高一数学新教材解含参一元二次不等式练习及答案

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一元二次不等式解法练习题及答案

高一数学一元二次不等式例题例1 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤32 (3)∅ (4)R (5)R【介绍定义域】例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6解 x ≥3或x ≤－2．练习：例3 若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（）[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa 11分析比较与的大小后写出答案．a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a【求a 、b 的值】例4 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a a ()()1211122×得 a b ==-1212，．练习：1、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 2、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．3、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0选B ．【有关判别式】例7、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2- 例8、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥。

2022高一必修第一册第2章一元二次不等式教师版有答案

第2讲一元二次函数方程和不等式专题复习要点一不等关系与不等式不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.【例1】(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A.ab>acB.c(b－a)>0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0答案 C解析因为c <a ，且ac <0，所以c <0，a >0. A 成立，因为c ac . B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立. D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0. (2)已知2<a <3，－20，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab ，因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )>0，即a 2b ＋b 2a >a ＋b .要点二基本不等式的应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例2】设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 8解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.【训练2】已知x >0，y >0，且x ＋3y ＝1，则x ＋yxy 的最小值是________. 答案 23＋4 解析x ＋y xy ＝1y ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x (x ＋3y )＝4＋3y x ＋xy ≥4＋23，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3y x ＝x y ，x ＋3y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12，y ＝3－36时取“＝”号.要点三恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法：将参数分离转化为求解最值问题.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.【例3】已知y ＝x 2＋mx －6，当1≤m ≤3时，y <0恒成立，那么实数x 的取值范围是________. 答案－3＜x ＜－3＋332解析 ∵1≤m ≤3，y <0， ∴当m ＝3时，x 2＋3x －6<0，由y ＝x 2＋3x －6<0，得－3－332<x <－3＋332；当m ＝1时，x 2＋x －6<0，由y ＝x 2＋x －6<0，得－3<x <2. ∴实数x 的取值范围为－3<x <－3＋332. 【训练3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，－1≤a ≤1恒成立的x 的取值范围.解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.设关于a 的一次函数为y ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为y >0，当－1≤a ≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则y ＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x ≠3，则由一次函数的图象，可得⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}.破解不等式“恒成立”“能成立”问题解决不等式恒成立、能成立问题，常常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 类型一 “Δ”法解决恒成立问题【例1】 (1)已知不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若不等式－x 2＋2x ＋3≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx －(k ＋2)，由y <0恒成立， ∴其图象都在x 轴的下方，即开口向下，且与x 轴无交点. ∴⎩⎨⎧k <0，4k 2＋4k （k ＋2）<0，解得－1<k <0.综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}. (2)原不等式可化为x 2－2x ＋a 2－3a －3≥0 ， ∵该不等式对任意实数x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a 2－3a －3)≤0，即a 2－3a －4≥0，解得a ≤－1或a ≥4，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ≥4}. 类型二数形结合法解决恒成立问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x >2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值范围. 解 (1)∵m ＝1，∴f (x )＝x 2－x －2. ∴x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0，解得x ≤－1或x ≥2.故f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}.(2)f (x )≥－1，即x 2－mx ＋2m －3≥0在x >2恒成立，①若m2≤2，即m≤4，则如图.只需f(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若2m>2，即m>4，则如图.则需Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6.综上所述，m的取值范围为(－∞，6].类型三分离参数法解决恒成立问题【例3】“∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为() A.a≤2 2 B.a≤－22C.a≥2 2D.a≥－22答案A解析由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－2 x，因为－x－2x＝(－x)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2x≥2（－x）×⎝⎛⎭⎪⎫－2x＝22，当且仅当－x＝－2 x，即x＝－2时等号成立，所以a≤2 2.类型四主参换位法解决恒成立问题【例4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.解设关于m的函数y ＝mx 2－mx －6＋m ＝(x 2－x ＋1)m －6. 由题意知y <0对1≤m ≤3恒成立. ∵x 2－x ＋1>0，∴y 是关于m 的一次函数，且在1≤m ≤3上随x 的增大而增大， ∴y <0对1≤m ≤3恒成立等价于y 的最大值小于0，即(x 2－x ＋1)·3－6<0⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52.∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.类型五转化为函数的最值解决能成立问题【例5】若存在x ∈R ，使得4x ＋mx 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围.解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立， ∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2， ∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}.尝试训练1.在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )，若任意x ∈R 使得(x －a )⊗(x ＋a )<1成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－12或a >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－12<a <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－32<a <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－32或a >12 答案 B解析由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a <1，即－x 2＋x ＋a 2－a －1<0在R 上恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)＝(2a －3)(2a ＋1)<0，解得－12<a <32.2.已知不等式x 2－mx ＋4>0对任意的x >4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.{m |m ≤5}B.{m |m <5}C.{m |m ≤4}D.{m |m <4}答案 A解析若不等式x 2－mx ＋4>0对于任意的x >4恒成立，则m <x ＋4x 对于任意的x >4恒成立， ∵当x >4时，x ＋4x ∈(5，＋∞)，∴m ≤5，即实数m 的取值范围是{m |m ≤5}.3.若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是( ) A.94<a <259 B.94<a ≤259 C.259<a <4916 D. 259<a ≤4916答案 B解析原不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，由题意，知⎩⎨⎧Δ＝（－4）2－4（－a ＋4）＝4a >0，－a ＋4>0，解得0<a <4，又原不等式的解集为12＋a <x <12－a，且14<12＋a<12，则1，2为原不等式的整数解，所以2<12－a ≤3，解得94<a ≤259.4.已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，则a 的取值范围是( ) A.{a |a ≥1} B.{a |－1≤a <4} C.{a |a ≥－1} D.{a |－1≤a ≤6}答案 C解析不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，a ≥t －2t 2在1≤t ≤3时恒成立， y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，a ≥－1，故a 的取值范围是{a |a ≥－1}.课后巩固测试(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A.ac >bd B.a －c >b －d C.a ＋c >b ＋d D.a d >b c答案 C解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 2.不等式1x <12的解集是( ) A.{x |x <2} B.{x |x >2} C.{x |0<x <2} D.{x |x <0或x >2} 答案 D解析由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D.3.已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A.1B.－1C.0D.－2答案 C解析易知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a ＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴a ＋b ＝0.4.若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.ba >1 C.a 20，b >0，且满足a 3＋b4＝1，则ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析因为a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1，所以1≥2a 3·b 4，化为ab ≤3，当且仅当a ＝32，b ＝2时取等号，则ab 的最大值是3.6.设实数1<a <2，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.{x |3a <x <a 2＋2} B.{x |a 2＋2<x <3a } C.{x |3<x <4} D.{x |3<x <6}答案 B解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵1<a <2，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为{x |a 2＋2<x <3a }.故选B.7.已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 2a ＋1b ＝2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号.又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.8.若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( )A.{x |x <－2或x >1}B.{x |1<x <2}C.{x |x <－1或x >2}D.{x |－1<x <2} 答案 C解析 ∵不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a （x ＋1）x －2>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.已知a >b >c ，下列不等关系不成立的是( )A.ac ＋b 2>ab ＋bcB.ab ＋bc >b 2＋acC.ac ＋bc >c 2＋abD.a 2＋bc >b 2＋ab 答案 ACD解析对于A ，若ac ＋b 2>ab ＋bc ，则ac －bc >ab －b 2，即c (a －b )>b (a －b )，不成立；对于C ，若ac ＋bc >c 2＋ab ，则ac －c 2>ab －bc ，即c (a －c )>b (a －c )，不成立；对于D ，若a 2＋bc >b 2＋ab ，则a 2－ab >b 2－bc ，即a (a －b )>b (b －c )，若a ＝4，b ＝3，c ＝1，不成立.故选ACD.10.设a >b >1，c <0，给出下列四个结论正确的有( )A.c a >c bB.ac <bcC.a (b －c )>b (a －c )D.a c >b c答案 ABC解析 A.∵a >b >1，c <0，∴c a －c b ＝c （b －a ）ab>0， ∴c a >c b ，故正确；B.∵－c >0，∴a ·(－c )>b ·(－c )，∴－ac >－bc ，∴ac <bc ，故正确；C.∵a >b >1，∴a (b －c )－b (a －c )＝ab －ac －ab ＋bc ＝－c (a －b )>0，∴a (b －c )>b (a －c )，故正确；D.a c －b c ＝a －b c ，又a －b >0，c <0，所以a －b c <0，即a c 0，b >0，与不等式－b <1x <a 不等价的是( )A.－1b <x <0或0<x <1aB.－1a <x <1bC.x <－1a 或x >1bD.x <－1b 或x >1a答案 ABC解析若x >0，则不等式－b <1x <a 等价为1x <a ，即x >1a ，若x <0，则不等式－b <1x <a 等价为－b <1x ，即x <－1b .12.对于a >0，b >0，下列不等式中正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB.ab ≤a 2＋b 22C.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 BCD解析当a >0，b >0时，因为21a ＋1b≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.不等式x 2－2x <0的解集为________.答案 {x |0<x <2}解析不等式x 2－2x <0可化为x (x －2)<0，解得：0<x <2，∴不等式的解集为{x |0<x <2}.14.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.答案 5解析二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立.15.一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________(第一空2分，第二空3分). 答案 18 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 解析由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，故a b ＝18. 不等式ax ＋b <0即为2x －3<0，所以x <32.16.若关于x 的不等式x 2－mx ＋m ＋2>0对－2≤x ≤4恒成立，则m 的取值范围是________.答案 {m |2－23<m <2＋23}解析设y ＝x 2－mx ＋m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24＋m ＋2， ①当m 2≤－2，即m ≤－4时，当x ＝－2时，y 的最小值为4＋2m ＋m ＋2＝3m ＋6>0，m >－2，又m ≤－4，∴无解；②当－2<m 2<4，即－4<m <8时，当x ＝m 2时，y 的最小值为－m 24＋m ＋2>0，解得2－23<m <2＋23，又－4<m <8，∴2－23<m <2＋23； ③当m 2≥4，即m ≥8时，当x ＝4时，y 的最小值为16－4m ＋m ＋2＝18－3m >0，∴m <6，又m ≥8，∴无解.综上，m 的取值范围为{m |2－23<m <2＋23}.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)当x >3时，求2x 2x －3的最小值. 解 ∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2（x －3）2＋12（x －3）＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22（x －3）·18x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立，∴2x 2x －3的最小值为24. 18.(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.19.(本小题满分12分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解设这辆汽车刹车前的车速为x km/h.根据题意，有118x ＋1180x 2≥40，移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.即(x －80)(x ＋90)≥0.故得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.20.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立.证明因为a ，b ，c 均为正数，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原不等式等号成立.21.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN 上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD 的学生公寓，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，假设AB 长度为x 米.(1)要使矩形学生公寓ABCD 的面积不小于144平方米，AB 的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？解(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以DCAM＝NDNA，即x30＝20－AD20，则AD＝20－23x.故矩形ABCD的面积为S＝20x－2 3x 2.根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，即S＝20x－23x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故AB的长度应在12米～18米内.(2)S＝20x－23x2＝23x(30－x)≤23⎝⎛⎭⎪⎫30－x＋x22＝150，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.此时AD＝20－23x＝10.故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.22.(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)求证y1＝－a或y2＝－a；(2)求证函数的图象必与x轴有两个交点；(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0. (1)证明∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.(2)证明当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，∴图象与x轴有两个交点；当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，∴图象与x轴有两个交点.∴二次函数的图象必与x 轴有两个交点.(3)解 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >m 或x <n }(n <m <0)， ∴a >0且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为m ，n ，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a ，∴m ＋n mn ＝－b c 且c >0，∴cx 2－bx ＋a >0即x 2－b c x ＋a c >0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n mn x ＋1mn>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0. ∵n <m <0，∴－1n <－1m ，∴不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－1m 或x <－1n .。

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高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa()()1211122×得a b ==-1212，．例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()分析将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32(3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -答选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解先将原不等式转化为3723202xx x-+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x xx xx xx x002x x12(x)022∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2 ≤，若，求的范围．0}B A a⊆分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a⊆解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)(1)B B A0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．(2)B(*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x}{x|1x4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2ax 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2ax 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x ≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．又×，b a a c b c= ∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1分析将一边化为零后，对参数进行讨论．解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．(1)当a ＞0时，不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅答填{x|x ＜－1或x ＞4}．例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ] A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查。

高中数学第二章等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法精品练习(含解析)新

2.2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一不含参数的一元二次不等式的解法1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 2．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0；(4)－12x 2＋3x －5>0.知识点二含参数的一元二次不等式的解法3.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 4．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，若A B ，则a 的取值X 围是________.知识点三三个“二次”间的关系及应用6.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}7．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－128．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫322．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1}3．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．34．若不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2－x －c 的图像为( )5．(易错题)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．－3<k <0B ．－3≤k <0C ．－3≤k ≤0 D．－3<k ≤06．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2 二、填空题7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 9．(探究题)关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值X 围是________________．三、解答题10．已知y ＝ax 2＋x －a .(1)若函数y 有最大值178，某某数a 的值；(2)若不等式y ＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)＞0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞) 2．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值X 围是________．3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.2．2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练1．解析：原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.答案：D2．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.3．解析：∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m，故选D. 答案：D4．解析：原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}．答案：{x |x <－a 或x >1}5．解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}；当a ≤1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，A B 不成立；当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若A B ，须a >2.答案：a >26．解析：由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案：D7．解析：由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12. 答案：D8．解析：由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.答案：D关键能力综合练．1．解析：原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32.故选D.答案：D2．解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2＜0.∴t ＜2. ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2. 答案：A3．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：A4．解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.答案：B5．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是－3<k ≤0. 答案：D6．解析：根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故x 的取值X 围为－2<x <1.答案：B7．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1. 答案：{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}8．解析：可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)．答案：－3 －39．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值X 围是m <0.答案：{m |m <0}10．解析：(1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)由y ＞－2x 2－3x ＋1－2a ，得 (a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0.当a ＝－2时，不符合题意；当a ≠－2时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，解得a ＞2.综上，a 的取值X 围为(2，＋∞)．学科素养升级练1．解析：对于a (x －a )(x ＋1)＞0，当a ＞0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a 和－1，故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下，若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a ＜0，不等式的解集为(－1，a )；若a ＜－1，不等式的解集为(a ，－1)；综上，ABCD 都成立．答案：ABCD2．解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k ＜2.答案：[－3,2)3．解析：∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[(x ＋a －1)]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。

高考数学一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________；（2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集．变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于（）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（）A 、11a -<或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（）A 、{}23x x <12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为（） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．（3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2；由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<，得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7，又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数，即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ，此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求；当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。

一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y =（2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为：（1）当324324+<<-a 时，解集为R ；（2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)；（3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)；（4）当324-<a 或324+>a 时，解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )；二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故（1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a；（3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为： ①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时，此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax x aa 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ; ③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)；（2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); （4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(* 1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。

高一数学一元二次不等式解法练习题及解答

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。

当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。

2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。

3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。

3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。

对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。

例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。

例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。

例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。

又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。

高一数学一元二次不等式试题答案及解析

高一数学一元二次不等式试题答案及解析1.设函数（其中），区间.（Ⅰ）定义区间的长度为，求区间的长度；（Ⅱ）把区间的长度记作数列，令，（1）求数列的前项和；（2）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2);.【解析】(1)掌握一元二次不等式的解法；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题解析：解：（Ⅰ）由，得，解得，即，所以区间的长度为； 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知.（1）∵∴6分（2）由（1）知，，，假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则，即, 经化简得.∴∴（*）当时，（*）式可化为，所以.当时，.又∵，∴（*）式可化为，所以此时无正整数解.综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，. 10分【考点】（1）一元二次不等式的解法；（2）裂项法求和；(3)证明存在性问题.2.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，故选A.【考点】解一元二次不等式.3.已知集合若，则实数m的取值范围是（）【答案】当时，m的取值范围是【解析】思路分析:因为，，所以，应注意讨论或的情况。

①当时，方程无实根，只需判别式小于0.②当，时，方程的根为非负实根，利用一元二次方程根的分布加以讨论。

解:①当时，方程无实根，所以所以②当，时，方程的根为非负实根，设方程的两根为则即解得综上，当时，m的取值范围是【考点】集合的运算，不等式（组）的解法。

点评：中档题，本题易忽视的情况而出错。

当，时，注意结合二次函数的图象和性质，讨论根的分布情况。

解含有参数的一元二次不等式问题

解含有参数的一元二次不等式问题例1．解关于x 的不等式x 2-ax -30a 2<0．解：解方程x 2-ax -30a 2=0，得x 1=-5a ，x 2=6a ．当a >0时，-5a <6a ，解集为：{x |-5a <x <6a }；当a >0时，6a <-5a ，解集为：{x |6a <x <-5a }．当a =0时，原不等式为x 2<0，解集为：Φ．注：对含有字母的不等式，其一元二次方程的两根大小不能确定时，要注意讨论．例2．已知不等式11<-x ax 的解集为{x |x <1，或x >2}，则a 的值为 ( ) (A )a <21 (B )a >21 (C )a =21 (D )a =-21 解：原不等式整理为 011)1(<-+-x x a ．它等价于[(a -1)x +1](x -1)<0，由于原不等式的解集为{x |x <1，或x >2}，∴a -1<0．∴a <1且-211=-a ，得a =21．故选 (C )．注：含有字母的不等式在进行变换时，要特别注意首项系数的正负，因为它能左右不等式解集的正确与否．例3．解关于x 的不等式1-x x <1-a (a ∈R )．解：∵x -1的值的符号无法确定，所以不能直接去分母，可将原不等式变形为1-x x -(1-a )<0，即11--+x a ax <0． (1)当a >0时，不等式两侧同除以a ，得011<--+x a a x ，它等价于01)1(<⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a x x ． ∵a >0，a a a 111-=--<0，∴11<-aa ．这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ． (2)当a =0时，原不等式为011<-x ，则解集为{x |x <1}． (3)当a <0时不等式的两边同除以a ，则011>---x a a x ，当a <0时，0111>-=--a a a ，∴11>-aa ．这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或．综上所述，可得当a >0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ；当a =0时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a <0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或．注：不等式的两边不能盲目乘以或除以一个字母或含有未知数的因式，除非已知它们的正负．例4．已知集合A ={x |x 2-3x -10}，B ={x |2m -1<x <3m +2}且A B =∅，求实数m 的取值范围．分析：将A 化为{x |x ≤-2或x ≥5}，由于A B =∅，所以可分为B ≠∅或B =∅两种情况求解．解：A ={x |x ≤-2或x ≥5}，当B ≠∅时，∵A B =∅，∴⎩⎨⎧≤+-≥-523212m m ．由此得 -21≤m ≤1．当B =∅时，此时A ∅=∅，∴2m -1≥3m +2．由此得到m ≤-3．综上所述，可得实数m 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--≤121,3m m m 或．例5．已知集合A ={x |x 2-5x +4≤0}与B ={x |x 2-2ax +a +2≤0，a ∈R }满足B ⊆A ，求a 的取值范围．解：由已知，得A ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}，记f (x )=x 2-2ax +a +2，它的图象是一条开口向上的抛物线．(1)若B =∅，显然有B ⊆A ，此时抛物线与x 轴无交点，故∆=4a 2-4(a +2)<0，∴-1<a <2． (2)若B ≠∅，再设抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2且x 1<x 2．欲使B ⊆A ，应有[x 1，x 2]⊆[1，4]，观察图形可知，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≥++⋅-=≥++⋅-=≥+-=∆422102424)4(02121)1(0)2(44222a a a f a a f a a ，解得2≤a ≤718．综合(1)、(2)得a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-7181a a ． 1 x 1 x 2 4 y x O。

含参数的一元二次不等式题(答案)

一元二次不等式参考例题（2）1．(1)解不等式121≤-xx （}0,1|{>-≤x x x 或）(2)不等式11<-x ax的解集为}21|{><x x x ，或，求a 的值. （21=a ）2．解下列关于x 的不等式：（1）01)1(2<++-x a a x （2）)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x a x ，且}1|{01,1)3(1)2(}1|{10,1)1(a x ax a a a ax a x a a <<<<->Φ±=<<<<-<时，或当时，当时，或当 }3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当（3）01)1(2<++-x a ax （4）0)2)(2(>--ax x }11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当（5）012<++x ax （6）)(11R a a x x∈-<-Φ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a aax a a x x a }1,1|{0)3(}1|{0)2(}11|{0)1(a a x x x a x x a x aa x a -><<<=<<->或时，当时，当时，当3．（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（22≤<-a ）（2）若不等式13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.（31<<m ）4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，①若A B ，求实数a 的取值范围.；（2>a ）②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；（21≤≤a ）③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.（1≤a ）（2）已知}031|{≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. （31<≤a ）(3) 关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围. （31,1≤≤-=a a 或）（4）设全集R U =，集合}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ，若R B A = ，求实数a 的取值范围. （12≤≤-a ）（5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ，若C B A ⊆)( ，求实数a 的取值范围.（ 21≤≤a ）。

含参一元二次不等式专题强化训练及答案

D． (，1] [ 2 ,] a
3．在关于 x 的不等式 x2 (a 1)x a 0 的解集中恰有两个整数，则 a 的取值范围是（）
A． (3,4)
B． (2,1) (3,4)
C． (3,4]
D． [2,1) (3,4]
4．关于 x 的不等式 ax b 0 的解集是 (1,) ，则关于 x 的不等式 (ax b)(x 3) 0 的解集是（）
2） 1)
0
（2）
x2 3x 4 x2 3x 10

0
18．解关于 x 的不等式 x2 a 2 1(a 0)
xa
153
D． f (m 1) 必与 m 异号
10．若关于 x 的不等式 ax b 的解集为 (, 1) ，则关于 x 的不等式 ax2 bx 4 a 0 的解集为
5
5
11．解关于 x 的不等式 ax 2 (1 a) x 1 0
）．
12．解关于 x 的不等式 ax 2 2 x a 0
A． (,1) (3,) B． (1,3)
C． (1,3)
D． ( ,1) (3, )
5．若 0 a 1 ，则不等式 (x a)(x 1 ) 0 的解集是（） a
A． (a, 1 ) a
B． ( 1 , a) a
C． ( , a) ( 1 , ) a

0（a
R ）．
【例 8】解关于 x 的不等式： x 1 a ．
x 1
【例 9】解关于 x 的不等式： x a 0 (a 3，且a 2)
(x 2)(x 3)
达标训练

解一元二次不等式(含参数)练习题

解一元二次不等式(含参数)练习题一、选择题：1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． D．∪ C．∪2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．C．∪ D．[－3，－2)∪x2－x＋3 1A． ?11?C. B． 13－∞，－?∪D.?11??4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪C． B．∪ D．5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是15A.??2，2C．[2,8) B．[2,8] D．[2,7]6．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是A．m＞－ B．m＞3或－6＜m＜－2C．m＞2或－6＜m＜－1 D．m＞3或m＜－1二、填空题k－37．若不等式＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k ＝________. x－38．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 9．不等式x2－2x ＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．??x＋5，x＜3，11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ?2x－m，x≥3，?1n1*12．若关于x的不等式x2x－?≥0对任意n∈N在x∈已知函数f＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．三，解答题14.解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0． 15.已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f≥a 恒成立，求a的取值范围．16．设二次函数f＝ax2＋bx＋c，函数F＝f－x的两个零点为m，n．若m＝－1，n＝2，求不等式F＞0的解集；1若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f与m的大小． a 含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． D．∪ C．∪解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．C．∪ D．[－3，－2)∪＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪x2－x＋3 1A． ?11?C. B．13∪D.?11?解析：选A ①m＝－1时，不等式为2x－6 ??m＋1 4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪C． B．∪ D．解析：选C ∵f＝ax2－x＋1，Δ＝2－4a＝a2＋4＞0，∴函数f＝ax2－x＋1必有两个不同的零点，又f在上有一个零点，则ff＜0，35∴＜0，解得－＜a＜－.6又a∈Z，∴a＝－1.不等式f＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是15A.??2，2C．[2,8) B．[2,8] D．[2,7]315解析：选C 由4[x]2－36[x]＋45＜0，得[x][x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.26．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是A．m＞－ B．m＞3或－6＜m＜－2C．m＞2或－6＜m＜－1 D．m＞3或m＜－1解析：选B 依题意，令x＝0得关于y的方程y2＋2my ＋m＋6＝0有两个不相等且同号的实根，于是2??Δ＝?2m?－4?m＋6?＞0，有? 由此解得m＞3或－6＜m＜－2. ??m＋6＞0，二、填空题k－37．若不等式＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________. x－3k－3k－3x－k解析：1，得1－＜0，即＜0，＜0，由题意得k＝1. x－3x－3x－3答案：18．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 解析：因为|x＋2| 答案：－1 19．不等式x2－2x＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为?，∴Δ＝4－4＜0，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案：10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ1 由Δ2≥0，即a2－4≥0，得a≤－6或a≥2.答案：??x＋5，x＜3，11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ??2x－m，x≥3，解析：由已知得f＝6－m，①当m≤3时，6－m≥3，则f)＝2－m＝12－3m＞6，解得m＜2；②当m＞3时，6－m ＜3，则f)＝6－m＋5＞6，解得3＜m＜5.综上知，m＜2或3＜m＜5.答案：∪1n1*12．若关于x的不等式x2x－?≥0对任意n∈N 在x∈已知函数f＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．a2解析：因为f的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a＝4b，所以x＋ax＋－c＜0的解集为，易得m，4222m＋6＝－a，??am＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得?解得c＝9. a24??m?m＋6?＝4c，2答案：9三，解答题14.解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0．原不等式转化为＜0，∵a＜0，∴3a＜－a，得3a＜x＜－a.故原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．由x2－4ax－5a2＞0知＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a，或x＞－a}；a＞0时，解集为{x|x＞5a，或x＜－a}.原不等式变为＜0，1x－＜0. 因为a＞0，所以??a1所以当a＞1时，解为＜x＜1； a当a＝1时，解集为?；1当0＜a＜1时，解为1＜x＜. a??11＜x综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x?a?； ?当a＝1时，不等式的解集为?；15.已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f≥a 恒成立，求a的取值范围．含参数一元二次不等式练习题1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． C．∪D．∪2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．B．∪ C．∪x2－x＋3 13－∞，－B． C. A．?11?13∪ D.?11?4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪B．∪C． D．5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是 31 A.??2，B．[2,8] C．[2,8) D．[2,7]1 11111111 A、∪ B、C、∪ D、∪ abbabaab6．已知 a > 0，b > 0，不等式– a k－37＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________. x－38．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 9．不等式x2－2x ＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax －a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． ?x＋5，x＜3，? 11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ?2x－m，x≥3，?1n1* 12．若关于x的不等式x2＋x－?≥0对任意n∈N 在x∈＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．2?ax?x214、使不等式 15、已知关于x的不等式的解集是 _____x?c≥0的解为–1 ≤ x ≤或x ≥3，则不等式≤ 0 x?c16. 解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0． 17.已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f≥a 恒成立，求a的取值范围．18．设二次函数f＝ax2＋bx＋c，函数F＝f－x的两个零点为m，n．若m＝－1，n＝2，求不等式F＞0的解集；1若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f与m的大小． a 含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． D．∪ C．∪解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．C．∪ D．[－3，－2)∪＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪x2－x＋3 1A． ?11?C. B．13∪D.?11?解析：选A ①m＝－1时，不等式为2x－6 ??m＋1 4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪C． B．∪ D．解析：选C ∵f＝ax2－x＋1，Δ＝2－4a＝a2＋4＞0，∴函数f＝ax2－x＋1必有两个不同的零点，又f在上有一个零点，则ff＜0，35∴＜0，解得－＜a＜－.6又a∈Z，∴a＝－1.不等式f＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是315A.??2，2C．[2,8) B．[2,8] D．[2,7]315解析：选C 由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x][x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.26．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是A．m＞－ B．m＞3或－6＜m＜－2C．m＞2或－6＜m＜－1 D．m＞3或m＜－1解析：选B 依题意，令x＝0得关于y的方程y2＋2my＋m＋6＝0有两个不相等且同号的实2??Δ＝?2m?－4?m＋6?＞0，根，于是有? 由此解得m＞3或－6＜m＜－2. ?m＋6＞0，?二、填空题k－37．若不等式＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________. x－3k－3k－3x－k解析：1，得1－＜0，即＜0，＜0，由题意得k＝1. x－3x－3x－3答案：18．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 解析：因为|x＋2| 答案：－1 19．不等式x2－2x＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为?，∴Δ＝4－4＜0，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案：10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ1 由Δ2≥0，即a2－4≥0，得a≤－6或a≥2.答案：??x＋5，x＜3，11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ?2x－m，x≥3，?解析：由已知得f＝6－m，①当m≤3时，6－m≥3，则f)＝2－m＝12－3m＞6，解得m＜2；②当m＞3时，6－m ＜3，则f)＝6－m＋5＞6，解得3＜m＜5.综上知，m＜2或3＜m＜5.答案：∪1n1*12．若关于x的不等式x2＋x－?≥0对任意n∈N 在x∈已知函数f＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．a2解析：因为f的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a＝4b，所以x＋ax＋－c＜0的解集为，4222m＋6＝－a，?2?a易得m，m＋6是方程x2＋ax－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得?a24??m?m＋6?＝4c，得c＝9.答案：9三，解答题14.解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0．原不等式转化为＜0，∵a＜0，∴3a＜－a，得3a＜x＜－a.故原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．由x2－4ax－5a2＞0知＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a，或x＞－a}；a＞0时，解集为{x|x＞5a，或x＜－a}.原不等式变为＜0，1x－＜0. 因为a＞0，所以??a1所以当a＞1时，解为＜x＜1； a当a＝1时，解集为?；1当0＜a＜1时，解为1＜x＜. a 解含参数一元二次不等式练习题1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． C．∪D．∪2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．B．∪ C．∪x2－x＋3 13－∞，－B． C. A．?11?13∪ D.?11?4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪B．∪C． D．5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是 31 A.??2，B．[2,8] C．[2,8) D．[2,7]1 11111111 A、∪ B、C、∪ D、∪ abbabaab6．已知 a > 0，b > 0，不等式– a k－37＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________. x－38．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 9．不等式x2－2x＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax －a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． ?x＋5，x＜3，? 11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ?2x－m，x≥3，?1n1* 12．若关于x的不等式x2＋x－?≥0对任意n∈N 在x∈＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．2?ax?x214、使不等式 15、已知关于x的不等式的解集是 _____练习题)a)x?c≥0的解为– 1 ≤ x ≤或x ≥3，则不等式≤ 0 x?c16. 解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0． 17.已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f≥a 恒成立，求a的取值范围．18．设二次函数f＝ax2＋bx＋c，函数F＝f－x的两个零点为m，n．若m＝－1，n＝2，求不等式F＞0的解集；1若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f与m的大小． a 含参数一元二次不等式练习题一、选择题：1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．B． D．∪ C．∪解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.2．关于x的不等式x2－x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是A．C．∪ D．[－3，－2)∪＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪x2－x＋3 1A． ?11?C. B．13∪D.?11?解析：选A ①m＝－1时，不等式为2x－6 ??m＋1 4．已知二次函数f＝ax2－x＋1，且函数f在上恰有一个零点，则不等式f＞1的解集为A．∪C． B．∪ D．解析：选C ∵f＝ax2－x＋1，Δ＝2－4a＝a2＋4＞0，∴函数f＝ax2－x＋1必有两个不同的零点，又f在上有一个零点，则ff＜0，35∴＜0，解得－＜a＜－.6又a∈Z，∴a＝－1.不等式f＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.5．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是315A.??2，2C．[2,8) B．[2,8] D．[2,7]315解析：选C 由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x][x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.26．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是A．m＞－ B．m＞3或－6＜m＜－2C．m＞2或－6＜m＜－1 D．m＞3或m＜－1解析：选B 依题意，令x＝0得关于y的方程y2＋2my ＋m＋6＝0有两个不相等且同号的实2??Δ＝?2m?－4?m＋6?＞0，根，于是有? 由此解得m ＞3或－6＜m＜－2. ?m＋6＞0，?二、填空题k－37．若不等式＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________. x－3k－3k－3x－k解析：1，得1－＜0，即＜0，＜0，由题意得k＝1. x－3x－3x－3答案：18．已知集合A＝{x∈R||x＋2| 解析：因为|x＋2| 答案：－1 19．不等式x2－2x＋≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为?，∴Δ＝4－4＜0，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案：10．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ1 由Δ2≥0，即a2－4≥0，得a≤－6或a≥2.答案：??x＋5，x＜3，11．若函数f＝?且f)＞6，则m的取值范围为________． ?2x－m，x≥3，?解析：由已知得f＝6－m，①当m≤3时，6－m≥3，则f)＝2－m＝12－3m＞6，解得m＜2；②当m＞3时，6－m ＜3，则f)＝6－m＋5＞6，解得3＜m＜5.综上知，m＜2或3＜m＜5.答案：∪1n1*12．若关于x的不等式x2＋x－?≥0对任意n∈N 在x∈已知函数f＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f＜c的解集为，则实数c的值为________．a2解析：因为f的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a＝4b，所以x＋ax＋－c＜0的解集为，4222m＋6＝－a，?2?a易得m，m＋6是方程x2＋ax－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得?a24??m?m＋6?＝4c，得c＝9.答案：9三，解答题14.解下列不等式：x2－2ax－3a2＜0．x2－4ax－5a2＞0．ax2－x＋1＜0．原不等式转化为＜0，∵a＜0，∴3a＜－a，得3a＜x＜－a.故原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．由x2－4ax－5a2＞0知＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a，或x＞－a}；a＞0时，解集为{x|x＞5a，或x＜－a}.原不等式变为＜0，1x－＜0. 因为a＞0，所以??a1所以当a＞1时，解为＜x＜1； a当a＝1时，解集为?；1当0＜a＜1时，解为1＜x＜. a 解。

(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)

13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是（）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为（）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为。

考点练习(必修五)：一元二次不等式的解法与求参(附答案)

一元二次不等式的解法与求参一、一元二次不等式的解法1. 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)2. 设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}3. 已知集合M ＝{x |x (4-x )＜0}，N ＝{x |（(x -1)(x -6)＜0,x ∈Z}，则M∩N ＝( )A.（1，6）B.（4，6）C. {4，5，6}D. {5}4. 不等式－6x 2＋2＜x 的解集是________．5. 函数y =的定义域是 .6. 不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）.A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >7. 解不等式：(1)2x 2－3x －2>0； (2)－3x 2＋6x －2>0； (3)4x 2－4x ＋1≤0； (4)x 2－2x ＋2>0.8. 解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0； (2)－x 2＋7x >6.(3)(2－x )(x ＋3)<0； (4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．9. 下列命题中，真命题是（）A ．x ∀∈R ，210x -- D ．0x ∃∈R ，200220x x ++<10. 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；11. 不等式组221030x x x ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩的解集是（）A ．{}1<1x x -<｜B ．{}| 03x x <<C ．{}01x x ｜＜＜D ．{}1<3x x -<｜12. 在R 上定义运算a c ad bcb d =-，若32012x x x <-成立，则x 的取值范围是（） A ．()4,1-B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞二、含参一元二次不等式的解法1. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]2. 解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.3. 求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．4. 解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；5. 已知a∈R，解关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.6. 解不等式：2++>x ax220.7. 解下列关于x 的不等式（1）x 2-2ax ≤-a 2+1；（2）x 2-ax +1>0；（3）x 2-(a +1)x +a <0；8. 解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x9. 对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．已知()2f x x bx c =++，（1）当2b =，6c =-时，求函数()f x 的不动点；（2）已知()f x 有两个不动点为()y f x =的零点；（3）在（2）的条件下，求不等式()0f x >的解集．10. 已知集合{}2|540A x x x =-+≤与{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求a 的取值范围．11. 已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R)满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x )＋h (x )<0.三、已知解集情况1. 已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( )A ．10B ．12C ．14D ．162. 若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[－4，－3)C ．[－4,0)D ．(－3,4]3. 已知不等式220ax x c ++>的解是1132x -<<，则关于x 的不等式220cx x a -+->的解集为（）A.B.C.D.4. 若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．5. 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}6. 不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )7. 已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}8. 若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.1529. 已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10. 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．11. 已知函数()()1||f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）. A ．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎝⎭⎭ D ．⎛- ⎝⎭∞参考答案一元二次不等式的解法与求参一、一元二次不等式的解法1. 解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．2. 解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．3. 【答案】D【解析】在化简集合M 时注意将x （4―x ）＜0化为x （x ―4）＞0．通解:由M ＝{x |x （4―x ）＜0}得M ＝|x |x ＜0或x ＞4}．又N ＝{2，3，4，5}，所以M∩N ＝{5}．故选D ．优解:由N 中x ∈Z 排除A ，B ，又4∉M ，故选D ．4. 解析：不等式－6x 2＋2＜x 可化为6x 2＋x －2＞0，即(3x ＋2)(2x －1)＞0，解不等式得x <－23或x >12，所以该不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞5. []3,1- 解析由题意得2320x x --…，解得31x-剟，因此定义域为[]3,1-.6. 略7. 【解析】(1)方程2x 2－3x －2＝0的解是x 1＝－12，x 2＝2.因为函数是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(2)不等式可化为3x 2－6x ＋2<0.因为3x 2－6x ＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1x 2＝1因为函数y ＝3x 2－6x ＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33.(3)方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，函数y ＝4x 2－4x ＋1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是12x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(4)因为x 2－2x ＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无解．又因为函数y ＝x 2－2x ＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R .8. 【解析】(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠23.9. 【答案】A【解析】逐个判断．因为210x +>，所以x ∀∈R ，210x --<，故A 正确；因为x ∀∈R ，210x x ++>恒成立，故B 错误；因为12x ∃=，2104x x -+=，故C 错误；因为x ∀∈R ，2220x x ++>恒成立，故D 错误．10. [解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.11. 【答案】C【解析】原不等式等价于：211103(3)0x x x x x -<<⎧<⎧⇒⇒⎨⎨<<-<⎩⎩01.x <<12. 【答案】A【解析】由新定义可得：()232210x x --<⨯-⨯，化为2340x x +-<，变为()()410x x --<，所以41x -<<．所以x 的取值范围是()4,1-，故选A ．二、含参一元二次不等式的解法1. 解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.2. 【解析】若a =0，原不等式⇔－x +1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1；若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x aa a-++<⇔--<，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a =1时，原不等式⇔x ∈∅；（2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<；（3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<< 综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或；当a =0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<；当a =1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 3. 【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43a a x x x <>或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或.4. 【答案】当a =0时，)21,(-∞∈x . 当a ≠0时，Δ=4+4a =4(a +1)，①a >0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a <0时，若a <0，△<0，即a <-1时，x ∈R ；若a <0，△=0，即a =-1时，x ∈R 且x ≠1；若a <0，△>0，即 -1<a <0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x .5. 解：原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0.(1)当a ＝0时，原不等式为－(x －1)＜0，解得x ＞1. 即原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)若a ＞0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0，对应方程的根为x ＝1或x ＝2a . 当2a ＞1，即0＜a ＜2时，不等式的解为1＜x ＜2a ；当a ＝2时，不等式的解集为∅；当2a ＜1，即a ＞2时，不等式的解为2a ＜x ＜1. (3)若a ＜0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＞0，所以2a ＜1，所以不等式的解为x ＞1或x ＜2a .综上，当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．当0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，2a . 当a ＝2时，不等式的解集为∅. 当a ＞2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，1.当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)． 6.216,a ∆=-∴①当0,∆<即44a -<<时，不等式的解集为R ；②当0,∆≥即4a ≥或4a ≤-时，方程2220x ax ++=的两根为((1211,.44x a x a =-=-+当4a =时，不等式的解集为 {}|1x x ≠-；当4a =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当4a <-或4a >时，不等式的解集为(1|,4x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或(1|4x x a ⎧⎫>-+⎨⎬⎩⎭7. 【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a >2或a <-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a =2或-2时，原不等式的解集为{|}2ax x ≠. 当Δ<0，即-2<a <2时，原不等式的解集为R. （3）(x -1)(x -a )<0当a >1时，原不等式的解集为{x |1<x <a } 当a <1时，原不等式的解集为{x |a <x <1} 当a =1时，原不等式的解集为Φ.8. 【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a =1或a =-1时，解集为； ②当0<a <1 或a <-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a >1或 -1<a <0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.9. 【答案】（1）2或3-（2）2x =-或1x =（3）()(),21,-∞-+∞【解析】（1）函数解析式为()226f x x x =+-，若()f x x =，即260x x +-=，解得2x =或3x =-，所以()f x 的不动点为2或3-．（2）()f x 有两个不动点()f x x =有两个根所以()210x b x c +-+=有两个根1b =-，c ，解得1b =，2c =-，所以()22f x x x =+-．令()0f x =，即()()210x x +-=，解得2x =-或1x =，所以()f x 的零点为1x =或2x =-．（3）()0f x >，即()()210x x +->．解得1x >或2x <-，所以()0f x >的解集为()(),21,-∞-+∞．10. 【答案】181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】{}254(4)(1)0,14,|14x x x x x A x x -+=--≤≤≤∴=≤≤ 设222y x ax a =-++（*）当B =Ø，即方程（*）无解，显然B A ⊆成立，由0∆<得244(2)0a a -+<，解得12(1)a -<<当B ≠Ø，且B A ⊆成立，即：{}{}12||14x x x x x x ≤≤⊆≤≤，根据性质得出： 2212120424202142a a a a a⎧⎪-⋅++≥⎪-⋅++≥⎨⎪-⎪≤≤⎩-，解得181(2)7a ≤≤综合（1）（2）两式，得a 的取值范围为181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦．11. 解：(1)∵f (0)＝0，∴d ＝0.∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c . 又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立，∴a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎝⎛⎭⎫－122－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－12a ＋116≤0，解得a ＝14，c ＝14. (2)由(1)知，f ′(x )＝14x 2－12x ＋14. 由f ′(x )＋h (x )<0，得14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，即x 2－⎝⎛⎭⎫b ＋12x ＋b2<0，即(x －b )⎝⎛⎭⎫x －12<0. 当b >12时，解集为⎝⎛⎭⎫12，b . 当b <12时，解集为⎝⎛⎭⎫b ，12. 当b ＝12，解集为∅.三、已知解集情况1. 解析：选C ∵M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14.2. 解析：选C 解不等式(x －1)(x －2)＜2，可得0＜x ＜3，(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，由二次函数的性质可得(x ＋1)(x －3)的取值范围是[－4,0)．3. 【答案】B【解析】由的解集是知∴的图象开口向下，且是方程的两个根，故由韦达定理，有；.∴，代入所求不等式即∴解集为4. 解析：∵不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，∴a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即c a ＝－6，ba＝1， ∴b ＞0，且a b ＝1，cb ＝－6，∴不等式bx 2＋ax ＋c ＜0可化为x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)5. 解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①，又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－＝c a，即⎩⎨⎧ba＝－1，ca ＝－2②，将①两边同除以a 得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －ba <0，将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3.6. 解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B.7. 解析：选C 一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则不等式f (10x )＞0可化为10x ＜－1或10x ＞12，解得x ＞lg 12，即x ＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x |x ＞－lg 2}．8. 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.9. 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎨⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10. 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为(－∞，0]，∴Δ＝a 2＋4b ＝0，∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)， ∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即－x 2＋ax －a 24＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，∵－x 2＋ax －a 24＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，∴两根之差为：21－c ＝(m ＋1)－(m －4)，解得c ＝－214. 答案：－21411. 略。

高一一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习含答案

1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2) ∅∅不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a) (x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)解析解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝________. 答案 [0,4)解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________________．答案 (2,3)解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1)解析由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)[－1,4] (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为____________．答案 {x |1≤x ≤2}解析由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．答案 [－1,1]解析方法一当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是____________．答案 [0,4]解析由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集是A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b ＝________. 答案－3解析由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________.答案 2∶1∶3解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为__________．答案 1±52解析若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a} 解析原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝____________. 答案－2解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是__________________________．答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.答案 52解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．答案 b <－1或b >2解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

3.4含参数一元二次不等式的解法(答案版)

3.4：含参数一元二次不等式的解法【知识点1】一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表：含参数一元二次不等式的解法【知识点2：含参数的一元二次不等式的解法1】解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“∆”的过程中，若“∆”表达式含有参数且参数的取值影响“∆”符号，这时根据“∆”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“∆”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．例题：解关于x 的不等式22560.x ax a +-<12(7)(8)0(7)(8)078x a x a a a x a x a x x +-<+-==-=解析：原不等式化为，方程的两根为，，0{|}7800{|}87a aa x x a a aa x x ∴>-<<=∅<<<-时，解集为；时，解集为；时，解集为．【知识点3：含参数一元二次不等式的解法2．分式不等式的解法】 (1)分式不等式分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式___ (2)等价转化法解分式不等式解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的__整式__不等式(组)．具体情况见下表：例题：解下列不等式： 42(1)023x -≤+；1(2)3.2x x+≥- (4)(23)0443(1)00|4.23023232x x x x x x x x x x -+≥⎧--⎧⎫≤⇔≥⇔⇔≥<-⎨⎨⎬+≠++⎩⎭⎩解析：或3{|4}2x x x ∴<-≥原不等式的解集为或．114545(2)330002222x x x x x x x x ++--≥⇔-≥⇔≥⇔≤----，(45)(2)05|2.204x x x x x --≤⎧⎧⎫⇔⇔≤<⎨⎨⎬-≠⎩⎭⎩，5{|2}4x x ∴≤<原不等式的解集为．【知识点4：含参数一元二次不等式的解法3．简单的高次不等式的解法】 (1)高次不等式不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为__高次不等式_ (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将()f x 最高次项系数化为正数；②将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④观察曲线显现出的()f x 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式：(2)(1)(1)(2)0.x x x x ++--≤(2)(1)(1)(2)y x x x x =++--解析：设，021,1,2y =--则的根分别是，，将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：{|2112}x x x -≤≤-≤≤所以原不等式的解集是，或．点评： (1)大于0的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方部分的实数x 的取值集合；反之，对应着x 轴下方部分的实数x 的取值集合．注意端点处值是否取到．(2)穿根法可形象地称为“穿根引线法”，这样的“线”可看成是函数的图象草图，只不过不画y 轴而已．变式1：解关于x 的不等式：22(21)0.x m x m m -+++<22(21)0m m x m x m m -+++= 分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对方程的解的影响，然后求解．2212(21)01x m x m m x m x m -+++===+ 解析：解法一：方程的解为，，1.m m <+且知 22(21)y x m x m m x ∴=-+++二次函数的图象开口向上，且与轴有两个交点．{|1}x m x m ∴<<+不等式的解集为．2(1)(1)21m m m m m m m -=+++=+解法二：注意到，及，()(1)0x m x m ---<可先因式分解，化为，1 1.m m m x m <+∴<<+ ，{|1}x m x m ∴<<+不等式的解集为．点评：含参数的不等式的解题步骤为 (1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．变式2：当0a >时，解关于x 的不等式2(1)10.ax a x -++<2(1)10(1)(1)0ax a x ax x -++<--<解析：不等式可化为，10(1)(1)0()(1)0a ax x x x a >∴--<--< ，不等式，可化为，1a =当时，不等式无解； 1011a x a <<<<当时，； 11 1.a x a><<当时，101{|1}111{|1}.a x x a aa x x a<<<<=><<综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集；当时，原不等式的解集为变式3： (1)不等式12x x-≥的解集为( A ) A ．[1,0)-B ．[1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1](0)-∞-+∞ ，， (2)不等式21134x x ->-的解集为_23|34x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭__． ()()0(0)()()f x f xg x g x >< 分析：此类不等式求解，要先移项通分化为的形式再化为或整式不等式．转化必须保持等价．11(1)200x x x x----≥∴≥解析：，，(1)010.0x x x x +≤⎧∴∴-≤<⎨≠⎩，64(2)043x x -<-原不等式化为：，23(64)(43)034x x x ∴--<∴<<，，23|.34x x ⎧⎫∴<<⎨⎬⎩⎭原不等式的解集为变式4：不等式3112x x-≥-的解集是( C ) A ．3|24x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．3|24x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或C ．3|24x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}|2x x <31431022x x x x--≥≥--解析：不等式，化为，32.4x ∴≤<变式5：不等式(2)03x x x +<-的解集为( ) A ．{}|203x x x <-<<，或 B ．{}|223x x x -<<>，或 C ．{}|20x x x <->，或 D ．{}|03x x x <<，或分析：原不等式左端是分式，右端为0，属于0AB<型，可等价转化为0AB <，即(2)(3)0x x x +-<，依次令12302030023x x x x x x =+=-===-=，，得，，，数轴按此三数对应点分成四段，令=(2)(3)y x x x +-列出x 与y 的对应值如表：(2)(3)0(2)(0,3)x x x +-<-∞- 故不等式的解集为，．(2)(3)0.x x x +-<解析：原不等式等价于()结合数轴穿根法如图可知：20 3.x x <-<<或变式6：解不等式：23(1)(1)(2)0.x x x x -+-> (1)(2)010x x x x +->⎧⎨-≠⎩解析：原不等式可化为10210 2.1x x x x x -<<>⎧⇔⇔-<<>⎨≠⎩，或，或{|102}.x x x ∴-<<>原不等式的解集为，或变式7：关于x 的不等式22(1)1m x mx m x x R +++<+∈对成立，求实数m 的取值范围．分析：首先考虑二次项系数是否为零，化简后，需要对m 对进行讨论．0m ≠时，可利用三个“二次”之间的关系求解．210mx mx m x R ++-<∈解析：原不等式等价于对恒成立，200010m x x x R =⋅+⋅-<∈当时，对恒成立． 0m ≠当时，由题意，得22004(1)0340m m m m m m m <<⎧⎧⇔⎨⎨∆=--<->⎩⎩ 00.403m m m m <⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩，或0.m m ≤综上，的取值范围为点评：一元二次不等式恒成立时满足条件22220(1)0()00(2)0()00(3)0()00(4)0().0a ax bx c R a ax bx c R a ax bx c R a ax bx c R >⎧++>⎨∆<⎩>⎧++≥⎨∆≤⎩<⎧++<⎨∆<⎩<⎧++≤⎨∆≤⎩恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足变式8：已知不等式2(1)10ax a x a +-+-<对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围． 010a x =--<解析：若，则原不等式为，10.x a >-≠即，不合题意．故2()(1)1f x ax a x a =+-+-令，x R ∈ 原不等式对任意都成立．()f x x ∴二次函数的图象在轴的下方．20(1)4(1)0.a a a a ∴<∆=---<且(1)(31)0a a a <⎧⎨-+>⎩即，1.3a ∴<-1()3a -∞-故的取值范围为，．变式9：若函数y R ，则k 的取值范围是_01k ≤≤__． 01k <≤错解：26(8)0kx kx k -++≥由题意知恒成立，201364(8)0k k k k k >⎧∴∴<≤⎨∆=-+≤⎩，， 0 1.k k <≤即的取值范围是206(8)0k kx kx k =-++≥辨析：错解忽视时，也成立，考虑问题不全面导致错误．01k ≤≤正解：26(8)0kx kx k -++≥由题意恒成立．200364(8)0k k k k k >⎧=≠⎨=-+≤⎩当时满足，当时，△010 1.k k ∴≤≤≤＜，综上得。