三角形中位线专项训练(30道)(解析版)

专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）
【苏科版】
1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）
A．2B．5C．7D．9
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=1
2DN，从而可知DN最大时，EF最大，因
为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【解答】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF=1
2DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=1
2FC=
1
2
×4＝2，
故选：B．
3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）
A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF
【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=1
2BC，
GF=1
2AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的
关系．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EG=1
2BC，GF=
1
2AD，
在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即1
2
BC+
1
2AD＞EF，
∴AD +BC ＞2EF ，
当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，
∴AD +BC ＝2EF ，
所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．
故选：B ．
4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分
线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）
A ．32
B ．2
C ．5
2 D ．3
【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，
{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE
，
∴△BNA ≌△BNE （ASA ）
∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，
同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，
∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，
∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，
∴MN =12DE ＝2，
故选：B ．
5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在
边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）
A ．2.5
B ．3
C ．4
D ．5
【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，
∵BD ∥CH ，
∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，
∵∠A ＝90°，
∴∠ECH ＝∠A ＝90°，
在△DNB 和△HNC 中，
{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC
，
∴△DNB ≌△HNC （ASA ），
∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，
在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，
∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，
∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，
∴MN =12EH ＝2.5，
故选：A ．
6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD
延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）
A ．1.5
B ．2
C ．2.5
D ．3
【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，
∵CD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ACF ＝∠BCF ，
在△ACF 和△GCF 中，
{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°
，
∴△ACF ≌△GCF （ASA ），
∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，
∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，
∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，
∴EF =12BG ＝1.5，
故选：A ．
7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，
连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）
A ．26°
B ．28°
C ．30°
D ．32°
【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．
【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：
∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，
∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，
∵BE ⊥AD ，
∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，
∵AE ＝AE ，
∴△ABE ≌△AGE （ASA ），
∴BE ＝GE ，
∵F 为BC 的中点，
∴EF 是△BCG 的中位线，
∴EF ∥GC ，
∴∠EFD ＝∠C ，
∵∠BEA ＝90°，
∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，
∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：C ．
8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线
与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）
A ．8
5 B ．43 C ．1 D ．2
3 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．
【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，
∴DH =12FC ，DH ∥AC ，
∴∠HDE ＝∠F AE ，
在△AEF 和△DEH 中，
{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH
，
∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，
∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，
∴AF =43，
故选：B ．
9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分
线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．32
D ．1
2
【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠GAF ＝∠CAF ，
∵CG ⊥AD ，
∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，
在△AFG 和△AFC 中，
{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC
，
∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，
∵GF＝FC，BE＝EC，
∴EF=1
2GB＝1，
故选：A．
10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）
A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF
【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH=1
2AD，EH∥AD，
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，
∴GF=1
2AD，GF∥AD，
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．
【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，
∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，
∴∠DFB ＝∠FBC ，
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠DFB ＝∠DBF ，
∴∠DBF ＝∠FBC ，
∴DF ＝BD ＝7，
∴DE ＝DF +EF ＝11，
∴BC ＝2DE ＝22，
故答案为：22．
12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、
BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．
【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．
【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，
∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，
∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．
同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为1
4×64＝16．
以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（1
2）n ﹣1＝27﹣n
故答案是：27﹣n ．
13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝
70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，
∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，
∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，
同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，
∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，
∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN 为等边三角形，
∴△PMN 的周长为9，
故答案为：9．
14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝
10，且AD BD =3
2，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，
∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，
∴∠CFD ＝90°，
∵DC ＝10，CF ＝8，
∴DF =√CD 2−CF 2=6，
∴AD ＝2DF ＝12，
∵AD BD =3
2，
∴BD ＝8，
∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，
∴EF =12BD ＝4，
故答案为：4．
15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE
交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．
【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．
【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，
∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，
∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，
∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，
∵MF ∥DC ，
∴∠FGC ＝∠EFM ，
∵EM ∥AB ，
∴∠FEM ＝∠FHB ，
∵∠BHF 与∠CGF 互余，
∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，
∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，
∴△EMF 是直角三角形，
∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，
故答案为：√13．
16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．
【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．
【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，
∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，
∴∠BCA＝2∠ADE，
∵CN＝BC，
∴∠N＝∠CBN，
∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，
∴∠ADE＝∠N，
∴DE∥BN，
又∵E是AB的中点，
∴DE是△ABN的中位线，
∴AD＝DN，
∵AD：BC＝4：3，
∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，
∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，
∴BC＝6，
故答案为6．
17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．
【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∴AF垂直平分CG，
∴AC＝AG，
GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=1
2BG=
1
2（AB﹣AG）=
1
2（AB﹣AC）＝2.5，
故答案为：2.5．
18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．
【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE ＝∠CAE ，
在△AEB 和△AEF 中，
{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°
，
∴△AEB ≌△AEF （ASA ），
∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，
∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，
∴CF ＝2DE ＝4（cm ），
∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），
故答案为：6．
19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是
AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．
【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，
∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，
∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，
∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，
∴△PMN 是等腰三角形，
∵∠MPN＝130°，
∴∠PMN=180°−130°
2
=25°．
故答案为：25°．
20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．
【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．
【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，
∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，
∴∠BAM＝∠MGB，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AM＝GM．BG＝AB＝10，
同理AN＝DN，CD＝AC＝6，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN=1
2DG=
1
2（BC﹣BG+CD）=
1
2（BC﹣AB+AC）=
1
2（13﹣10+6）＝4.5．
故答案为：4.5．
三．解答题（共10小题）
21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．
【解答】证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1
2BC，
同理：FG∥BC，FG=1
2BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF＝DG．
22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；
（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．
又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，
∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，
∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，
在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，
即EF ＝5；
（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．
∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，
∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．
∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，
∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，
∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，
∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，
∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，
∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（1
2CD ）2＝EF 2，
∴AB 2+CD 2＝4EF 2．
23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，
且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．
【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．
【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF=1
2BD，
同理：ME∥AC，ME=1
2AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，
在△AEC 和△AED 中，
{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED
，
∴△AEC ≌△AED （ASA ），
∴CE ＝DE ；
（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，
∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，
∵△AEC ≌△AED ，
∴AD ＝AC ＝6，
∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，
∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，
∴EF =12BD =2．
25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上
的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，
∴AD ＝AE ，
∵AB ＝AC ，
∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，
即BD ＝CE ，
∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，
∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，
∴FG =12BD ，FH =12CE ，
∴FG ＝FH ．
26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD
的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．
【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH
∥BM，FH=1
2AB，EH∥CN，EH=
1
2CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE
＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴FH∥BM，FH=1
2AB，EH∥CN，EH=
1
2CD，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，
∵AB＝CD，
∴FH＝EH，
∴∠HFE＝∠HEF，
∴∠BME＝∠CNE．
27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长
线与AC的交点，求证：AF=1
2CF．
【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．
【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，
∴DG =12CF ，
∵E 为AD 中点，
∴AE ＝DE ，
在△AEF 和△DEG 中，
{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG
，
∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，
∴AF =12CF ．
28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC
＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？
【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．
【解答】解：相等．理由如下：
取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，
∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，
∴GN =12AC ，
同理可得，GM=1
2BD，
∵AC＝BD，
∴GN＝GM=1
2AC=
1
2BD．
∴∠GMN＝∠GNM，
又∵MG∥OE，NG∥OF，
∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，
∴OE＝OF．
29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．
【分析】根据三角形中位线定理得到EG=1
2AC，EG∥AC，FG=
1
2BD，FG∥BD，根据
平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，
∴EG=1
2AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG=1
2BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，
GF=1
2
BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；
（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；
（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点
∴BD＝EC
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点
∴FG∥BD，GF=1
2 BD
FH∥EC，FH=1
2 EC
∴FG＝FH；
（2）证明：由（1）FG∥BD
又∵∠A＝90°
∴FG⊥AC
∵FH∥EC
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°
∴∠FKC＝∠A＝80°
∵FH∥EC
∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。