职高数学——立体几何

平面的基本性质

一、高考要求：

理解平面的基本性质.

二、知识要点：

1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.

2.平面的基本性质:

(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有

点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用

符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.

(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单

地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:

推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且

这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面

相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .

3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：

例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相

交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.

证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A

∴E、F∈平面ABD

∴EF⊂平面ABD

同理GH⊂平面CBD

∵EF与GH相交于点P

∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD

∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.

例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,

求证:a、b、m三条直线在同一平面内.

证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.

∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m

∴m ⊂α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.

四、归纳小结：

1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.

2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.下列说法正确的是( )

A.平面和平面只有一个公共点

B.两两相交的三条直线共面

C.不共面的四点中,任何三点不共线

D.有三个公共点的两平面必重合

2.在空间,下列命题中正确的是( )

A.对边相等的四边形一定是平面图形

B.四边相等的四边形一定是平面图形

C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形

D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形

3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.1个或3个

4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

（二）填空题：

5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.

6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .

（三）解答题：

7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.

8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.

直线与直线的位置关系

一、高考要求：

1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；

2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.

二、知识要点：

1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.

2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.

3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.

三、典型例题：

例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四

边形.

思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .

例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.

(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;

(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;

(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;

(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.

四、归纳小结：

1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.