公式法解一元二次方程---教案

《公式法解一元二次方程》教案

一、教学内容解析

1.具体内容：

《公式法解一元二次方程》这个内容在人教版教材中对应的是九年级上册第一章第三节《公式法》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.

本节课的教学内容包括以下三个方面：

①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；

②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；

③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.

《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.

2.教育价值：

在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社

会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.

从运算的角度看，公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一.各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序.开平方运算不是总能进行的，要根据判别式的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由三个系数来确定.通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式.它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.

3.与相关内容的联系：

方程是初中数学的核心概念，在初中数学中占有重要的地位.在学习一元二次方程之前学生已经学会了解一元一次方程、二元一次方程和分式方程等，积累了一定的解方程的经验，体会到解分式方程时需要通过去分母将分式方程转化为整式方程，渗透了转化的数学思想，为研究一元二次方程的解法奠定了基础.，同时一元二次方程的“公式法”是在学习了直接开方法和配方法之后必须掌握的另一种解一元二次方程的方法，是配方法的一般化和程式化，利用它可以更便捷地解一元二次方程.另外，一元二次方程的解法为高中阶段学习二元二次方程组和一元高次方程的解法提供了方法的引领，发挥着重要的作用.

从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，不仅是对已经学过的实数、整式、二次根式等知识的巩固，也为今后学习二次函

数以及高中阶段的算法等知识奠定基础，起到了承上启下的作用.

二、教学目标

1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；

2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；

3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.

三、学生学情分析

学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.

但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：

1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的

求根公式的过程会遇到困难.

2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b 2-4ac 取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.

3.对 2244-2a ac b a b x ±=+的化简也会存在问题，有些学生会对由

2244-2a ac b a b x ±=+到a

ac b a b x 2422-±=+的变化不理解. 4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a 、b 、c 的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.

四、教学策略分析

策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.

策略2——当推导到2

2a 4ac 4-b ）a 2b （=+2x 这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能

进行开方运算，于是针对22a 4ac

4-b 展开进一步的探讨，渗透分类讨论的

数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.

策略3——对

2244-2a ac b a b x ±=+ 进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为2244a ac

b -的化简结果就是a 2a

c 4-b 2，没有考虑

到4a 2开方的结果是a 2，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对

a

ac b a b x 2422-±=+不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，

∵a ≠0，当a ＞0时2244-2a ac b a b x ±=+ ，当a ＜0时

a

ac b a ac b a b x 2424222-=--±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有2244-2a ac b a b x ±=+ ，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题.

策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a 、b 、c ，再判断b 2-4ac ，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时