圆基础知识

圆基础知识

一、 圆的定义

1. 圆的第一定义：线段OA 绕着它的一个固定端点0旋转另一个端点A 形成的图形叫做圆 这个固定的端点O 叫做圆心，线段OA 的长度叫做圆的半径，表示为

O

2. 圆的第二定义：在一个平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，这个定点叫

做圆心，定长叫做圆的半径

3. 确定圆的条件有_____个， 一是________它确定圆的位置，二是半径它确定圆的______.

二、 圆的有关概念

1. 弦：______任意两点间的_______叫做弦.

2. 直径：________________________________.

3. 弧：_______任意两点间的________叫做弧

4. 弧的分类：:______________________________:_______________________________.⎧⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎩劣弧优弧半圆：直径的两个端点把圆分成相等的两部分，其中每一部分都叫做半圆.

5. 弧的表示方法：如图1所示：其中劣弧为：

优弧为：

三、垂径定理：

1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧

2. 垂径定理的逆定理：平分弦（ ）的直径，___________并平分弦所对的弧.

3. 推论：平分弧的直径平分且垂直于弦

4. 垂直平分弦的直线一定经过圆心.

四、圆心角、圆心角所对的弦及所对应的弧三者之间的关系：

1. 圆心角：________________叫做圆心角.

2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆心角__________.

3. 结论1：在__________________中，相等的圆心角，所对的弦相等，所对的弧也相等.

4. 结论2：在__________________中，相等的弦，所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

图1

B

A

5. 结论3：在__________________中，相等的弧，所对的弧相等，所对的圆心角也相等.

6. 总之：在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦及所对的弧及相应的弦心距，有一组

量对应相等，其余三组量也__________________.

五、圆周角

1. 圆周角的定义：顶点在_________，并且角的两边都与____________的角叫做圆周角

2. 圆周角所满足的两个条件：一是_________________，二是_________________________.

3. 圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧上的圆周角等于所对_____________的一半.

证明：

图4

图3

B

图2

4. 弧的度数的定义：把一个圆周360等份其中每一份弧叫做一度的弧.

5. 1度角的定义：把一个圆周360等份其中每一份弧所对的圆心角叫做1度的角.

6. 结论：圆心角的度数等于其所对弧的度数；圆周角的度数等于其所对弧度数的一半.

7. 半圆或直径所对的圆周角是0

90；反之，0

90的圆周角所对的弦是直径.

六、圆内接多边形

1. 圆内接多边形的定义：如果一个多边形的各个顶点都在同一个圆周上，你们这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做该多边形的外接圆.

2. 圆内接四边形的性质：1___________________________.2______________________________.⎧⎪

⎨⎪⎩

性质：

性质：

七、点与圆的位置关系

1. 点与圆的位置关系有_______种，分别为_____________________________.

2. 设点到圆心的距离为d ，圆的半径为R ，则__________________

____________________________________

⇔⎧⎪⎪⎪

⇔⎨⎪⎪⎪⇔⎩点在圆外点在圆上点在圆内

3. 经过一个点可作___________个圆；经过两个点可作___________个圆，这些圆的圆心在______________________________；经过不共线的三点可作__________个圆；经过共线的三点可作____个圆.

4. 三角形的外接圆：经过三角形的____________可作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；

5. 三角形的外心：三角形_____________________叫做三角形的外心，它是三角形____________________.

6. 外心的性质：三角形的外心到________________________________.

7. 如图所示：用尺规作图作出ABC ∆的外接圆（保留作图

痕迹）

图5C

B

A

八、直线与圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系有________种；分别是______________________________________.

2. 直线与圆相离：若直线与圆______公共点，我们说直线与圆__________.

3. 直线与圆相切：若直线与圆____________公共点，我们说直线与圆相切，这条直线叫做圆的_________，这个公共点叫做_______.

4. 直线与圆相交：若直线与圆____________公共点，我们说直线与圆相交，这条直线叫做圆的_________，公共点叫做_______________.

5. 若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则____________________________

⇔⎧⎪⎪⎪

⇔⎨⎪⎪⎪⇔⎩直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交

6. 直线与圆位置关系的判定⎧⎨

⎩方法一：根据直线与圆交点的个数分

方法二：根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小来分

7．切线的判定定理：___________________________________________________________. 8. 切线的性质定理：______________________________________________________. 9. 切线长定理：_____________________________________________________________，并且平分两切点间的线段，平分两切点所对的两条弧.

10. 三角形的内切圆：与三角形三边_______________的圆叫做三角形的内切圆.

11. 三角形的内心：三角形_____________________叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形____________________________的交点.

12. 三角形内切圆的性质：三角形的内心到______________________相等. 13. 如图6所示，作出ABC ∆的内切圆（保留作图痕迹）

图6C B

A

图7C B A 图8

O

C B

A