人教版初三数学上册二次函数的极值问题

二次函数的极值问题

中考考点说明

•求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。

•其攻略途径为：

•一、写出二次函数的解析式并化为顶点式；

•二、确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线；

•三、判断x 是否在其范围内，若在，则极值为顶点的纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值

知识链接

1.函数y=a(x-h)2 +k中，顶点坐标是。

2.二次函数y=ax2+bx+c，顶点坐标是。

当a>0时，X= 时，函数有最值，是；

当a<0时，X= 时，函数有最值，是。

一、利润问题

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析:调整价格包括涨价和降价两种情况

先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出件,每件利润为元，因此，所得利润为元

即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)

在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。

解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，实际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，因此，得利润

b=(300+20a)(60-40-a)

=-20(a²-5a+6.25)+6150

=-20（a-2.5）²+6150 （0≤a≤20）

解决这类问题的一般步骤：

（1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。练习

1、某商店购进一种单价为40元的篮球，如

果以单价50元售出，那么每月可售出500个，

据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减

少10个。

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个

篮球所获得的利润是_______元,这种篮球每

月的销售量是______ 个(用X的代数式表示)

(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?

如果是,说明理由,如果不是,请求出最大利润,

此时篮球的售价应定为多少元?

二、面积问题

•在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围城中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

•1、求S与X的函数关系式及自变量的取值范围；

•2、当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

•3、若墙的长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

•2015年中考第22题．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．•(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

•(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

练习

1、某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

2、 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE ＝x ，DF ＝y ．

(1)用含y 的代数式表示AE ；

(2)求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；

(3)设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值

岸 堤

第22题图