北师大版九年级数学下册 第2章 2.4 二次函数的应用 第1课时 图形面积的最大值 导学案
北师大初中数学九下2.4二次函数的应用PPT课件1
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
y 100 x600 பைடு நூலகம்5x 5x2 100x 60000 5x 102 60500.
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的 棵数之间的关系.? 3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
1 3
14
Y/个
？ 你能根据表格中的数据作出猜想吗
做一做
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时 间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件. 设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
北师大版 九年级（下）
4 二次函数的应用（2）
想一想
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在 某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单 价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?
北师大版九年级数学下册 (二次函数的应用)二次函数课件(第1课时)
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大 利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
练一练
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇
窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗 角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的 窗户？
练一练
课堂练习
D
B
课堂练习
3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分 开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝___1_5__0___m时，矩 形土地ABCD的面积最大．
课堂练习
课堂练习
解：（2）由题意得：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时， 水位上升的高度为：0.25×7=1.75米. ∵1.75＜3 ∴船的速度不变，它能安全通过此桥.
课堂小结
转化
实际问题
回归
（实物中的抛物线形问题）
数学模型 （二次函数的图象和性质）
几何面积 最值问题
一个关键
依据
常见几何图形的面 积公式
课堂练习
6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果 水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式; （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水 位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行 ，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值课件
y O
C A
h
DB x
20 m
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小18m．求 水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利 航行．
课堂小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想 方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
首页
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
首页
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
“拱桥”问题
问题： 如何建立直角坐标系？
l
问题： 解决本题的关键是什么？
巩固练习
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
第1课时 图形面积的最大值来自情景 引入合作 探究
课堂 小结
课后 作业
情景引入
问题： 解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
北师大版九年级数学下册课件：2.4 二次函数的应用
设鸡舍宽x m,长为y m,则 4x-2+2y-2=116,
即2x+y=60,y=60-2x,
S=xy=(60-2x)x =60x-2x2, 化成顶点式为y=-2(x-15)2+450, 当x=15时,面积最大为450 m2.
第二章 二 次 函 数
2.4 二次函数的应用 第1课时
1.经历探究图形或窗户透光中的最大面积问题,体会数学的模
型思想和数学应用价值. 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次 函数关系,进而运用二次函数的图象与性质分析并解决实际 问题.
如图,已知平行四边形ABCD的周长为8 cm,∠B=30°,若 边长AB=x cm,你能写出平行四边形ABCD的面积y(cm2)与x的 关系式吗?能求出y的最大值吗?
1.求解“问题导引”中的问题.
过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.∵∠B=30°,AB=x, ∴AE= x.又∵平行四边形 ABCD 的周长为 8 cm,∴BC=4-x.
������ ������
∴y=AE·BC= x(4-x)=- x +2x=- (x-2) +2(0<x<4).
������ ������ ������
������
������
2
������
2
∵������=- ,∴当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 2.
������
������
2.二次函数中的几何图形问题常见的有:几何图形中面积的最 值、用料的最佳方案以及动态几何中最值的讨论.如题: 一养 鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡 舍,门MN宽2 m,门PQ和RS的宽都是1 m,怎样设计才能使围成的 鸡舍面积最大?
北师版九年级数学下册第2章教学课件：2.4二次函数的应用 (共15张PPT)
怎么解 这个问 题？
步感受了数学建模思想和数学知识的
应用价值．
四、强化训练
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用 砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面 开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时, 养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
xm
2m
四、强化训练
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
4
D
C
30m
bm
2y xb x 3 x 30 3 x2 30x ┐
N
4
4
3 x 202 300.
A xm B
40m
4
或用公式 :当x b 2a
20时, y最大值
4ac b2 4a
300.
一、新课引入个矩形 ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
北师大版九年级数学下册《二章 二次函数 4 二次函数的应用 二次函数在几何方面的应用》公开课教案_10
九年级下册北师大版数学第二章《二次函数的应用》第1课时最大面积问题教学设计学习目标1.知识与技能利用二次函数的知识求实际问题问题的最大（小）值。
2.过程与方法经历探究矩形的最大面积问题的过程，能够运用二次函数的知识解决几何问题中最大（小）值问题，体会二次函数是解决此类问题的最优化的数学模型，并感受数学的应用价值，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用求最值，增强学生解题能力。
3．情感，态度，价值观进一步体会数学与人类社会的密切关系，了解数学的应用价值，增强学生对数学理解和数学应用的信心，培养创新精神和实践能力。
教学重难点1.重点分析和表示不同背景下实际问题中，变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数知识解决实际问题，获得利用数学方法解决几何问题的经验。
2.难点分析和表示不同背景下实际问题中，变量之间的二次函数关系并能正确的求出最值。
教学方法：1.运用合作学习的方式，分组学习和讨论。
2.以问题为主线，引导探索的方式3．调动学生动手操作，帮助理解。
教具准备：锐角，钝角，直角三角形教材分析本节课是在学习了二次函数的概念，图象及性质后，对二次函数性质的应用课。
主要运用二次函数最大值解决最大面积，让学生体会在实际应用中，首先关注自变量的取值范围，其次关注顶点即二次函数图象的最高点（或最低点）再做出正确的判断。
让学生学会用建模的思想去解决其他和函数有关的问题，也为学生在高中进一步学习二次函数、二次方程、二次不等式奠定基础，积累经验。
学情分析九年级学生，已经学习了一次函数和二次函数图像和性质，对函数思想及研究问题的方法有了一定的经验，但在解决实际问题中，当自变量取值受到一定限制时，学生往往忽略取值范围求最值。
本节课正是为了弥补这一不足而设计，目的在于进一步培养学生构建数学模型，解决实际问题的能力。
学生基础参差不齐，个体差异较明显，在教学中要关注不同层次的学生。
学法指导1.理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出其二次函数的数学模型。
学练优九年级下册数学(北师大版)精品教学课件 2.4 第1
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l), 200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当 l b 30 15 2a 2 (1)
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
x
x
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
C
Q
图1
A P 图2 B
2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从
点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从
点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别
从A、B同时出发，那么经过 3 秒，四边形APQC的面积最小.
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
第1课时 图形面积的最大值
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
导入新课
复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(北师大版)数学九年级下册：2.4《二次函数的应用(第一课时)》ppt课件
(1)如果设矩形的一边AD=xcm,那 M
xc3m0cm
么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D
C
时,y的值最大?最大值是多少?
┐
解: 1设AB bcm,易得b 4 x 40.
3
A bc B m 40cm
N
2y xb x 4 x 40 4 x2 40x 4 x 152 300.
4
A xB m40m
N
2y xb x 3 x 30 3 x2 30x 3 x 202 300.
4
4
4
或用公式 :当x b
2020/5/22
2a
20时, y最大值
4ac b2 4a
300.
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上.
2020/5/22
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
2020/5/22
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上. (1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD
M
30m
边的长度如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值
时,y的值最大?最大值是多少?
┐
A
B
40m
2020/5/22
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD M
边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D
C
b30m m
时,y的值最大?最大值是多少?
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值教案
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用教案（新版）北师大版
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用教案（新版）北师大版第一篇：九年级数学下册第2章二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 二次函数的应用教案 (新版)北师大版2.4.1二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排 1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?2解：(1)设AD=bm,易得b=-3x+30.4 33(2)y=xb=x(-x+30)=-x2+30x4432=-(x-20)+300.4b4ac-b2或用公式:当x=-=20时,y最大值==300.2a4a活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：由4y+7x+πx=15.得y=15-7x-πx.4πx215-7x-πxπx2窗户面积S=2xy+=2x()+2427157152=-x2+x =-(x-)22214+225.56b154ac-b2225 当x=-=≈1.07时,s最大值==≈4.02.2a144a56即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．23．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若y= 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】 1.12.5 2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为20-4+22x2()=10-2+2x,()1所以该金属框围成的面积S=2x•⎡10-2+2x⎤+⨯2x•2x⎣⎦2()10当x==30-202时,金属框围成的图形面积最大.3+22此时矩形的一边长为2x=60-402(m),另一边长为10-2+2⨯103-22=102-10(m).()()S最大=300-2002(m2).3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得y＝80（x－22．5）＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8-x=, ∴= CECDxm8x-x2即y=m8x-x212,化成顶点式: y=-(x-4)+2 ⑵当m=8时，y=888x-x12（3）由y=，及y=得关于x的方程: mmx2-8x+12=0，得x1=2，x2=6 ∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．∴y=-2x+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x+40x=210．即x-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴(-20)2-4⨯1⨯105<0，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用 22探究：例题:“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置课本P47练习练习册相关练习八、教学反思第二篇：北师大版2.4 二次函数的应用教案第二章二次函数2.4 二次函数的应用（1）一、知识点1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路.2.求几何图形面积的常见方法.二、教学目标知识与技能：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．过程与方法：1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度：1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．三、重点与难点重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.难点：把实际问题转化成函数模型.四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4）1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x 米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.五、探究新知(放幻灯片5、6、7）探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?ABNMDC探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？DMCBANP探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G 分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?设计意图：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.BDAGEFC六、例题讲解(放幻灯片8、9）某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.（1）用含x的代数式表示；（2）当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m)归纳总结：二次函数应用的思路设计意图：让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤.七、课堂练习八、课堂小结(放幻灯片10）九、课后作业 2第三篇：二次函数的应用教案30.4二次函数应用（第一课时）教学目标知识与技能通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 二次函数的应用 第1课时 二次函数在几何及生活中的应用
7
4
4
4
6 7
)2＋9 7
，∵0＜x＜172
，∴当 x＝67
时，S 最大值＝97
＞1.05，∴与例题比较，改变窗
户形状后窗户透光面积的最大值变大了
6－1－1－1－1
解：(1)由已知可得 AD＝
2
＝5
，则 S＝AB·AD＝1×5
＝5
(m2)
2
4
44
(2)设
AB＝x
m，则
6－3x
AD＝
－12x
＝(3－7
x) m．∵x＞0，3－7
x＞0，∴0＜x
2
4
4
＜12 .设窗户透光面积为 S m2，则 S＝AB·AD＝x(3－7 x)＝－7 x2＋3x＝－7 (x－
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35 m 时，透光面积最大值约为 1.05 m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料 总长仍为 6 m，利用图③，解答下列问题： (1)若 AB 为 1 m，求此时窗户的透光面积； (2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算 说明．
A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 15 秒
9．将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一 25
个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是___2_____cm2.
10．(2022·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小 球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行 时间 t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞 行时间 t＝___2___s.
九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 利用二次函数解决面积问题(第1课时)课件 (新版)北师大版
6．在矩形 ABCD 的各边 AB，BC，CD 和 DA 上分别选取 E，F， G，H 使得 AE＝AH＝CF＝CG，如果 AB＝60，BC＝40，四边形 EFGH 的最大面积是___1_2_5_0__．
7．(2015·安徽)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤 (岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图 所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等 (AE＝2BE)，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
＝
AB2－BH2
＝
16
，
∵
DG
∥
BC
，
∴
△
ADG
∽
△
ABC
，
DG BC
＝
AK AH
，
x 24
＝
16－DE 16
，
∴
DE
＝
16
－
2 3
x
，
∴
y
＝
DE·EF
＝
－
2 3
x2
＋
16x
＝
－
2 3
(x
－
12)2
＋
96(0<x<24)，∵－23<0，∴x＝12 时，矩形面积最大为 96 cm2
Hale Waihona Puke 12．如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为 轴对称图形)，矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD 的 边 长 AB ＝ 4 米 ， ∠ ABC ＝ 60° ， 设 AE ＝ x 米 (0<x<4) ， 矩 形 EFGH的面积为S米2.
2．(2015·贵州)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度 16 m，则所围 成矩形 ABCD 的最大面积是( C )
北师版数学九年级下册教案2.4二次函数的应用 第1课时
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
练一练
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
和AD分别在两直角边上.
M
(1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边
30cm
xcm
的长度如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y
的最大值是多少?
┐ bcm
A
B
N
40cm
知识总结 “二次函数应用”的思路
回顾本节“最大面积”解决问题的过程，你 能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
D分别在两直角边上,BC在斜边上.
M
(1)设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？
C
H
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是 多少?
30cm
D
G
B
P┐
A
N
40cm
典例讲解
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是 矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和) 为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确 到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
┐
A
B
40cm
N
面积何时最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
和AD分别在两直角边上.
M
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长
30cm
bcm
度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的 D
C
最大值是多少?
北师大数学九下课件2.4二次函数的应用(1)
A
D
B
C
巩固练习
4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
为8m，宽为2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 表示。 4
(1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向行车，那么这辆货运卡车是否可以 通过？
巩固练习
4、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽AB =20m，当水位上升3m时，水面高CD=10m。 (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表 达式； (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥 35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行。如果该船的速 度不变，那么它能否安全通过此桥？
BC在斜边上，点A、D分别在两条直角边上。
(1)如果设矩形的一边AB=xm， E
那么AD边的长度如何表示？ 过G作GH⊥EF，垂足为H，交
C H
30m
AD于点I，设AB=xm
可知，EF=50，GH=24 ∴GI=24-x
D
B
I x
∵△ADG∽△FEG
AD EF
GI GH
F
G
A
40m
AD 50
形的面积为ym2，当x取何值时， y有值最大，最大值是多
少？
E
30-x
30m
D
C
x
A
B
F
40m
巩固练习
2、一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型窗架
ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB、
AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ A
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2.4 二次函数与一元二次方程
第1课时图形面积的最大值
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习重点:
本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
学习难点:
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
学习过程:
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
二、课后练习：
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为30m ，宽为20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm ，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym 2，则y 与x 之间的函数表达式是
，自变量x 的取值范围是 ．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是
，最小值是 ，这个函数图象有何特点？ 3．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把3根长度均为100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为16cm 的矩形的最大面积为
，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ． 6．当n= 时，抛物线y=－5x 2＋（n 2－25）x －1的对称轴是y 轴．
7．已知二次函数y=x 2－6x ＋m 的最小值为1，则m 的值是 ．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－3
1x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ． 9．若抛物线y=3x 2＋mx ＋3的顶点在x 轴的负半轴上，则m 的值为
． 10．将抛物线y=3x 2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为
（ ）
A ．y=3（x ＋2）2＋1
B ．y=3（x －2）2－1
C ．y=3（x ＋2）2－5
D ．y=3（x －2）2－2 11．二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A ．（－1，1）
B ．（1，－1）
C ．（－1，－1）
D ．（1，1） 12．如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
13．已知：如图1，D 是边长为4的正△ABC 的边BC 上一点，ED ∥AC 交AB 于E ，DF ⊥AC 交A C 于F ，设DF=x ．
（1）求△EDF 的面积y 与x 的函数表达式和自变量x 的取值范围；
（2）当x 为何值时，△EDF 的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD 上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？。