三角函数培优

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高考数学一轮复习三角函数的图像与性质培优课件

π
3
5π
2kπ6
5π
π
, 2π +
6
6
,∴函数的递增区间为
π
0, 6
.
π
≤x≤2kπ+ (k∈Z).
6
(k∈Z).
考向2.由单调性求参数
典例突破
例 4.已知 ω>0,函数 f(x)=sin
是
.
π
+4
在
π
,π
2
上是减少的,则 ω 的取值范围
答案:
1 5
,
2 4
π
π
解析:由2 <x<π,ω>0,得 2
3π ∴0<a≤ π ,∴a 的最大值为π .
≤ 4 ,
4
4
> 0,
π 3π
−4, 4
,
(2)由题意可知,[a,2]⊆
π
π
− ,
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
π
3
的递减区间是函数 y=sin 2 −
的递增区间.
由
π
2kπ-2
π
≤2x-3
π
≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得
故所给函数的递减区间为 π −

三角函数专题培优提升训练

三角函数专题培优提升训练【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用,三角函数与平面向量结合的基本问题及其应用．【例题解析】题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（） A ．1- BC．12-+ D．12+例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． (3)求函数f(x)在[－4π，4π]上的值域题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是( )-例5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+,将()f x 的图像向右平移8π个单位得到函数()g x 的图像，求()g x 在[0,]π上的零点。

题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例6（2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A ．5- B ．5C ．45-D ．45例7（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2-题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间．例9已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b ⊥．（1）求tan α的值；（2）求cos 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．题型6 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例9. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．题型7三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例10. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ；（2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．【专题课后提高训练】 1．若[0,2)απ∈，且221cos 1sin sin cos αααα-+-=-，则α的取值范围是（）A ．[0,]2πB ．[,]2ππC ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α=（）A ．m n -B ．11()2m n -C ．2m n -D ．11()2n m-3．已知f(x)=cos 2x －l ，g(x)=f(x+m)+n ，则使g(x)为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( ) A ．m=2π，n =－1 B ．m =－2π，n=1 C ．m=－4π，n=－l D ．m=－4π，n=1 4．函数x x y sin cos 2-=的值域是 ( ) A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,15．（2007全国理12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是（） A. )32,3(ππ B. )2,6(ππ C. )3,0(π D. )6,6(ππ- 6．如图，圆O 过正方体六条棱的中点A ，(1,2,3,4,5,6)i =，此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为)5,4,3,2,1(=i a i ，弧16A A 所对的圆心角为6,a 则354612sincos cos sin 4444a a a a a a++-等于（）A 62-B 26-C 62+ D ．62+7．6622sin cos 3sin cos x x x x ++的化简结果是__________．8．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2005)1,f = 则(2006)f =9．函数1sin 3)(++=x x x f ()x ∈R ，若2)(=t f ，则)(t f -的值为．10．(江苏08高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点.已知A B ，225.（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值.。

三角函数培优专练题及参考答案(精品)

三角函数培优专练题类型一：三角函数最值与值域【例1】【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2．（2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．类型二：三角函数图象与性质的综合应用【例2-1】【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos (sin cos )444πππ=---2= （Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++．所以22T ππ==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（Ⅰ）511()112444f πππ=+=+=．（Ⅱ）22T ππ==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．【例2-2】【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ．因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值- 【例2-3】【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-13(sin )2x x ωω=)3x πω=- 由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-．因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-．类型三：三角函数的实际应用【例3】【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+，又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ，当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒（Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温．由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-，又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温．类型四：已知边角关系利用正余弦定理解三角形【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==．（2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)22C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒．类型五：利用正弦定理、余弦定理解平面图形【例5】【解析】（1）90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．∴由正弦定理得：sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，2sin 45sin 5ADB ︒∴∠==， AB BD <，ADB A ∴∠<∠，cos ADB ∴∠==（2）90ADC ∠=︒，cos sin BDC ADB ∴∠=∠， 2DC =BC ∴=5=．巩固练习1.【解析】（Ⅰ）因为()sin cos )22f x x x =--sin()42x π=+- 所以()f x 的最小正周期为2π．（Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤．当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 2．解：(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ，＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z).∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z). (2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1. ∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4， ∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.。

三角函数培优提高训练

三角函数培优提高训练一．选择题(共２0小题）１.已知函教f(x)=Asin（ωx＋φ）（A＞0,ω＞0）的图象与直线ｙ＝b(０<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是２,4,8,则f(ｘ)的单调递增区间是(）Ａ．[6kπ,6kπ+３］,ｋ∈ZﻩB.［６k﹣３，6k],k∈ZC．[6k，6ｋ+3]，ｋ∈ZﻩD.[6kπ﹣3，６ｋπ]，k∈Z2．关于函数,有下列命题:①其表达式可写成;②直线图象的一条对称轴;③f(x)的图象可由g(x)=siｎ２ｘ的图象向右平移个单位得到;④存在α∈（0，π）,使f（x+α）=f(ｘ+3α)恒成立则其中真命题为( ）Ａ.②③ﻩB．①②ﻩＣ.②④ﻩD.③④3.给出下列四个命题:①的对称轴为;②函数的最大值为２;③函数f(x）＝sｉｎx•ｃｏsｘ﹣1的周期为2π;④函数上的值域为.其中正确命题的个数是（)A．1个Ｂ．2个ﻩC．3个ﻩＤ．4个4．已知奇函数ｆ(x)在［﹣１,0］上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角，则（) A.f(cｏsα)>f（cｏｓβ)ﻩB.f(siｎα）>f(sinβ）ﻩC.ｆ（sinα)<f(cosβ）ﻩD.f(siｎα)＞f(cosβ)5.函数f（x)=(0≤x≤π)的最大值为( ）Ａ.1 B.ﻩC.D．２6.对于函数f（x),若存在区间M＝［a,b］，(a<b）,使得｛y｜ｙ＝f(x)，x∈M}=Ｍ，则称区间M为函数f(x）的一个“稳定区间”现有四个函数:①f（x)＝e x②f（x）＝ｘ3③④f(ｘ)=lnx，其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②ﻩB．②③ﻩC.③④Ｄ.②④7.对于函数f(ｘ),若存在区间Ｍ=[a，b]（其中a<b)，使得{ｙ|ｙ=ｆ(x）,x∈M｝=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数:①ｆ（ｘ）＝（x﹣1)2；②f(x)＝｜2ｘ﹣1|;③;④f(x)＝e x．其中存在“稳定区间”的函数有（)A．①③ﻩＢ．①②③④ﻩＣ.②④ﻩD．①②③8．设x∈(0，π),关于ｘ的方程=a有2个不同的实数解,则实数ａ的取值范围是()Ａ．(﹣,２)ﻩＢ．(﹣,)ﻩＣ．(,2)ﻩＤ.(﹣2,）９.已知函数f(x)=sinx,对于满足0<ｘ1＜ｘ2<π的任意ｘ1,x２,给出下列结论:①(x２﹣x1）[f(ｘ2）﹣ｆ(x1）]>0；②x2f（ｘ1）>x1ｆ(x２)；③f（x2）﹣ｆ(x1）<x2﹣x1;④.其中正确结论的个数为（）A.1ﻩB.2ﻩC.3D.４１0．定义域在R上的周期函数f (x),周期T=２，直线ｘ＝2是它的图象的一条对称轴,且f （x）在[﹣3,﹣2]上是减函数，如果A，Ｂ是锐角三角形的两个锐角,则( ）A.ｆ(ｓｉnA)＞f(cｏsＢ）ﻩB.f(sｉnA）＜f(cosB) Ｃ.ｆ(sinA）＞f（sinＢ)ﻩＤ．f（coｓA)<f(ｃｏｓB)１1．把函数y=﹣３cｏs的图象向右平移m(ｍ>0)个单位，设所得图象的解析式为y=ｆ(x)，则当ｙ=f(x)是偶函数时，ｍ的值可以是（)Ａ.ﻩB．ﻩＣ.ﻩD.12.定义一种运算ａ⊕b＝,令ｆ(x）=（ｃｏs２x+sinx）⊕,且ｘ∈[0,］,则函数f（x﹣)的最大值是( ）A．ﻩB.１ﻩC.﹣1 D.﹣13．已知函数给出函数f（ｘ)的下列五个结论：①最小值为; ②一个单增区间是(,);③其图象关于直线(ｋ∈Z)对称；④最小正周期为2π；⑤将其图象向左平移后所得的函数是奇函数. 其中正确结论的个数是（)Ａ.1ﻩB.2 Ｃ.３ﻩD．41４．已知ω为正实数,函数ｆ(x）=2ｓinωx在区间上递增,那么( ）Ａ.ﻩＢ.0<ω≤2ﻩＣ．ﻩD.１5.已知函数(ω>０),，且f(x）在区间单调递减,则ω的值为()A．2 Ｂ.C.ﻩＤ.16．如果函数y＝sin2x＋acos2ｘ的图象关于直线x＝对称,那么a=（）Ａ.ﻩB．C．１ﻩD.﹣117．已知函数ｆ(x)＝asiｎx﹣ｂcoｓx（a、ｂ为常数，ａ≠０，ｘ∈R)在ｘ=处取得最小值，则函数ｙ＝f(﹣x)是(）Ａ.偶函数且它的图象关于点(π,０)对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π,0)对称18.函数，则集合{ｘ｜f(f(x）)=0}元素的个数有( )Ａ.、2个ﻩＢ.3个ﻩC.４个ﻩD.５个19.若函数f（x）＝sｉn(ωx＋φ)的图象(部分）如图所示,则ω和φ的取值是( )A．ω=1,φ=ﻩB.ω=1,φ=﹣ C.ω=,φ=ﻩＤ.ω=,φ＝﹣20.对任意θ∈(０,)都有（）Ａ．sｉn(sinθ)＜cosθ＜cｏｓ（cosθ)ﻩB．ｓin（sinθ)＞ｃoｓθ>cos(coｓθ）C．sin（ｃosθ）＜ｃos（sinθ)<cｏｓθﻩＤ.sｉｎ(cosθ）<cosθ<ｃos(ｓinθ)二.填空题（共８小题)21.设函数的图象为Ｃ,有下列四个命题:①图象Ｃ关于直线对称:②图象C的一个对称中心是；③函数f(x)在区间上是增函数；④图象C可由y=﹣3sin2x的图象左平移得到.其中真命题的序号是.22.已知函数f(x)＝Acｏｓ(ωx+α)(A>０,ω＞0,0<α<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示，△EＦG是边长为２的等边三角形，则f（1）的值为．23．函数ｙ=cｏｓ(2x＋φ)(﹣π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数ｙ=siｎ（2x＋)的图象重合，则φ= ．24.已知α,β,γ∈R,则的最大值为．2５．函数f（x）在Ｒ上既是奇函数又是减函数,且当θ∈(０，）时,ｆ（cos2θ+2msiｎθ)＋ｆ(﹣2ｍ﹣2)＞0恒成立，则实数ｍ的取值范围是．２6．设ｆ(x）=asｉn2ｘ＋bｃoｓ2x，其中ａ,b∈R,ab≠0.若f（x)≤|f(）｜对一切ｘ∈Ｒ恒成立,则①ｆ()=0；②|f()|<｜f()|;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④ｆ（x)的单调递增区间是[kπ＋,kπ+]（ｋ∈Z)；⑤经过点(a，b)的所有直线均与函数f(x)的图象相交.以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号）.27．函数f(x）=cosx﹣|ｌｇｘ|零点的个数为.28.函数的一个零点为，且，对于下列结论:①；②;③④f(x)的单调减区间是;⑤f(ｘ)的单调增区间是. 其中正确的结论是 .(填写所有正确的结论编号)。

备战中考数学锐角三角函数培优练习(含答案)及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值；（3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．4．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠,所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

高三复习——基本三角函数培优专题

高三复习——基本三角函数培优专题导言高三是学生们备战高考的重要阶段，掌握基本的三角函数知识对于数学成绩的提升非常关键。

本文档将为高三学生提供一个基本三角函数培优专题，帮助学生们巩固和提高对基本三角函数的理解和运用能力。

一、正弦函数1. 正弦函数图像正弦函数图像是一条波动曲线，我们来了解一下如何绘制正弦函数图像的方法：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。

- 将这些点连成曲线即可得到正弦函数的图像。

2. 正弦函数性质正弦函数具有以下性质：- 周期性：正弦函数的图像在每个周期内重复。

- 奇函数性质：f(x) = -f(-x)，即正弦函数关于原点对称。

3. 正弦函数的应用正弦函数在实际生活中有广泛的应用，比如：- 研究天体运动：正弦函数可以描述天体在运动过程中的周期性变化。

- 声音和音乐：音调的高低可以通过正弦函数的频率表示。

- 电流和电压的变化：交流电的电流和电压变化符合正弦函数的规律。

二、余弦函数1. 余弦函数图像余弦函数图像也是一条波动曲线，与正弦函数图像相似，但有一些区别：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。

- 将这些点连成曲线即可得到余弦函数的图像。

2. 余弦函数性质余弦函数具有以下性质：- 周期性：余弦函数的图像在每个周期内重复。

- 偶函数性质：f(x) = f(-x)，即余弦函数关于y轴对称。

3. 余弦函数的应用余弦函数在实际生活中也有广泛的应用，比如：- 振动和波动现象：余弦函数可以描述物体振动和波动的变化规律。

- 交流电的电流和电压：交流电的电流和电压变化符合余弦函数的规律。

三、切线函数1. 切线函数图像切线函数是正弦函数的导数，它的图像与正弦函数有一定的关联，但也有一些不同：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

三角函数图像变换培优题目8个有答案

三角函数图像变换培优题目8个有答案1．将函数f (x )=2sin x cos x 的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图像.若f (x 1)g (x 2)=2，则|2x 1+x 2|的最小值为（） A. π6 B. π3 C. π2 D.2π32．若直线y =1与函数f (x )=2sin2x 的图象相交于点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，且|x 1−x 2|=2π3，则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是 A.2π3+ 3 B. π3+ 3 C.2π3+ 3−2 D. π3+ 3−23．已知ω>0，在函数y =4sin ωx 与y =4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（） A. π6B. π4C. π3D. π24．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|<π)的一个零点是x =π3，x =−π6是y =f (x )的图像的一条对称轴，则ω取最小值时，f (x )的单调增区间是（）A. −73π+3kπ,−16π+3kπ ,k ∈Z B. [−53π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈Z C. [−23π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z D. [−13π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z5．将函数f (x )=3sin(2x +θ)(−π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x ),g (x )的图象都经过点P (0,3 22)，则φ的值不可能是（）A.3π4B. πC.7π4D. 5π46．已知f (x )= 3sin x cos x −sin 2x ，把f (x )的图象向右平移π12个单位，再向上平移2个单位，得到y =g (x )的图象；若对任意实数x ，都有g (a −x )=g (a +x )成立，则g (a +π4)+g (π4)=（）A. 4B. 3C. 2D. 327．设函数f （x ）=cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣sin 2x ，g （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ﹣1，把f （x ）的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数g （x ）的图象，则m 的值可以是（） A ．π B ．C ．D ．8．设α，[]0,βπ∈，且满足sin cos cos sin 1αβαβ-=，则()()sin 2sin 2αβαβ-+-的取值范围为（）A ．[1,1]-D参考答案1．B【解析】由f(x)=2sin x cos x=sin2x图像向左平移π12个单位得y=sin2(x+π12)=sin(2x+π6)，再向上平移一个单位得g(x)=sin(2x+π6)+1，因f(x1)g(x2)=2所以f(x1)=1，f(x2)=2或f(x1)=−1，f(x2)=−2，所以f(x1)=1，f(x2)=2时，|2x1+x2|=|2kπ+π2+k′π+π6|=|(2k+k′)π+2π3|，其中k,k′∈Z,所以当2k+k′=−1时，最小值为π3，f(x1)=−1，f(x2)=−2时，|2x1+x2|=|2kπ−π2+k′π−π3|=|(2k+k′)π−5π6|，其中k,k′∈Z,所以当2k+k′=1时，最小值为π6，综上知，选B．2．A【解析】线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积如图阴影部分所示，其面积为S=2π3×1−2sin2x−π2=2π3+3，选A3．D【解析】函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象有交点，所以根据三角函数线可得出交点(1ϖ(k1π+π4),22),(1ϖ(k2π+5π4),−22),k1,k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一个周期内，∴36=1ϖ(5π4−π4)2+(−22−22)2,ϖ=π2，故选：D．点睛：本题属于易错题，距离最近的两个交点的距离为6需要用两点间距离公式，不是横轴距离；通过联立求得横坐标的值，利用数形结合得到最近时横坐标的差，构建ϖ的方程即可.4．B【解析】由条件得，sin(ωπ3+φ)=12,sin(−ωπ6+φ)=±1⇒ω=2(2k−t)±23，又因为ω>0,k,t∈Z⇒ωmin=23，此时2π9+φ=2kπ+5π6,t=2k⇒φ=2kπ+11π18，又因为|φ|<π⇒φ=11π18⇒f(x)=2sin(23x+11π18)−1，由−π2+2kπ≤23x+11π18≤π2+2kπ⇒−5π3+3kπ≤x≤−π6+3kπ(k∈Z),故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，解答的关键是由题意求出φ,ω的值，进而确定三角函数的解析式，考查了与正弦函数有关的复合函数的单调性，属于中档题，解决本题的关键就是根据三角函数的图象和性质确定三角函数的解析式.5．D【解析】函数f(x)=3sin(2x+θ)(−π2<θ<π2)向右平移φ(φ>0)个单位，得到g（x）=3sin（2x+θ−2φ），因为两个函数都经过P(0,322)，所以sinθ=22，又因为−π2<θ<π2，所以θ=π4，所以g（x）=3sin（2x+π4−2φ），由题意sin（2x+π4−2φ）=22，所以π4−2φ=2kπ+π4，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或π4−2φ=2kπ+3π4，k∈Z，此时φ=kπ−π4，k∈Z，故选D．点睛：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，属中档题.解题时要注意−π2<θ<π2，否则容易引起错误6．A 【解析】将f x=x cos x−sin2x=32sin2x−1−cos2x2=sin2x+π6−12的图象向右平移π12个单位，再向上平移2个单位，得到y=g x=sin[2(x−π12)+π6]−12+2=sin2x+32的图象，令2x=π2+2kπ,k∈Z，即x=π4+kπ,k∈Z，因为对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，所以a=π4+kπ,k∈Z，则g a+π4+gπ4=sinπ+2kπ+32+sinπ2+2kπ =0+1+3=4.故选A.点睛：本题的易错之处有：1.要正确区分f(a−x)=f(a+x)和f(x−a)=f(x+a)的区别：若y=f(x)对任意实数x，都有f(a−x)=f(a+x)或f(2a−x)=f(x)成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若y=f(x)对任意实数x，都有f(x−a)=f(x+a)或f(x−2a)=f(x)成立，则y=f(x)的一个周期为2a；2.在处理三角函数的图象变换时，要注意变换顺序的不同：如：若f x=sin x的图象先向右平移π6个单位再横坐标变为原来的2倍得到y=sin⁡(12x−π6)的图象；若f x=sin x的图象先横坐标变为原来的2倍再向右平移π6个单位得到y=sin⁡(12x−π12)的图象.7．D【解析】试题分析：利用二倍角公式、两角和差的余弦函数化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．解：由于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），函数g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=cos（2x﹣），由于将y=f（x）的图象向左平移m个单位长度，即可得到g（x）的图象，可得：cos[2（x﹣m）+]=cos（2x﹣2m+）=cos（2x﹣），可得：2x﹣2m+=2x﹣+2kπ，或2x﹣2m+=2π﹣（2x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：m=﹣kπ，k∈Z．则m 的值可以是．故选：D ．考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 8．C ．【解析】试题分析：∵sin cos cos sin 1sin()1αβαβαβ-=⇒-=，α，[0,]βπ∈，即取值范围是[1,1]-，故选C ．考点：三角恒等变形．。

中考数学三角函数培优练习含答案

三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系．（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；（2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =；（3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ．求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1AE AABDD解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10．（1）求△ANE 的面积；（2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根．（1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法．C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nn n c b a <+．解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝．2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是，最小值是．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝．东第5题图第1题图第3题图E BAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为．（哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（）A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）（黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BOA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600．（1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．（扬州市中考试题）图2图1A10．若α为锐角，求证：4cos sin 1cos 1sin 1>⋅++αααα．（宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝900, ∠CBD ＝300，求AC 的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝1．若AD ，BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且2tan tan =-B A ，求p ，q 的值并解此二次方程．ABCB 级1．若00300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ．（武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ．（全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（）（天津市竞赛试题） A ．23B ．2C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（） A ．33 B ．22C ．12-D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4.8米，引桥水平跨度AC ＝8米．（1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 000===）（长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ．（1）求证：klS2sin =θ；（2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）EGF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）BA12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）三角函数例1 AC 2－BC 2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB 2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，得∠B ＝90°，故原式＝(19921993)2.例2 AD ＝227m ，BC ＝146m .解法一:延长AD ，BC 交于点E ，如图1.在Rt △ABE 中，AB ＝200m ，∠A ＝60°，∴BE ＝AB ·tanA ＝200 3 (m )，AE ＝AB cos 60°＝2000.5＝400(m ).在Rt △CDE 中，CD ＝100m .∠E ＝90°－∠A ＝30°，∴CE ＝2CD ＝200(m .∵cot ∠E ＝DECD，DE ＝CD ·cot 30°＝100 3 (m )，∴AD＝AE －DE ＝400－1003≈227(m )，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m ).解法二:如图2，过点D 作矩形ABEF .设AD ＝x .在Rt △AFD 中，∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴DF ＝12AD ＝12x ，AF ＝32x ，在Rt △CED 中，∠CDE ＝30°，∴CE ＝12CD ＝50(m )，DE ＝32CD ＝503(m )，∵DE ＋DF ＝AB .∴503＋12x ＝200，解得x＝400－100 3.∴AD ＝400－1003≈227(m ).∵BC ＋CE ＝AF ，∴BC ＝AF －CE ＝32(400－1003)－50＝2003－200≈146(m ).例3 ⑴103 ⑵35 提示：tan ∠AEN ＝tan ∠EAB ＝EBAB.例4 ⑴设DE ＝x (海里)，则客轮从A 点出发到相遇之处E 点的距离为2x 海里.若2x <200，则x <100，即DE <12AB ，而从D 点出发，货轮到相遇点E 处的最短距离是100海里，所以x ≥100，即2x ≥200，故相遇处E 点应在CB 上，选B . ⑵设货轮从出发点D 到两船相遇处E 共航行了x 海里，如图，过D 作DF ⊥CB 于F ，连DE ，则DE ＝x ，AB ＋BE ＝2x ，DF ＝100，EF ＝300－2x ，由x 2＝1002＋(300－2x )2，得x ＝200－10063(海里).例5 ⑴p ，q 应满足以下条件：⎩⎪⎨⎪⎧△＝p 2－4q ≥0sinA ＋sinB ＝－p sinA ·sinB ＝q0＜sinA ＜10＜sinB ＜1sin 2A ＋cos 2A ＝1.由此推得⎩⎨⎧p <00<q ≤12p 2－2q ＝1 ,⑵先设方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为α，β，若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ≥0 ①0＜α＜1，0＜β＜1②α2＋β2＝1 ③，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何一个，则结论是否定的.例6 设α为直角三角形一锐角，则sinα＝a c ，cosα＝bc.∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n ≥3时，sin nα<sin 2α，cos n α<cos 2α，于是sin n α＋cos n α<sin 2α＋cos 2α＝1，即(a c )n ＋(b c)n <1，故a n ＋b n <c n ..9 2. 5 1 提示：用换元法. 3.43－213 4.1165.A6.B7.A8.B9.⑴在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76.∵sin ∠CED ＝DC DE，∴DC ＝DE ·sin ∠CED ＝383(厘米).故垂直支架CD 的长度为383厘米.⑵设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383＋x )厘米，AO ＝(150＋x )厘米.∵Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，∴AO ＝2OC ，即150＋x ＝2(383＋x ），解得x ＝150－763≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半径OD 的长度为18.5厘米.10.(1sinα－1)＋(1cosα－1)＋(1sinαcosα－2)＝1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋1－2sinαcosαsinαcosα，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－ sinα>0,1－ cosα>0,∴1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋(sinα－cosα)2sinαcosα>0，即1sinα＋1cosα＋1sinαcosα>4. 11.过C 作CE ∥AB 交BD 于E ，设AC ＝x ，则CB CE ＝BC ·tan ∠CBE.由△DCE ∽△DAB ，得CD CE A D A B =，即11x =+，化简得（x ＋2）（x 3－2）＝0，解得x 即AC12. P ＝－q ＝1，x 1,21.提示：tan A －tan B ＝()CD CD CD BD AD AD BD AD BD -=-⋅. B 级1. 1163m k k <<-2.3. 145cm 24. 13 提示：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连接TO ，则△BAM ∽△TOB .5. B6. D7.D8. （1）如图，延长线段BE ，与AC 相交于点F ，∴DE ＝AF ，∠BFC ＝∠A ＝37°.在Rt △BCF 中，tan ∠BFC ＝BF CF ，∴CF ＝ 4.8 6.4tan 370.75BC ==︒（米），∴DE ＝AF ＝AC －CF ＝8－6.4＝1.6（米）.故水平平台DE 的长度为1.6米. （2）延长线段DE ，交BC 于点G .∵DG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠C ＝90°，∴四边形MNCG 是矩形，∴CG ＝MN ＝3（米）.∵BC ＝4.8（米），∴BG ＝BC －CG ＝1.8（米）.∵DG ∥AC ，∴ 1.834.88BE BG BF CB ===，∴53EF BE =，而AD ＝EF ，故53AD BE =.9. 18 提示：222a b c +=，3sin 5A =. 10. 提示：（1）S =S △EFG ＋S △FGH ＝1sin 2EG FH θ⋅. （2）过E ，F ，G ，H 分别作正方形ABCD 的垂线，得矩形PQRT .设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，则第8题图b =，c =由S △AEH ＝S △THE ，S △BEF ＝S △PEF ，S △GFC ＝S △QFG ，S △DGH ＝S △RGH ，得S ABCD＋S PQRT ＝2S EFGH ，∴a 2＋bc ＝2S ，即22a S =.∴222222(4)4k l S a k l S +-=-，由（1）知22sin S kl S θ=>，∴2224k l kl S +≥>.故22222244k l S a k l S-=+-. 11. （1）S 梯形ABCD ＝56. （2）E ，F 分别是BC ，DC 的中点，设运动时间为x 秒，则S △EFC ＝22224(5)1055x x x -+=--+，当x ＝5时，S △EFC 面积最大，最大值为10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.设CE ⊥AB 于点E ，则∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20米，∴AE ＝EC tan ∠ACE ＝20tan30°≈11.6（米），CD ＝EB ＝AB －AE ＝4.4（米）.（2）设点A 的影子落在地面上某点C ，则∠ACB ＝30°，AB ＝16米，∴BC ＝AB cot30°≈27.7（米），故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米.。

高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程；（2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小；（2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，无范围讨论扣分所以当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分两边平方，得021sin 29x += 同角关系式所以 07sin 29x =-…………11分因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ．取等条件别忘所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵，（或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。

高一数学培优教材三角函数

高一年段数学培优教材第四讲三角函数一、基础知识：1．函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2k k Z ππ+∈tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形.2．求三角函数最值的常用方法：① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值.② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x by c x d+=+）可利用正弦函数的有界性来求.④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用：1．已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3α=时，)f α=_________________2．已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________3．函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________4．函数5cos 23sin ,[,]63y x x x ππ=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5．函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________6．函数sin (0)2cos xy x xπ=<<+的最大值是_________________7．函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4y a bx π=+的最小正周期.8．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求,a b 的值.9．已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，求a 的值.10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当13x =时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式；（2）在区间2123[,]44上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由.11．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求,ϕω的值.12．已知定义在区间2[,]3ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当2[,]63x ππ∈-时，函数()s i n ()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<，其图象如图所示.（1）求函数()y f x =在2[,]3ππ-的表达式；x（2）求方程()2f x =.三、强化训练：1．有四个函数2sin sin tancot sin 22x xy x y x y y x ===-=①②③④，其中周期为π，且在(0,)2π上是增函数的函数个数是（） .1.2.3.4A B C D2．设函数2()2c o s 3s i n 2f x x x a =+（a 为实常数）在区间[0,]2π上的最小值是4-,则a 的值是（）.4.6.4.3A B C D ---3．sin(2)cos()cos(2)sin()3636y x x x x ππππ=+--+-的图像中一条对称轴方程是（）3....422A x B x C x D x ππππ====4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x) = x －2，则（）A ．f (sin12) < f (cos12) B ．f (sin3π) > f (cos3π) C ．f (sin1) < f (cos1) D ．f (sin32) > f (cos32)5．将函数y =f(x)sin x 的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数 y =1－2sin 2x , 则f (x )是（）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x 6．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π7．设()()2cos fx x m ωϕ=++，恒有())3f x f x π+=-（成立，且(1)6f π=-，则实数m 的值为A ．1±B ．3±C ．－1或3D ．－3或18．使函数()sin(2))f x x x θθ=+++是奇函数，且在[0,]4π上是减函数的θ的一个值是_____________9．已知函数21()cos sin cos (0,0)2f x a x x x a ωωωω=+⋅->>2，其最小正周期为π.（Ⅰ）求实数a 与ω的值.（Ⅱ）写出曲线()y f x =的对称轴方程及其对称中心的坐标.参考答案：例1：(8)(3)(3)1f f f ==--=- 例2： 2例3：3())2;|,48f x x x x k k Z πππ⎧⎫=++=-∈⎨⎬⎩⎭例4：2()12sin 3sin ,1,45f x x x M N M N =-+=-=-+=- 例5：1例6例7：1,a b ==± 例8：21()2sin(2)2,sin(2)1,5626a f x a x ab x b ππ=⎧=-+++-≤+≤⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩例9：1a =-例10：（1）()2sin()6f x x ππ=+（2）()2sin()6f x x ππ=+的对称方程为1,623x k x k k Z ππππ+=+⇒=+∈，由211235965,54341212k k k Z k ≤+≤⇒≤≤∈∴= 故存在.例11：03高考天津卷2223πϕωω==，，= 例12：（1）当2[,]63x ππ∈-时，()sin()3f x x π=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-强化练习：1 C2 C3 C4 C5 B 6. A 7. D 8. 23πθ=9. （1）2111cos sin cos (1cos 2)sin 22222a y a x x x x x ωωωωω=+⋅-=++-11(sin 2cos 2)22a x a x ωω-=++1)22a x ωϕ-=++.∵y 的最小正周期T=π. ∴ω=1.∴12man a y -==∴a=1.（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，∴1()(sin 2cos 2))224f x x x x π=+=+.∴曲线y=f(x)的对称轴方程为()28k x k Z ππ=+∈.对称中心的坐标为(,0)()28k k z ππ-∈.。

三角函数培优讲义

三角函数培优讲义（一）【知识梳理】：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说该角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

①第I 象限角的集合：；②第II 角限角的集合：； ③第III 象限角的集合：； ④第IV 象限角的集合：； ⑤终边在x 轴正半轴的角的集合：；终边在x 轴负半轴的角的集合：；终边在x 轴上的角的集合：；⑥终边在y 轴正半轴的角的集合：：终边在y 轴负半轴的角的集合：；终边在y 轴上的角的集合：； ⑦终边在坐标轴上的角的集合：：⑧终边在直线x y =的角的集合：：⑨终边在直线x y -=的角的集合：：3. 终边相同的角的表示：①α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔ ； ②α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔ ； ③α终边与θ终边关于x 轴对称⇔ ； ④α终边与θ终边关于y 轴对称⇔ ；⑤α终边与θ终边关于原点对称⇔ ； ⑥ α终边与θ终边关于直线x y =对称⇔ ；注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 4.弧长公式：①扇形的弧长为l ,半径为R ,圆心角为α,则: ， ②扇形面积公式：；1弧度(1rad)57.3≈.5．任意角的三角函数的定义：①设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么正弦sin ,cos y x r rαα==余弦sin ,cos y x r r αα==，正切()tan ,0y x x α=≠；②了解：余切cot x y α=(0)y ≠，正割sec r x α=()0x ≠，余割()csc 0r y yα=≠。

锐角三角函数培优讲义33113

讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

三角函数专题能力培优(含答案)

三角函数专题能力培优(含答案)三角函数专题能力培优（含答案）一、正弦函数1. 定义正弦函数是一个周期为 $2\pi$ 的函数，其定义域为实数集。

正弦函数用符号 $\sin x$ 表示，表示角 $x$ 的正弦值。

2. 周期性质正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为 $2\pi$。

3. 奇偶性质正弦函数为奇函数，即 $\sin(-x) = -\sin x$。

二、余弦函数1. 定义余弦函数是一个周期为 $2\pi$ 的函数，其定义域为实数集。

余弦函数用符号 $\cos x$ 表示，表示角 $x$ 的余弦值。

2. 周期性质余弦函数是一个周期函数，其最小正周期为 $2\pi$。

3. 奇偶性质余弦函数为偶函数，即 $\cos(-x) = \cos x$。

三、正切函数1. 定义正切函数是一个周期为 $\pi$ 的函数，在定义域内不存在$k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$，即其极限值不存在。

正切函数用符号 $\tan x$ 表示，表示角 $x$ 的正切值。

2. 周期性质正切函数是一个周期函数，其最小正周期为 $\pi$。

3. 奇偶性质正切函数为奇函数，即 $\tan(-x) = -\tan x$。

四、反三角函数1. 定义反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的定义如下：- $\arcsin x$ 表示满足 $-\frac{\pi}{2}\leq\arcsin{x}\leq\frac{\pi}{2}$ 且 $\sin\arcsin{x}=x$ 的实数；- $\arccos x$ 表示满足 $0\leq\arccos{x}\leq\pi$ 且$\cos\arccos{x}=x$ 的实数；- $\arctan x$ 表示满足 $-\frac{\pi}{2}<\arctanx<\frac{\pi}{2}$ 且 $\tan\arctan{x}=x$ 的实数。

2. 基本性质反三角函数是三角函数的反函数，其定义域和值域与三角函数相反。

2024年高三培优讲义34---三角函数恒等变换求值

专题6-1三角函数恒等变换求值今年新高考的1卷和2卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1卷是第8题，2卷是第7题，可以看出来三角恒等变换在选填中难度有加大，有题序后移的趋势，所以2024届的模拟考会出现更多的三角恒等变换中档题目录真题梳理 (4)2023新高考二卷T7：配完全平方公式 (4)2023.新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式 (4)2022.新高考II卷T6 (4)2018全国II卷（理）T15——一题多解 (5)题型一知1求2 (5)长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8 ..................................................................... 5 2024届.重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15 ................................................................ 5 题型二结合平方公式sin cos θθ±，2sin 2θ± .. (6)2024届.湖南长郡中学阶段考T7 .............................................................................................................. 6 湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考T7 ................................................................................ 6 2023.浙江杭州二模T15 ............................................................................................................................. 6 2024届.浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7 ..................................................................................... 6 题型三和差公式 (6)2024届.长沙一中校月考（三）T7 ........................................................................................................... 6 云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7 ...................................... 7 2024届.重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7 .................................................................. 7 2024届.重庆市第八中学校适应性月考（一）T7 ................................................................................... 7 题型四 2倍角公式 (7)2023届广州市一模T7 ............................................................................................................................... 7 2024届广东实验中学校考T15 ................................................................................................................. 8 2024届.广州市越秀区高三月考（十月）T7 ........................................................................................... 8 2024届.广州市天河区高三综合测试（一）T7 ....................................................................................... 8 武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15 ............................................................................ 9 题型五统一角度化简 . (9)2024届.重庆市第一中学校高三上学期9月月考.T15 ............................................................................ 9 2023届.江苏省七市三模.T7 ..................................................................................................................... 9 2022届.广东省汕头二模.T7 .. (9)题型六和差公式+倍角公式 (10)2023湖南省五市十校高二下期末.T15 ................................................................................................... 10 2024届.重庆市巴蜀中学适应性月考（二）.T11 .................................................................................. 10 2024.江苏省海安高级中学高三上学期10月月考.T6 (10)知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=−=−=−； ③22tan tan 21tan ααα=−；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα−+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】① 2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=−=±=±；； ② sin cos cos cos cos 22ππαβααβ⎛⎫⎛⎫=⇒−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，具体是选2πα−还是2πα−要看题目给出的范围③ sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββπββββ−−⎛⎫⇒=+ ⎪++⎝⎭真题梳理2023新高考二卷T7：配完全平方公式1．已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）．A ．358− B ．158−+ C ．354− D ．154−+2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式2．已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19−D ．79−2022·新高考II 卷T6——和差公式3．若sin()cos()22cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−2018全国II 卷（理） T 15——一题多解4．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．题型一知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T81．已知3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若()sin 4cos αββ+=，则()tan αβ+=（） A ．167− B ．78−C ．167D ．232024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T152．已知3πcos ,0,52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点722,1010P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且()0,πβ∈，则αβ−= .重点题型·归类精讲题型二结合平方公式sin cos θθ±，2sin 2θ± 2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π22sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34− B ．34C ．1−D ．1湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考T74．已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，化简22sin 21cos 2αα−−+的结果是（）A ．2sin αB ．2sin α−C ．2cos αD ．2cos α−5．已知22ππαβ−<−<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin 2αβ−=sin()3πβ+= A ．33 B ．63 C 3D ．662023·浙江杭州二模T156．已知sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=，则224cos 2cos 2αβ−= ．2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T77．已知1sin cos 5αα−=，0πα≤≤，则sin 24π⎛⎫−= ⎪⎝⎭α（）题型三和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβ∈，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++−=−=，则()tan αβ+=（）A ．2−B ．12− C ．12D ．2云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T79．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan cos 1sin αββ⋅=+，则（）A ．()sin 31αβ−=B ．()sin 31αβ+=−C ．()sin 21αβ−=D ．()sin 21αβ+=−2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T710．已知角α，β均在()0,π内，1cos 7α=，()53sin 14αβ+=，则角β的值为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π122024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T711．已知()()sin 2π1,0,,2cos 2sin tan αβαβαβαα+⎛⎫∈−+= ⎪⎝⎭，则（）A ．π2αβ+=B ．34αβπ+=C ．π4αβ−=−D ．4αβ−=π12．已知α，β都是锐角，tan()1αβ+=−，则()cos sin()cos cos βααβαβ−−+= .题型四 2倍角公式 2023届广州市一模T713．若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()1cos21sin sin2cos αβαβ−+=，则下列结论正确的是（）A ．522παβ+=B ．324παβ−=C ．74αβπ+= D ．2παβ−=14．（2023秋·浙江绍兴高三校考）22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B ．1sin 2x −C ．1cos 2x −D ．-1岳阳市高二下期末15．已知1cos sin 21cos sin x xx x−+=−++，则tan x 的值为( ) A ．43 B ．43−C ．34 D ．34−2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+−=+，则cos 23παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ .2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T717．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 24sin 1αα−=，则tan 2α=（）A ．13B ．427 C ．13−D ．427−2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T718．若πsin cos tan 23sin cos ββαββ−⎛⎫−= ⎪+⎝⎭，则()212cos 2αβ−−=（）A ．12B ．12−C ．32D ．32−武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T1519．已知73sin 17cos θθ=+.则sin 26θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T1520．若πtan 2tan 9α=，则7πcos()18πsin()9αα+=+ .2023届·江苏省七市三模·T721．已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒−+︒++︒−=，则tan θ=（）A ．3−B ．33−C ．33D ．32022届·广东省汕头二模·T722．若sin160tan 20cos 703λ++=，则实数λ的值为（） A ．3 B ．32C ．2D ．4题型六和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T1523．已知,αβ均为锐角，()tan tan 2sin αβαβ+=+，且()1cos 3αβ+=，则()cos2αβ−= .2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T1124．（多选）已知30ππ2αβ<<<<，3cos25α=−，2cos()10αβ+=−，则（）A ．tan 2αB ．72sin()10αβ+=−C ．3π4βα−= D ．2cos cos 5αβ=−2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T625．已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+＝（）A ．53−B ．53C ．4−D ．426．已知()0,πα∈，ππ,22β⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π6cos 66β⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则()sin 2αβ+=（）A ．21029+ B ．21029− C ．21029−+ D ．21029+−专题6-1三角函数恒等变换求值今年新高考的1卷和2卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1卷是第8题，2卷是第7题，可以看出来三角恒等变换在选填中难度有加大，有题序后移的趋势，所以2024届的模拟考会出现更多的三角恒等变换中档题目录真题梳理 (4)2023新高考二卷T7：配完全平方公式 (4)2023.新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式 (4)2022.新高考II卷T6——和差公式 (4)2018全国II卷（理）T15——一题多解 (5)题型一知1求2 (7)长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8 ..................................................................... 7 2024届.重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15 ................................................................ 7 题型二结合平方公式sin cos θθ±，2sin 2θ± (8)2024届.湖南长郡中学阶段考T7 .............................................................................................................. 8 湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考.T7 ................................................................................ 8 2023.浙江杭州二模T15 ............................................................................................................................. 9 2024届.浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7 ..................................................................................... 9 题型三和差公式 . (10)2024届.长沙一中校月考（三）T7 ......................................................................................................... 10 云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7 ..................................... 11 2024届.重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7 ................................................................. 11 2024届.重庆市第八中学校适应性月考（一）T7 ................................................................................. 12 题型四 2倍角公式 . (13)2023届广州市一模T7 ............................................................................................................................. 13 2024届广东实验中学校考T15 ............................................................................................................... 14 2024届.广州市越秀区高三月考（十月）T7 ......................................................................................... 15 2024届.广州市天河区高三综合测试（一）T7 ..................................................................................... 15 武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15 .......................................................................... 16 题型五统一角度化简 .. (16)2024届.重庆市第一中学校高三上学期9月月考.T15 .......................................................................... 16 2023届.江苏省七市三模.T7 ................................................................................................................... 16 2022届.广东省汕头二模.T7 (17)题型六和差公式+倍角公式 (18)2023湖南省五市十校高二下期末.T15 ................................................................................................... 18 2024届.重庆市巴蜀中学适应性月考（二）.T11 .................................................................................. 18 2024.江苏省海安高级中学高三上学期10月月考.T6 (19)知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=−=−=−； ③22tan tan 21tan ααα=−；补充：2倍角公式变形（扩角降幂） 221cos 21cos 2sin cos 22αααα−+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】① 2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=−=±=±；； ② sin cos cos cos cos 22ππαβααβ⎛⎫⎛⎫=⇒−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，具体是选2πα−还是2πα−要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββπββββ−−⎛⎫⇒=+ ⎪++⎝⎭真题梳理2023新高考二卷T7：配完全平方公式1．已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）．A ．358− B ．158−+ C ．354− D ．154−+ 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为215cos 12sin 2αα+=−，而α为锐角，解得：sin2α=()2513551816−−−==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式2．已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19−D ．79−【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=−+=−⨯=.2022·新高考II 卷T6——和差公式3．若sin()cos()22cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=，即：()()sin cos 0αβαβ−+−= 所以()tan 1αβ−=− 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()2=2]442cos 2sin 2sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=+++++++=+（）（）（）（）（）2cos 2sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+−+（）（）即sin =04παβ+−（）22sin =sin cos cos sin =0444πππαβαβαβαβαβ∴−+−+−−+−（）（）（）（）（）sin =cosαβαβαβ∴−−−−（）（）即tan(）=-1,2018全国II 卷（理） T 15——一题多解4．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．【答案】2−【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=−．［方法二］：利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=−=−，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又3cos 3sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3cos 3sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=−．［方法三］：诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=−=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+−+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=−=−=− ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=−−∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=−．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=−+−=−=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ−⎛⎫===−=− ⎪−⎝⎭，()2k k βαπ=−∈Z ，即22k απβ=−，则2()k k αβπα+=−∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=−=−=−．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++−sin()cos()cos()0αβαβαβ=+−+−=，则cos()0αβ−=或sin()1αβ+=−．若cos()0αβ−=，则()2k k παβπ−=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==−=−，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=−=−．当k 为奇数时，sin cos αβ=−，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=−，则2()2k k παβπ+=−∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=−−=− ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=−．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T81．已知3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若()sin 4cos αββ+=，则()tan αβ+=（） A ．167−B ．78−C ．167D ．23【答案】C【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4ααααα=−−=−==−，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=−=，所以17tan 4β=−，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ−−++===−⎛⎫⎛⎫−−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T152．已知3πcos ,0,52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点722,1010P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且()0,πβ∈，则αβ−= . 【答案】4π【分析】根据已知得4sin 5α，272sin ,cos 1010ββ==且π02αβ<−<，应用差角正弦公式求角的大小. 【详解】由题设24sin 1cos 5αα，272sin ,cos 1010ββ==，即π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<−<，所以2sin()sin cos cos sin 2αβαβαβ−=−=，则π4αβ−=重点题型·归类精讲题型二结合平方公式sin cos θθ±，2sin 2θ± 2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π22sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34− B ．34C ．1−D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式. 【详解】π2cos 2sin()4αα=+，()2222cos )2cos sin αααα=+−, 1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+−−=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα−=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα−=平方可得11sin 24α−=，即3sin 24α=，符合题意. 综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T74．已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，化简22sin 21cos 2αα−−+的结果是（）A ．2sin αB ．2sin α−C ．2cos αD ．2cos α−【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.()()2π22sin 2212sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin 4αααααααα⎛⎫−=−=−=−=− ⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，可得πsin 04α⎛⎫−> ⎪⎝⎭，)π22sin 22sin 2sin cos 4αααα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭；21cos 22cos 2cos ααα+=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos 0α<，1cos 22αα+−；)22sin 21cos 22sin cos 22αααααα−+=−=. 5．已知22ππαβ−<−<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin 2αβ−=sin()3πβ+= A 3B 6 C 3D 6【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin 2αβ−=αβ、的关系式，代入sin 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin 2αβ−=，将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+−=，()12sin αβ−=−，22ππαβ−<−<，6παβ∴−=−，即6παβ=−，代入sin 2cos 1αβ+=，3sin 13πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin 3πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选A2023·浙江杭州二模T156．已知sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=，则224cos 2cos 2αβ−= ．【分析】将sin cos 2sin θθα+=平方，结合2sin cos sin θθβ=可得22124sin 0sin βα+=−，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ−化简求值，可得答案. 【详解】将sin cos 2sin θθα+=平方得212sin cos 4sin θθα+=，结合2sin cos sin θθβ=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=−，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ−=−+ ()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=−++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T77．已知1sin cos 5αα−=，0πα≤≤，则sin 24π⎛⎫−= ⎪⎝⎭α（）A ．17250−B ．17250C ．31250−D ．31250【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论. 【详解】将1sin cos 5αα−=平方得112sin cos 25αα−=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5αααα⎧−=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故)π22247312sin 2sin 2cos 242525⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ααα题型三和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβ∈，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++−=−=，则()tan αβ+=（） A ．2− B ．12− C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++−=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=−+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=−+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ−=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=−+可得tan tan 4αβ+=−.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==−云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T79．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan cos 1sin αββ⋅=+，则（）A ．()sin 31αβ−=B ．()sin 31αβ+=−C ．()sin 21αβ−=D ．()sin 21αβ+=−【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ−=，进一步即可判断正确答案. 【详解】tan cos 1sin ,αββ⋅=+ sin cos 1sin ,cos αββα∴⋅=+ 即sin cos cos sin cos ,αβαβα⋅=+⋅sin cos sin cos cos ,αββαα⋅−⋅= 即πsin()cos sin(),2αβαα−==−又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππππ,0,2222αβα−<−<<−< 所以π2,sin(2)1,2αβαβ−=∴−=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T710．已知角α，β均在()0,π内，1cos 7α=，()53sin 14αβ+=，则角β的值为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果. 【详解】因为(),0,παβ∈，且1cos 7α=，所以243sin 1cos αα=−=，因为()53sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()()211cos 1cos 14αβαβ+=−+=−，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++=⎡⎤⎣⎦111534311472−⨯=，且()0,βπ∈，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T711．已知()()sin 2π1,0,,2cos 2sin tan αβαβαβαα+⎛⎫∈−+= ⎪⎝⎭，则（）A ．π2αβ+=B ．34αβπ+=C ．π4αβ−=−D ．4αβ−=π 【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=−，再由π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++−+=−+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=−+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++−+=−+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+−==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=−，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ0,22α⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，所以π2βα=−，所以π2αβ+=12．已知α，β都是锐角，tan()1αβ+=−，则()cos sin()cos cos βααβαβ−−+= .【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解. 【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==−−.tan tan tan tan 1αβαβ∴+=−，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ−−+∴=−++=−−+=.法2：由tan()1αβ+=−，令3π8αβ==，则3π21cos13π42cos822+−==则()221cos sin()22cos cos 2122βααβαβ−−+==−⎝⎭题型四 2倍角公式 2023届广州市一模T713．若,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()1cos21sin sin2cos αβαβ−+=，则下列结论正确的是（） A ．522παβ+= B ．324παβ−=C ．74αβπ+=D ．2παβ−=【分析】由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴≠.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ−+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ∴=−=+，()cos cos 2παβα⎛⎫∴+=− ⎪⎝⎭，,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2παβπ∴<+<，且022ππα−<−<，根据函数cos y x =易知：22παβαπ+=−+，即得：522παβ+=. 14．（2023秋·浙江绍兴高三校考）22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B ．1sin 2x −C ．1cos 2x −D ．-1【答案】B【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++−− ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111sin 2sin 21sin 22222x x x =−+−=−岳阳市高二下期末15．已知1cos sin 21cos sin x xx x−+=−++，则tan x 的值为( ) A ．43B ．43−C ．34 D ．34−【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫−−++ ⎪−+⎝⎭−===++⎛⎫++−+ ⎪⎝⎭2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+， ∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ⨯−===−−−．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+−=+，则cos 23παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ .【答案】3【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23παβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+−=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ−−+−=+ 所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ−=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2παββ+=，即+22παβ=，所以3cos 2cos sin 3233ππππαβ⎛⎫⎛⎫++=+=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T717．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 24sin 1αα−=，则tan 2α=（）A ．13B ．427 C ．13−D ．427−【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+−=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos 24sin 36sin 4sin 1αααα−=−−=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+−=−+=，所以1sin 3α=或sin 1α=−，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin 3α=，所以22cos 3α=−，则tan 22α=由22tan 42tan 21tan ααα==−2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T718．若πsin cos tan 23sin cos ββαββ−⎛⎫−= ⎪+⎝⎭，则()212cos 2αβ−−=（）A ．12B ．12−C ．32D ．32−【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出ππ2π34k αβ−=−+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ−−−⎛⎫⎛⎫−====− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，所以ππ2π34k αβ−=−+，即π2π,Z 12k k αβ=++∈，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββ⎛⎫−−=−−=−++− ⎪⎝⎭πππ3cos 2πcos 2πcos 1266k k ⎛⎫⎛⎫=−+=−+=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T1519．已知73sin 17cos θθ=+.则sin 26θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【答案】98【分析】根据辅助角公式可得π1sin 614θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】73sin 17cos θθ=+即3114cos 12θθ⎫−=⎪⎪⎝⎭，故π1sin 614θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭. 故2ππ97cos 212sin 3698θθ⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则97sin 2sin 2cos 2632398ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−+=−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T1520．若πtan 2tan 9α=，则7πcos()18πsin()9αα+=+ . 【答案】223−【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可. 【详解】πtan 2tan9α=，则7π7π7ππππcos()cos cos sin sin cos sin sin cos tan tan 181818999ππππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan999999αααααααααααα+−−−===++++ 3122122−+=.2023届·江苏省七市三模·T721．已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒−+︒++︒−=，则tan θ=（）A ．3−B ．33−C ．33D ．3【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=−︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒−+︒++︒−=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒−︒+︒+︒=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80sin80tan 0θ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=−︒()2cos 12080cos80sin80︒−︒+︒=−︒()2cos120cos80sin120sin80cos803sin803sin80︒︒+︒︒+︒︒=−==−︒2022届·广东省汕头二模·T722．若sin160tan 20cos 703λ++=，则实数λ的值为（） A ．3 B ．32C ．2D ．4【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为sin160tan 20cos 703λ++=，即()()sin 18020tan 20cos 90203λ−++−=，所以sin 20sin 20sin 203cos 20λ++=，所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 203cos 20λ++=，所以()311sin 20cos 203cos 20sin 202cos 20sin 2022λ⎛⎫+=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402λ+=−=−=，所以122λ+=，所以3λ=题型六和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T1523．已知,αβ均为锐角，()tan tan 2sin αβαβ+=+，且()1cos 3αβ+=，则()cos2αβ−= .【答案】9−【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ−=，根据二倍角公式即可得结果. 【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+≠，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=−=，从而111sin sin 236αβ=−=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ−=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ−=−−=−.故答案为：19−.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T1124．（多选）已知30ππ2αβ<<<<，3cos25α=−，2cos()10αβ+=−，则（）A ．tan 2αB ．72sin()10αβ+=−C ．3π4βα−= D ．2cos cos 5αβ=−【分析】根据3cos25α=−，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由2cos()αβ+=求出sin()αβ+，tan()βα−，cos()βα−，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=−<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=−，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而2cos()010αβ+=−<矛盾，所以tan 2α≠−.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而2cos()010αβ+=−<，所以5π3π42αβ<+<，这样72sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 选项知，tan 2α=，再根据B 选项中72sin()10αβ+=−2cos()10αβ+=−，知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+−=+−==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα−−==−+，又3ππ2β<<，ππ24α−<−<−，π5π24βα<−<，所以3π4βα−=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα−=，所以2cos()cos cos sin sin βαβααβ−=+= 又2cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−= 解得32cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T625．已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+＝（）A ．53−B ．53C ．4−D ．4【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭进而又和差角公式得5tan θ3，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44θθθ⎛⎫+− ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++++====−+−−−26．已知()0,πα∈，ππ,22β⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π6cos 66β⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则()sin 2αβ+=（）A ．21029+ B ．21029− C ．21029−+ D ．21029+−【分析】注意到2236ππαβαβ⎛⎫+=++− ⎪⎝⎭，后结合()0,πα，ππ,22β⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,πα∈，则4333πππ，α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又π13πsin sin 333⎛⎫+== ⎪⎝⎭α，则3πα+∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得223πcos α⎛⎫−+= ⎪⎝⎭. 因π6cos 6β⎛⎫−= ⎪⎝⎭22221663ππcos cosββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又ππ,22β⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，则π2ππ,633⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭β，结合π61πcos cos 623⎛⎫−<= ⎪⎝⎭β，则ππ,062⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭β，得306πsin β⎛⎫−=− ⎪⎝⎭则522666πππsin cos sin βββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−=−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又注意到2236ππαβαβ⎛⎫+=++− ⎪⎝⎭，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦αβαβαβ12225210233⎛⎛⎫−−=⨯−+⨯−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

人教版九年级下册第28章锐角三角函数培优训练

人教版九年级第28章锐角三角函数培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6 cm.则BC的长度为()A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm2. (2019•湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=A．30°B．45°C．60°D．90°3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()A. 34B.43C. 35D.454. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()A. 斜坡AB的坡度是10°B. 斜坡AB的坡度是tan10°C. AC＝1.2tan10°米D. AB＝1.2cos10°米5. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A. 60°B. 45°C. 15°D. 90°6. 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A . 11－sin αB . 11＋sin αC . 11－cos αD . 11＋cos α8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx9. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB=m ，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是A ．∠BDC=∠αB ．BC=m •tan αC ．AO 2sin mα=D ．BD cos mα=10. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为A ．95sin α米 B ．95cos α米C ．59sin α米D ．59cos α米二、填空题（本大题共7道小题）11.已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．12. 长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m .13. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)14. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．15. (2019•江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．16. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC25AB2，则tanC=__________．17. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．三、解答题（本大题共5道小题）18. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)19. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．20. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．21. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B 的距离BE为15cm．(1)求坐垫E到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)22. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．人教版九年级第28章锐角三角函数培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.2. 【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ．3. 【答案】D【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.4. 【答案】B 【解析】∵斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；∵AC ＝ 1.2tan10°米，∴选项C 是错误的；∵AB＝1.2sin10°米，∴选项D是错误的．5. 【答案】C【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.6. 【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．7. 【答案】A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝PCPB′，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝P A，而PB′＝P A，∴P A＝11－sinα.8. 【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．9. 【答案】C【解析】A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=OB=CO=DO，∴∠DBC=∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意； B 、在Rt △ABC 中，tan αBCm=，即BC=m •tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=，即AO 2cos mα=，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=m ，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt △DCB 中，BD cos mα=，故本选项不符合题意；故选C ．10. 【答案】B【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，则BD 32=+0.395=， ∵cos αBD AB =，∴cos α95AB =，解得AB 95cos α=米，故选B ．二、填空题（本大题共7道小题） 11. 【答案】75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin 45°＝4×22＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin 60°＝4×32＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m .13. 【答案】208【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝303，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝903，BC＝BD＋CD＝303＋903＝1203≈208(米)．14. 【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．15. 【答案】3<BC<23【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=12AB=1，由勾股定理得：BC1=3，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=23，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3<BC<23．故答案为：3<BC<23．16. 5【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC25=，∴2BD•DC5=2BD2，∴DC55=BD，∴tan555BD BDCDCBD===．故答案为:5．17. 【答案】3或3 3 或37【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝33；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或37.三、解答题（本大题共5道小题）18. 【答案】解：如解图，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则四边形FBED为矩形，(1分)∴FD＝BE，BF＝DE＝10，FD∥BE，(2分)第12题解图由题意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，∴∠DCE＝∠FDC＝30°，(3分)在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，∵tan∠DCE＝DECE，(4分)∴CE＝10tan30°＝103，(5分)在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，∴FD＝AF，又∵AB＝80，BF＝10，∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，(6分)∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－103≈52.7(m)．(7分)答：障碍物B、C两点间的距离约为52.7 m．(8分)19. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)理由：连结CG，∵ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝66，(8分)∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.(10分)20. 【答案】解：(1)∵在教学楼B点处观测旗杆底端D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，(1分)在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，(2分)∴AD＝ABtan∠ADB＝4tan30°＝43(米)．(3分)答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(4分)(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去计算得到结论)(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 3 米，(5分) ∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(米)．(7分)答：旗杆CD的高度是12米．(8分)21. 【答案】(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H=80×0.8=64，则E′C=sin E HECH'∠=64sin64︒≈71，1，∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．22. 【答案】解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)＝22×32－22×12＝6－24.(4分)(2)在Rt△BDE中，∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，tan∠BDE＝BEDE，即tan75°＝BE7＝2＋3，(5分)∴BE＝14＋73，(6分)又∵AE＝DC＝3，∴AB＝BE＋AE＝14＋73＋3＝14＋83(米)，(7分) 答：纪念碑的高度是(14＋83)米．(8分)。

三角函数培优材料(含答案)

高一数学竞赛培训教程—三角函数一、选择、填空题1.设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则 ( )A ．T π=,2A = B . T π=,2A = C ．2T π=,2A = D ．2T π=,2A = 答案：C2．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 ( )A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A3.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) （A ）2875- （B ）2875（C ）21100- （D ）21100答案：A4.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像答案：C5、如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（D ）A.2B.－2C.1D.－1答案：D6.已知2,tan α=则cos(2)cos 22παα-+的值 . 答案：157.已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos 答案：43310+ 8.已知1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<,则sin 2ϕ= 答案：429- 二、解答题1.已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1）()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<6分所以当242x ππ+=时，即8x π=时 f(x)有最大值21-.所以f(x)最大值是21-，相应的x 的值8x π= 8分（2）函数y=sin x 的图象向左平移4π个单位， 9分把图象上的点横坐标变为原来的12倍，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍，11分最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象. 12分方法2：把函数y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的12倍 9分把函数x 的图象向左平移8π个单位，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍，最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分2.已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值．解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分，所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。

初中数学三角函数最值问题培优专题训练

初中数学三角函数最值问题培优专题训练
介绍
本文档旨在提供初中数学三角函数最值问题的培优专题训练，
帮助学生更好地理解和掌握该知识点。

问题1：求函数的最大值和最小值
给定函数$f(x) = \sin(x) + \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。

解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都
出现在每个周期的两个关键点上。

2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。

3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最
小值。

问题2：求函数的最大值和最小值
给定函数 $g(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$，求函数的最大值和最
小值。

解决思路：
1. 利用三角函数的恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$，可以将函数 $g(x)$ 转化为一个常数函数。

2. 结合函数的定义域，得出函数的最大值和最小值。

问题3：求函数的最大值和最小值
给定函数 $h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。

解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都出现在每个周期的两个关键点上。

2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。

3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

总结
通过本文档的培优专题训练，学生可以掌握初中数学三角函数最值问题的求解方法。

这些问题涉及了三角函数的周期性和恒等式
的应用，通过解题过程，学生可以提高数学思维能力和问题解决能力。

《三角函数》培优训练题汇编

《三角函数》培优训练题汇编互余的两个角的三角函数的关系：sin(90 －A)= cosA ， cos(90 －A)= sinA ，tan(90 －A)= cotA, cot(90 －A)= tanA.互补的两个角的三角函数的关系：sin(180 －A)= sinA ， cos(180 －A)= － cosA ，tan(180 －A)=－cotA ， cotA(180 －A)=－tanA.正弦定理： a b c sinA sinB sinC===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2ab cosC ； b 2=c 2+a 2－2ca cosB ； a 2=c 2+b 2－2cb cosA. S △ABC ＝21ab sinC=21bc sinA=21ca sinB. 1、已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1。

求：AC的长.2、已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120，CD ＝6，AB ＝6，BC ＝5－3.求：AD 的长.3、如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30 ，∠CAD ＝45 ，∠DBC ＝75 ，∠DBA ＝45 ，AB ＝3.试求C ，D 的距离.4、已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8.求证：∠9和∠10相等或互补5、已知：二次方程mx 2－(m －2)x+41(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值，求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。

6、如图，ABC ∆中，060,8,5B AB BC ∠===，E 点在BC 上，若CE=2则AE 的长等于。

7、锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.8、在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则tan ∠ABM ＝________。

高考数学精准培优专练六三角函数(文) 学生版

3
3
5．【答案】C
【解析】 cos x cos(x π) cos[(x π) π] cos[(x π) π] 2cos(x π) cos π
3
66
66
66
2 ( 3 ) 3 1． 32
6．【答案】D
【解析】可得
y
0, 2 cos
x,
cos x 0 cos x 0
画出图像，则它值域为 [2, 0] ．
所以 sin15 cos15 1 3 6 ． 428
3．【答案】B
【解析】由 sin(π ) 2sin(π )，可得 sin 2 cos ，则 tan 2 ， 2
那么 sin cos
sin cos sin2 cos2
tan 1 tan2
2 5
．
4．【答案】D
【解析】由题意知，函数在 x π 处取得最大值 1，所以1 sin π ，故选 D．
4
3
36 2
3
由 f ( x) 的最小值为 0 ，得 1 + 2a = 0 ．解得 a = - 1 ．
2
4
一、选择题
1．【答案】A
【解析】 y 2 cos2 (x π) 1 cos 2(x π) cos( π 2x) sin 2x ，是奇函数，
4
4
2
它的最小正周期为 π ．
2．【答案】A
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为 π 的奇函数 2
D．最小正周期为 π 的偶函数 2
2．定义运算 a b ab2 a2b ，则 sin15 cos15 的值是（）
A． 6 8
B． 3 8
C． 6 4
3．已知 sin(π ) 2sin(π )，则 sin cos （） 2

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三角函数培优
背景介绍
三角函数是数学中的重要概念，它在各个科学领域都有广泛的
应用。

在研究三角函数时，我们常常会遇到一些难题和复杂的计算。

本文档将介绍一些简单的策略和技巧，帮助我们更好地掌握三角函
数并提升计算效率。

培优技巧
1. 熟悉基本三角函数的定义和性质。

三角函数包括正弦、余弦、正切等，我们需要掌握它们的定义、图像和基本性质，比如周期性、对称性等。

通过熟悉这些基本知识，我们可以更好地理解和应用三
角函数。

2. 掌握角度和弧度的转换。

在计算中，经常需要将角度与弧度
进行转换。

我们可以利用如下关系进行转换：
- 弧度 = 角度× π / 180
- 角度 = 弧度× 180 / π
3. 利用特殊角的数值来简化计算。

一些特殊角的三角函数值是可以直接计算得到的，比如30°、45°、60°等。

我们可以利用这些特殊角的数值，简化对应角度的三角函数计算。

同时，还可以利用三角函数的周期性质，将其他角度的三角函数计算转化为特殊角的计算。

4. 利用三角函数的性质简化计算。

三角函数具有一些重要的性质，比如：
- 正弦函数和余弦函数的和差公式
- 正弦函数和余弦函数的倍角公式
- 正切函数的和差公式
我们可以灵活运用这些性质，将复杂的三角函数计算转化为简单的计算。

5. 通过作图辅助计算。

对于一些复杂的三角函数计算，我们可以通过绘制函数图像来辅助计算。

通过观察图像的性质，我们可以更好地理解和计算三角函数的取值。

总结
通过掌握基本概念和性质，灵活运用角度与弧度的转换，利用特殊角和性质简化计算，以及通过作图辅助计算，我们可以更好地掌握三角函数，提升计算效率。

希望以上技巧能对你在三角函数的研究和应用中有所帮助。

注意：在具体计算中，请务必注意准确性，避免因计算错误导致的不准确结果。