高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 基础知识
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结
第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (2)5.1.1任意角 (2)5.1.2弧度制 (8)5.2三角函数的概念 (14)5.2.1三角函数的概念 (14)5.2.2同角三角函数的基本关系 (21)5.3诱导公式 (27)第一课时诱导公式二、三、四 (27)第二课时诱导公式五、六 (32)5.4三角函数的图象与性质 (36)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41)第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41)第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48)5.4.3正切函数的性质与图象 (53)5.5三角恒等变换 (58)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58)第一课时两角差的余弦公式 (58)第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62)第三课时两角和与差的正切公式 (68)第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72)5.5.2简单的三角恒等变换 (76)5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81)5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81)5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81)第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81)第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85)5.7三角函数的应用 (89)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．2．正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线的旋转方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小答案：D3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．答案：390°－150°60°知识点二角的加法1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.答案：①④②③知识点三象限角与终边相同的角1．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．各象限角的集合3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°答案：B3．－179°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C[例1](A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角[解析]锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．[答案]AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．[例2] (1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k ＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与 2 021°角终边相同的角为k ·360°＋2 021°，k ∈Z .令－360°≤k ·360°＋2 021°＜360°，k ∈Z ，∴k 可取－6，－5，将k 的值代入k ·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[例3] (°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 第二象限角α需满足k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A 、B 、C.[答案] ABC(2)已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[母题探究]1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：∵k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，∴k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°，∴α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，∴α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．1．给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k ·360°(其中k ∈Z ，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．2．分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．5.1.2 弧度制知识点一 度量角的两种制度1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．知识点二角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π.()(4)1 rad 的角比1°的角要大．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(多选)下列转化结果正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°答案：ABD知识点三 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR ；(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．( )(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )答案：(1)× (2)×2．已知扇形的半径r ＝30，圆心角α＝π6，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π 75π[例1] ( (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°. [解] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°. (2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n °，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．[例2] ≤α＜2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意] (1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2k π，k ∈Z .[，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )A.12 B.π2 C.14D.π4[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12r 2α＝4， ①2r ＋rα＝10， ②由②得，r ＝102＋α，③ 把③代入①，得2α2－17α＋8＝0. 解得α＝12或α＝8(舍去)． 故扇形圆心角的弧度数为12. [答案] A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝l r ，S ＝12lr ＝12αr 2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．扇形的弧长公式的应用如图，点P ，Q 从点A (4，0)同时出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6.[问题探究]1．点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P ，Q 第一次相遇所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P 运动到角4π3的终边与圆相交的位置，点Q 运动到角－2π3的终边与圆相交的位置，∴点P 走过的弧长为4π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝8π3.3．若点Q 也按逆时针方向转，则点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P ，Q 第一次相遇的时间为t s ，则t ·π3－t ·π6＝2π，解得t ＝12 s ．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．设秒针端点A 转过的路程为d cm ，所形成的扇形面积为S cm 2，分别求d 与S 关于时间t (s)的函数，其中t ∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s 后秒针端点A 转过的角α＝－πt30 rad ， ∴秒针端点A 转过的路程为d ＝|α|·r ＝πt6(cm)，∴形成的扇形面积为S＝12|α|·r2＝5πt12(cm2)，∴d＝πt6(t∈[0，60])，S＝5πt12(t∈[0，60])．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx＝tan_α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( ) (2)如图所示，sin α＝y .( )(3)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知角α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．答案：－12 －32 33 知识点二 三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)×2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角． 答案：三知识点三 诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2k π，右边角为α；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α.其中k ∈Z .[例1] 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin αcos β＝( )A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865(2)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15D ．－15[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35， ∴sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.(2)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. [答案] (1)B (2)A利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α终边上一点P (x ，y )是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )不是单位圆上的点，则首先求r ＝ x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)；(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．题型二三角函数值符号的判定[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)． [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0.由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.[答案] (1)B (2)>正弦、余弦函数值的正负规律题型三诱导公式一的应用[例3] ((1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． [解] (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝12，所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图①，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON ，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，如图②，则tanα＝AT (或AT ′)．我们把有向线段OM ，ON 和AT (或AT ′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．[问题探究]1．设角α＝x rad ，且0<x <π2 ，于是x ，sin x ，tan x 都是实数，请你给x 一个具体的值，比较三个实数的大小．提示： 我们先给x 一个具体的值来进行比较：取x ＝π6，则sin x ＝12，tan x ＝33.因为12＝36<π6，所以sin π6<π6.又tan π6＝33＝236>π6，所以tan π6>π6.从而可得sin π6<π6<tan π6.即当x ＝π6时，sin x <x <tan x .2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的任意x 都成立？提示：设角α的顶点与圆心O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图所示．过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过x 轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A 作该单位圆的切线AT ，交α的终边于点T ，连接AP ，则MP ＝sin x ，AT ＝tan x ，S △OAP <S 扇形AOP <S △OAT .因为S △OAP ＝12OA ·MP ＝12sin x ， S 扇形AOP ＝12x ·12＝12x ， S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ， 所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x .因此当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x <x <tan x ．这在后面的学习中会经常用到．[迁移应用]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.解：(1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z.5.2.2 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系基本关系式的变形公式sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.tan α＝sin αcos α⇒ ⎩⎨⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x ∈R ，sin 24x ＋cos 24x ＝1.( ) (2)对∀x ∈R ，tan x ＝sin xcos x .( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．化简1－sin 2π5的结果是( )A ．cos π5 B ．－cos π5 C ．sin π5 D ．－sin π5答案：A3．已知cos α＝－513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．答案：1254．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于________．答案：1题型一利用同角基本关系式求值角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值 [例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝15，求cos α，tan α 的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，求cos α的值．[解] (1)∵sin α＝15＞0，∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612. (2)由已知得⎩⎨⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，∴cos α＜0，∴cos α＝－55.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：[注意]当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．角度二已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值[例2]已知tan α＝2.(1)求sin α－3cos αsin α＋cos α的值；(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. [解](1)法一(代入法)：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝2cos α－3cos α2cos α＋cos α＝－13.法二(弦化切)：∵tan α＝2.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－3sin αcos α＋1＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[例3]已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解](1)由sin α＋cos α＝－13得(sinα＋cos α)2＝19，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，sinαcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17 9，所以sin α－cos α＝17 3.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.[注意]求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．[例4](链接教科书第184页练习4题)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α.[解]sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．角度二 三角恒等式的证明[例5] 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1.[证明] 法一：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝右边．所以等式成立．法二：右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边．所以等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝ca 等； (5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“左边右边＝1”．5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四知识点诱导公式二、三、四1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα2．公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α3．公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα诱导公式的记忆方法与口诀(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．已知cos(π＋θ)＝36，则cosθ＝()A.36B．－36C.336D．－336答案：B3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________． 答案：－44．cos(－30°)＝________，sin 2π3＝________． 答案：32 32题型一给角求值问题[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值： (1)cos 17π6；(2)tan(－855°)；(3)tan 3π4＋sin 11π6. [解] (1)cos 17π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－tan π4－sin π6＝－1－12 ＝－32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[例2] ((1)cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）；(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）. [解] (1)原式＝cos αtan （π＋α）sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]＝sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[例⎭⎪⎫α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[解] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33－23＝－3＋23.2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解：由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－33＋23＝2－33.解决条件求值问题的两技巧第二课时 诱导公式五、六知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值； (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式五、六的记忆方法与口诀(1)记忆方法：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．下列与sin θ的值相等的是( ) A ．sin(π＋θ) B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ答案：C3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则cos α＝________．答案：124．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)＝________． 答案：－15[例1] (1)已知tan α＝3，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． [解] (1)sin （α－π）＋cos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．[例2] (sin （4π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos （2π－α）－tan （5π－α）sin （3π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，∴原式＝sin αsin α－cos αcos α－－tan αsin αcos α＝－sin 2αcos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少； (3)分母不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[例3] 求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α. [证明] 左边＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[例4]f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．[解] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cosα·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；二看函数名称：一般是弦切互化；三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象1．“五点法”只是画出y ＝sin x 和y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；若x ∈R ，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y ＝sin x ，x ∈R 和y ＝cos x ，x ∈R 的图象．2．将y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度得y ＝cos x ，x ∈R 的图象，因此y ＝sin x ，x ∈R 与y ＝cos x ，x ∈R 的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于y 轴对称．( ) (2)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (3)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π答案：B。
第五章三角函数【复习课件】 高一数学单元复习 必修第一册)
∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)，
则 x＝4t，y＝－3t，r＝ x2＋y2＝ 4t2＋－3t2
＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t
3
x 4t 4
y －3t
3
sinα＝r ＝ 5t ＝－5，cosα＝ r ＝5t＝5，tanα＝x＝ 4t ＝－4；
y －3t 3
限制．
3
典型例题
[针对训练]
4．函数 f(x)＝
sinx1－sinx
的奇偶性是(
1－sinx
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数
D．非奇非偶函数
3
典型例题
[解析]
由题意，知 sinx≠1，即 f(x)的定义域为
π
x| x≠2kπ＋ ，k∈Z，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
9.在三角函数的综合应用中,常用的辅助角公式如何表示?
提示:y=asin ωx+bcos ωx=
+ sin(ωx+θ),其中
tan θ=.
2
基础知识
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
典型例题
考点一
三角函数的概念
设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 x＝cosα，y＝sinα，
y
x＝tanα.三角函数的概念是研究三角函数的基础．
【典例 1】 已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sinα，
cosα，tanα 的值．
高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ） A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C2、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（ ） A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125 所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34， 又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|， 故tanα=−43， 故选：C3、已知函数f(x)=cos 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0,x ∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0,512]B ．(0,56)C ．(0,512]∪[56,1112]D ．(0,512]∪(56,1112] 答案：C分析：先化简函数解析式，由π<x <2π得，求得πω+π6<ωx +π6<2πω+π6，利用正弦函数图象的性质可得2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π，求解即可. f(x)=cosωx+12+√32sinωx −12=√32sinωx +12cosωx =sin(ωx +π6)．由π<x <2π得，πω+π6<ωx +π6<2πω+π6， ∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，且πω+π6>π6， ∴2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π ， 解得0<ω⩽512或56⩽ω⩽1112，则ω的取值范围是(0,512]∪[56,1112].故选：C ．4、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ）A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ． 故选：A ．5、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B6、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度 答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 7、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时，sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A. 多选题9、若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A ．tanα=−sinαcosαB ．√1−2sinαcosα=sinα−cosαC ．cosα=−√1−sin 2αD ．√1+2sinαcosα=sinα+cosαE ．sinα=−√1−cos 2α 答案：BC解析：利用sin 2α+cos 2α=1,tanα=sinαcosα，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、求值.对A ，由同角三角函数的基本关系式，知tanα=sinαcosα，所以A 错；对B ，C ，D ，E ，因为α是第二象限角，所以sinα>0,cosα<0，所以sinα−cosα>0,sinα+cosα的符号不确定，所以√1−2sinαcosα=√(sinα−cosα)2=sinα−cosα，所以B ，C 正确；D ，E 错． 故选：BC.小提示：本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力. 10、下列各式中，值为12的是（ ）A ．cos 2π12−sin 2π12B ．tan22.5∘1−tan 222.5∘C ．2sin195°cos195°D ．√1+cos π62答案：BC分析：运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案. 选项A ，cos 2π12−sin 2π12=cos (2×π12)=cos π6=√32，错误； 选项B ，tan22.5°1−tan 222.5°=12⋅2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，正确；选项C ，2sin195∘cos195∘=sin390∘=sin (360∘+30∘)=sin30∘=12，正确；选项D ，√1+cos π62=√1+√322=√2+√32，错误.故选：BC.11、（多选）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则（ ）A ．θ∈(π2,π)B ．cosθ=−35 C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=75答案：ABD分析：已知式平方求得sinθcosθ，从而可确定θ的范围，然后求得sinθ−cosθ，再与已知结合求得sinθ,cosθ，由商数关系得tanθ，从而可判断各选项．因为sinθ+cosθ=15①，所以(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=125，所以2sinθcosθ=−2425．又θ∈(0,π)，所以sinθ>0，所以cosθ<0，即θ∈(π2,π)，故A 正确．(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75②，故D 正确．由①②，得sinθ=45，cosθ=−35，故B 正确．tanθ=sinθcosθ=−43，故C 错误． 故选：ABD ． 填空题12、当θ∈(0,π2)时，若cos (5π6−θ)=−12，则sin (θ+π6)的值为_________．答案：√32##12√3 分析：先由已知条件求出sin (5π6−θ)，然后利用诱导公式可求得结果. ∵θ∈(0,π2)，∴5π6−θ∈(π3,5π6)， ∴sin (5π6−θ)=√1−cos 2(5π6−θ)=√32， ∴sin (θ+π6)=sin [π−(5π6−θ)]=sin (5π6−θ)=√32． 所以答案是：√3213、已知sinα=2cosα，则sin 2α+2sinαcosα=______． 答案：85##1.6分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2， 则sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=22+2×222+1=85.所以答案是：85.14、已知f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，f (π6)=f (π3)，且f (x )在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.答案：143分析：由题意可得函数的图象关于直线x=π4对称，再根据f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，可得π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，由此求得ω的值．依题意，当x=π6+π32=π4时，y有最小值，即sin(π4ω+π3)=−1，则π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，所以ω=8k+143(k∈Z).因为f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，所以π3−π4≤T2=πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143.所以答案是：143解答题15、已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3sin2x+√3.(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈[−π6,π6]，时，a−f(x)≤0恒成立，求a的最大值.答案：(1)最小正周期π，单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z(2)最大值为0分析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简f(x)为f(x)=2sin(2x+π3)，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据x的范围可求2x+π3∈[0,2π3]，进而可求f(x)的值域，故可求a的范围.（1）f(x)=2sinxcosx−2√3sin2x+√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z).∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z.（2）∵x∈[−π6,π6]，∴2x+π3∈[0,2π3]，∴sin (2x +π3)∈[0,1]，f (x )=2sin (2x +π3)∈[0,2].由a −f (x )≤0恒成立，得a ≤(f (x ))min ，即a ≤0.故a 的最大值为0.。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总
第五章三角函数5.1任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1任意角 ......................................................................................................... - 1 -5.1.2弧度制 ......................................................................................................... - 7 -5.2三角函数的概念................................................................................................... - 13 -5.2.1三角函数的概念........................................................................................ - 13 -5.2.2同角三角函数的基本关系........................................................................ - 21 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 27 -5.3诱导公式(2) ........................................................................................................ - 33 -5.4三角函数的图象与性质....................................................................................... - 39 -5.4.1正弦函数、余弦函数的图象.................................................................... - 39 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 45 -5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 51 -5.4.3正切函数的性质与图象............................................................................ - 57 -5.5三角恒等变换....................................................................................................... - 74 -5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式.................................................... - 74 -5.5.2简单的三角恒等变换................................................................................ - 79 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ........................................................................................... - 85 -5.7三角函数的应用................................................................................................... - 99 - 5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一角的概念⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．解题方法探究探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．易错点归纳一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制知识点一角度制与弧度制设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二 扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？ 知识梳理 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝n π180，则解题方法探究探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7.(3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 76π54π43π32π53π74π116π2π探究二 用弧度制表示角[例2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z.对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．探究三 扇形的弧长、面积公式的应用 [例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)．则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)． ∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l ＝|α|R .面积公式为S ＝12lR ＝12|α|R 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．易错点归纳一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便． [典例] 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1 s 转过的弧长是多少？[解析] 设大齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r . 根据题意设大齿轮的周长L ＝48. 小齿轮的周长l ＝20. 故2πR 2πr ＝4820，即R r ＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ， ∴θr ＝2πR ，θ＝R r ×2π＝4820×2π＝245π. (2)大轮的转速v 1＝3 r/s ， 故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念知识点一 三角函数的定义如图所示，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A 的坐标为(1,0)，点P 的坐标为(x ，y )．射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP .当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r＝x2＋y2.知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式π6与136π终边有什么关系？sinπ6与sin136π.cosπ6与cos136π，tanπ6与tan136π之间有什么关系？知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.解题方法探究探究一利用三角函数定义求三角函数值[例1][教材P178例1拓展探究](1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.[解析]由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝(4a2)＋(－3a)2＝5|a|.①当a＞0时，r＝5a，sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝4a5a＝45，则2sin α＋cosα＝－2 5.②当a＜0时，r＝－5a，2sin α＋cos α＝2×－3a －5a ＋4a －5a ＝25. 综上，2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a ＞0，25，a ＜0.[答案] ±25(2)求43π的正弦、余弦和正切值．[解析] 在直角坐标系中作∠AOB ＝43π，如图．∠AOB 的终边OB 与单位圆的交点B . 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴sin 43π＝－32，cos 43π＝－12，tan 43π＝ 3.(3)已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上一点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．[解析] 设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 1＝－22.∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1.(4)已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．[解析] 法一：(单位圆)设直线y ＝2x 与单位圆x 2＋y 2＝1的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝55，y 1＝255，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－55，y 2＝－255.①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x 1＝55， sin α＝y 1＝255，tan α＝y 1x 1＝2.②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x 2＝－55，sin α＝y 2＝－255， tan α＝y 2x 2＝2.法二：(定义法)在直线y ＝2x 上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝t 2＋(2t )2＝5|t |. ①若t ＞0时，则r ＝5t ，从而sin α＝2t 5t ＝255， cos α＝t 5t ＝55，tan α＝yx ＝2.②若t ＜0，则r ＝－5t ， 从而sin α＝2t －5t ＝－255，cos α＝t －5t＝－55， tan α＝y x ＝2.1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2，第三步，求值：由sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)求值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题[例2]判断下列各式的符号．(1)sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°；(2)tan 191°－cos 191°；(3)sin 2cos 3tan 4.[解析](1)∵2 005°＝1 800°＋205°＝5×360°＋205°，2 006°＝5×360°＋206°，2 007°＝5×360°＋207°，∴它们都是第三象限角，∴sin 2 005°<0，cos 2 006°<0，tan 2 007°>0，∴sin 2 005°cos 2 006°tan 2 007°>0.(2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，∴tan 191°－cos 191°>0.(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．探究三利用公式一求值[例3]求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan(－15π4)；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.[解析](1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤易错点归纳一、单位圆的妙用——比较函数值的大小在单位圆中，由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.如果α在第一象限，作PM⊥x轴于M点．则|PM|＝y，|OM|＝x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于ATMP＝OAOM，即ATOA＝MPOM＝yx＝tan α，OA＝1，∴tan α＝AT.即此时，可用线段MP 、OM 、AT 的长度来表示sin α、cos α、tan α的值．[典例] 如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α＜sin α＜tan αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．cos α＜tan α＜sin α[解析] 在坐标系中作∠AOC ＝π4，OC 与单位圆的交点为C .作∠AOP ＝α，OP 与单位圆的交点为P .如图． 作PM ⊥x 轴于M 点，由OP 和OC 相比较可知． MP ＞OM .过A 点作切线AT ， 则AT ＞MP .又sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . ∴tan α＞sin α＞cos α.故选A. [答案] A二、利用三角函数的定义运算出错[典例]已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．[解析]因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，所以r＝|PO|＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|.当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．5.2.2同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数基本关系式如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．过P作x轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.由此想到sin α、cos α、tan α之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋kπ，k∈Z)．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．解题方法探究探究一利用基本关系式求值[例1][教材P183例6拓展探究](1)已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解析] 法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2 cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1， 即cos 2α＝15；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255； 当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α，即cos 2α＝11＋tan 2α.当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－ 11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝255.当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55，∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255.(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517， tan α＝sin αcos α＝158.(3)已知tan α＝3，求：①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②sin 2α－3sin αcos α＋1.[解析] ①原式＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1.②原式＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类 (1)依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.探究二三角函数式的化简[例2]化简下列各式．(1) 1－cos θ1＋cos θ＋1＋cos θ1－cosθ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π；(2)sin x1－cos x·tan x－sin xtan x＋sin x.[解析](1)原式＝(1－cos θ)2sin2θ＋(1＋cos θ)2sin2θ＝1－cos θ|sin θ|＋1＋cos θ|sin θ|＝2|sin θ|.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴原式＝2sin θ.(2)原式＝sin x1－cos x·sin xcos x－sin xsin xcos x＋sin x＝sin x1－cos x·sin x(1－cos x)sin x(1＋cos x)＝sin x1－cos x·1－cos x|sin x|＝sin x|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ，2kπ＋π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)，－1，x∈⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋π，2kπ＋3π2∪⎝⎛⎭⎪⎫2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z).1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．对三角函数式化简的原则 (1)使三角函数式的次数尽量低． (2)使式中的项数尽量少． (3)使三角函数的种类尽量少． (4)使式中的分母尽量不含有三角函数． (5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．探究三 三角恒等式的证明[例3] 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [证明] 法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin 2α＋cos 2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin 2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．法二：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎨⎧sin α＝1－x ，cos α＝y .由sin 2α＋cos 2α＝1，消去α得(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，∴左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝右边． ∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．易错点归纳一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例] 已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32·(2k ＋1)≥0， ①sin θ＋cos θ＝－34k ， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③由平方关系可建立关于k 的等式．∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， ④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0， 解得k ＝－109或k ＝2. 将k 值代入Δ≥0验证． ∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)切化弦，再通分．tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ， 把(1)求得的k 值代入．由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172， ∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211. 二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解[典例] 已知sin θ＋cos θ＝15，且0＜θ＜π，求sin θ－cos θ. [解析] ∵sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925. ∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0， ∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝75.纠错心得 此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sin θ－cos θ＝±75.当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．5.3 诱 导公式(1)知识点一 诱 导公式(二)如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.知识点二诱导公式(三)如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.知识点三诱导公式(四)如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？知识梳理公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．解题方法探究探究一给角求值[例1]求下列各三角函数的值：(1)sin(－945°)；(2)cos(－16π3)；(3)sin 43π·cos(－196π)·tan214π.[解析](1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°) ＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝2 2.法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°) ＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝2 2.(2)法一：cos(－16π3)＝cos16π3＝cos(4π3＋4π)＝cos 4π3＝cos(π＋π3)＝－cos π3＝－12. 法二：cos(－16π3)＝cos(2π3－6π)＝cos 2π3 ＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.(3)原式＝sin 4π3·cos(2π＋7π6)·tan(4π＋5π4) ＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(π＋π6)·tan(π＋π4) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4 ＝(－32)×(－32)×1＝34.利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：探究二 给值求值[例2] [教材P 195第8题拓展探究](1)已知sin(π3－x )＝13，则sin(43π－x )＝________. [解析] sin(43π－x )＝sin[π＋(π3－x )]＝－sin(π3－x )＝－13. [答案] －13(2)已知sin(π3－x)＝13，且0＜x＜π2，则tan(23π＋x)＝________.[解析]∵0＜x＜π2，∴－π6＜π3－x＜π3.又sin(π3－x)＝13＞0，∴0＜π3－x＜π3.cos(23π＋x)＝cos[π－(π3－x)]＝－cos(π3－x)＝－1－sin2(π3－x)＝－1－(13)2＝－223，sin(23π＋x)＝sin[π－(π3－x)]＝sin(π3－x)＝13，∴tan(23π＋x)＝sin(23π＋x)cos(23π＋x)＝13－223＝－24.[答案]－24(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．探究三化简三角函数式[例3]化简cos(4n＋14π＋x)＋cos(4n－14π－x)(n∈Z)．[解析]原式＝cos(nπ＋π4＋x)＋cos(nπ－π4－x)．(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos[(2k＋1)π＋π4＋x]＋cos[(2k＋1)π－π4－x]＝－cos(π4＋x)－cos(－π4－x)＝－2cos(π4＋x)；(2)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝cos(2k π＋π4＋x )＋cos(2k π－π4－x ) ＝cos(π4＋x )＋cos(－π4－x )＝2cos(π4＋x )． 故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4＋x )，n 为偶数.利用诱 导公式化简三角函数式的注意点(1)当碰到kx ±α(k ∈Z )的形式时，要注意对k 分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如k π－α＝2k π－(k π＋α)，k ∈Z .易错点归纳一、角的终边关系与诱 导公式的拓展在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：α与β的终边关于x 轴对称 α＋β＝2k π(k ∈Z ) α与β的终边关于y 轴对称 α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝x 对称 α＋β＝4k ＋12π(k ∈Z ) α与β的终边关于直线y ＝－x 对称α＋β＝4k －12π(k ∈Z ) α与β的终边在同一条直线上α－β＝k π(k ∈Z ) α与β的终边垂直α－β＝4k ±12π(k ∈Z )[典例] 化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin (k π－θ)·cos (k π＋θ)(k ∈Z )．[解析] 原式＝(－1)k ＋1sin θ·(－1)k ＋1cos (－θ)(－1)k sin (－θ)·(－1)k cos θ＝(－1)2k ＋2sin θcos θ(－1)2k sin (－θ)cos θ＝－1. [答案] －1 二、盲目套用公式[典例] 若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．[解析] 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. [答案] m ＋1m －1纠错心得 此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱 导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．5.3 诱 导公式(2)知识点 诱 导公式(五)、(六)如图，作P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，以OP 5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？知识梳理 公式五(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α.公式六(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.(3)公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．解题方法探究探究一 利用诱 导公式求值[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________.(3)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α的值．[解析] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23.(3)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，所以a 2＋925＝1(a <0)，所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×－4535＝2. [答案] (1)C (2)23 (3)见解析已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．(2)转化：运用诱 导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数．探究二 化简三角函数式 [例2] 化简：sin (4π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos (2π－α)－tan (5π－α)sin (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解析] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α。
第5章三角函数思维导图(人教A版2019)(必修第一册)
第5章三角函数思维导图(人教A版2019)(必修第一册)一、三角函数的定义1. 角度制和弧度制角度制和弧度制是表示角度的两种方式。
在角度制中，一个圆的周长被等分为360份，每一份被称为1度。
在弧度制中，一个圆的周长被等分为2π份，每一份被称为1弧度。
2. 三角函数的定义三角函数是角度的函数，它们与角度的大小有关。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、三角函数的基本性质1. 周期性三角函数具有周期性，即函数值在一定的范围内会重复出现。
例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
2. 奇偶性三角函数具有奇偶性，即函数值在正负角度时呈现出对称性。
例如，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在每个周期内呈现出一个上升和下降的过程。
正弦函数的最大值为1，最小值为1。
2. 余弦函数的图像和性质余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它在每个周期内呈现出一个下降和上升的过程。
余弦函数的最大值为1，最小值为1。
3. 正切函数的图像和性质正切函数的图像是一个周期性的波形，它在每个周期内呈现出一个无限上升和下降的过程。
正切函数的最大值和最小值都是无穷大。
四、三角函数的运算1. 三角函数的和差公式三角函数的和差公式是三角函数运算的基础，它们可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的形式。
2. 三角函数的倍角公式三角函数的倍角公式可以将一个三角函数的倍角转化为一个三角函数的形式。
3. 三角函数的半角公式三角函数的半角公式可以将一个三角函数的半角转化为一个三角函数的形式。
五、三角函数的应用1. 物理学中的应用三角函数在物理学中有着广泛的应用，例如，它可以用来描述物体的振动、波动等现象。
2. 工程学中的应用三角函数在工程学中也有着重要的应用，例如，它可以用来计算电路中的电流、电压等参数。
3. 计算机科学中的应用三角函数在计算机科学中也有着广泛的应用，例如，它可以用来进行图像处理、计算机图形学等。
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
高中数学必修一第五章知识点
高中数学必修一第五章知识点摘要：一、三角函数的定义和分类二、三角函数的性质三、三角函数的图像和应用四、三角函数的恒等变换五、正弦定理和余弦定理正文：高中数学必修一第五章知识点主要涉及三角函数。
首先，我们要了解三角函数的定义和分类。
三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等为函数值的函数。
根据角度的范围和函数值的正负性，三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。
其次，我们要了解三角函数的性质。
例如，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，正切函数的值域是R 等。
此外，还有一些特殊的三角函数性质，如和差化积、倍角公式、半角公式等。
接下来，我们要了解三角函数的图像和应用。
对于正弦函数和余弦函数，它们的图像都是关于y 轴对称的，而正切函数的图像则关于原点对称。
这些函数的图像都可以通过描点法或利用函数的性质来绘制。
三角函数在物理学、工程学等领域都有广泛的应用，如正弦函数可以用来描述周期性现象，余弦函数可以用来描述简谐振动等。
然后，我们要了解三角函数的恒等变换。
恒等变换是指通过代数运算，将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，而不改变其值。
例如，正弦函数和余弦函数可以通过和差化积公式相互转化，正切函数可以通过倍角公式和半角公式相互转化等。
最后，我们要学习正弦定理和余弦定理。
正弦定理是指在直角三角形中，三角形的三条边与它的三个内角之间存在着一定的关系。
余弦定理是指在三角形中，一个角的余弦值等于它的两条边与第三条边的比值。
这些定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度，是解决三角形问题的关键。
高中数学必修一第五章知识点
高中数学必修一第五章知识点
摘要：
1.三角函数概念及性质
2.三角函数的图像与性质
3.三角函数的求解方法
4.三角函数在实际问题中的应用
5.解三角形的方法及应用
正文：
一、三角函数概念及性质
三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学、物理、化学等学科中有广泛的应用。
三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们通常用角度制或弧度制表示。
在半径为r的圆中，弧长l所对的圆心角为θ，则有l=rθ。
二、三角函数的图像与性质
三角函数的图像可以是正弦曲线、余弦曲线等，它们具有周期性、奇偶性等性质。
通过图像可以直观地了解三角函数的变化规律，为求解实际问题提供依据。
三、三角函数的求解方法
求解三角函数的关键在于找到合适的关系式和公式。
常见的方法有和差化积、倍角公式、半角公式等。
这些方法可以帮助我们快速计算三角函数的值，为解题提供便利。
四、三角函数在实际问题中的应用
三角函数在实际问题中有广泛的应用，如在物理中的振动、波动、力学问题；在化学中的分子结构；在数学中的解三角形等。
通过运用三角函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
五、解三角形的方法及应用
解三角形是高中数学的重要内容，主要包括正弦定理、余弦定理等。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度等问题。
在实际应用中，解三角形的方法被广泛应用于测量、建筑、航海等领域。
总之，高中数学必修一第五章知识点是基础且重要的内容，通过掌握三角函数的概念、性质、求解方法和实际应用，我们可以更好地应对后续的学习和实际问题。
高一必修一数学第五章公式
高一必修一数学第五章的公式主要包括三角函数的定义和性质、三角恒等变换以及解三角形等部分。
1. 三角函数的定义和性质：* 任意角三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为r（r > 0），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α= y / r, cos α= x / r, tan α= y / x。
* 同角三角函数基本关系式：sin^2 α+ cos^2 α= 1，tan α= sin α/ cos α（cos α≠0）。
* 诱导公式：根据角的关系，将α的三角函数值转化为其他角的形式。
常用的诱导公式包括：sin(π+ α) = -sin α，cos(π+ α) = -cos α，tan(π+ α) = tan α等。
2. 三角恒等变换：* 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：sin(α±β) = sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β) = cos αcos β±sin αsin β，tan(α±β) = tan α±tan β/ 1 ±tan αtan β。
* 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2α= 2sin αcos α，cos 2α= cos^2 α- sin^2 α，tan 2α= 2tan α/ (1 - tan^2 α)。
3. 解三角形：* 余弦定理：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)，cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)，cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)。
* 正弦定理：sin A / a = sin B / b = sin C / c，其中a、b、c 分别为三角形的三边长。
这些公式是解决三角函数问题的基础，通过掌握这些公式，可以更好地理解和应用三角函数的性质和变换。
高一必修5三角函数知识点
高一必修5三角函数知识点一、三角函数的概念在数学中，三角函数是描述角的性质和关系的重要工具。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos 和tan表示。
二、正弦函数正弦函数是一个周期函数，图像呈现周期性的波动。
它的定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间。
正弦函数的图像在0度、180度、360度等角度处有特殊的取值。
三、余弦函数余弦函数也是一个周期函数，图像也呈现周期性的波动。
它的定义域是全体实数，值域也在[-1,1]之间。
余弦函数的图像在90度、270度、450度等角度处有特殊的取值。
四、正切函数正切函数在定义域内的图像变化更为复杂，它的定义域是全体实数，但其值域却无限制。
正切函数的图像在0度、180度、360度等具有奇数倍角度的位置为无穷大或负无穷大。
五、三角函数的基本性质1. 正弦函数和余弦函数是互为余切函数的倒数：sin(x) =1/cos(x)，cos(x) = 1/sin(x)。
2. 正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数在π/2 + kπ（k为整数）处无定义，称为正切函数的奇点。
六、三角函数的单位换算在三角函数的运算中，角的度量可以用角度制和弧度制表示。
弧度制是角度测量的一种单位，π（pi）代表半圆周长与半径的比值，约等于3.14159。
常用的单位换算有：1. 角度制到弧度制的转换公式：弧度 = 角度* (π/180)。
2. 弧度制到角度制的转换公式：角度 = 弧度* (180/π)。
七、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有对称轴y=0，图像在(2πn,0)处有最小值，在(2πn+π/2,1)和(2πn-π/2,-1)处有最大值。
2. 余弦函数的图像也是一条连续的曲线，具有对称轴y=0，图像在(2πn,1)处有最大值，在(2πn+π, -1)处有最小值。
3. 正切函数的图像是一条光滑的曲线，具有周期性的波动，图像在π/2 + kπ（k为整数）有奇点，无定义。
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
第5章-5.2.2-同角三角函数的基本关系高中数学必修第一册湘教版
【答案】方法1 左边
= − + − = + + − + (
− ) = + − + − = − + =右
< < π ，试判断sin − cos 的值与1的大小关系.
π
2
< < π（ 的终边在直线 = 的上半平面区域），则
sin − cos > 0，
sin cos < 0，
又 sin − cos
2
= 1 − 2sin cos > 1，
∴ sin − cos > 1.
289
< 0，
π
2
又 ∈ −π, 0 ，∴ ∈ − , 0 ，
∴ A选项错误.
易知sin < 0，cos > 0，
8
7
sin = − ,
sin + cos = ,
17
17
由൞
解得൞
120
15
sin cos = −
,
cos = ,
289
∴ tan =
sin
cos
1
5
1
sin2 +sin cos
− ，则 2
5
cos +2sin cos
【解析】因为tan = − ，所以
sin2 +sin cos
cos2 +2sin cos
=
tan2 +tan
1+2tan
=
−
=_____.
2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第5章-5.2.1任意角三角函数的定义
以上三种函数都称为α的三角函数
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教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
角
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
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6.设0<α< 2 ，证明：sin α<α<tan α.
证明 如图所示，角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单
位圆的切线AT，交角α的终边于 点T，连接AP，
则有MP＝sin α，AT＝tan α，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAT .
值 ， ， 与α的终边上的点P的位置无关.我们规定：
（1）比值叫作α的正弦（sine），记作sin α，即sin α＝ ；
（2）比值叫作α的余弦（cosine），记作cos α，即cos α＝ ；
（3）比值（x≠0）叫作α的正切（tangent），记作tan α，即tan α＝ .
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
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即时巩固
【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
新教材高中数学必修第一册第5章 5.2.1三角函数的概念
5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念学习目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切.4.掌握公式并会应用．知识点一 任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )，点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y ；点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x ；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0)．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ； 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ；正切函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．思考 三角函数值的大小与点P 在角α终边上位置是否有关？答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P 在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 公式一 sin(α＋2k π)＝sin α， cos(α＋2k π)＝cos α， tan(α＋2k π)＝tan α， 其中k ∈Z .终边相同的角的同一三角函数的值相等．思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 答案 不一定，如sin 30°＝sin 150°＝12.1．sin α表示sin 与α的乘积．( × )2．设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( × )3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) 4．终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( × )一、任意角三角函数的定义及应用例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝ . 答案 －43解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)在单位圆上，则925＋y 2＝1， 所以y ＝－45，所以tan α＝－43.(2)已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值． 解 设射线y ＝2x (x ≥0)上任一点P (x 0，y 0)， 则|OP |＝r ＝x 20＋y 20，∵y 0＝2x 0，∴r ＝5x 0，∴sin α＝y 0r ＝255，cos α＝x 0r ＝55.延伸探究1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)”改为“α的终边经过点P (－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值． 解 由已知可得|OP |＝(－3)2＋(－4)2＝5.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P 0(x ，y )．分别过点P ，P 0作x 轴的垂线PM ，P 0M 0， 则|MP |＝4，|M 0P 0|＝－y ， |OM |＝3，|OM 0|＝－x ， △OMP ∽△OM 0P 0，于是，sin α＝y ＝y 1＝－|M 0P 0||OP 0|＝－|MP ||OP |＝－45；cos α＝x ＝x 1＝－|OM 0||OP 0|＝－|OM ||OP |＝－35；tan α＝y x ＝sin αcos α＝43.2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上”，换为“α的终边落在直线y ＝2x 上”，其结论又如何呢？解 (1)若α的终边在第一象限内， 设点P (a ,2a )(a >0)是其终边上任意一点， 因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ,2a )(a <0)是其终边上任意一点， 因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )(a ≠0)，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 答案 1或－1 解析 因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限． sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.二、三角函数值符号的运用例2 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 (1)C (2)D解析 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10∈⎝⎛⎭⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0. 反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 跟踪训练2 已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C三、公式一的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤跟踪训练3 (1)cos 405°的值是( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 答案 C解析 cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22. (2)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝ . 答案32＋1 解析 sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－4π＝sin π3＋tan π4＝32＋1.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45 答案 D2．sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22. 3．若sin θ·cos θ>0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第四象限答案 B解析 因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0， 所以θ在第一象限或第三象限． 4．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝ . 答案3解析 tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 5．y ＝sin x ＋tan x 的定义域为 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .1．知识清单：(1)三角函数的定义及求法； (2)三角函数在各象限内的符号； (3)公式一．2．方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的分类讨论思想．3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 B 2．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ,2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3答案 D解析 因为cos α＝－32<0，所以x <0， 又r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， 所以x ＝－2 3.故选D.3．有下列命题，其中正确的个数是( )①终边相同的角的同名三角函数值相等；②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；④不相等的角，同名三角函数值也不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，由诱导公式一可得正确； 对于②，由sin 30°＝sin 150°＝12， 但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同， 但sin 60°＝sin 120°＝32，所以③错误； 对于④，由③中的例子可知④错误．4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为( )A ．－34 B.34 C ．－32 D.14答案 B解析 由诱导公式可得，sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30° ＝12×32＝34，故选B. 5．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z答案 B解析 由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为 ．答案 －4 3解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4， 又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a 4＝3，∴a ＝－4 3. 7．点P (tan 2 019°，cos 2 019°)位于第 象限．答案 四解析 因为2 019°＝5×360°＋219°，所以2 019°与219°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 019°>0，cos 2 019°<0，所以点P 位于第四象限．8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是 ． 考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 (－2,3]解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 9．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解 根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，所以a ＝5，所以P (12,5)．这时r ＝13，所以sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.10．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.11．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵P 点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ<0，sin θ·cos θ>0，则有sin θ<0且cos θ<0，∴角θ位于第三象限．12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A 解析 由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3， cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.13．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 解析 因为cos x ＝|cos x |，所以cos x ≥0，所以角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 14．已知角α的顶点为坐标原点，以x 轴的非负半轴为始边，它的终边过点⎝⎛⎭⎫12，－32，则sin α＝ ，cos α＝ . 答案 －32 12 解析 由三角函数的定义得r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝14＋34＝1， 则sin α＝y r ＝－32，cos α＝12.15．α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2在第二、四象限． 又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2， 所以cos α2<0. 所以α2在第二象限． 16．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解 (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0， 由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
高一数学知识模块——必修第一册第五章《三角函数》学习要点详解
高一数学知识模块——必修第一册第五章《三角函数》学习要点详解1.高考考点：（1）三角函数定义；（2）三角函数运算；（3）三角函数图像与性质。
2.知识模块学习要点基本概念部分：（1）弧度制，是一种度量制度。
而度量制度的核心内容是度量单位大小的规定，所以这里面第一个要理解的是“1弧度角”的规定。
下面的内容就是在弧度制下公式的简化（简化后的两个公式）以及弧度制与角度制的换算。
换算关系可以用前面的第一个公式求出半圆所对圆心角的弧度数推算出来。
（2）定义，新教材与老教材定义方式有所不同，由于以前的很多考察定义的题目还会遇到，所以两个定义方式最好都掌握。
定义必须要背记下来，在后面是学习中比较有用。
比如用定义可以解决:相限角三角函数值的符号判断，同角三角函数的关系以及诱导公式的推导与应用。
应用提示，看到“角的终边”的题目就关联定义。
基本运算部分：四组公式，重点掌握公式应用的方法。
（1）同角三角函数关系。
应用提示，公式应用方法一，对分式分子分母同除角的余弦实现正余弦化为正切，减少未知量个数，不是分式的将分母视为1用公式化为分式。
公式应用方法二，对含同角正余弦等式两边平方，配凑出第一个公式的形式，实现化简目的。
（2）诱导公式。
学法建议：用三角函数定义（新教材）推导课本上六组诱导公式3-5遍就能记住公式，再用诱导公式将0°～90°之间的五个特殊角推广到0°～360°之间的17个特殊角，重复三遍记住特殊角三角函数值。
应用提示，真正理解“奇变偶不变”的含义，解题时试着“把未知角用已知角表示”实现条件与结论的关联。
(3)两角和与差的三角函数。
推导3-5遍，并逆向默写公式3-5遍，熟记公式。
应用提示，公式应用一，角的拆分。
拆分的第一种情形有已知角和未知角，“把未知角用已知角表示”；拆分的第二种情形没有已知角，“将一次项拆分”。
公式应用二，辅助角公式，“同角齐次”优先考虑使用辅助角公式。
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第五章三角函数
1. 任意角{（按逆时针方向旋转形成的角）（不作任何旋转形成的角）（按顺时针方向旋转形成的角）
2象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为;（用弧度制表示）
第二象限角的集合为;（用弧度制表示）
第三象限角的集合为;（用弧度制表示）
第四象限角的集合为;（用弧度制表示）
3. 使角α的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称角α为第几象限角，终边落在坐标轴上的角α被称为轴线角。
终边在x轴非负半轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在x轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在y轴非负半轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在y轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在x轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在y轴的角的集合;（用弧度制表示）
终边在坐标轴的角的集合;（用弧度制表示）
4.终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为;（用弧度制表示）．
5.弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6.角度与弧度互化公式：
2π=()°π=()°1=()°1°=()
7.扇形公式
半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是．
8三角函数的概念
设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是()
,x y，它与原点的距离是r
r=(r、x、y之间的关系)
则sinα=;cosα=;tanα=
9.三角函数在各象限的符号;
10.计算特殊角的三角函数值：
11同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： ; （2）商数关系： ;
12诱导公式
口诀： ;
(1)sin (2kπ+α)= ; cos (2kπ+α)= ; tan (2kπ+α)= ; (2)sin (π+α)= ; cos (π+α)= ; tan (π+α)= ; (3)sin (−α)= ; cos (−α)= ; tan (−α)= ;
(4)sin (π−α)= ; cos (π−α)= ; tan (π−α)= ;
(5)sin (π2−α)= ; cos (π2−α)= ; tan (π
2−α)= ;
(6)sin (π
2+α)= ; cos (π
2+α)= ; tan (π
2
+α)= ;
14两角和差的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin(α+β)=;
(2)sin(α−β)=;
(3)cos(α+β)=;
(4)cos(α−β)=;
(5)tan(α+β)=;
(6)tan(α−β)=;
15二倍角公式：
(1)sin 2α= ;
(2)cos2α= = = ; (3)tan2α= ; 16半角公式：
(1)sin 2α= ; sin 2α
2= ;
(2)cos 2α= ; cos 2α
2= ;
(3)tan 2α= ; tan 2α2
= ;
17辅助角公式：
asinx +bcosx = ;
18函数b x A y ++=)sin(ϕω的图象与性质： 图象变换： 先平移后伸缩
函数sin y x =的图象 得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 先伸缩后平移
函数sin y x =的图象 得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象 得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 五点法画图
函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：
①定义域为 ；②值域为 ；③单调性：根据函数x y sin =的单调区间求函数的
单调区间；④奇偶性：当Z k k ∈=,πϕ时，函数()sin y x ωϕ=A +是 ；当Z k k ∈+=,2
ππ
ϕ时，
函数()sin y x ωϕ=A +是 ；⑤周期： ；⑥对称性：根据函数x y sin =的对称性研究函数的对称性
17函数B x A y ++=)sin(ϕω的应用
①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．
⑥最值：函数B x A y ++=)sin(ϕω，当 时，取得最小值为min y ；当 时，取得
最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<．。