圆基础知识

圆基础知识
一、 圆的定义
1. 圆的第一定义：线段OA 绕着它的一个固定端点0旋转另一个端点A 形成的图形叫做圆 这个固定的端点O 叫做圆心，线段OA 的长度叫做圆的半径，表示为
O
2. 圆的第二定义：在一个平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，这个定点叫
做圆心，定长叫做圆的半径
3. 确定圆的条件有_____个， 一是________它确定圆的位置，二是半径它确定圆的______.
二、 圆的有关概念
1. 弦：______任意两点间的_______叫做弦.
2. 直径：________________________________.
3. 弧：_______任意两点间的________叫做弧
4. 弧的分类：:______________________________:_______________________________.⎧⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎩劣弧优弧半圆：直径的两个端点把圆分成相等的两部分，其中每一部分都叫做半圆.
5. 弧的表示方法：如图1所示：其中劣弧为：
优弧为：
三、垂径定理：
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧
2. 垂径定理的逆定理：平分弦（ ）的直径，___________并平分弦所对的弧.
3. 推论：平分弧的直径平分且垂直于弦
4. 垂直平分弦的直线一定经过圆心.
四、圆心角、圆心角所对的弦及所对应的弧三者之间的关系：
1. 圆心角：________________叫做圆心角.
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆心角__________.
3. 结论1：在__________________中，相等的圆心角，所对的弦相等，所对的弧也相等.
4. 结论2：在__________________中，相等的弦，所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
图1
B
A
5. 结论3：在__________________中，相等的弧，所对的弧相等，所对的圆心角也相等.
6. 总之：在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦及所对的弧及相应的弦心距，有一组
量对应相等，其余三组量也__________________.
五、圆周角
1. 圆周角的定义：顶点在_________，并且角的两边都与____________的角叫做圆周角
2. 圆周角所满足的两个条件：一是_________________，二是_________________________.
3. 圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧上的圆周角等于所对_____________的一半.
证明：
图4
图3
B
图2
4. 弧的度数的定义：把一个圆周360等份其中每一份弧叫做一度的弧.
5. 1度角的定义：把一个圆周360等份其中每一份弧所对的圆心角叫做1度的角.
6. 结论：圆心角的度数等于其所对弧的度数；圆周角的度数等于其所对弧度数的一半.
7. 半圆或直径所对的圆周角是0
90；反之，0
90的圆周角所对的弦是直径.
六、圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义：如果一个多边形的各个顶点都在同一个圆周上，你们这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做该多边形的外接圆.
2. 圆内接四边形的性质：1___________________________.2______________________________.⎧⎪
⎨⎪⎩
性质：
性质：
七、点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系有_______种，分别为_____________________________.
2. 设点到圆心的距离为d ，圆的半径为R ，则__________________
____________________________________
⇔⎧⎪⎪⎪
⇔⎨⎪⎪⎪⇔⎩点在圆外点在圆上点在圆内
3. 经过一个点可作___________个圆；经过两个点可作___________个圆，这些圆的圆心在______________________________；经过不共线的三点可作__________个圆；经过共线的三点可作____个圆.
4. 三角形的外接圆：经过三角形的____________可作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；
5. 三角形的外心：三角形_____________________叫做三角形的外心，它是三角形____________________.
6. 外心的性质：三角形的外心到________________________________.
7. 如图所示：用尺规作图作出ABC ∆的外接圆（保留作图
痕迹）
图5C
B
A
八、直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系有________种；分别是______________________________________.
2. 直线与圆相离：若直线与圆______公共点，我们说直线与圆__________.
3. 直线与圆相切：若直线与圆____________公共点，我们说直线与圆相切，这条直线叫做圆的_________，这个公共点叫做_______.
4. 直线与圆相交：若直线与圆____________公共点，我们说直线与圆相交，这条直线叫做圆的_________，公共点叫做_______________.
5. 若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则____________________________
⇔⎧⎪⎪⎪
⇔⎨⎪⎪⎪⇔⎩直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
6. 直线与圆位置关系的判定⎧⎨
⎩方法一：根据直线与圆交点的个数分
方法二：根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小来分
7．切线的判定定理：___________________________________________________________. 8. 切线的性质定理：______________________________________________________. 9. 切线长定理：_____________________________________________________________，并且平分两切点间的线段，平分两切点所对的两条弧.
10. 三角形的内切圆：与三角形三边_______________的圆叫做三角形的内切圆.
11. 三角形的内心：三角形_____________________叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形____________________________的交点.
12. 三角形内切圆的性质：三角形的内心到______________________相等. 13. 如图6所示，作出ABC ∆的内切圆（保留作图痕迹）
图6C B
A
图7C B A 图8
O
C B
A
14. 如图7，在三角形ABC ∆中，其内切圆的半径为R ，三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，求证：1
()2
S a b c R =++
15.如图8，在Rt ABC ∆中，0
90C ∠=，内切圆的半径为r ，求证：1
()2
r a b c =+-
九、正多边形与圆
1. 正多边形的定义：__________________________________________.
2. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成______的一些弧，顺次连接这些分点就得到这个圆的______________________，这个圆叫做这个正多边形的__________，这个多边形叫做这个圆的________________.
3. 有关正多边形的概念： （1）正多边形的中心：___________________________________ （2）正多边形的半径：______________________________ （3）正多边形的中心角：____________________________ （4）正多边形的边心距：_____________________________（即为内切圆的_______.）
4. 任何一个正多边形都有内切圆和外接圆，它们是_______;
外接圆的半径，内切圆的半径及边长的一半组成一个________
三角形，在正多边形中，正多边形的半径，边心距和边长的关系通常通过这个直角三角形去解决.
十、弧长与扇形的面积公式
1. 弧长公式：0
n 的圆心角所对的弧长180
n r
l π=
； 2. 扇形的定义：______________________________________________________________.
3. 扇形的面积公式：若扇形的圆心角为0
n ，扇形的半径为r ，则扇形的面积为：2
360
n r S π=
图9
若扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：
1
2 S lr =
4. 圆锥的定义：_______________________________________
5. 圆锥的有关概念：
________________________
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
圆锥的母线：
圆锥的高：______________________________.
6. 圆锥的侧面积：若圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为：________________________________
7. 圆锥的全面积：若圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的全面积为：________________________________
8. 已知扇形的弧长为l，扇形的半径为r，则扇形的圆心角α=_______________.。