精编人教版七年级下数学拔高专题(三)二元一次方程组与不等式结合的方案问题

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拔高专题（三）

二元一次方程组与不等式结合 的方案问

题

教学目标

1. 掌握分析复杂问题中 的等量关系和不等关系，并能根据这些关系列出方程组或不等式（组）

.

2. 能根据实际问题中量 的取值范围，确定方案.

教学过程

一、基本模型构建

问题中 的不等关系： （ 1）实际问题中约定 的关系：物体 的个数是 自然数 ；拖运量 不小于 货物 的总量；生产物品所

需原料 不大于 原料总量 .（ 2）问题中本身提供 的不等关系（关键字眼）

：大于、小于、不超过、不大于、不小于等.

二、拔高探究

探究点一：

探究二元一次方程组与不等式结合列举方案

例 1. （ 2015?庆阳中考）某体育用品专卖店销售 7 个篮球和 9 个排球 的总利润为 355 元，销售 10 个篮球和 20 个排球

的总利润为 650 元．

（ 1）求每个篮球和每个排球 的销售利润；

（ 2）已知每个篮球 的进价为 200 元，每个排球 的进价为

160 元，若该专卖店计划用不超过

17400 元购进篮球和排球共

100 个，且要求篮球数量不少于排球数量 的一半，请你为专卖店设计符合要求 的进货方案．

解：（ 1）设每个篮球和每个排球 的销售利润分别为

7x 9y 355

x 25

x 元， y 元，根据题意得：

20y

，解得：

y

.

10x 650

20

答：每个篮球和每个排球 的销售利润分别为 25 元， 20 元；

（ 2）设购进篮球 m 个，则购进排球 100 m 个，根据题意得：

200m 160 100

m

17400

100 m

，

m

2

解得：

100

m 35 ，∵ m 为自然数， ∴ m=34 或 m=35，

3

∴购进篮球 34 个排球 66 个，或购进篮球 35 个排球 65 个两种购买方案．

【变式训练】 1. （ 2015?桂林中考） “全民阅读 ”深入人心， 好读书， 读好书， 让人终身受益． 为满足同学们 的读书需求，

学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解， 20 本文学名著和 40 本动漫书共需 1520 元， 20 本文学名著比 20 本动漫书多 440 元（注：所采购 的文学名著价格都一样，所采购 的动漫书价格都一样） ．

（ 1）求每本文学名著和动漫书各多少元？

（ 2）若学校要求购买动漫书比文学名著多 20 本，动漫书和文学名著总数不低于

72 本，总费用不超过

2000 元，请求

出所有符合条件 的购书方案．

解：（ 1）设每本文学名著 x 元，动漫书 y 元，根据题意，得

20x 40 y 1520 x 40

.

20x 20y

，解得：

18

440

y

答：每本文学名著和动漫书各为 40 元和 18 元；

（ 2）设学校要求购买文学名著

x 本，则购买 的动漫书为 x

20 本，根据题意可得：

x x 20 72

40x 18 x 20

，

2000

解得： 26 x

820

26，27，28；故有三种方案： 方案一 文学名著 26 本，动漫书 46 本；

，因为 x 为整数， 所以 x

29

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方案二文学名著27 本，动漫书47 本；方案三文学名著28 本，动漫书48 本．

【教师点拨】列不等式组的关键是找到基本模型中的几种不等关系及实际问题中对各种量的要求.

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探究点二： 探究二元一次方程组与不等式结合求“最”方案

例 2. （ 2015?泸州中考）某小区为了绿化环境，计划分两次购进

A 、

B 两种花草，第一次分别购进 A 、 B 两种花草 30

棵和 15 棵，共花费 675 元；第二次分别购进 A 、B 两种花草 12 棵和 5 棵．两次共花费 940 元（两次购进 的 A 、B 两种 花草价格均分别相同） ．

（ 1）A 、 B 两种花草每棵 的价格分别是多少元？

（ 2）若购买 A 、B 两种花草共 31 棵，且 B 种花草 的数量少于

A 种花草 的数量 的 2 倍，请你给出一种费用最省 的方案，

并求出该方案所需费用．

解：（ ）设

种花草每棵 的价格 x 元，

B 种花草每棵 的价格

y 元，根据题意得：

1A

30x 15y 675

，解得：

x 20

12x 5y

940 675y

.

5

∴ A 种花草每棵 的价格是 20 元， B 种花草每棵 的价格是 5 元．

（ 2）设 A 种花草 的数量为 m 株，则 B 种花草 的数量为 （31﹣ m ）株，∵ B 种花草 的数量少于 A 种花草 的数量 的 2 倍，

∴ 31﹣m ＜ 2m ，解得：m ＞ ，∵ m 是正整数，∴ m 最小值 =11，设购买树苗总费用为 W 元，则 W=20 m+5（ 31﹣ m ）=15m+155， ∴ m 的值越大， W 的值也越大，∴当 m 取最小值 11 时， W 的值最小， W 最小值 =15×11+155=320（元）．

答：购进 A 种花草 的数量为 11 株、 B 种 20 株，费用最省；最省费用是 320 元．

【变式训练】 2. “保护好环境，拒绝冒黑烟 ”．某市公交公司将淘汰某一条线路上 “冒黑烟 ”较严重 的公交车，计划购买

A

型和 B 型两种环保节能公交车共

10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆， B 型公交车 2 辆，共需

400 万元；若购买 A 型公交

车 2 辆， B 型公交车 1 辆，共需 350 万元． 21*cnjy*com （ 1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？

（ 2）预计在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次．若该公司购买 A 型和 B 型公

交车 的总费用不超过 1200 万元，且确保这

10 辆公交车在该线路 的年均载客总和不少于

680 万人次，则该公司有哪几

种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

解：（ 1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，由题意得

x 2 y

400

x 100

2x y

，解得

y

.

350

150

答：设购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需

150 万元．

（ 2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（ 10﹣ a ）辆，由题意得

100a 150 10 a 1200

，解得： 6

a 8

，∵ a 为自然数，所以 a=6， 7， 8；则 10﹣ a=4，3， 2；

60a 100 10 a

680

∴三种方案：

① 购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交车 4 辆： 100×6+150×4=1200 万元； ② 购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3 辆： 100×7+150×3=1150 万元； ③ 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆： 100×8+150×2=1100 万元；

故购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆费用最少，最少总费用为 1100 万元．

【教师点拨】 在求出符合条件 的方案后，根据方案个数 的实际情况求“最”方案：若个数较少，可逐个求出各方案 的相关总量；若个数较多，则根据总量与未知数 的关系式确定 .