22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.3.1 抛物线及其标准方程

3.3.1 抛物线及其标准方程

课标解读

课标要求

素养要求

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.

2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.

3.理解p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线的标准方程问题.

1.逻辑推理—能够推导出抛物线的标准方程.

2.数学运算—会根据条件求抛物线的标准方程.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句 1.抛物线的定义：

把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离① 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的② 准线 . 2.抛物线的标准方程： 图形

标准方程 焦点坐标

准线方程

y 2=2px(p >0)

③ F(p 2

,0) ④ x =−p 2

y 2=−2px(p >0)

⑤ F(−p

2

,0) x =p

2

x 2=2py(p >0)

⑥ F(0,p

2) ⑦ y =−p

2

x 2=−2py(p >0)

⑧ F(0,−p

2) y =p

2

自主思考

1.平面内与一个定点F(1,0) 和定直线l:x =1 的距离相等的点的轨迹是什么？ 提示 由已知l 经过点F ，所以轨迹是过点F ，且垂直于l 的直线.

2.已知抛物线y 2=8x ，则焦点到准线的距离是多少？

提示 由已知得2p =8 ，所以p =4 ，根据p 的几何意义，焦点到准线的距离是4. 3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？

提示第三个和第四个.

名师点睛

1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题

（1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上.

（2）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的种数.

2.与抛物线定义有关的常用结论

（1）抛物线y2=2px(p＞0)上一点P(x0,y0)到焦点F(p

2,0)的距离|PF|=x0+p

2

，也称

为抛物线的焦半径.（2）y2=ax(a≠0)的焦点坐标为(a

4,0)，准线方程为x=−a

4

.

互动探究·关键能力

探究点一抛物线的标准方程

精讲精练

例求适合下列条件的抛物线的标准方程.

（1）过点(−3,2)；

（2）焦点在直线x−2y−4=0上

答案：（1）设抛物线的标准方程为y2=−2px或x2=2py(p＞0)，将点(−3,2)代入方程

得2p=4

3或2p=9

2

，∴所求抛物线的标准方程为y2=−4

3

x或x2=9

2

y.

（2）当焦点在y轴上时，令x=0，由方程x−2y−4=0得y=−2，∴抛物线的焦点

为F(0,−2)，设抛物线方程为x2=−2py(p＞0)，则由p

2

=2得2p=8，∴所求抛物线方程为x2=−8y；当焦点在x轴上时，同理可得y2=16x.

综上所述，所求抛物线的标准方程为x2=−8y或y2=16x.

解题感悟

求抛物线标准方程的两种方法：（1）当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程.（2）当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0))，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程.

迁移应用

根据下列条件，求抛物线的标准方程.

（1）焦点到准线的距离是6；

（2）准线方程为y=−2

3

.

答案：（1）由已知得p=6，因为焦点位置不确定，所以抛物线的标准方程为y2=12x，y2=−12x，x2=12y，x2=−12y.

（2）因为抛物线的准线交y轴于负半轴，且p

2=2

3

，所以p=4

3

，所以所求抛物线的标准方

程为x2=8

3

y.

探究点二抛物线的定义及应用

精讲精练

类型1 求抛物线上的点与焦点的距离

例1已知F是抛物线y2=x的焦点.

（1）若A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，求线段AB的中点到y轴的距离；

（2）若A(x0,y0)是抛物线上一点，|AF|=5

4

x0，求x0的值.

答案：（1）由题意知抛物线的准线方程为x=−1

4

.

|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2（如图所示）.

则线段AB的中点到准线的距离d=d1+d2

2=3

2

，

∴线段AB的中点到y轴的距离为3

2−1

4

=5

4

.

（2）因为|AF|=5

4x0，所以根据抛物线的定义可得x0+1

4

=|AF|=5

4

x0，

解得x0=1.

解题感悟

根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.

类型2 求最值

例2（2021四川江油一中高二期中）已知直线l为抛物线y2=8x的准线，抛物线上的点M 到l的距离为d，点A的坐标为(1,4)，则|AM|+d的最小值是( )

A.√17

B.4