含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分

教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求

(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．

(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．

一、含参变量的有限积分

设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分

(,)b

a

f x u dx ⎰

存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b

a

f x u dx ⎰.于是，积分(,)b

a

f x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为

()(,),

[,]b

a

u f x u dx u ϕαβ=∈⎰

称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.

定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b

a u f x u dx ϕ=⎰在区间

[,]αβ也连续.

★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与

f

u

∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在

区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有

(,)()b a d

f x u u dx du u

ϕ∂=∂⎰， 或

(,)(,)b

b a a d f x u f x u dx dx du u

∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.

★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.

定理 3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b

a u f x u dx ϕ=⎰在区间

[,]αβ可积，且

{}

{}

(,)(,)b

b

a

a

f x u dx du f x u du dx β

β

αα

=⎰⎰

⎰

⎰

.

简称积分号下可积分.

★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.

一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即 (),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()

(,)b u a u f x u dx ⎰，

它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()

()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰

.

下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.

定理4.若函数(,)f x u 与

f

u

∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有

(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，

则函数()

()

()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰

在区间[,]u αβ∈可导，且

()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u d

f x u u dx f b u u b u f a u u a u du u

ψ∂=+-∂⎰

二、例（I ）

例1. 求函数1

220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >

解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1

y εε

≤≤

，显然，被积函数

22ln()x y +与

2222

2ln()y

x y y x y ∂+=∂+ 在矩形域1

(01,)R x y εε

≤≤≤≤都连续，根据定理2，有

1

1'2222002()ln()y

F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰

⎰

11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1

y εε

≤≤

，所以0y ∀>，有

'1()2tan

F y atrc y

=. 例2 .求0

()ln(1cos ),

1I r r x dx r π

=+<⎰.

解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即

(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与

cos 1cos f x

r r x

∂=

∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有

'00cos ()ln(1cos )1cos x

I r r x dx dx r r x π

π∂=+=∂+⎰

⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰ 01.(0)1cos dx r r r r x

ππ=-≠+⎰

设tan 2

x

t =（万能换元），有

2222

2

2111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t r

t +==-+++-++⎰⎰⎰

=

2

21121dt x C r r t r

⎫

=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，

1cos 2dx x r x π

π

⎫==⎪⎪+⎭⎰

于是，

'()0)I r r r

π

=

≠ （3）

又有

'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫

== ⎝. 将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求