职高数学——立体几何
职高数学——立体几何
平面的基本性质一、高考要求:理解平面的基本性质、二、知识要点:1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、2、平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ 、3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、三、典型例题:例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内、证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α、∵m ∩α=A,m ∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m∴m ⊂α、 ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内、四、归纳小结:1、证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都就是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、五、基础知识训练:(一)选择题:1、下列说法正确的就是( )A 、平面与平面只有一个公共点B 、两两相交的三条直线共面C 、不共面的四点中,任何三点不共线D 、有三个公共点的两平面必重合2、在空间,下列命题中正确的就是( )A 、对边相等的四边形一定就是平面图形B 、四边相等的四边形一定就是平面图形C 、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或3个4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件(二)填空题:5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面、6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是 、(三)解答题:7、已知A 、B 、C 就是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线、8、已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面、直线与直线的位置关系一、高考要求:1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、二、知识要点:1、两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内、2、平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、三、典型例题:例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH就是平行四边形、思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状就是 ;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1与BD1间的距离、四、归纳小结:1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、五、基础知识训练:(一)选择题:1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;(3)有三个角就是直角的四边形就是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、A、0个B、1个C、2个D、3个2、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;(4)分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、A、0个B、1个C、2个D、3个4、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A、1个B、2个C、3个D、4个5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A、垂直B、平行C、相交D、异面6、设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系就是( )A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面7、设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是( )A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面8、(2002高职-4)已知m,n就是异面直线,直线 平行于直线m,则 与n( )A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线(二)填空题:9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β= 、(三)解答题:12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:AC与BD就是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证与证明过程)13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离、14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC 的中点,连结DE、(1)求证:DE就是异面直线OA与BC的公垂线;(2)求异面直线OA与BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离、直线与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握直线与平面的位置关系、2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、二、知识要点:1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点、2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α、直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍就是按或线段;(2)平行线的平行射影仍就是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b、6.斜线及其在平面内的射影:一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、定理:从平面外一点向平面引垂线与斜线、(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、三、典型例题:例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD、例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明、四、归纳小结:1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、五、基础知识训练:(一)选择题:1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是( )A 、 AB ⊥PD B 、 AB ⊥PCC 、 OD ⊥PC D 、 AB ⊥PO2、直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围就是( )A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3、由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形就是( )A 、半径为34cm 的圆B 、半径为24cm 的圆C 、半径为334cm 的圆 D 、半径为22cm 的圆 4、设a 、b 就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是( )A 、有且仅有一条直线与a 、b 垂直B 、有一个平面与a 、b 都垂直C 、过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D 、过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5、下列命题中正确的就是( )A 、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B 、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6、两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系就是( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上三种情况都有可能7、PA,PB,PC 就是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A 、21 B 、36 C 、33 D 、23 8、直线a 就是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角就是( )A 、60ºB 、45ºC 、90ºD 、135º9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A 、513B 、517 C 、921 D 、12951 10、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A 、5B 、52C 、53D 、5411、在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 就是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离就是( )A 、25B 、27C 、211D 、419 12、已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 就是△ABC 的外心,则( )A 、 SA=SB=SCB 、 SA ⊥SB,且SB ⊥SCC 、∠ASB=∠BSC=∠CSAD 、 SA ⊥BC(二)填空题:13、如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 、14、在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系就是 、15、两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能就是 、(三)解答题:16、证明直线与平面平行的判定定理、17、从平面外一点P 向平面引垂线PO 与斜线PA,PB 、(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长、18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P 、(1)P 到三角形三顶点的距离都就是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都就是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、19、已知直角△ABC 在平面α上, D 就是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长、20、如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β、求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB 、21、已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、求证:cos α=cos βcos γ、22、 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1、(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD 、平面与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握平面与平面的位置关系、2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、二、知识要点:1.平面与平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线、2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、三、典型例题:例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、例2:已知二面角α- -β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α、四、归纳小结:1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角、五、基础知识训练:(一)选择题:1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA、①与②B、③与④C、②D、④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是( )A、平面的基本性质B、三垂线定理C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是( )A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有( )A、α⊥γ且 ⊥mB、α⊥γ且m∥βC、 m∥β且 ⊥mD、α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β与直线 、m,则α⊥β的一个充分条件就是( )A、 ⊥m, ∥α,m∥βB、 ⊥m,α∩β= ,m⊂αC、 ∥m, m⊥β, ⊂αD、 ∥m, ⊥α,m⊥β6.若异面直线a、b, a⊂α, b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合7.下列命题中,正确的就是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A、(1)(2)B、(2) (3)C、(3)(4)D、(2)(3)(4)8.过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个4,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为( ) 9.设正方形ABCD的边长为6A 、3πB 、4πC 、2πD 、32π (二)填空题:10. 已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是 、11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是 、12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a 平行、 其中正确命题的序号就是 、13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m,则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β,且α∥β,则m ∥ 、其中正确的命题就是(只写序号) 、14. 已知直线 与平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出您认为正确的一个命题 、15. α、β就是两个不同的平面,m 、n 就是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题: 、16. 设X,Y,Z 就是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的就是 、①X,Y,Z 就是直线; ②X,Y 就是直线,Z 就是平面; ③X,Y 就是平面,Z 就是直线; ④X,Y,Z 就是平面、设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系就是 、17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长就是 ,EF 的长就是 、18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= 、(三)解答题:19. 已知一个二面角就是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都就是3,求两个垂足间的距离、20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长、翻折问题一、高考要求:掌握立体几何中图形翻折问题的解法、二、知识要点:解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题、三、典型例题:例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º、(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值、例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离、四、归纳小结:1、折叠前一般就是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后就是立体图形,要用立体几何知识解答;2、未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答、五、基础知识训练:(一)选择题:1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离就是( ) A 、a B 、a 26 C 、a 33 D 、a 415 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A 、a 22B 、a 23C 、a 23 D 、a 2 (二)填空题:4. E 、F 分别就是正方形ABCD 的边AB 与CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= 、5. 如图,ABCD 就是正方形,E 就是AB 的中点,如将△DAE 与△CBE 分别沿虚线DE 与CE 折起,使AE 与BE重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD所成的二面角为 度、(三)解答题:6.一个直角三角形的两条直角边各长a与b,沿其斜边上的高h折成直二面角,试求此时a与b两边夹角α的余弦、7.把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,试求顶点B与D的距离、8.已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成90º的二面角,求B、D两点之间的距离、空间图形性质的应用一、高考要求:掌握空间图形的性质在测量与实际问题中的应用、二、知识要点:1、空间图形的性质在测量中的应用;2、空间图形的性质在实际问题中的应用、三、典型例题:例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果您手中只有测角器与皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离、请说出您的测量方法,并求出该距离、例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结:空间图形的性质在测量与实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题、五、基础知识训练:(一)填空题:1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离就是、2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线与CP垂直、(二)解答题:3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达、在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度、。
中职数学立体几何
机械设计
机械设计中需要考虑到机械零件的形 状、大小、位置等因素，立体几何可 以为机械设计提供精确的数据和资料 。
05 中职数学立体几何复习题及解析
CHAPTER
空间几何体部分的复习题及解析
总结词
了解空间几何体的结构特征，掌握常见几何体的体积和表面积计算方法，能根据几何体 的形状进行分类。
详细描述
总结词
理解点、线、面之间的基本关系，掌握直线与平面平行的判定和性质，能解决简单的证明题。
详细描述
点、线、面关系是中职数学立体几何中的基础内容之一，主要涉及点与点、点与线、点与面、线与线、线与面以 及面与面之间的关系。在复习时，建议首先理解基本概念和定理，然后通过例题解析掌握判定和性质，最后能解 决一些简单的证明题。
几何体的表面积和体积
表面积
球体的表面积计算公式为4πr²，其中r为球的半径；圆柱体的表面积计算公式 为2πrh+2πr²，其中r为底面圆的半径，h为高；圆锥体的表面积计算公式为 πrl+πr²，其中r为底面圆的半径，l为母线长。
体积
球体的体积计算公式为4/3πr³，其中r为球的半径；圆柱体的体积计算公式为 πr²h，其中r为底面圆的半径，h为高；圆锥体的体积计算公式为1/3πr²h，其中 r为底面圆的半径，h为高。
04 棱柱
05 棱锥
以一个点为球心，以任意 长为半径，包围在球体外 的曲面称为球面。球体是 一个旋转体，其特性有： 球心与半径、球的截面圆 、球的表面积与体积。
如果一个长方形的长等于 底面圆的直径，那么这个 长方体就称为圆柱体。圆 柱体的特性有：底面圆、 侧面展开图、表面积与体 积。
圆锥体是一个旋转体，其 底面圆与侧面展开图都是 扇形。圆锥体的特性有： 底面圆、侧面展开图、表 面积与体积。
职高数学——立体几何97083教学提纲
平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ.3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m ⊂α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1λ∥2λ∥3λ,且m ∩1λ=A 1,m ∩2λ= A 2,m ∩3λ=A 3,求证: 1λ、2λ、3λ、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线λ平行于直线m,则λ和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系是 .10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为 .11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β= . （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a⊄α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果λ⊥a,λ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么λ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P∉α、λ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥λ,PA⊥α,PB⊥λ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点. 3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ=cos θ1cos θ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO ⊥平面ABC,O 为垂足,OD ⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线λ与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线λ异面,则λ与a 所成角的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21B.36C.33D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角是( )A.60ºB.45ºC.90ºD.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A.513B.517C.921 D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A.5B.52C.53D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( )A.25B.27 C.211 D.419 12.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( )A. SA=SB=SCB. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 .14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.(1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β.求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB.21.已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cos α=cos βcos γ.22. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1.(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α-λ-β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线λ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒λ⊥m;②λ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒λ∥m;④λ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4.如果直线λ,m与平面α、β、γ满足:λ=β∩γ,λ∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且λ⊥mB.α⊥γ且m∥βC. m∥β且λ⊥mD.α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β和直线λ、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A.λ⊥m,λ∥α,m ∥βB.λ⊥m,α∩β=λ,m ⊂αC.λ∥m, m ⊥β,λ⊂αD.λ∥m,λ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( ) A.3π B.4π C.2π D.32π （二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、λ为直线,α、β为平面,给出下列命题: ①λ垂直于α内的两条相交直线,则λ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若λ⊥α,α∥β，则λ⊥β;④若m ⊂α,λ⊂β,且λ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α,λ⊂β，且α∥β，则m ∥λ.其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线λ和平面α、β,给出三个论断:①λ⊥α,②λ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是 .①X,Y,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α-λ-β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= .（三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题 一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26C.a 33D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A.a 22B.a 23C.a 23 D.a 2 （二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路λ旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚λ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与λ垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚λ成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是 .2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达.在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度.。
职高数学第九章立体几何习题和答案解析
职高数学第九章立体几何习题和答案解析立体几何是数学中的一个重要分支，也是职高数学课程中的一大门类。
在职高数学的第九章中，我们将学习关于立体几何的基本概念、性质以及应用。
为了帮助同学们更好地掌握这一章节的知识，本文将提供一些与立体几何相关的习题，并对每个习题的答案进行详细解析。
1. 问题描述：已知一个正方体的棱长为5cm，求其表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于六个面的面积之和，每个面的面积等于边长的平方。
所以正方体的表面积为6 * (5cm)^2 = 150cm^2。
正方体的体积等于边长的立方，所以正方体的体积为(5cm)^3 = 125cm^3。
2. 问题描述：一个圆柱体的底面半径为3cm，高为8cm，求其体积和侧面积。
解析：圆柱体的体积等于底面积乘以高。
底面积等于圆的面积，即π * r^2，其中π取近似值3.14。
所以圆柱体的体积为3.14 * (3cm)^2 *8cm ≈ 226.08cm^3。
圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r。
所以圆柱体的侧面积为2 * 3.14 * 3cm * 8cm ≈ 150.72cm^2。
3. 问题描述：一个圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，求其体积和侧面积。
解析：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
底面积等于圆的面积，即π * r^2。
所以圆锥的体积为1/3 * 3.14 * (4cm)^2 * 6cm ≈100.48cm^3。
圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线的长度，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r，母线的长度可以用勾股定理计算，即√(r^2 + h^2)。
所以圆锥的侧面积为3.14 * 4cm * √((4cm)^2 + (6cm)^2) ≈97.44cm^2。
4. 问题描述：一个球体的半径为5cm，求其体积和表面积。
解析：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即4/3 * 3.14 * (5cm)^3 ≈ 523.33cm^3。
中职数学立体几何
机械设计中的立体几何
零件建模
机械设计师使用立体几何知识构建零件的三维模 型。
运动分析
通过立体几何对机械部件的运动轨迹、速度、加 速度等进行精确分析。
有限元分析
在机械设计中，有限元分析是一种常用的方法， 立体几何是实现这一方法的关键。
计算机图形学中的立体几何
3D建模
在计算机图形学中，3D建模是基础，立体几何提供了构建三维物 体的理论和技术。
在计算机图形学中，图形 变换是实现三维图形渲染 和动画的关键技术之一。
04
立体几何的实际应用
建筑中的立体几何
建筑设计
建筑师利用立体几何知识进行建 筑设计，如空间布局、角度计算、
透视效果等。
结构分析
建筑结构工程师使用立体几何来 分析建筑结构的稳定性、承重能
力等。
施工测量
在建筑施工过程中，需要进行精 确的测量和定位，立体几何提供
特点
立体几何具有抽象性和直观性，它通 过逻辑推理和证明来研究空间图形的 性质，同时借助图形和模型来直观地 理解空间关系。
立体几何的重要性
实际应用
数学学科基础
立体几何在建筑、工程、机械等领域 有着广泛的应用，如建筑设计、施工 图纸绘制、机械零件的制造等。
立体几何是数学学科中的基础课程之 一，对于后续学习其他数学课程，如 解析几何、微积分等具有重要意义。
中职数学立体几何
目录
• 立体几何概述 • 立体几何基础知识 • 立体几何的图形变换 • 立体几何的实际应用 • 立体几何的解题技巧 • 立体几何的练习题与答案
01
立体几何概述
定义与特点
定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它主要探讨空间 中点、线、面、体之间的关系，以及 它们的性质、形状和度量。
中职数学单招一轮总复习《立体几何》复习课件
典例精讲
第 13 页
例1 下列说法中，正确的是（ ）． A．一个平面长8 cm，宽3 cm B．2个平面叠在一起比1个平面要厚 C．空间中任意三点可以确定一个平面 D．一个矩形长4 cm，宽2 cm
解析 根据平面的概故选D．
【名师点睛】 本题考查学生对于平面概念的理解，即平面是没有大小、没有厚薄、 光滑的、可以无限延展的图形．
2．用集合符号语言表示“直线 l 与平面 α 交于一点A”：__________________．
活学活练
二、填空题
第 22 页
3．两个相交平面可以将空间分成__________部分，三个两两相交的平面最多可将空间分 成__________部分．
典例精讲
变式训练1 下列说法中，正确的是（ A．空间任意三点都能确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．三角形一定是平面图形 D．梯形不一定是平面图形
）．
第 14 页
典例精讲
第 15 页
例2 三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定_____________个平面．
解析 由推论3可知，经过两条平行直线，可以确定一个平面．本题中三条直线两两 平行，故可以确定3个平面，即答案为3．
活学活练
一、单项选择题
第 20 页
3．若点A在直线α上，直线α又在平面α内，则对点A、直线α与平面α之间的位置
关系表述正确的是（ ）．
A．A a
B．A a
C．A a
D．A a
4．下列不能确定一个平面的是（ A．一条直线和这条直线外一点 C．空间中两条相交的直线
）．
B．空间中的三个点 D．空间中两条平行的直线
第 17 页
证明 因为 m∥n ，所以直线 m，n 可以确定一个平面α，从而有m ，n ． 因为 Am，B n，所以 A，B ，又因为 Al，Bl，所以直线 l ，从而有 直线 m，n，l 共面．
职高数学立体几何教案
职高数学立体几何教案【篇一：职高立体几何测试题1】【篇二：职高数学教材分析】中等职业学校数学教材分析一、课程性质与任务数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。
数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。
本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。
二、课程教学目标1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。
2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。
3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。
三、教学内容结构本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。
1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
基础模块上册包括集合、不等式、函数、指数函数与对数函数、三角函数。
基础模块下册包括数列、平面向量、直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步。
2. 职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容，各学校根据实际情况进行选择和安排教学。
3. 拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。
包括：三角公式及其应用、椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计。
四、教学内容与要求（一）本大纲教学要求用语的表述1. 认知要求（分为三个层次）了解：初步知道知识的含义及其简单应用。
理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。
掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。
2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力）计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。
计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。
中职数学第九章立体几何知识点
中职数学第九章立体几何知识点立体几何一、平面平面是无限延展且没有边界的光滑平坦的几何概念。
其基本性质包括：定理1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么这条直线在这个平面内。
记作：l⊆α。
定理2：如果两个平面有公共点，那么有且仅有一条过该公共点的公共直线。
记作：p∈αβ ⇒ αβ=l,p∈l。
定理3：不在同一条直线上的三点确定一个平面。
结论1：直线与直线外一点可以确定一个平面。
结论2：两条相交线可以确定一个平面。
结论3：两条平行线可以确定一个平面。
二、空间直线空间直线的位置关系包括相交、平行和异面，分类如下：有一个公共点的共面直线，包括相交、平行。
无公共点的共面直线，包括相交和平行。
不共面直线，为异面。
1.异面直线异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。
判定定理为：一条直线与平面相交，该直线与平面内不过交点的直线是异面直线。
即a∩α=A,b⊆α,A∉b ⇒ a,b是异面直线。
异面直线所成的角为经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角，范围为0到π。
2.平行平行公理为：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理为：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论为：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等。
三、直线与平面1.直线与平面的位置关系包括相交、平行和在平面内。
记作：a∩α=A,a∥α,a⊆α。
2.直线与平面平行判定定理为：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
即ab,a∋α,b⊆α ⇒ a∥α。
性质定理为：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
即a∥α,a⊥β,β⊆α ⇒ a∥β。
3.直线与平面所成的角为斜线l与它在平面α内的射影的夹角，范围为0到π。
4.直线与平面垂直的定义为一条直线如果与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条线与这个平面垂直。
立体几何高中数学知识点总结职高
立体几何高中数学知识点总结职高立体几何是高中数学教育中的重要组成部分，它不仅培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，还是进一步学习高等数学和理解现实世界空间关系的基础。
本文将对高中立体几何的主要知识点进行总结，旨在帮助职业高中的学生更好地理解和掌握这一领域的基本概念、公式和解题技巧。
# 基本概念与定义在立体几何中，我们首先需要了解一些基础的概念和定义，这些是后续学习的基础。
点、线、面：点是没有大小、只有位置的几何概念；线是由无数个点组成的一维几何体，分为直线和曲线；面是由线围成的二维几何体。
平面：平面是无限延展且没有厚度的几何体，它是点和线的集合，满足任意两点间直线都在同一平面内的性质。
空间直线：空间直线是不局限于平面内的直线，它可以与平面相交、平行或在平面内。
立体图形：由平面或曲线围成的几何体，如多面体、旋转体等。
# 多面体多面体是由若干个平面围成的立体图形。
在高中数学中，我们主要学习以下几种典型的多面体：棱柱：由两个平行且相等的多边形和若干个平行四边形组成的多面体。
根据底面多边形的边数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等。
棱锥：由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。
底面多边形的顶点与侧面三角形的顶点相连接。
棱台：由两个平行的多边形和若干个梯形侧面组成的多面体。
这两个多边形称为棱台的上底和下底。
圆柱：由两个平行的圆面和连接这两个圆面的侧面组成的旋转体。
圆锥：由一个圆面和一个顶点组成的旋转体，顶点与圆面中心垂直。
圆台：由一个圆面和一个平行于该圆面的较小圆面，以及连接这两个圆面的侧面组成的旋转体。
# 体积与表面积对于立体图形，我们通常需要计算其体积和表面积。
体积：表示立体图形所占据空间的大小。
计算公式依赖于具体的几何体类型。
例如，棱柱的体积公式为底面积乘以高，圆锥的体积公式为底面积乘以高的三分之一。
表面积：表示立体图形所有表面的总面积。
同样，计算公式依赖于具体的几何体类型。
例如，棱锥的表面积为所有侧面三角形面积的和加上底面多边形的面积。
中职-第九章 立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥， 球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 ②四棱柱 底面为平行四边形且侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.5面积、体积公式：2S c h S c h S S h =⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
职高数学-立体几何练习
《立体几何》（一）选择题：1．下列说法正确的是 ( ) （A ）两平面相交只有一个公共点 （B ）两两相交的三条直线共面 （C ）不共面的四点中，任何三点不共线 （D ）有三个公共点的两平面必重合 2．在空间，下列命题中正确的是 ( ) （A ）对边相等的四边形一定是平面图形 （B ）四边相等的四边形一定是平面图形（C ）有一组对边平行的四边形一定是平面图形 （D ）有一组对角相等的四边形一定是平面图形3．过空间一点作三条直线，则这三条直线确定的平面个数是 ( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）1个或3个 4．空间不共线的四点，其中三点共线是这四点共面的 ( ) （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 5．下列说法正确的是 （ ） （A ）过三点确定一个平面 （B ）过一条直线和一个点确定一个平面 （C ）梯形、平行四边形都是平面图形（D ）四边形都是平面图形6．下列命题中正确的是 （ ） （A ）空间不同的三点确定一个平面（B ）空间两两相交的三条直线确定一个平面（C ）空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形（D ）和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内7．“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的 （ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要 8．下列说法正确的是 （ ） （A ）四边形的对角线相交（B ）空间有任意四个角是直角的四边形一定是平面图形 （C ）两两相交的三条直线一定共面（D ）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面。
9．不一定能确定一个平面的是 ( ) （A ）直线与直线外一点（B ）两条相交直线（C ）空间三点（D ）两条平行直线10．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 （二）填空题：1．空间三条直线互相平行，但不共面，它们能确定 个平面；三条直线相交于一点，它们最多可确定 个平面。
职高立体几何知识点
职高立体几何知识点9.1 平面的基本性质1.在立体几何中，有三种语言可以用来描述点、直线和平面之间的位置关系：图形语言、文字语言和符号语言。
2.根据位置关系，可以用不同的语言描述点、直线和平面之间的位置关系，例如点A在直线a上、点B在直线a外、直线a在平面α内等等。
3.符号语言可以用符号来表示位置关系，例如XXX表示点A在直线a上，a∥b表示直线a和直线b平行等等。
9.2 空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系可以分为相交、平行和异面三种情况。
2.平行线的传递公理指出，平行于同一直线的两条直线相互平行。
3.异面直线是指不在任何一个平面内的两条直线。
可以通过连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线来判定异面直线。
4.异面直线所成的角的范围是(0°，90°]，可以通过平移法来作异面直线成角的方法。
9.3 直线与平面的位置关系1.直线和平面的位置关系可以分为直线在平面内、相交和平行三种情况。
2.等角定理指出，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.线面平行的定义是指平面外的直线与平面无公共点，可以通过判定定理来判断。
4.线面垂直的定义是指一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面，可以通过判定定理和性质定理来判断。
5.面面平行的定义是指空间两个平面没有公共点，可以通过判定定理来判断。
推论：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面的两条线段平行，那么这两个平面是平行的。
判定定理2：如果有两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行。
面面平行的性质定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的平行线段长度相等。
面面垂直的定义：如果两个平面的二面角的平面角为90°，那么这两个平面是垂直的。
判定定理：如果一个平面与另一个平面的一条垂线相交，那么这两个平面是垂直的。
面面垂直的性质定理：如果两个平面是垂直的，那么它们之间的二面角的平面角为90°。
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平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法 : 平面是无限延展的 , 是没有边界的 . 通常用平行四边形表示平面 , 平面一般用希腊字母α、β、γ、来命名, 还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2. 平面的基本性质:(1) 如果一条直线上的两点在一个平面, 那么这条直线上的所有点都在这个平面. 这时我们说, 直线在平面或平面经过直线. 用符号语言表示为: 如果 A∈ a,B ∈ a, 且 A∈α ,B ∈α , 则 a? α.(2)经过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面 . 也可简单地说成 , 不共线的三点确定一个平面 . 它有三个推论 :推论 1: 经过一条直线和直线外的一点, 有且只有一个平面;推论 2: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面;推论 3: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点 , 那么它们就有另外的公共点 , 并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线. 这时我们称这两个平面相交.用符号语言表示为: 如果A∈α ,A ∈β , 则α∩β = , 且 A∈.3.有关概念: 如果空间的几个点或几条直线都在同一平面, 那么我们就说它们共面; 如果构成图形的所有点都在同一平面 , 则这类图形叫做平面图形 ; 如果构成图形的点不全在同一平面 ,则这类图形叫做立体图形. 直线和平面都是空间的子集, 直线又是平面的子集.三、典型例题：例 1: 已知 E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 ABCD各边 AB、 AD、 BC、CD上的点 , 且 EF 与 GH相交于点 P. 求证 : 点 B、 D、 P 在同一直线上 .证明 :∵ E∈ AB, F∈AD又AB∩ AD=A∴E、 F∈平面 ABD∴E F? 平面 ABD同理 GH? 平面 CBD∵E F 与 GH相交于点 P∴P∈平面 ABD,P∈平面 CBD, 又平面 ABD∩平面 ABD=BD∴P∈ BD即点 B、 D、P 在同一直线上 .例 2: 如图 , 已知直线 a∥ b, 直线 m与 a、b 分别交于点 A、B,求证 :a 、 b、 m三条直线在同一平面 .证明 : ∵ a∥b∴ a、b可以确定一个平面α.∵m∩α =A,m∩β =B,∴ A∈α ,B∈α又A∈ m,B∈ m∴m? α .∴ a、b、m三条直线在同一平面.四、归纳小结：1. 证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点 :(1) 确定平面 ;(2) 证明其余点、线在确定的平面 , 解题中应注意确定平面的条件 .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列说确的是( )A. 平面和平面只有一个公共点C. 不共面的四点中, 任何三点不共线B.D.两两相交的三条直线共面有三个公共点的两平面必重合2. 在空间, 下列命题中正确的是( )A. 对边相等的四边形一定是平面图形C. 有一组对边平行的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形D. 有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线 , 则这三条直线确定的平面个数是 ( )A.1 个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点 , 其中三点共线是这四点共面的 ( )A. 充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5. 空间三条直线互相平行 , 但不共面 , 它们能确定个平面 , 三条直线相交于一点, 它们最多可确定个平面 .6. 检查一桌子的四条腿的下端是否在同一个平面的方法是.（三）解答题：7.已知 A、 B、C 是平面α外三点 , 且 AB、 BC、 CA分别与α交于点 E、 F、 G,求证 :E 、F、 G三点共线 .8. 已知 1 ∥ 2 ∥ 3 ,且m∩1=A1,m∩ 2 = A2,m∩3 =A3,求证: 1 、2、3、m四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系 . 掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念 . 了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种 :(1) 平行 : 没有公共点 , 在同一平面 ;(2) 相交 : 有且仅有一个公共点 , 在同一平面 ;(3) 异面 : 没有公共点 , 不同在任何一个平面 .2.平行直线的传递性 : 空间三条直线 , 如果其中两条直线都平行于第三条直线 , 那么这两条直线也互相平行 .3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念 : 经过空间任意一点 , 分别作与两条异面直线平行的直线, 这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 成 90o 角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线 , 异面直线 a 与 b 垂直 , 记作 a⊥ b. 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 , 对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段, 公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例 1: 已知空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA的中点 , 求证 :EFGH是平行四边形 .思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是; 如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状是.例 2: 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知 AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是 AA1的中点 .(1)求证 :AC1、 BD1、 CA1、DB1共点于 O,且互相平分 ;(2)求证 :EO⊥ BD1,EO⊥ AA1;(3)求异面直线 AA1和 BD1所成角的余弦值 ;(4)求异面直线 AA1和 BD1间的距离 .四、归纳小结：1. 平行线的传递性是论证平行问题的主要依据; 等角定理表明角在空间平行移动, 它的大小不变 .2.两条异面直线所成的角θ满足 0o ＜θ≤ 90o , 且常用平移的方法化为相交直线所成的角 , 在三角形中求解 .五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中 , 以下命题中真命题的个数为 ( )(1) 垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形 ; (4) 自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0 个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等 ;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直, 那么这两个角相等或互补 ;(4)如果两条直线同平行于第三条直线, 那么这两条直线互相平行 .A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3. 下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1) 不同在任何一个平面的两条直线是异面直线;(2) 既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3) 连结平面一点与平面外一点的直线和这个平面不经过该点的任意直线是异面直线;(4) 分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1) 若 a∥ b, a ∥ c, 则 b∥ c; (2) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b∥c;(3) 若 a∥ b, a ⊥ c, 则 b⊥ c; (4) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b⊥c;A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.教室有一直尺 , 无论怎样放置 , 在地面总有这样的直线 , 它与直尺所在直线 ( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面6. 设 a、 b、 c 为空间三条直线, a ∥ b, a 、 c 异面 , 则 b 与 c 的位置关系是 ( )A. 异面B. 相交C. 不相交D. 相交或异面7.设 a、 b、 c 为空间三条直线 , 且 c 与 a、 b 异面 , 若 a 与 c 所成的角等于 b 与 c 所成的角 , 则 a 与 b 的位置关系是( )A. 平行B.8.(2002高职-4)已知A. 不可能是平行直线平行或相交 C.m,n 是异面直线 , 直线B.一定是异面直线平行或异面 D.平行或相交或异面平行于直线m,则和n()C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9. 平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.10. 若 a∥ b,c ⊥ a,d ⊥ b, 则 c 与 d 的关系为.11. 空间两个角α和β, 若α和β两边对应平行, 当α=50o时 , 则角β = .（三）解答题：12.. 已知A、B 和C、D 分别是异面直线a、 b 上的两点, 求证:AC 和BD是异面直线( 要求画出图形 , 写出已知, 求证和证明过程)13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1.(1) 求直线 DA1与 AC的夹角 ;(2) 求直线 DA1与 AC的距离 .14.已知空间四边形 OABC的边长和对角线长都为 1,D、 E 分别为 OA、 BC的中点 , 连结 DE.(1) 求证 :DE 是异面直线 OA和 BC的公垂线 ;(2) 求异面直线 OA和 BC的距离 ;(3) 求点 O到平面 ABC的距离 .直线与平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质, 理解平行投影概念 . 掌握空间图形在平面上的表示方法.3. 掌握直线与平面垂直的判定和性质. 理解正射影和三垂线定理及其逆定理. 掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1) 直线在平面 : 有无数个公共点 ;(2) 直线与平面相交 : 有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行: 没有公共点.2.直线与平面平行的判定: 如果平面外一条直线与平面一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为: 如果a∥ b,b ? α ,a α, 那么a∥α .直线与平面平行的性质: 如果一条直线平行于一个已知平面, 且过这条直线的平面和已知平面相交 , 那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为: 如果 a∥α ,a ? β , α∩β =b, 那么 a∥ b.3.当直线或线段不平行于投射线时, 平行射影具有下述性质 :(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线 ;(3) 在同一直线或平行直线上, 两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形 , 叫做空间图形的直观图 . 画直观图通常用斜二测画法 .5.直线与平面垂直的判定 : 如果一条直线垂直于平面两条相交直线, 那么这条直线就垂直于这个平面 .用符号语言表述为: 如果⊥a,⊥ b, a ?α ,b ?α ,a∩b=P,那么⊥α .直线与平面垂直的性质: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a⊥α , b ⊥α , 那么 a∥ b.6.斜线及其在平面的射影: 一条直线和一个平面相交但不和它垂直, 这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足 . 从平面外一点向平面引垂线和斜线 , 从这点到斜足间的线段长 , 称为从这点到平面间的斜线的长, 斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离. 斜线和它在平面的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理 : 从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1) 如果两斜线的射影的长相等, 那么两斜线的长相等, 射影较长的斜线也较长.(2) 如果两斜线长相等 , 那么射影的长也相等 , 斜线较长的射影也较长 .7.三垂线定理及其逆定理 :三垂线定理 : 平面的一条直线, 如果和一条斜线在这个平面的射影垂直这条斜线垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥AO,那么 a⊥ PA.三垂线逆定理: 平面的一条直线, 如果和在这个平面的一条斜线垂直条斜线在平面的射影垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥PA, 那么 a⊥ AO., 那么这条直线也和,AO 是斜线 PA在平面α, 那么这条直线也和这,AO 是斜线 PA在平面α三、典型例题：例 1: 已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面 ,M、 N分别是 AB、 PC的中点 .(1)求证 :MN∥平面 PAD;(2)求证 :MN⊥ CD;(3)若∠ PDA=45o , 求证 :MN⊥平面 PCD.例 2: AD 、 BC分别为两条异面直线上的两条线段=8cm,AB⊥ BC,DC⊥ BC,求线段 BC的长 ., 已知这两条异面直线所成的角为30o , AD例 3:(99高职-22)(本题满分10 分 ) 已知平面α ,A ∈α、 B∈α、 Pα、? 关系中 :AB ⊥,PA ⊥α ,PB ⊥, 以其中的两个作为条件, 余下的一个作为结论命题 ( 用文字语言表述, 不得出现字母及符号, 否则不得分 ), 并予以证明 . α , 在以下三个, 构造一个真四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线线平行” 去判定“线面平行” ，反过来由“线面平行”去判定“线线平行” ; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直” .2. 平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的. 如果平行于投射线, 则线段或直线的像是一个点.3. 由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质, 其中最重要的有两个 : 一个是 , 到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是 ,三垂线定理及其逆定理 . 这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法, 是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础. 它的证明的思想方法十分重要 .4. 在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ =cosθ1cos θ2. 在公式的基础上得到了“斜线和它在平面的射影所成的角是斜线和这个平面所有直线所成的角中最小的角”的结论. 直线与平面所成的角θ满足0o ≤θ≤ 90o .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 如图 ,PO⊥平面 ABC,O为垂足 ,OD⊥ AB,则下列关系式不成立的是 ( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥ PCC. OD⊥ PCD. AB ⊥ PO2. 直线与平面α成的角 , 直线 a 在平面α , 且与直线异面,则与 a 所成角的取值围是3( )2B. , 2, D. ,A. 0, C.3 33 3 3 2 23.由距离平面α为 4cm 的一定点 P 向平面α引斜线 PA与平面α成 30o 的角 , 则斜足 A 在平面α的轨迹图形是 ( )A. 半径为 4 3 cm的圆B. 半径为 4 2 c m的圆C. 半径为 4 3cm的圆 D. 半径为 2 2 cm 的圆34.设 a、 b 是两条异面直线 , 在下列命题中正确的是 ( )A. 有且仅有一条直线与a、 b 垂直B.有一个平面与a、 b 都垂直C. 过直线 a 有且仅有一个平面与 b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a、 b 都相交5.下列命题中正确的是 ( )A. 若一条直线垂直于一个平面的两条直线, 则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线, 则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6. 两条直线a、 b 与平面α成的角相等，则a、 b 的关系是 ( )A. 平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线, 每两条的夹角都是60o , 则直线 PC与平面 PAB所成角的余弦值为 ( )A.1B.6C.3D.3 233 28. 直线 a 是平面α的斜线 ,b ? α, 当 a 与 b 成 60o 的角 , 且 b 与 a 在α的射影成 45o 角时 ,a 与α所成的角是 ( )A.60 oB.45o C.90o D.135 o 9. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且 PA=1, P 到对角线 BD 的距离为 ( )A.13B.17 C.1 9 D.1 129 552510. 在△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离为 ( ) A. 5 B. 2 5C.3 5D.4 511. 在直角三角形 ABC 中 ,∠B=90o , ∠ C=30o ,D 是 BC 边的中点 ,AC=2,DE ⊥平面 ABC,且 DE=1,则 E 到斜边 AC 的距离是 ( )5 B.7 C.11 D.19A.224212. 已知 SO ⊥平面α , 垂足 O, △ ABC? α , 点 O 是△ ABC 的外心 , 则 ( )A. SA=SB=SCB. SA⊥ SB, 且 SB ⊥ SCC. ∠ ASB=∠ BSC=∠ CSAD. SA⊥ BC（二）填空题：13. 如图 ,C 为平面 PAB 外一点 , ∠ APB=90o , ∠ CPA=∠CPB=60o , 且 PA=PB=PC=1,则 C 到平面 PAB 的距离为 .14. 在空间四边形ABCD 中 , 如果 AB ⊥ CD,BC ⊥ AD, 那么对角线 AC 与 BD 的位置关系是.15. 两条直线 a 、 b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16. 证明直线与平面平行的判定定理 .17. 从平面外一点 P 向平面引垂线 PO 和斜线 PA,PB.(1) 如果 PA=8cm,PB=5cm,它们在平面的射影长OA:OB=4: 3 , 求点 P 到平面的距离 ;(2) 如果 PO=k,PA 、 PB 与平面都成 30o 角 , 且∠ A PB=90o , 求 AB 的长 ;(3) 如果 PO=k,∠ OPA=∠ OPB=∠ A PB=60o , 求 AB 的长 .18. 一个正三角形的边长为 a, 三角形所在平面外有一点 P.(1)P到三角形三顶点的距离都是2 3a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面3成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P到三角形三条边的距离都是6a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面6成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19. 已知直角△ ABC在平面α上 , D是斜边AB的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm, 求 EA,EB,EC 的长 .20.如图 , 平面α∩β =CD,EA⊥α ,EB ⊥β , 且 A∈α ,B ∈β .求证 :(1)CD ⊥平面 EAB;(2)CD⊥直线 AB.21. 已知 PO⊥平面 ABO,PB⊥ AB,又知∠ PAB=α , ∠ PAO=β , ∠ OAB=γ .求证 :cos α=cos β cosγ .22.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.(1) 求直线 DA1与 AC1的夹角 ;(2) 求证 :AC1⊥平面 A1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质 , 理解二面角概念 , 掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1) 平行 : 没有公共点 ;(2) 相交 : 有一条公共直线 .2. 平面与平面平行的判定: 如果一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a∩ b≠Φ , a ? α,b ? α , 且 a∥β ,b ∥β , 那么α∥β .平面与平面平行的性质: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 则它们的交线平行 .用符号语言表述为: 如果α∥β , γ∩α =a, γ∩β =b, 那么 a∥ b.3. 二面角 : 由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角, 这条直线称为二面角的棱 , 构成二面角的两个半平面称为二面角的面. 在二面角的棱上任取一点, 过这点在二面角的两个半平面分别作棱的垂线, 这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小可用它的平面角来度量. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.4. 平面与平面垂直的判定: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直 .用符号语言表述为: 如果直线 AB? 平面α ,AB⊥β , 垂足为 B, 那么α⊥β .平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直 , 那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .用符号语言表述为: 如果α⊥β , α∩β =CD,AB? α , AB⊥ CD,B为垂足 , 那么 AB⊥β .三、典型例题：例 1: 试证明 : 如果两个平面垂直 , 那么在一个平面 , 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例 2: 已知二面角α - - β的平面角是锐角θ离为 4, 试求 sin2 θ的值 . , 若点C∈α ,C 到β的距离为3,C 到棱AB 的距例 3: 已知平面β⊥平面α, 平面γ⊥平面α, 且平面β∩平面γ=a, 求证 :a ⊥α .四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线面 ( 或线线 ) 平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2. 二面角θ满足0o ≤θ≤ 180o . 求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设 a、 b、 c 表示直线 , α、β、γ表示平面 , 下面四个命题中 ,;①若a⊥ c, b ⊥ c, 则 a∥ b ②若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β③若a⊥ c, b ⊥α , 则a∥α④若a⊥α , a ⊥β , 则α∥βA. ①和②B. ③和④C. ②D. ④2.如图 , 木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时, 常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上 , 另一边在工件的另一个面上转动一下, 观察尺边是否和这个面密合就可以了. 这种检查方法的依据是( )A. 平面的基本性质B. 三垂线定理C. 平面和平面垂直的判定定理D. 直线和平面垂直的判定定理3.已知直线⊥平面α , 直线 m? 平面β，有下面四个命题 :①α∥β? ⊥ m;②∥ m ? α⊥β; ③α∥β? ∥ m;④⊥ m? α∥β. 其中正确的两个命题是( )A. ①与②4. 如果直线A. α⊥γ且B.③与④C.,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ⊥m B.α⊥γ且m∥β C. m②与④ D., ∥α ,m? α和∥β且⊥ m①与③m⊥γ , 那么必有 (D.α∥β且α⊥γ)5. 对于平面α、β和直线、 m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α ,m∥βB. ⊥ m,α∩β=,m? αC. ∥ m, m⊥β , ? αD. ∥ m, ⊥α ,m⊥β6. 若异面直线 A. 平行a、 b, a ?B.α , b ?相交β , 则平面α、β的位置关系一定是( )C.平行或相交D.平行或相交或重合7.下列命题中 , 正确的是 ( )(1)平行于同一直线的两平面平行(2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行(4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8.过平面外一点 P,(1) 存在无数个平面与平面α平行(2)存在无数个平面与平面α垂直(3) 存在无数条直线与平面α垂直(4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有 ( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9. 设正方形 ABCD的边长为4 6 ,PA ⊥平面 AC,若 PA=12,则二面角 P-BD-C 的大小为 ( )A. B. C. D. 24 2 33（二）填空题：10. 已知二面角是 60o , 在它的部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a, 则两个垂足间的距离是.11. 在二面角的一个面有一个已知点A, 它到棱的距离是它到另一个面的距离的 2 倍, 则这个二面角的度数是.12. 有如下几个命题 : ①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α有一条直线与β垂直;②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α有无数条直线与β平行;③直线 a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β有一条直线与直线 a 平行 .其中正确命题的序号是.13.设 m、为直线 , α、β为平面 , 给出下列命题 : ①垂直于α的两条相交直线 , 则⊥α ;②若 m∥α , 则 m平行于α的所有直线; ③若⊥α ,α∥β，则⊥β ;④若m?α ,? β ,且⊥ m，则α⊥β ; ⑤若m? α , ? β，且α∥β，则m∥. 其中正确的命题是( 只写序号).14.已知直线和平面α、β , 给出三个论断 : ① ⊥α , ② ∥β , ③α⊥β , 以其中的二个论断作为条件 , 余下的一个作为结论, 写出你认为正确的一个命题.15. α、β是两个不同的平面 ,m、n 是平面α及β之外的两条不同直线 , 给出四个论断 : ① m ⊥n；②α⊥β；③ n⊥β；④m⊥α , 以其中三个论断作为条件 , 余下一个论断作为结论 , 写出你认为正确的一个命题:.16.设 X,Y,Z 是空间不同的直线或平面 , 对下面四种情形 , 使“ X⊥ Z 且 Y⊥Z? X∥ Y”为真命题的是.① X,Y,Z 是直线 ; ② X,Y 是直线 ,Z 是平面 ; ③X,Y 是平面 ,Z 是直线 ; ④X,Y,Z 是平面 .设两个平面α、β相交于m,且直线 a∥α ,a ∥β则直线 a 与 m的关系是.17. 如图 , 直线 AC、 DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3, 则 AB的长是,EF 的长是.18. 二面角α - - β的度数为θ (0 ≤θ≤), 在α面有△ ABC, △ ABC 在β的正射影为△A′2B′C′, △ABC的面积为 S, 则△ A′ B′C′的面积 S′ =.（三）解答题：19. 已知一个二面角是60o , 在它的部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离 .20. 已知 : 在 60o 二面角的棱上 , 有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面, 且垂直于线段 AB,且 AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求 CD的长 .翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求: ①根据题意作出折叠前、后的图形;②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化, 哪些未发生变化; ③寻找解决问题的方法并正确解答问题. 三、典型例题：例 1: 已知△ ABC中 ,AB=AC=2,且∠ A=90o ( 如图 (1) 所示 ), 以 BC边上的高 AD为折痕使∠ BDC=90o .( 如图 (2) 所示 )①求∠ BAC;②求点 C 到平面 ABD的距离 ;③求平面ABD与平面 ABC所成的二面角的正切值.例 2: 已知等腰梯形ABCD,AB∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线求 B、 D 两点之间的距离. AC折成60o 的二面角,四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形 , 用平面几何知识解答即可 , 折叠后是立体图形 , 要用立体几何知识解答 ;2. 未发生变化的量可在折叠前的图形中解答, 发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△A BC斜边 BC 上的高 AD 为折痕 , 折叠时使二面角B-AD-C 为 90o , 此时∠ BAC 为( )A.30 oB.45oC.60oD.90o2.把边长为 a 的正△ ABC沿高 AD折成 60o 的二面角 , 则点 A 到 BC的距离是 ( )A. aB. 6a C.3D.15 2a a3 43. 已知边长为 a 的菱形 ABCD,∠ A=60o , 将菱形沿对角线 BD 折成 120o 的二面角 , 则 AC 的长为( )A. 2aB.3 a C.3 a D.2a222（二）填空题：4. E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点 ,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二 面角 , 则∠ BOD=.5. 如图 ,ABCD 是正方形 ,E 是 AB 的中点 , 如将△ DAE 和△ CBE 分别沿虚线 DE 和 CE 折起 , 使 AE 与 BE 重合 , 记 A 与 B 重合后的点为 P, 则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与 b, 沿其斜边上的高 h 折成直二面角b 两边夹角α的余弦 .度 ., 试求此时 a 与7. 把长宽各为 4 与 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 , 试求顶点 B 与 D 的距离 .8. 已知等腰梯形 ABCD,AB ∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线 AC 折成 90o 的二面角 ,求 B 、 D 两点之间的距离 .空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2. 空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例 1: 如图 , 道路旁有一条河米尺 ), 不渡河能否测量出塔顶, 对岸有一铁塔C与道路的距离CD高 a 米 , 如果你手中只有测角器和皮尺 . 请说出你的测量方法 , 并求出该距离.( 刻度例 2: 斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚, 且成 30o 的小路上坡 , 每前进 100 米升高多少米?如果沿一条与坡脚么高 , 前进了多少米? 的二面角 , 在平面α沿一条与垂直成 45o 角的小路上坡, 仍升高这四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用, 重点在于理解题意, 画好能正确表示题意的图形 , 并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1. 正方体的棱长为a, 有一小虫 , 在正方体的表面上从顶点A爬到顶点 C′ , 则小虫爬行的最短距离是.2.在一长方体形的木块的面 A1C1上, 有一点 P, 过点 P 在平面 A1C1画一条直线和 CP垂直 .（二）解答题：3.如图 , 所测物体 BB′垂直于水平面α于点 B′ , 底端 B′不能到达 . 在α取一点 A, 测得∠ BAB′ =θ1, 引基线 AC,使∠ B′AC=θ2, 在 AC上取一点 D, 使 BD⊥ AC,又测得 AD=a,求物体 BB′的高度 .。
中职数学教学课件：第9章立体几何
建筑空间规划
通过空间几何体的运用，建筑师 可以更好地规划和利用建筑空间， 以满足不同的使用需求，如住宅、
商业和工业建筑等。
建筑结构分析
在建筑结构分析中，空间几何体 可以用来描述和分析建筑的受力、 稳定性和抗震性能等，以确保建
筑计
在机械设计中，空间几何体被广泛应用于描述和分析各种 机械零件的形状、尺寸和位置等，以确保机械设备的正常 运转。
详细描述：在几何图形中，直线与平面的位置关系可以 通过图形的性质和定理来判断。例如，在长方体中，面 对角线所在的直线与过其顶点的平面垂直。
03
空间几何体的性质和分 类
空间几何体的性质
01
02
03
04
空间几何体具有三维空 间中的位置和大小。
空间几何体具有面、边 和顶点等基本元素。
空间几何体的面与面之 间存在相交或平行关系。
中职数学教学课件第9 章立体几何
目 录
• 立体几何简介 • 点、直线和平面的关系 • 空间几何体的性质和分类 • 空间几何体的表面积和体积 • 空间几何体的位置关系 • 空间几何体的应用
01
立体几何简介
立体几何的定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量性质。
图形分解法
将复杂的几何体分解为简单的几何 体，分别计算各部分的体积，然后 求和。
图形组合法
将两个或多个几何体组合在一起， 计算整个组合体的体积。
特殊空间几何体的表面积和体积
长方体的表面积和体积
长方体的表面积等于2ab+2bc+2ac， 体积等于长×宽×高。
正方体的表面积和体积
职高立体几何课程设计
职高立体几何课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解立体几何的基本概念，掌握立体图形的特征及分类。
2. 学生能运用立体几何的基本公式计算体积和表面积，解决实际问题。
3. 学生能通过观察和分析，识别和绘制常见的立体图形。
技能目标：1. 学生能够运用空间想象力，进行立体图形的构建和分解。
2. 学生能够运用几何画板等工具，准确绘制立体图形，并进行相关计算。
3. 学生能够运用立体几何知识，解决生活中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习立体几何，培养对几何美的感受，激发对数学学科的兴趣。
2. 学生在学习过程中，学会合作与交流，培养团队精神和解决问题的能力。
3. 学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，增强学习的实用性和主动性。
课程性质：本课程为职业高中立体几何课程，注重理论与实践相结合，提高学生的空间想象力和实际应用能力。
学生特点：职业高中学生具有较强的动手能力和实际操作能力，但空间想象力有待提高。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，运用直观教具和现代教育技术，提高学生的学习兴趣和参与度。
将课程目标分解为具体的学习成果，使学生在实践中掌握立体几何知识，提高解决问题的能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 立体几何基本概念：介绍立体图形的定义、分类及性质，如点、线、面的关系，平面与立体的相交等。
2. 立体图形的识别与绘制：学习正方体、长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形的识别和绘制方法。
3. 立体几何的计算：掌握立体图形的体积、表面积计算公式，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。
4. 空间想象力训练：通过实际操作、观察和思考，培养学生的空间想象力，提高对立体图形的理解。
5. 实际应用问题解决：运用立体几何知识，解决生活中的实际问题，如房屋装修、建筑工程等。
教材章节及内容安排：第一章：立体几何基本概念（第1-2节）第二章：立体图形的识别与绘制（第3-4节）第三章：立体几何的计算（第5-6节）第四章：空间想象力训练（第7-8节）第五章：实际应用问题解决（第9-10节）进度安排：本课程共计10课时，每课时45分钟。
职高立体几何知识点
9.1平面的基本性质㈠点、直线、平面之间平面的位置关系1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化A∈aB aA∈αBαaαbα直线直线平面★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
9.2 空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a ∥b ，b ∥c a ∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3 异面直线⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
1.4 异面直线所成的角⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)9.3直线与平面的位置关系1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：1.3 性质定理：1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：图2-2 直线与平面的位置关系1.3 线面垂直的性质定理：⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即： 3 面面平行3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
职高数学——立体几何
平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m ⊂α. ∴a、b 、m 三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m∩1 =A 1,m∩2 = A 2,m∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线 平行于直线m,则 和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系是 .10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为 .11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β= . （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点.3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ=cos θ1cos θ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO⊥平面ABC,O 为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB⊥PDB. AB⊥PCC. OD⊥PCD. AB⊥PO2.直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21 B.36 C.33 D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角是( )A.60ºB.45ºC.90ºD.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( ) A.513 B.517 C.921 D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( ) A.5 B.52 C.53 D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( ) A.25 B.27 C.211 D.419 12.已知SO⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△AB C 的外心,则( )A. SA=SB=SCB. SA⊥SB,且SB⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 .14.在空间四边形ABCD 中,如果AB⊥CD,BC⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.(1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.求证:(1)CD⊥平面EAB;(2)CD⊥直线AB.21.已知PO⊥平面ABO,PB⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cos α=cos βcos γ.22. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1.(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α- -β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α ④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且 ⊥mB.α⊥γ且m∥βC. m∥β且 ⊥mD.α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β和直线 、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α,m∥βB. ⊥m,α∩β= ,m ⊂αC. ∥m, m⊥β, ⊂αD. ∥m, ⊥α,m⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( ) A.3π B.4π C.2π D.32π （二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β，则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m，则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β，且α∥β，则m∥ .其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线 和平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且Y⊥Z ⇒X∥Y”为真命题的是 .①X,Y,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a∥α,a∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A´B´C´, △ABC 的面积为S,则△A´B´C´的面积S´= .（三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26C.a 33D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( ) A.a 22 B.a 23 C.a 23 D.a 2 （二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是 .2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达.在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度.4.。
河北高职单招数学立体几何知识点归纳
河北高职单招数学立体几何知识点归纳
以下是河北高职单招数学立体几何知识点归纳：
1. 空间几何体的结构特征：掌握常见空间几何体的结构特征，包括棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
2. 空间几何体的三视图：掌握空间几何体的主视图、左视图和俯视图，能够根据三视图判断几何体的形状。
3. 空间几何体的表面积和体积：掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积。
4. 空间几何体中的线面关系：掌握空间几何体中的线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等关系，能够根据给定的条件判断线面关系。
5. 空间几何体的直观图：掌握空间几何体的直观图的绘制方法，能够根据给定的条件绘制几何体的直观图。
6. 空间向量的基本概念：了解空间向量的线性运算，掌握向量的模长、向量间的夹角等基本概念。
7. 向量的数量积和向量积：掌握向量的数量积和向量积的计算公式，能够根据给定的条件进行计算。
8. 向量的混合积：了解向量的混合积的概念，掌握混合积的计算公式。
9. 空间几何体的位置关系：掌握空间几何体的位置关系，包括平行、相交、垂直等关系，能够根据给定的条件判断位置关系。
10. 空间几何体的度量关系：掌握空间几何体的度量关系，包括距离、角度等，能够根据给定的条件计算度量值。
以上是河北高职单招数学立体几何知识点归纳，希望能够帮助到您。
中职数学立体几何
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
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9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
1、空间中最小的元素是 ?
2、我们可以把空间看作 面动成体；
的集合，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，
3、直线与平面都可以看成是点的集合．可以用集合语言来描述点、直线和 平面之间的关系以及图形的性质．
▐ 平面的概念
光滑的桌面、平整的纸张、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
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9.1 平面的基本性
▐ 平面的概念和性质
平面的定义：
平面是一个只能描述而不定义的最基本的概念，它是从日常见到的具体的平面抽象 出来的理想化的模型 .
几何里的平面的特征：
1. 平 2. 无限延展 3. 不计大小 4. 不计厚薄
( 不是凹凸不平 ) ( 没有边界 ) ( 无所谓面积 ) ( 没有质量 )
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9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横边长等于其邻边长的 2 倍。
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9.1 平面的基本性
▐ 平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
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9.1 平面的基本性
▐ 例题
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平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m ⊂α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线 平行于直线m,则 和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系是 .10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为 .11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β= . （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点.3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ=cos θ1cos θ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO ⊥平面ABC,O 为垂足,OD ⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21 B.36 C.33 D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角是( )A.60ºB.45ºC.90ºD.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( ) A.513 B.517 C.921 D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( ) A.5 B.52 C.53 D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( ) A.25 B.27 C.211 D.419 12.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( )A. SA=SB=SCB. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 .14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.(1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β.求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB.21.已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cos α=cos βcos γ.22. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1.(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α- -β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且 ⊥mB.α⊥γ且m∥βC. m∥β且 ⊥mD.α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β和直线 、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α,m ∥βB. ⊥m,α∩β= ,m ⊂αC. ∥m, m ⊥β, ⊂αD. ∥m, ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( ) A.3π B.4π C.2π D.32π （二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β，则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β，且α∥β，则m ∥ .其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线 和平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是 .①X,Y,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= .（三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26C.a 33D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( ) A.a 22 B.a 23 C.a 23 D.a 2 （二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是 .2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达.在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度.4.。