实际每天生产了120 个。
如果原计划生产 10 天，实际生产了多少天？答案：8 天2. 一个水池有一个进水管和一个出水管，单独开进水管 3 小时可以注满水池，单独开出水管 5 小时可以放空水池。
如果同时打开两个水管，需要多少时间才能注满水池？答案：15 小时结束语：通过本练习册的练习，希望同学们能够熟练掌握中考数学的各类题型，提高解题速度和准确率。
中考在即，希望同学们能够保持良好的学习状态，不断进步，取得优异的成绩。
53模拟试卷初中数学九年级下册05专项素养综合全练(五)
专项素养综合全练(五)跨学科专题(一)类型一反比例函数中的跨学科问题1.【跨学科·物理】(2023宁夏银川兴庆一模)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.下列说法正确的是()A.函数解析式为I=B.蓄电池的电压是18 VC.当R=6 Ω时,I=4 AD.当I≤10 A时,R≥3.6 Ω2.【跨学科·物理】(2023河南南阳宛城二模)某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地,这是因为人和木板对湿地的压力F一定时,人和木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m2)存在函数关系:p=,如图所示,若木板面积为0.2 m2,则压强为Pa.(M9226004)3.【跨学科·物理】(2023山西吕梁临县二模)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示,当V=5 m3时,ρ=1.98 kg/m3.若3 m3≤V≤9 m3,则ρ的变化范围为.类型二相似三角形中的跨学科问题4.【跨学科·物理】(2023陕西宝鸡陇县一模)为了开展趣味学习活动,张老师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度.如图,某一时刻树AB在太阳光照射下,一部分影子NP落在了墙MN上,另一部分树影BN落在了地面上,同一时刻,张老师在树另一侧的地面C 点放置一平面镜,在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆,秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端,同时,秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处.现测得木杆高2米,秦飞的眼睛距地面为1米,ST长为9米,树影NP长为5米,BN长为21米,求树AB的高.(平面镜大小忽略不计)(M9227007)答案全解全析1.D 设I=,∵图象过点(4,9),∴k=36,∴I=,蓄电池的电压是36 V,∴A、B错误;当R=6 Ω时,I==6(A),∴C错误;当I=10 A时,R=3.6 Ω,由图象可知当I≤10 A时,R≥3.6 Ω,∴D正确.故选D.2.3000解析将(0.5,1 200)代入p=,得1 200=,解得F=600,∴p=,当S=0.2 m2时,p==3 000(Pa),∴当木板面积为0.2 m2时,压强为3 000 Pa.3.1.1(kg/m3)≤ρ≤3.3(kg/m3)解析∵密度ρ与体积V是反比例函数关系,∴设ρ=(V>0),∵当V=5 m3时,ρ=1.98 kg/m3,∴1.98=,∴k=1.98×5=9.9,∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=(V>0),观察函数图象可知,ρ随V的增大而减小,当V=3 m3时,ρ==3.3(kg/m3),当V=9 m3时,ρ==1.1(kg/m3),∴当3 m3≤V≤9 m3时,1.1(kg/m3)≤ρ≤3.3(kg/m3).4.解析如图所示,过点P作PQ⊥AB,再令木杆顶端为点E,秦飞的眼睛为点F,∵∠FCT=∠ECS,∠ESC=∠FTC=90°,∴△FTC∽△ESC,∴.设SC=x米,则CT=(9-x)米,又FT=1米,ES=2米,∴,解得x=6.由太阳光线同时刻平行可得△ESC∽△AQP,∴,即,∴AQ=7米,∵BQ=NP=5米,∴AB=AQ+BQ=12米.答:树AB的高为12米.。
中考刷题练习册15套
中考刷题练习册15套【数学篇】1. 选择题- 题目：若a > 0且a + a^{-1} = 5，求a的值。
- 答案：根据均值不等式，a + a^{-1} ≥ 2，当且仅当a = 1时取等号。
但题目中给定a + a^{-1} = 5，因此a = 2。
2. 填空题- 题目：若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 +b^2 = c^2，求证三角形ABC是直角三角形。
- 答案：根据勾股定理的逆定理，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是直角三角形。
3. 解答题- 题目：已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
- 答案：将x = 5代入函数f(x) = 2x - 3，得到f(5) = 2*5 - 3 = 7。
【语文篇】1. 阅读理解- 题目：阅读下文，概括文章的中心思想。
- 文章内容：（此处省略具体文章内容）- 答案：文章通过描述...（此处省略概括内容），表达了...（此处省略中心思想）。
2. 古诗词鉴赏- 题目：请分析《静夜思》中“床前明月光”一句的意境。
- 答案：此句通过“明月光”的描写，营造了一种宁静、清冷的夜晚氛围，表达了诗人对故乡的深深思念之情。
【英语篇】1. 完形填空- 题目：阅读下文，从括号中选择最佳选项填入空白处。
- 文章内容：（此处省略具体文章内容）- 答案：根据上下文语境，选择最合适的词汇填入空白处。
2. 阅读理解- 题目：阅读下文，回答以下问题。
- 问题1：What is the main idea of the passage?- 答案1：The main idea of the passage is...（此处省略主要观点）【物理篇】1. 实验题- 题目：使用弹簧秤测量物体的重力。
- 答案：将物体挂在弹簧秤上，读数即为物体的重力。
【化学篇】1. 化学方程式配平- 题目：配平化学方程式：Fe + O2 → Fe3O4。
- 答案：4Fe + 3O2 → 2Fe3O4。
八年级数学下册中考素养提升专练五作业新版新人教版
6．教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初 中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校 学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲乙丙丁
平均数/环
8
7
9
9
方差
0.4 2 0.4 2
3．已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5 的平均数是 2，那么另一组数据 2x1＋3，2x2 ＋3，2x3＋3，2x4＋3，2x5＋3 平均数是 ___7___．
4．我市一所学校在某师范大学招聘新教师，其中一位大学生笔试、试讲、面试 三轮测试得分分别为 95 分、85 分、90 分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为 2∶2∶1. 则该名学生的综合成绩为 ___9_0__ 分．
解：(1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数为50－40＝10(张) (2)x＝(88＋87＋94＋91＋90)÷5＝90(分).答：x的值是90分 (3)∵y＝40×3＋10×(－1)＝110(分)，∴S＝0.7x＋0.3y＝0.7×90＋0.3×110＝ 96(分).答：该作品的“综合得分”S的值为96分
200(km)，20 个数据按从小到大的顺序排列，第 10，11 个数据均为 200 km，所以中 位数为 200 km；205 km 出现了六次，次数最多，所以众数为 205 km
(2)选择 B 型号汽车．理由如下：A 型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于 210 km，且只有 10% 的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C 型号汽车的平 均里程、中位数和众数都超过 210 km，其中 B 型号汽车有 90% 符合行程要求，很大 程度上可以避免行程中充电耽误时间，且 B 型号汽车比 C 型号汽车更经济实惠，故 建议选择 B 型号汽车
浙江数学中考必刷题练习册
浙江数学中考必刷题练习册【练习一：代数基础】1. 计算下列表达式的值：(a) \( 3x + 2y \) 当 \( x = 2 \) 且 \( y = 3 \)；(b) \( (a + b)^2 \) 当 \( a = -1 \) 且 \( b = 3 \)。
2. 解下列方程：(a) \( 2x - 3 = 7 \)；(b) \( 3x + 4 = 2x + 8 \)。
3. 化简下列代数式：(a) \( 4a^2 - 3ab + 2b^2 \)；(b) \( (x - y)^2 \)。
【练习二：几何基础】1. 已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=12cm，求BC的长度。
2. 圆的半径为7cm，求圆的周长和面积。
3. 已知矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形的周长和面积。
【练习三：函数与方程】1. 已知函数 \( y = 2x + 3 \)，求当 \( x = 0 \) 时的函数值。
2. 解一元二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
3. 已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 (1, 2) 和 (2, 3)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
【练习四：统计与概率】1. 某班级有30名学生，其中男生18人，女生12人，求男生和女生的比例。
2. 抛掷一枚均匀硬币，求正面朝上的概率。
3. 某次考试共有50个选择题，每题2分，求得分的期望值。
【练习五：综合应用】1. 某工厂计划生产一批零件，每生产一个零件需要0.5小时，如果工厂每天工作8小时，求一周内可以生产多少个零件。
2. 某商场进行促销活动，原价100元的商品打8折，求顾客购买该商品的实际支付金额。
3. 某校举办运动会，共有5个项目，每个项目有10名选手参加，求至少获得一个项目冠军的选手的概率。
结束语：本练习册旨在帮助学生全面复习浙江数学中考的知识点，通过不同类型的题目训练，提高解题能力和应试技巧。
有解析的中考刷题练习册
有解析的中考刷题练习册中考数学刷题练习册【练习一：代数基础】题目：若a和b是两个非零实数，且满足\( a + b = 10 \)，求\( a^2 - ab + b^2 \)的值。
解析：根据题目条件，我们知道\( a + b = 10 \)。
我们可以将\( a^2 - ab + b^2 \)重写为\( (a + b)^2 - 3ab \)。
由于\( a + b \)已知，我们只需要求出\( ab \)的值。
由于\( a \)和\( b \)是实数，我们可以利用完全平方公式，即\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 \)。
我们可以将\( a^2 - ab + b^2 \)与\( (a - b)^2 \)联系起来，得到\( 2ab = (a + b)^2 - (a^2 - ab + b^2) \)。
将\( a + b = 10 \)代入，我们可以求出\( ab \)的值，然后代入\( a^2 - ab + b^2 \)的表达式中。
答案：\( a^2 - ab + b^2 = 100 - 3ab \)。
由于\( ab = 20 \)，所以\( a^2 - ab + b^2 = 100 - 60 = 40 \)。
【练习二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求AB的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
答案：\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。
【练习三：应用题】题目：小华每天阅读30分钟，如果她想在30天内读完一本300页的书，她每天需要阅读多少页？解析：首先计算小华30天总共的阅读时间，然后将书的总页数除以总阅读时间。
答案：小华总共的阅读时间为\( 30 \times 30 = 900 \)分钟。
中考复习数学综合能力提升练习五(含解析)
中考复习数学综合能力提升练习五（含解析）2019中考数学综合能力提升练习五（含解析）一、单选题1.如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O 是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（ 1 ）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（ 3 ）CD+CE= OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°5.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4的矩形，这个圆柱的母线l与圆柱的底面半径r之间的函数关系是（）A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数6.如图，观察下列用纸折叠成的图案．其中，轴对称图形和中心对称图形的个数分别为（）A. 4，1B. 3，1C. 2，2D. 1，37.下列各式中，计算正确的是（）A. 2x+x=2x2B. 153.5°+20°3′=173°33′C. 5a2-3a2=2D. 2x+3y=5xy8.以下各命题中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长4 cm，一边长9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.A. （1）（2）（3） B. （1）（3）（5） C. （2）（4）（5） D. （4）（5）9.如图，方格图中小正方形的边长为1．将方格图中阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，那么所拼成的这个正方形的边长等于（）．A.B. 2C.D.10.如图,EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为( )A. 7B. 14C. 21D. 28二、填空题11.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________12.计算=________ ，=________ ．13.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm,则圆锥的侧面积为________cm2 .14.在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线于AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为________15.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是________ ．16.2sin60°﹣（）﹣2+（π﹣）0=________．三、计算题17.计算：18.化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．19.计算：﹣|﹣2|+（1﹣）0﹣9tan30°．四、解答题20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，．BD=2，AD=8，求S△ABC21.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．22.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE=3，ED=6，求AB的长．五、综合题23.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC 边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．= （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当S△DEF 时，求线段EF的长．S△ABC24.如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB边上的高CD=4，点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B 重合时，过点P作PQ⊥AB，交边AC或边BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）直接写出tanB的值为________．（2）求点M落在边BC上时t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分时，直接写出t的值．答案解析部分一、单选题1.如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O 是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（ 1 ）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（ 3 ）CD+CE= OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：结论（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD =S△COE，∴S四边形CDOE =S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC= S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC= OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在R t△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE．又∵OD⊥OE，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴ ，即OP•OC=OE2，∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述：正确的结论有3个．故答案为：C．【分析】（1）图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△C OE，△COD≌△BOE；（2）由（1）知△AOD≌△COE，所以△AOD的面积=△COE的面积，则四边形CDOE的面积=S△COD +S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）由（1）知△AOD≌△COE，所以CE=AD，所以CD+CE=CD+AD=AC==AO;（4）由（1）知△AOD≌△COE，所以CE=AD，OD=OE，由（1）知△COD≌△BOE，所以BE=CD，在Rt△CDE 中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，即AD2+BE2=DE2，在等腰直角三角形ODE中，DE2=2OE2，∠DEO=45°．由已知易证得△OEP∽△OCE，可得比例式,即OP•OC=OE2，所以DE2=2OE2=2OP•OC，所以AD2+BE2=2OP•OC。
中考数学练习册第5章第1节
第五章四边形第一节多边形与平行四边形【中考过关】1．(北京)下列多边形中，内角和最大的是( D )A BC D2．(扬州)如图，点A，B，C，D，E在同一平面内连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝( D ) A．220°B．240°C．260°D．280°第2题第3题3．(湖州)为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点)，则图中∠A的度数是36 °.4．(丹东)如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO 并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AB ＝AC ，判断四边形ACDE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BEC ＝∠DCE.∵点O 是边AD 的中点．∴AO ＝DO ，在△AEO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO ＝∠DCO ，∠AOE ＝∠DOC ，AO ＝DO ，∴△AEO ≌△DCO(AAS)，∴AE ＝CD.∵AE∥DC，∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)解：四边形ACDE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD.∵AB ＝AC ，∴CD ＝AC ，∴四边形ACDE 是菱形．【中考突破】5．(福建)如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，△ABF 为等边三角形，则∠AFC 等于( C )A ．108°B ．120°C ．126°D ．132°6．(铜仁)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌( C )A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形7．(天津)如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( C )A．(－4,1) B．(4，－2)C．(4,1) D．(2,1)8．(泰安)如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为( D )A．1个B．2个C．3个D．4个9．(北京)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AE 平分∠BAC ，BE ＝5，cos B ＝45，求BF 和AD 的长．(1)证明：∵∠ACB ＝∠CAD ＝90°，∴AD∥CE.∵AE∥DC，∴四边形AECD 是平行四边形．(2)解：∵EF ⊥AB ，∴∠BFE ＝90°.∵cos B ＝45＝BFBE ，BE ＝5，∴BF＝45BE ＝45×5＝4，∴EF ＝BE 2－BF 2＝52－42＝3.∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，∠ACE ＝90°，∴EC ＝EF ＝3，由(1)得，四边形AECD 是平行四边形，∴AD ＝EC ＝3.10．(聊城)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，点E 在BD 上，满足∠EAO ＝∠DCO.(1)求证：四边形AECD 是平行四边形；(2)若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．(1)证明：在△AOE 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠DCO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COD ，∴△AOE ≌△COD(ASA)，∴OD ＝OE ，又∵AO ＝CO ，∴四边形AECD 是平行四边形．(2)解：∵AB ＝BC ，AO ＝CO ，∴OB ⊥AC ，∴平行四边形AECD 是菱形．∵AC ＝8，∴CO ＝12AC ＝4，在Rt △COD 中，由勾股定理得，OD ＝CD 2－CO 2＝52－42＝3，∴DE ＝2OD ＝6，∴菱形AECD 的面积＝12AC×DE＝12×8×6＝24.11．(扬州)如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，DE∥AB，DF∥AC.(1)试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；(2)若∠BAC ＝90°，且AD ＝22，求四边形AFDE 的面积．解：(1)四边形AFDE是菱形，理由：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE 是平行四边形．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAD ＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠EDA ＝∠FAD ，∴∠EDA ＝∠EAD ，∴AE ＝DE ，∴平行四边形AFDE 是菱形．(2)∵∠BAC ＝90°，∴四边形AFDE 是正方形．∵AD ＝22，∴AF ＝DF ＝DE ＝AE ＝222＝2，∴四边形AFDE 的面积为2×2＝4.12．(温州)如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点(点E 在点F 左侧)，且∠AEB ＝∠CFD ＝90°.(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当AB ＝5，tan ∠ABE ＝34，∠CBE ＝∠EAF 时，求BD 的长．(1)证明：∵∠AEB ＝∠CFD ＝90°，∴AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AE∥CF.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB∥CD，∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠CFD ，∠ABE ＝∠CDF ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)，∴AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)解：在Rt△ABE 中，tan ∠ABE ＝34＝AEBE ，设AE ＝3a ，则BE ＝4a ，由勾股定理得，(3a)2＋(4a)2＝52，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，∴AE ＝3，BE ＝4.由(1)得，四边形AECF 是平行四边形，∴∠EAF ＝∠ECF ，CF ＝AE ＝3.∵∠CBE ＝∠EAF ，∴∠ECF ＝∠CBE ，∴tan ∠CBE ＝tan ∠ECF ，∴CF BF ＝EFCF ，∴CF 2＝EF×BF，设EF ＝x ，则BF ＝x ＋4，∴32＝x(x ＋4)，解得x ＝13－2或x ＝－13－2(舍去)，即EF ＝13－2.由(1)得，△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ＝4，∴BD ＝BE ＋EF ＋DF ＝4＋13－2＋4＝6＋13.【核心素养】13．(绍兴)问题：如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，AD ＝5，∠DAB ，∠ABC 的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：EF ＝2. 探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变． ①当点E 与点F 重合时，求AB 的长； ②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD ＝5”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求ADAB的值．图1解：(1)①如图1所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ，BC ＝AD ＝5，AB∥CD，∴∠DEA ＝∠BAE.∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠DEA ＝∠DAE ，∴DE ＝AD ＝5，同理可得BC ＝CF ＝5.∵点E 与点F 重合，∴AB ＝CD ＝DE ＋CF ＝10.图2②如图2所示，∵点E 与点C 重合，∴DE ＝DC ＝5.∵CF ＝BC ＝5，∴点F 与点D 重合，∴EF ＝DC ＝5.(2)分三种情况：①如图3所示，图3同(1)得：AD ＝DE ，∵点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等，∴AD ＝DE ＝EF ＝CF ，∴AD AB ＝DE CD ＝13.②如图4所示，图4图5同(1)得：AD ＝DE ＝CF ，∵DF ＝FE ＝CE ，∴AD AB ＝DE CD ＝23.③如图5所示，同(1)得：AD ＝DE ＝CF ，∵DF ＝DC ＝CE ，∴AD AB ＝DECD ＝2.综上所述，AD AB 的值为13或23或2.。
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专题五与圆有关的证明和计算【中考过关】1．(海南)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是( A )A．30°B．35°C．45°D．60°2．(抚顺)如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD.若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为( C )A．80°B．100°C．120°D．140°3．如图，四边形ABCD中，连接AC，BD，点O为AB的中点，若∠ADB ＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是( A )A．DC＝CBB．∠DAC＝∠DBCC．∠BCD＋∠BAD＝180°D．点A，C，D到点O的距离相等4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，EF 是AC 的垂直平分线，交AD 于点O.若OA ＝3，则△ABC 外接圆的面积为( D )A ．3πB ．4πC ．6πD ．9π5．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( A )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6．(庐阳区模拟)如图，▱ABCD 中，∠C ＝110°，AB ＝2，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则AE ︵的长为( C )A ．π9B ．7π18C ．7π9D ．2π97．(成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝33x ＋233与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为8．如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画EF ︵，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)在等腰△ABC 中，∵∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°.∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝3AD ＝63，∴BC ＝2BD ＝123，∴由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12×6×123－120π×62360＝363－12π.(2)设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr＝120π×6180，解得r ＝2，这个圆锥的高h ＝AO ＝AD 2－OD 2＝62－22＝4 2.9．如图，C ，D 为⊙O 上两点，且在直径AB 的两侧，连接CD 交AB 于点E ，G 是AC ︵上一点，∠ADC ＝∠G.(1)求证：∠1＝∠2；(2)点C 关于DG 的对称点为F ，连接CF.当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1＝25，求⊙O 的半径．(1)证明：∵∠ADC ＝∠G ，∴AC ︵＝AD ︵.∵AB 为⊙的直径，∴AB ︵－AC ︵＝AB ︵－AD ︵，即BC ︵＝BD ︵.∴∠1＝∠2.(2)解：连接OC ，OD ，DF.∵BC ︵＝BD ︵，∴∠COE ＝∠DOE.∵OC ＝OD ，∴AB ⊥CD ，CE ＝DE.∴FD ＝FC ＝10.点C ，F 关于DG 对称，∴DC ＝DF ＝10，∴DE ＝5，∵tan ∠1＝EB DE ＝25，∴EB ＝DE·tan ∠1＝2.∵∠1＝∠2.∴tan ∠2＝DE AE ＝25.∴AE ＝DE tan ∠2＝252.∴AB ＝AE ＋EB ＝292，即⊙O 的半径为294.【中考突破】10．(蜀山区模拟)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝8，线段DE 的两个端点D ，E 分别在边AC ，BC 上滑动，且DE ＝6，若点M ，N 分别是DE ，AB 的中点，则MN 的最小值为( B )A ．10－41B ．41－3C ．241－6D ．3第11题11．如图，正方形ABCD 的边长为8.M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD的边相切时，BP12．(合肥模拟)在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，内切圆的半径等于1，则腰长为 154.13．(南通)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 延长线于点D ，过点C 作CE∥AB，交BD ︵于点E ，连接BE ，则CE BE 的值为 2.14．(包河区三模)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E.(1)求证：AC 平分∠DAP ；(2)若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，求DE 长．(1)证明：连接OC ，如图，∵PD 切⊙O 于C ，∴OC ⊥PD.∵AD ⊥PD ，∴OC∥AD，∴∠OCA ＝∠DAC.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＝∠DAC ，∴AC 平分∠DAP.(2)解：连接CE ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴sin ∠CAB ＝BC AB ＝25，∴BC ＝25AB ＝25×10＝4.∵∠EAC ＝∠CAB ，∴CE︵＝CB ︵，∴CE ＝CB ＝4.∵∠DEC ＋∠AEC ＝180°，∠AEC ＋∠ABC ＝180°，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴∠DCE ＝∠CAB ，在Rt △CDE 中，sin ∠DCE ＝DE CE ＝25，∴DE ＝25×4＝85.15．(安庆模拟)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 直径，AC ＝BC ，点D 在劣弧BC 上，CE ⊥CD 交AD 于E ，连接BD.(1)求证：△ACE ≌△BCD ；(2)若CD ＝2，BD ＝32，求⊙O 的半径；(3)若点F 为DE 的中点，连接CF ，FO ，设CD ＝a ，BD ＝b ，求CF ＋FO.(用含有a ，b 的代数式表示)(1)证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°.∵CE ⊥CD ，∴∠ECD ＝90°，∴∠ACE ＝90°－∠ECB ＝∠BCD.∵D 在劣弧BC 上，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABC ＋∠CBD ＝180°－90°＝90°.∵∠CAD ＋∠BAD ＋∠ABC ＝90°，∴∠CBD ＝∠CAD.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACE ＝∠BCD ，AC ＝BC ，∠CAE ＝∠CBD.∴△ACE ≌△BCD(ASA)．(2)解：∵△ACE ≌△BCD ，∴CE ＝CD ，AE ＝BD.∵CE ⊥CD ，∴△ECD 是等腰直角三角形．∵CD ＝2，BD ＝32，∴DE ＝22，AE ＝32，∴AD ＝5 2.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝217，∴⊙O 的半径为17.(3)解：方法一：过O 作OH ⊥AD 于H ，如图1，∵△ECD 是等腰直角三角形，CD ＝a ，∴ED ＝2a.∵F 为DE 的中点，∴CF ＝DF ＝12DE ＝22a.∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD＝b ，∴AD ＝ED ＋AE ＝2a ＋b.∵OH ⊥AD ，∠ADB ＝90°，∴OH∥BD.∵AO＝OB ，∴DH ＝12AD ＝22a ＋12b ，OH ＝12BD ＝12b ，∴HF ＝DH －DF ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a ＋12b －22a ＝12b.在Rt △OHF 中，FO ＝OH 2＋HF 2＝22b ，∴CF ＋FO ＝22a ＋22b. 方法二：延长AD 至点H ，使DH ＝AE ，连接BH ，如图2，由(1)得△ACE ≌△BCD ，∴BD ＝AE ＝DH.∵AB 为直径，∴∠ADB ＝∠BDH ＝90°，∴△BDH 为等腰直角三角形．∵BD ＝b ，∴BH ＝2b.∵△ECD 是等腰直角三角形，CD ＝a ，∴ED ＝2a ，CF ＝22a ＝DF ＝EF ，而DH ＝AE ，∴AE ＋EF ＝DH ＋DF ，即AF ＝HF ，∴F 为AH 中点．∵O 为AB 中点，∴FO ＝12BH ＝22b ，∴CF ＋FO＝22a ＋22b.图1图216．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD.(1)求证：OP ⊥CD ；(2)连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长．(1)证明：连接OC ，OD ，∴OC ＝OD ，∵PD ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP＝∠ODP ＝90°.在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，OP ＝OP ，∴Rt △ODP ≌Rt△OCP ，∴∠DOP ＝∠COP.∵OD ＝OC ，∴OP ⊥CD.(2)解：如图，连接OD ，OC ，∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝2，∴∠OCB ＝∠CBA ＝70°，∠ODA ＝∠OAD ＝50°，∴∠BOC ＝40°，∠AOD ＝80°，∴∠COD ＝180°－∠BOC －∠AOD ＝60°.∵OD ＝OC ，∴△COD 是等边三角形，∴∠DOP ＝∠COP ＝30°.在Rt △ODP 中，OP ＝OD cos 30°＝433.【核心素养】17．(庐阳区期末)已知，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 是弧AD 上一点．(1)如图1，若点P 是弧AD 的中点，求证：CE ＝CD ； (2)如图2，若图中PE ＝OE ，求AEEC的值．(1)证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝OC ，∴EB ＝ED ，∠ODC ＝∠OCD ＝45°，∴∠EBD ＝∠EDB.∵点P 是弧AD 的中点，∴∠PBD ＝12∠ABD ＝12×12∠AOD ＝22.5°，∴∠EDC ＝45°＋22.5°＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CED ＝∠EDC ，∴CE ＝CD.(2)解：如图2，连接DE ，DP ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠EOD ＝90°，OA ＝OD ，∴∠P ＝∠BAD ＝90°.∵PE ＝OE ，∴Rt△PDE≌Rt △ODE ，∴∠PDE ＝∠2.由(1)知∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠PDE.∵∠1＋∠2＋∠PDE ＝90°，∴∠2＝30°，∴DE ＝2OE ，∴OD ＝DE 2－OE 2＝3OE ，∴OE OD ＝33，∴OD ＝OA ＝3OE ，∴AE ＝OA －OE ＝(3－1)OE ，EC ＝OE ＋OC ＝(3＋1)OE ，∴AE EC ＝3－13＋1＝2－ 3.。