含参变量的积分
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
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A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
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证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
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定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
《数学分析》第十九章 含参变量积分
0, 0,(x1, y1), (x2, y2 ) R,当 x1 x2 , y1 y2 ,
有 f (x1, y1) f (x2, y2) .
故当x 时有
d
I(x x) - I(x) c f (x x, y) f (x, y)dy. d c dx (d c).
d
I(x) c f (x, y)dy, x [a,b]
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
b
J ( y) a f (x, y) dx
为含参变量 y 的积分。
I ( y) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我
们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。
2、 含参量正常积分的性质:
F2( y0 )
lim
y y0
b( y) y
b( y0 ) y0
f
(x,
y)
b( y0 )
f
(b( y0 ),
y0 )
同样可以证明
定理证毕。
F3( y0 ) a( y0 ) f (a( y0 ), y0 )
例1:
求
1 dx
lim
0
1 x2 2.
I
' 2
(u)
d du
d
H (u, y)dy
c
d
c Hu (u, y)dy
d c
f (u, y)dy I (u).
从而I1'
(u
)
I
' 2
(u),
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它是指对含有参
数的积分函数进行求导的方法。
在实际应用中，含参变量积分求导法
则被广泛应用于物理、工程、经济等领域，具有重要的理论和实际意义。
含参变量积分求导法则的基本思想是将含有参数的积分函数看作一个
整体，然后对其进行求导。
具体来说，假设有一个形如F(x,t)的含参变量积分函数，其中x为自变量，t为参数，那么对其进行求导的方法如下：
首先，将F(x,t)看作一个整体，对其进行求导，即：
dF/dx = ∫(∂F/∂x)dx + ∫(∂F/∂t)dt
其中，第一个积分符号表示对x进行积分，第二个积分符号表示对t
进行积分。
在这个式子中，∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂t表示F 对t的偏导数。
接下来，根据积分的可加性，将第一个积分符号中的∂F/∂x提取出来，得到：
dF/dx = ∂/∂x ∫F(x,t)dt + ∫(∂F/∂t)dt
这个式子就是含参变量积分求导法则的基本形式。
它表示了含参变量
积分函数对自变量x的导数，可以通过对积分函数中的每一个t进行
积分，再对积分结果对x求导得到。
需要注意的是，含参变量积分求导法则只适用于一类特殊的积分函数，即积分上限和下限都是常数的情况。
如果积分上限和下限是变量，那
么就需要使用含参变量积分求导法则的推广形式。
总之，含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它为我们
研究含有参数的积分函数提供了一种有效的方法。
在实际应用中，我
们可以根据这个法则，对含参变量积分函数进行求导，从而得到更加
精确的结果。
高等数学 含参变量的积分
4
因此得
I ln 2
8
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重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
含参变量的积分
f ( x, u)dx, u [ , ],
称为含参变量的无穷积分, u 是参变量.
2.一致收敛的定义
设 u I (区间) ,无穷积分 f ( x, u)dx 收 敛. 0, A 0, A A , u I , 有 若
0 0
a
a
f ( x , u)dx f ( x , u)dx
A a
A
f ( x , u)dx ,
则称无穷积分
a
f ( x, u)dx ,在区间 I 一致
收敛． 非一致收敛的定义 若 0 0, A 0, A0 A, u0 I , 有
A0
f ( x , u) 0 .
一 函数 (u)的分析性质 ( u) f ( x , u)dx
b a
定理１
若函数 f ( x, u) 在矩形域
R (a x b, u ) 连续，则函数 (u)
在区间 [ , ] 也连续．
lim f ( x , u)dx lim ( u) ( u0 ) u u u u
1 0
计算积分 I
arctan x
2
练: 1.设 (1)F ( ) 0
x 1 x ln(1 x )
dx .
dx;
x (2)F ( ) 0 f ( x , x )dx;
求 F '( ).
1 xb xa 2计算定积分 1cos(ln ) dx ,0 a b. 0 x ln x
0
b a
0
b lim a u u
f ( x , u)dx.
0
f 定理２ 若函数 f ( x, u)与 u 在矩形域
数学分析第二册答案第十九章 含参变量的积分
第十九章 含参变量的积分§1 含参变量的正常积分1．求下列极限： （1）⎰-→+11220lim dx x αα； （2）⎰→220cos lim xdx x αα；（3）⎰+→++αααα122011limdx x ．解（1）由于22),(αα+=x x f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续，故⎰-+=1122)(dx x I αα在]1,1[-连续，所以，12)0()(lim lim 1112011220=====+⎰⎰⎰-→-→xdx dx x I I dx x αααα．（2）由于x x x f ααcos ),(2=在]2,0[]2,0[⨯上连续，故⎰=22cos )(xdx x I αα在]2,0[连续，所以，38)0()(lim cos lim 2202020====⎰⎰→→dx x I I xdx x αααα． （3）⎰⎰⎰⎰+++++++-++=++αααααααα11222212212211111111dx x dx x dx x dx x ，由于2211),(αα++=x x f 在]1,0[]1,0[⨯上连续，故⎰++=102211)(dx xI αα在]1,0[连续，所以，411)0()(lim 11lim 10201220παααα=+===++⎰⎰→→dx x I I dx x ．而对R ∈∀α，R x ∈有，ααα≤++⎰2211dx x ，ααα≤++⎰+112211dx x ，因此 011lim 0220=++⎰→αααdx x ，011lim 11220=++⎰+→αααdx x ， 因而，⎰⎰⎰++-++=++→→+→ααααααααα2201220122011lim 11lim 11lim dx x dx x dx x411lim 11220πααα=++-⎰+→dx x2．求)(x F '，其中： （1）⎰-=22)(x xxy dy e x F ； （2）⎰-=xxy xdy e x F cos sin 12)(；（3）⎰++=xb x a dy y xy x F )sin()(；（4）⎰⎰=xx t dt ds s t f x F 0]),([)(22．解（1）35222222222)(2)(2x x x xxy xx x x x xxy e xe dy y e ex edy y ex F -------+-=-⋅+-='⎰⎰．（2）)(sin )(cos 1)(222sin 1cos 1cos sin 21'-'+-='---⎰x e x e dy y e x F xxxx xxy xx e x edy y e xx xx xxy xcos sin 1cos sin cos sin 212---=⎰-．（3）)())(sin()())(sin()cos()('+++-'++++='⎰++x a xz x a x x b x b x b x dy xy x F xb xa=)](sin[)11()](sin[)11(a x x x a xb x x x b x +++-+++． （4）⎰⎰⎰⎰=+∂∂='xx x x x t dt x t xf ds s x f dt ds s t f x x F 020),(2),()),(()(2222．3．设)(x f 为连续函数，⎰⎰++=xxd d x f h x F 02])([1)(ξηηξ，求)(x F ''．解 由于⎰⎰⎰⎰++=++=xx x x x du u f d h d x f d h x F 022002)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以， ]))(()([1)(02322⎰⎰⎰++∂∂+='x x x xx d du u f x du u f hx F ξξξ})]()2(2[)({10322⎰⎰+-++=x xxd x f x f du u f h ξξξ，)]2(3)3(5[1)]2()3(2)2(2)3(3[1)(22x f x f hx f x f x f x f h x F -=-+-=''．注记 该题的函数应为⎰⎰++=h hd d x f hx F 002])([1)(ξηηξ（这从该教材第二版亦可得到印证），则⎰⎰⎰⎰+++=++=xhx x hhdu u f d h d x f d h x F 022)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以，⎰⎰⎰+-++=∂∂='+++hx h x x d x f h x f hd du u f x h x F 0202)]()([1])([1)(ξξξξξξ ])()([122⎰⎰+++-=h x x hx hx du u f du u f h ， )]()()2([1)]()()()2([1)(22x f h x f h x f hx f h x f h x f h x f h x F ++-+=++-+-+=''．4．研究函数⎰+=122)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数．解 当0≠y 时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此)(y F 在0≠y 连续．当0=y 时，0)0(=F ．而0>y 时，设m 为)(x f 在]1,0[上的最小值，则0>m ．由于y m dx yx y m y F 1arctan )(122=+≥⎰，而21arctan lim 0π=+→y y ， 故有)(lim 0y F y +→若存在，必然)0(02)(lim 0F m y F y =>≥+→π或不存在，因而)(y F 在0=y 时间断． 5．应用积分号下求导法求下列积分：（1）⎰-222)sin ln(πdx x a （1>a ）；（2）)1()cos 21ln(02<+-⎰a dx a x a π；（3）)0,()cos sin ln(202222≠+⎰b a dx x b x a π；（4）)1(tan )tan arctan(20<⎰a dx xx a π．解（1）设⎰-=2022)sin ln()(πdx x a a I ，则有⎰⎰-=-∂∂='20222022sin 2)]sin ln([)(ππdx x a a dx x a xa I)11arctan 11(arctan 12)sin 1sin 1(22220--+-+-=-++=⎰a a a a a dx x a x a π12-=a π，即c a a da a a I +-+=-=⎰)1ln(1)(22ππ．c 的确定较为困难，可如下进行．)1ln()sin ln()1ln()(220222-+--=-+-=⎰a a dx x a a a a I c πππ)1ln()]sin 1ln([ln 220222-+--+=⎰a a dx axa ππa a a dx ax 1ln)sin 1ln(22022-+--=⎰ππ， 令+∞→a ，2ln 1ln 2ππ→-+aa a ，又1sin 1110222≤-<-<a x a ，所以， 0)sin 1ln()11ln(222≤-≤-a xa ，)(0)11ln(2)11ln()sin 1ln()sin 1ln(22022022222+∞→→-=-≤-≤-⎰⎰⎰a adx a dx a x dx a x ππππ，2ln π=⇒c ，即21ln 2ln )1ln()(22-+=--+=a a a a a I πππ．（2）设⎰+-=π2)cos 21ln()(dx a x a a I ，则⎰⎰+--=+--='ππ02202cos 2111cos 21)cos (2)(dx ax a a a dx a x a x a a I ⎰⎰+-+--=-+--=ππππ0222022cos 1211)1(1cos 2)1(11dx x aa a a a a dx xa a aa a222022212)1(2)11arctan()1()1()1(2)1(1a a a a a x a a a a a a a a a +=+-=-++--+--=πππππ，所以，)1ln(21)0()()(202a da a a I a I a I a+=+=-=⎰ππ． （3）将a 看作参变量，b 认为是常数，记⎰+=202222)cos sin ln()(πdx x b x a a I ．可先设0>a ，0>b ，则⎰⎰+=+∂∂='2020222222222cos sin sin 2)]cos sin ln([)(ππdx xb x a x a dx x b x a a a I ． 若b a =，则bxdx b a I 2sin 2)(202ππ=='⎰，若b a ≠作代换x t tan =，得⎰⎰∞+∞+++=++='022222022222))(1(212)(a b t t dt t a t dt b t a at a Iba ))(111(2222202222222222+=---=+--+-=⎰∞+πππba bba adt a bt b a b t b a a a ，所以，c b a πda b a πa I ++=+=⎰)ln()(，而c b b b I +==)2ln(ln )(ππ2ln π-=⇒c ，于是2ln 2ln )ln()(ba b a πa I +=-+=ππ．若0<a 或0<b ，则可以a -或b -代替a 或b ，因而总有2ln)()(b a a I a I +==π．（4）记⎰=20tan )tan arctan()(πdx xx a a I ，令x x a a x f tan )tan arctan(),(=，当2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(，0),2(=a f π，则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈+=,2,0 ,0,)2,0( ,tan 11),(22ππx x x a a x f a显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰⎰+=='2222tan 11),()(ππdx xa dx a x f a I a ，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．令t x =tan ，⎰⎰∞+∞+++--+-=++='0222222222222)1)(1(111)1)(1(1)(dt t a t a t a t a a dt t a t a I)1(2])1()1(1[11022222a dt t a a t a +=+-+-=⎰∞+π，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ． 积分之1)1ln(2)(c a a I ++=π，)1,0(∈a ；2)1l n (2)(c a a I +--=π，)0,1(-∈a ．因为)(a I 在)1,1(-连续，故)(lim 0)(lim )0(0a I a I I a a -+→→===，得021==c c ，从而得|)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π，1||<a ．6．应用积分交换次序求下列积分： （1）)0,0(ln 1>>-⎰b a dx xx x ab ； （2）)0,0(ln )1sin(ln 10>>-⎰b a dx xx x x ab ． 解（1）b a b a b a yb a y a b y dy y dx x dx dy x dx dx xx x |)1ln(11ln 10101+=+===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰aba b ++=+-+=11ln)1ln()1ln(． （2）⎰⎰⎰⎰⎰==-b a y b a y a b dx xx dy dx dy x x dx x x x x 101010)1sin(ln ])1[sin(ln ln )1sin(ln ． 记⎰=1)1sin(ln )(dx x xy I y，则 ])1()1cos(ln )1sin(ln [11)1sin(ln 11)(10111101⎰⎰--+=+=+++dx x x x x x y dx x y y I y y y ])1()1sin(ln ()1cos(ln [)1(1)1cos(ln 11101101210⎰⎰---+=+=++dx x x x x x y dx x x y y y y ))(1()1(1))1sin(ln 1()1(12102y I y dx x x y y -+=-+=⎰， 所以，1)1(1)(2++=y y I ，因此， )1)(1(1arctan 1)1(1)(ln )1sin(ln 210b a ab dy y dy y I dx x x x x b a b a a b +++-=++==-⎰⎰⎰． 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： （1）⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(； （2）)()()(b a dy y x y f x F ba<-=⎰．解（1）)(2)()(0x xf dy y f x F x+='⎰，)(2)(3)(x f x x f x F '+=''．（2）⎰-=bady y x y f x F )()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤-=⎰⎰⎰⎰,,))((,,))(())((,,))((b x dy y x y f b x a dy x y y f dy y x y f a x dy x y y f ba b x xa b a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤-='⎰⎰⎰⎰,,)(,,)()(,,)()(b x dy y f b x a dy y f dy y f a x dy y f x F bab x xa b a⎩⎨⎧≥≤<<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=''．b x or a x b x a x f b x b x a x f a x x F ,0,,)(2,0,,)(2,,0)(8．证明：⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．证明 ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-101022102222101022222]1)(12[)(dy y x dy y x x dx dy y x y x dx 4|arctan 11112π==+=⎰x dx x ， ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-10102221022101022222]121[)(dx y x y dx y x dy dx y x y x dy 4|arctan 11112π-=-=+-=⎰y dy y ， 所以，⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．9．设⎰+=122ln )(dx y x y F ，问是否成立⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y ．解 1ln ln )0(110-===⎰⎰xdx dx x F ，所以，]11[ln 1)1ln (1)0()(101022221022+-+++=++=-⎰⎰⎰dx dx yx y y y dy y x y y F y F)0(21arctan 2)1ln(]arctan 1[ln 12102+→→++=++=y y y y y x y y y π， 即2)0(π='+F ，同样2)0(π-='-F ，因此)0(F '不存在，而00ln 112210022==+=+∂∂⎰⎰⎰==dx dx y x y dx yx y y y ，因此，⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y 不成立．10．设⎰=πθθθ20cos )sin cos()(d x e x F x ，求证π2)(≡x F ．证明 R x ∈∀0，函数)sin cos(),(cos θθθx e x f x =在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，θθθθθθθsin )]sin sin([)sin cos(cos ),(cos cos x e x e x f x x x -+=亦在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，故由积分号下求导数可得⎰⎰==-=∂∂='πθθπθθθθθθθ20cos cos 20000]sin )sin sin()sin cos(cos [),()(d x e x e d x f x x F x x x x x x⎰⎰-=πθπθθθθθ200c o s 200c o ss i n )s i n s i n ()s i n s i n (100d x e x d ex x x （00≠x ）⎰-⋅-=πθπθθθθθ200cos 00200cos 0)sin ()sin sin(1|)sin sin(100d x e x x x e x x x⎰-πθθθθ200cos sin )sin sin(0d x e x0=，当00=x 时，显然0sin cos )0(2020==='⎰ππθθθd F ．由R x ∈0的任意性，0)(='x F ，因此，C x F ≡)(，而πθπ2)0(20===⎰d F C ，所以，π2)(≡x F ．11．设)(x f 为两次可微函数，)(x ϕ为可微函数，证明函数⎰+-+++-=atx atx dz z a at x f at x f t x u )(21)]()([21),(ϕ满足弦振动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂ 及初始条件)()0,(x f x u =，)()0,(x x u t ϕ=．证明)]()([21)]()([21at x at x aat x f at x f x u --+++'+-'=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([2122at x at x a at x f at x f xu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([21at x a at x a aat x f a at x f a t u -++++'+-'-=∂∂ϕϕ )]()([21)]()([2at x at x at x f at x f a -++++'+-'-=ϕϕ，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 所以，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 2222)]}()([21)]()([21{x u a at x at x a at x f at x f a ∂∂=-'-+'++''+-''=ϕϕ， 即满足弦振动方程．又)()(21)]()([21)0,(x f dz z ax f x f x u xx =++=⎰ϕ， )()]()([21)]()([2)0,(x x x x f x f a x u t ϕϕϕ=++'+'-=，即满足初始条件．§2 含参变量的广义积分1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1）⎰+∞+022)cos(dy yx xy （0>≥a x ）； （2）)(1)cos(02+∞<<-∞+⎰+∞x dy y xy ；（3）)(1b x a dy e y y x ≤≤⎰+∞-；（4）⎰+∞-1cos dy y ye pxy（0>p ，0≥x ）； （5）)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx xx p． 证明（1）因为当0>≥a x 时，],0[+∞∈∀y ，有22222211)cos(ya y x y x xy +≤+≤+， 而dy ya ⎰+∞+0221收敛，由M 判别法，⎰+∞+022)cos(dy y x xy 在0>≥a x 是一致收敛的． （2）因为，),(+∞-∞∈∀x ，),0[+∞∈y 成立22111)cos(y y xy +≤+，而⎰+∞+0211dy y 收敛，由M 判别法，⎰+∞+021)cos(dy y xy 在+∞<<∞-x 一致收敛．（3）因为],[b a x ∈∀，),1[+∞∈y ，成立{}y M yb a y x e y eye y ---≤≤,max ，其中{}0,max ≥=b a M ， 而⎰+∞-1dy e y yM 收敛，所以⎰+∞-1dy e y y x 在b x a ≤≤一致收敛．（4）用Abel 判别法．已知⎰+∞1cos dy yyp收敛（见第十一章§3习题3（3）），又对每一个),0[+∞∈x ，函数xye-关于y 是单调函数，且),0[+∞∈∀x ，),1[+∞∈y ，有1≤-xye，由Abel 判别法知 ⎰+∞-1cos dy y ye pxy在),0[+∞一致收敛．（5）由于⎰+∞2sin dx x 收敛（见p56-§11.1-例10），又对每一个),0[+∞∈p ，函数px +11是单调减函数，且),0[+∞∈∀x ，),0[+∞∈p ，有111≤+p x，由Abel 判别法，)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 在),0[+∞一致收敛．2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： （1）)0(2+∞<<-+∞⎰αααdx e x ；（2）⎰+∞-0dy xe xy ，（i ）)0(],[>∈a b a x ， （ii ）],0[b x ∈； （3）⎰+∞∞---dx e x 2)(α，（i ）b a <<α， （ii ）+∞<<∞-α； （4）)0(sin 0)1(22+∞<<⎰+∞+-x xdy e y x．解（1）)0(2)(0)(0222>===⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+απαααααdu e ux x d e dx e u x x ，当0=α时积分为0．0>∀A ，由于2lim lim 0222πααααα===⎰⎰⎰∞+-∞+-→∞+-→++du e du e dx e u Au o Ax o，故0ε∃：200πε<<，00>∃α，使得有0020εαα>⎰+∞-Ax dx e ，因此积分非一致收敛．（2）积分对于每一个定值0≥x 是收敛的．当0=x 时，00=⎰+∞-dy xe xy ；当0>x 时1|0=-=∞+-+∞-⎰xy xy e dy xe ． （i ）)0(],[>∈a b a x ，由于aA xA Axy e e dy xe --+∞-≤=<⎰0，故εε1ln 1,00a A =∃>∀，使当0A A >时，就有ε=<-+∞-⎰0aA Axy e dy xe ，于是，在区间)0(],[>∈a b a x 上积分一致收敛．（ii ）由于+→0x 时，1→-Axe ，故10:00<<∃εε，对于足够小的0x 值，00ε>-Axe ，故在],0[b 上，积分⎰+∞-0dy xe xy 不一致收敛．（3）对任意固定的α，积分⎰+∞∞---dx ex 2)(α都收敛，且（作代换t x =-α）πα==⎰⎰+∞∞--+∞∞---dt e dx e t x 22)(．（i ）取正数R 充分大，使得R b a R <<<-，显然，当R x ≥时，对一切b a <<α，有22)()(0R x x ee----<<α，而积分⎰⎰+∞--+∞∞---=0)()(222dx e dx eR x R x 收敛，由M 判别法，积分⎰+∞∞---dx e x 2)(α在b a <<α一致收敛．（ii ）0>∀A ，有παααα===⎰⎰⎰+∞∞--+∞--+∞→+∞--+∞→dt e dt e dx e t A t Ax 222limlim)(，故当α充分大时，0)(22επα=>⎰∞+--Ax dx e ，由此可知⎰+∞--0)(2dx e x α在+∞<<∞-α非一致收敛，因而⎰+∞∞---dx e x 2)(α在+∞<<∞-α更非一致收敛．（4）0>∀A ，有)0(sin sin 0)1(22222++∞-+∞--+∞+-→→=⎰⎰⎰x dt e dt e e xx xdy e t Ax t x Ay x，因此，积分⎰+∞+-0)1(sin 22xdy e y x在+∞<<x 0非一致收敛．3．设)(t f 在0>t 连续，⎰+∞)(dt t f t λ当a =λ，b =λ时皆收敛，且b a <．求证：⎰+∞)(dtt f t λ关于λ在],[b a 一致收敛．证明 ⎰⎰⎰+∞--+∞+=110)()()(dt t f t t dt t f t t dt t f t b b a a λλλ．由于⎰1)(dt t f t a 收敛，因而，对],[b a ∈λ一致收敛，αλ-t 当λ固定时，对t 在]1,0[单调，且1≤-αλt ，因此，由Abel 判别法，积分⎰⎰=-11)()(dt t f t dt t f t t a a λλ在],[b a 一致收敛．又因为⎰+∞1)(dt t f t b 收敛，故对],[b a ∈λ亦一致收敛，b t -λ当λ固定时，对t 在],1[+∞单调递减，且1≤-btλ，由Abel 判别法，积分⎰⎰+∞+∞-=11)()(dt t f t dt t f t t b b λλ在],[b a 一致收敛．因此，⎰+∞0)(dt t f t λ在],[b a 上一致收敛．4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： （1）⎰+∞+=22)(dy yx xx F ，),(+∞-∞∈x ； （2）⎰∞++=21)(dy yy x F x，3>x ； （3）⎰--=ππ02)(sin )(dy y y yx F xx ，)2,0(∈x ．解（1）当0≠x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-==+=+=∞+∞+∞+⎰⎰,0,2,0,2arctan )()(11)(0222x x x yx y d xy dy y x xx F ππ而0)0(=F ，因此，)(x F 在0≠x 连续，在0=x 间断（第一类间断点）．（2）因为)1(,1112222≥<+=+---y yy y y y x x x ， 而当3>x 时，无穷积分⎰+∞-121dx y x 收敛，⎰+=1021)(dy y y x F x在3>x 是常义积分，因而)(x F 在3>x 有意义．30>∀x ，03x b <<∃，当1≥y 时， ),[+∞∈∀b x ，有222221111----≤<+=+b x x x y y y y y y ， 而⎰+∞-121dy yb 收敛，因而⎰∞++021dy yy x 在),[+∞b 一致收敛，因此，⎰∞++=021)(dx y y x F x 在),[0+∞∈b x 连续，由),3(0+∞∈x 的任意性可知，)(x F 在3>x 连续．（3）⎰⎰----+-=ππππππ2222)()sin()(sin )(dy y y y dy y y yx F x x x x ， 所以，)2,0(0∈∀x ，0>∃δ，使得δδ-<<<200x ，当]2,[δδ-∈x 时，有δδδδπππππ)2(1)2(1)(1)(sin 11212-----=-≤-≤-y y y y y y y xx x x ，]1,0(∈y ，δδπππππ-----≤-≤--1212)()2(1)(1)()sin(y y y y y y xx x x ，),1[ππ-∈y ，⎰-11)2(1dy y δδ及⎰----ππδδπ112)()2(1dy y 均收敛，所以⎰--22)(sin ππdx y y yxx 及⎰--πππ22)(sin dx y y y x x 均在]2,[δδ-∈x 一致收敛，因而⎰--ππ02)(sin dy y y yxx 在]2,[δδ-∈x 一致收敛． 因此，)(x F 在]2,[δδ-∈x 连续，因而在δδ-<<<200x 连续，由)2,0(0∈x 的任意性，知)(x F 在)2,0(连续．5．若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在),[b a 收敛，在b x =时发散，证明)(x I 在),[b a 不一致收敛．证明 目的在于证明：00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，使得0'''),(ε≥⎰A A dy y x f ． （1）因为⎰⎰⎰+-='''''''''),()],(),([),(A AA A A A dy y b f dy y b f y x f dy y x f⎰⎰--≥'''''')],(),([),(A A A A dy y b f y x f dy y b f ，因此，若能证明00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，02),('''ε≥⎰A A dy y b f ，0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ， （2）则（1）式即可得到．剩下的问题在于证明（2）．01 因⎰+∞cdy y b f ),(发散，故00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃，使得02),('''ε≥⎰A A dy y b f ．02 但),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 连续，从而在有界闭区域b x a ≤≤，A y A ''≤≤'上一致连续，于是对上述01中00>ε，0>∃δ，当 δ<''-'x x ，δ<''-'y y 且],[,b a x x ∈'''，],[,A A y y '''∈'''时，有A A y x f y x f '-''<''''-''0),(),(ε，从而δ<-b x 时，有A A y b f y x f '-''<-0),(),(ε，由此推得0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ．6．含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛．证明 必要性．⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛，故0>∀ε，c A >∃0，当0A A >时，有ε<⎰+∞Ady y x f ),(，对],[b a x ∈一致地成立．对任意递增数列{}n A ：)(1c A A n =∞→，首先，∑⎰∑⎰∑=∞→∞=∞=++==nk A A n n A A n n k kn ndy y x f dy y x f x u 11111),(lim ),()()(),(),(lim 1x I dy y x f dy y x f cA cn n ===⎰⎰+∞∞→+，],[b a x ∈∀成立．其次，由于{}n A 单调递减趋于∞+，故对上述c A >0，N ∃满足0A A N ≥，因此当N n >时，0A A A N n ≥>，因此，有ε<==⎰∑⎰∑∞+∞=∞=+nk kA n k A A nk kdy y x f dy y x f x u),(),()(1，],[b a x ∈∀一致地成立，因此级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛于)(x I ．充分性．采用反证法．若不然，设对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 上一致收敛，但广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 不一致收敛，因此00>∃ε，c A >∀0，0A A >∃，],[0b a x ∈∃，使得00),(ε≥⎰+∞Ady y x f ．取01][)1(0>+=c A ，)1(02A A >∃，],[1b a x ∈∃，使得012),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取11)2(0+=A A，)2(03AA >∃，],[2b a x ∈∃，使得023),(ε≥⎰+∞A dy y x f ； 取12)3(0+=A A ，)3(04A A >∃，],[3b a x ∈∃，使得034),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；如此一直下去．得到一列单调递增序列{}n A （令C A =1），且)(∞→+∞→n A n 和一列{}],[b a x n ⊂，使得01),(ε≥⎰+∞+n A n dy y x f ，即函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 非一致收敛，矛盾！因此，⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛．7．用上题的结论证明含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 的积分交换次序定理（定理19．12）和积分号下求导数定理（定理19．13）．证明 积分交换次序定理 设),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，且含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上一致收敛，则⎰⎰⎰+∞=cbabadx y x f dy dx x I ),()(，即⎰⎰⎰⎰+∞+∞=cbab a cdx y x f dy dy y x f dx ),(),(．由于⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛⇒对任意递增趋于∞+的数列{}n A （c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 一致收敛于)(x I ，由已知条件，),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，因而亦在],[],[1+⨯n n A A b a 上连续，故⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u 在],[b a 连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=++===11111),(),()()(n A A ban baA A n ban ban nn ndx y x f dy dy y x f dx dx x u dx x I⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+∞∞→=∞→===++cbaA cban nk A A ban dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy n k k),(),(lim ),(lim111．积分号下求导数定理 设),(y x f 和),(y x f x 都在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，则⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 可导，且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(，即⎰⎰+∞+∞∂∂=c c x dy y x f xdy y x f dx d ),(),(． 由于⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，故对任意趋于∞+的递增函数列{}n A （C A =1），级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上收敛于)(x I ，又⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，故函数项级数∑∑⎰∞=∞='=+11)(),(1n nn A A x x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知 ⎰∑⎰∑+∞∞=∞==='='+cx n A A x n ndy y x f dy y x f x u x I n n),(),()()(111．8．利用微分交换次序计算下列积分： （1）⎰+∞++=12)()(n n a x dxa I （n 为正整数，0>a ）； （2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）； （3）⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax (0>a )．解（1）由于积分⎰+∞+02ax dx对一切00>a 在0a a ≥上一致收敛，得)()()1(10220202a I a x dx dx ax a a x dx da d -=+-=+∂∂=+⎰⎰⎰+∞+∞+∞， 由00>a 的任意性，知上式对一切0>a 成立．同理对积分⎰+∞+02ax dx逐次求导，得)(!)1()(!)1(01202a I n a x dx n a x dx da d n nn n nn -=+-=+⎰⎰∞++∞+， 但320212)2(aa da d a x dx da d ππ-==+⎰+∞，5323202221231)1()12(aada d ax dx da d ππ⋅-=-=+⎰∞+，用数学归纳法，可得121212!)!12()1(++∞+--=+⎰n n n nn an a x dx da d π，所以，)21()21(1!)!2(!)!12(2!2!)!12()(+-+-+-⋅=⋅⋅-=n n n n a n n a n n a I ππ．（2）当0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，下设0≠m ． 由于0sin lim0=---→+mx xe e bxax x ，因此0=x 不是瑕点，从而当0>a ，0>b 时，被积函数在+∞<≤x 0内连续（0=x 的函数值理解为极限值0），又由于)0(sin >-≤-----x xe e mx x e e bxax bx ax ， 而积分⎰∞+---1dx x e e bx ax 收敛，由比较判别法，积分⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax收敛．当00>≥a a 时，积分⎰⎰∞+-∞+---=-∂∂00sin )sin (mxdx e dx mx xe e a ax bxax 是一致收敛的．事实上，由)0(sin 0≥≤--x emx exa ax立即得到此结论．于是⎰∞+---=0sin )(mxdx xe e a I bxax 在00>≥a a 时可以在积分号下求导数，得220sin )(ma mmxdx e a I ax +-=-='⎰+∞-， 由00>a 的任意性知，上式对一切0>a 均成立，从而c m ada m a m a I +-=+-=⎰arctan )(22，其中c 为待定常数，令b a =，则得c m b b I +-==arctan 0)(mbc arctan =⇒．所以， )0()(arctan arctan arctan sin 20≠+-=-=-⎰∞+--m abm a b m m a m b mxdx x e e bx ax ． （3）⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+-=-=0000cos 2sin 21)(sin 21sin 2222bxdx e a b bx e a e bxd a bxdx xeax ax ax ax ⎰+∞-=0cos 22bxdx e ab ax 设⎰+∞-=0cos )(2bxdx eb I ax ，由于bx e ax cos 2-与bx xe bx e bax ax sin )cos (22---=∂∂都是0≥x ，+∞<<∞-b 上的连续函数，且此时22cos ax ax e bx e --≤，22sin ax ax xe bx xe --≤，而积分⎰+∞-02dx e ax 与⎰+∞-02dx xe ax 都收敛，因此积分⎰+∞-0cos 2bxdx e ax 与⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax 均在),(+∞-∞上一致收敛，从而可以在积分号下求导数．所以，)(2sin )(02b I abbxdx xe b I ax -=-='⎰+∞-， 解得，ab ceb I 42)(-=，其中c 是待定常数．但21)0(02πa dx e I ax ==⎰∞+-，得ab a b axe aa b e a a b b I a b bxdx xe 42402224212)(2sin --∞+-===⎰ππ． 9．利用对参数的积分法计算下列积分：（1）⎰∞+---022dx xeebx ax （0>a ，0>b ）； （2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）． 解（1）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--=-=-b atx abtx bx ax dx xedt dt exdx dx xe e2222⎰⎰⎰+∞-+∞--=--=b a tx ba tx dt e t tx d e dt t 0022221)(21ab a b t dt t b a b a ln 21)ln (ln 21ln 2121=-===⎰． （2）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--==-b a tx b a tx bxax mxdx e dt dt e mxdx mxdx xe e 000sin sin sinabm a b m m a m b m t dt m t m ba ba+-=-==+=⎰222)(arctanarctan arctan arctan （)0≠m ， 而0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，这也可以归结到前面最终答案中0=m 的情形，所以， abm a b m mxdx x e e bx ax +-=-⎰∞+--20)(arctan sin ． 10．利用⎰+∞+-=+0)1(2211dy e xx y 计算Laplace 积分 ⎰+∞+=021cos dx x x L α和 ⎰+∞+=0211sin dx xx x L α． 解 先计算⎰+∞+=021cos dx xxL α． 若0=α，则2arctan 111cos 00202πα==+=+=∞++∞+∞⎰⎰x dx x dx x x L ，故下设0≠α．⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞+-+∞==+=0000)1(02cos cos )(1cos 22xdx e dy e xdx dy e dx xx L yx y x y ααα ⎰⎰⎰∞++-∞++-∞+--==⋅=0)2(0)4(04222221dt eedt ety dy e yett tt yyααααπππ，其中第四个等号应用了8（3）中)(b I 的结果．下面计算⎰∞++-=0)2(2dt eI tt α．设u tt =-2α，则+∞<<t 0时，+∞<<∞-u ，αα222+=+u tt )2(212α++=⇒u u t ， 从而有du u u u du u u dt ααα2221)2221(21222+++=++=，代入得⎰⎰∞+∞-+-∞++-+++==du u u u e dt eI u tt αααα222122)2(0)2(22)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞-+-+++++++=du u u u e du u u u e u u αααααα)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞++-+++++-+=du u u u e du u uu e u u αααααα（前者作负代换）ααααπ2020)2(0)2(2221222-∞+--∞++-∞++-====⎰⎰⎰edu e e du e du e u u u ，所以，αααααππππ--∞++-=⋅=⋅=⎰eeedt eeL tt 2220)2(2．再计算⎰+∞+=0211sin dx x xx L α．显然 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+∞+∞==+=+=ααααππ000020021221cos 1cos du e du e dx x ux du du x ux dx L uu απαπαπααπαααααsgn )1(20,)1(2,0,)1(20,,0,200----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎰⎰e e e du e du e u u ． 11．利用)0(2102>=⎰+∞-x dy e xxy π计算Fresnel 积分⎰⎰+∞+∞==002sin 21sin dx xxdx x F ，和 ⎰⎰+∞+∞==0021cos 21cos dx xxdx x F ． 解 在积分⎰+∞-=221dy e xxy π的两端乘以x sin ，再在100x x x ≤≤<上积分，则得⎰⎰⎰+∞-=121sin 2sin x x xy x x dy xe dx dx xx π.由于202sin y x xy e ex --≤⋅，而⎰+∞-020dy e y x 收敛，故积分⎰+∞-02sin dy xe xy 对10x x x ≤≤一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-++-=⋅=420102121]1)cos sin ([2sin 2sin dy yx x y e dx e x dy dx xx x x xy x x xy x x ππ⎰⎰∞+-∞+-+++=04004201cos 21sin 22020dy y e x dy y y e x y x y x ππ⎰⎰∞+-∞+-+-+-04104211cos 21sin 22121dy y e x dy y y e x y x y x ππ， 上述等式右端的诸积分分别对+∞<≤00x ，+∞<≤10x 都是一致收敛的(120≤-y x e，121≤-y x e ，且⎰∞++0421dy yy 及⎰+∞+041y dy 均收敛)．于是，它们分别是10,x x (+∞<≤00x ，+∞<≤10x )的连续函数，从而令+→00x ，可在积分号下取极限，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞++-+-+=04104210401cos 21sin 212sin 21211dy y e x dy y y e x y dy dx xx y x y x x πππ， 且由于上式右端后两个积分均不超过积分)(0211121+∞→→=⎰∞+-x x dy e y x π．故0104221→+⎰∞+-dy y y e y x ，)(0110421+∞→→+⎰∞+-x dy y e y x ，令+∞→1x 取极限，222212sin 04ππππ=⋅=+=⎰⎰∞+∞+y dy dx xx ，。
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
含参变量积分
( x) = f ( x) 的解，并且满足条件 y (a) = y ' (a) =
n −1
= y ( n −1) (a) = 0 。
证明：设 F ( x, t ) = ( x − t )
f (t ) ，则 f ( x, t ), f x ( x, t ) 在 [a, b] × [ a, b] 上连续，因此有
2 ∂ 2u 2 ∂ u 的解。 是弦振动方程 2 = a ∂t ∂x 2
证明：由题设知
∂ 2u ∂ 2u 与 2 均存在，且有 ∂t 2 ∂x
1 ∂u 1 ' = [ f ( x − at )(−a ) + f ' ( x + at ) ⋅ a ] + [aF ( x + at ) + aF ( x − at )] 2a ∂t 2 1 a = [ f ' ( x + at ) − f ' ( x − at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )] 2 2 2 a ∂u a = [af '' ( x + at ) + af '' ( x − at )] + [ F ' ( x + at ) − F ' ( x − at )] 2 2 2 ∂t
d
d
b
（4）若 f ( x, y ) 在 [ a, b] × [c, d ] 上连续，则
∫
一、 参量的常积分
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
1、 一致收敛性及其判别法 定义 1 设函数定义在无界区域 G = ( x, y ) c ( x ) ≤ x ≤ d ( x), a ≤ x ≤ b 上，若对每一固
含参变量的积分
dx (b( y ) a ( y ))dt .
所以从(6)式可得
定理5.5 ( F ( y ) 的可微性 ) 设 f ( x , y ), f y ( x , y ) 在
G [a , b] [c , d ] 上连续, a(y), b(y)为定义在 [ c , d ] 上
其值含于[ a, b]内的可微函数, 则函数
f ( x , y y )dx [ f ( x , y y ) f ( x , y )]dx f ( x , y y )dx
a( y)
b ( y y )
F ( y)
在 [ c , d ]上连续.
b( y )
a( y)
f ( x , y )dx
(6)
b( y )
F ( y)
在 [ c , d ]上连续.
b( y )
a( y)
f ( x , y )dx
(6)
ln 2.3来自 证F ( y y ) F ( y )
b ( y y ) a ( y y )
f ( x , y y )dx
b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
第五节、含参变量的积分
一、含参变量的常义积分 * 二、含参变量的反常积分 三、小结、思考题 四、作业
回顾二重积分的计算：
f ( x , y )d dx
D a
b
2 ( x)
1 ( x )
f ( x , y )dy . ［X－型］
f ( x , y )d
D
d
c
dy
当 y 0 时，由a(y), b(y)的连续性，第一项与第三项 趋于0，又由定理5.1的证明，第二项中积分也趋于0， 定理得证.
19含参变量的积分
最后讨论 I ( x) =
∫
d
c
f ( x, y )dy 的可积性（积分问题） 的可积性（积分问题）
通常记
记号： 若 I ( x ) 在[a, b] 可积 .
∫
b
a
I ( x)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c
b
d
称为先对y后对x的累次积分
定理19.6
（积分交换次序）
设 f (x, y) 在 [a, b]×[c, d] 连续 ，则
ln(1 + α x) I (α ) = ∫ dx, α ∈ [0,1] 2 0 1+ x
1
f ( x, α ) =
1 + x2
x 1 α+x α 则 fα ( x,α ) = = ( − ), 2 2 2 (1+ x )(1+ α x) 1+ α 1+ x 1+ α x
它们都在 [0,1]×[0,1] 上连续，根据定理19.2，有
I ( x ) 在[a, b] 可积，且
∫
即
b
a
I ( x)dx = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
a c
b
d
∫
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
证明： 令 I1 (u ) = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c u d
定义19.1
设f (x, y) 定义在[a, b] × [c, +∞ ]，且对任意x ∈ [a, b], 无穷积分 I (x)=
∫
含参变量的积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
第十章
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一、被积函数含参变量的积分
设 f (x, y) 是 形 R =[a,b]×[α, β]上的连续函数, 矩 域
则积分∫ f (x, y) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数,
α β
β
记作
0 2
例2. 求I = ∫
1 ln( + x) 1
d x.
1 1 x t t [ ]d x = + − 2 ∫0 2 2 1+ t 1+ x 1+ x 1+ t x
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故
1 1 1 2 [ ln(1+ x ) +t arctan x −ln(1+t x) ] = 2 0 1+ t 2 1 1 π [ ln2 + t −ln(1+t) ] = 2 4 1+ t 2 1 1 1 π [ ln2 + t −ln(1+t) ]dt I =ϕ(1) −ϕ(0) = ∫ 2 0 1+ t 2 4 1 π 1 1 ln( + t) 1 1 2 dt = ln2arctant + ln( + t ) − ∫ 1 2 0 1+ t 2 8 0 0
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x 1 ϕ′(x) = (x −t)n−2 f (t) dt 即 (n − 2)!∫0 x 1 ϕ′′(x) = (x −t)n−3 f (t) dt , L 同理 (n −3)!∫0
ϕ
于是
(n−1)
含参变量的积分
设二元函数f(x,u)在区域 D(a x , u )
有定义。u [, ],
无穷积分 a
f (x,u)dx 都收敛，即
u [ , ] 都对应唯一一个无穷积分（值）a f (x,u)dx
于是，
f (x,u)dx是区间 a
[, ]
证: 令 F (x,t) (x t)n1 f (t), 显然, F (x,t) 及 Fx (x,t)
在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得
(x) 1
x
(n
1)( x
t)n2
f
(t) d t
(n 1)! 0
1 (x x)n1 f (x)
(n 1)!
一致收敛(a>0).
0
证明： u [a, ), e 有 ux2 eax2
又x 1，有
eax2
ax
e.
因为无穷积分
1
e
ax
dx
1 a
1
eaxd
(ax)
e
1 a
eax
1
1 a 收敛,
a
所以无穷积分
1
eax2
dx
收敛，从而无穷积分
u [, ]
.
下面给出函数 (u) 在区间 [, ] 的可微性.
定理4. 若 f (x,u)及其偏导数 fu(x,u) 都在矩形域
R(a x b, u )连续,而函数 a(u)与b(u) 在区间
[, ]可导，u [ , ]，有 a a(u) b, a b(u) b
则函数 (u) b(u) f (x,u)dx,u [, ] 在区间 a(u)
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§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰， 或(,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理 3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即 (),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y ∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()yF y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f xr r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰ 01.(0)1cos dx r r r r xππ=-≠+⎰设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，1cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝. 将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有()((lnI r dr r Crππ==++⎰ln(1Cπ=+.已知'(0)0.I=，有1ln2ln2Cππ=-=.于是，11()ln(1ln ln22I rπππ+=+=.例3 .证明：若函数()f x在区间[,]a b连续，则函数11()()(),[,](1)!x nay x x t f t dt x a bn-=-∈-⎰是微分方程()()()ny x f x=的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0ny a y a y a-===.证明：逐次应用定理4，求函数()y x的n阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n nay x n x t f t dt x t f x xn n--=--+---⎰=21()()(2)!x nax t f t dtn---⎰，''31()()(),(3)!x nay x x t f t dtn-=--⎰(1)()(),xnay x f t dt-=⎰()()()ny x f x=，即函数()y x是微分方程()()()ny x f x=的解，显然，当x a=时，'()()0,()0,()0ny a y a y a===.例4.证明：若函数()f x存在二阶导数，函数()F x存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dza+-=-+++⎰是弦振动方程22222u uat x∂∂=∂∂的解.证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x ∂=∂即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x xb a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abby y aax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yy x x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。
[,]a αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx+∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)af x u dx +∞⎰.于是，(,)af x u dx +∞⎰是区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]au f x u dx u ϕαβ+∞=∈⎰，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u 是参变量.定义 设u I ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰收敛，若000,(0,,,A A A u I ε∀>∃>∀>∀∈通用）有(,)(,)(,)Aa aAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰则称无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛。