2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第七章概率第1节随机现象与随机事件第4课时随机事件的运算

第七章 §1 1.4A 组·素养自测一、选择题1．设M ，N ，P 是三个事件，则M ，N 至少有一个不发生且P 发生可表示为( A ) A ．(M －∪N －)PB ．(M －N －)PC ．(M －∪N －)∪PD ．(M －N )∪(M N －)2．掷一枚骰子，设事件A ＝{出现的点数不大于3}，B ＝{出现的点数为偶数}，则事件A 与事件B 的关系是( B )A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{出现的点数为2}C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 是对立事件[解析] 由题意事件A 表示出现的点数是1或2或3；事件B 表示出现的点数是2或4或6．故A ∩B ＝{出现的点数为2}．3．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶[解析] 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．4．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( D )A ．取出2个红球和1个白球B ．取出的3个球全是红球C ．取出的3个球中既有白球也有红球D ．取出的3个球不止一个红球[解析] 从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D ．5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A ＝{两弹都击中飞机}，事件B ＝{两弹都没击中飞机}，事件C ＝{恰有一弹击中飞机}，事件D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( D )A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B ∪D．6．(多选)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(BD)A．至少有1个红球与都是红球B．至少有2个红球与都是白球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．恰有1个红球与恰有2个红球[解析]A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，则它们是互斥事件，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以B项符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．二、填空题7．(2021·安徽省安庆市联考)某人打靶时连续射击三次，击中靶心分别记为A，B，C，不中分别记为A，B，C，则事件“恰有两次击中靶心”可记为__A BC∪A B C∪AB C __．[解析]事件“恰有两次击中靶心”说明有两次击中，且有一次未击中．根据未击中的情形进行分类：当第一次未击中时，“恰有两次击中靶心”为A BC；当第二次未击中时，“恰有两次击中靶心”为A B C；当第三次未击中时，“恰有两次击中靶心”为AB C．故所求事件A BC∪A B C∪AB C．8．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是__1__．[解析]命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次发现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．9．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为__B∪D∪E__．[解析]由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E．三、解答题10．某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习，记A i＝{第i次投中篮筐}(i＝1,2,3)，试用A i(i＝1,2,3)表示事件：(1)B j＝{连续3次投篮中恰好有j次投中篮筐}(j＝0,1,2,3)；(2)C k＝{连续3次投篮中至少有k次投中篮筐}(k＝0,1,2,3)．[解析](1)B0表示“连续3次投篮，均没有投中”，故B0＝A1A2A3；B1表示“3次投篮恰有1次投中，其他2次均未投中”，故B1＝A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3；B2表示“3次投篮有1次没投中，其他2次都投中”，故B2＝A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3；B3表示“3次投篮都投中”，故B3＝A1A2A3．(2)C0表示“连续3次投篮，至少有0次投中”，这是必然事件，故C0＝A1∪A1∪A2∪A2∪A3∪A3；C1表示“连续3次投篮，至少有1次投中”，故C1＝A1∪A2∪A3；C2表示“连续3次投篮，至少有2次投中”，故C2＝A1A2∪A2A3∪A1A3；C3表示“连续3次投篮，3次都投中”，故C3＝A1A2A3．11．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．B 组·素养提升一、选择题1．某人射击一次，设事件A 为“击中环数小于4”，事件B 为“击中环数大于4”，事件C 为“击中环数不小于4”，事件D 为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是( D )A ．A 与B 为对立事件B ．B 与C 为互斥事件 C ．C 与D 为对立事件 D ．B 与D 为互斥事件[解析] “击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”不能同时发生，所以为互斥事件．2．如果事件A ，B 互斥，记A －，B －分别为事件A ，B 的对立事件，那么( B )A ．A ∪B 是必然事件B ．A －∪B －是必然事件C ．A －与B －一定互斥D ．A －与B －一定不互斥[解析] 利用集合V enn 图可知B 正确．3．设H ，E ，F 为三个事件，H －，E －，F －分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为( B )A ．H ＋E ＋FB ．H E －F －＋H －E F －＋H － E －FC ．HE F －＋H E －F ＋H －EFD ．H －＋E －＋F －[解析] “恰有一个发生”是指三个事件中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B ．4．(多选题)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A 表示“恰有一件次品”；事件B 表示“至少有两件次品”；事件C 表示“至少有一件次品”；事件D 表示“至多有一件次品”．则下列说法正确的是( AB )A ．A ∪B ＝CB ．B ∪D 是必然事件C ．A ∩B ＝CD ．A ∩D ＝C[解析] 事件A ∪B 表示“至少有一件次品”，即事件C ，所以A 正确；事件B ∪D 表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，所以B 正确；事件A ∩B ＝∅，所以C 不正确；事件A ∩D 表示“恰有一件次品”，即事件A ，所以D 不正确．二、填空题5．掷一枚质地均匀的骰子，记A 为事件“落地时向上的数是奇数”，B 为事件“落地时向上的数是偶数”，C 为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是__A ，B __，是对立事件的是__A ，B __．[解析] A ，B 既是互斥事件，也是对立事件．6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A ＝{出现1点}；B ＝{出现2点}；C ＝{出现3点}；D ＝{出现4点}；E ＝{出现5点}；F ＝{出现6点}；G ＝{出现的点数不大于1}；H ＝{出现的点数小于5}；I ＝{出现奇数点}；J ＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1)B __⊆__H ；(2)D __⊆__J ；(3)E __⊆__I ；(4)A __＝__G ．[解析] 当事件B 发生时，H 必然发生，故B ⊆H ；同理D ⊆J ，E ⊆I ，而事件A 与G 相等，即A ＝G ．7．若掷红、蓝两颗骰子，事件A ＝“红骰子点数大于3”，事件B ＝“蓝骰子点数大于3”，则A∩B＝__{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}__．(记在点的坐标(x，y)中，x表示红骰子出现的点数，y表示蓝骰子出现的点数)三、解答题8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．(1)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(2)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？[解析](1)因为R⊆R1，所以事件R1包含事件R；因为R∩G＝∅，所以事件R与事件G互斥；因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事件M与事件N互为对立事件．(2)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．9．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果．[解析]在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D ＝A2∪A4∪A6．(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅．B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}，C∩D＝∅．A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．。