整体法在加速度不等系统中的应用

整体法在加速度不等系统中的应用

浙江省义乌中学(322000) 傅可钦

【摘要】整体法与隔离法是解决连接体问题的两种重要方法，其中，利用整体法思路清晰，步骤简洁，本文重点分析其在加速度不等系统中应用的思路和注意要点，以期引导学生能在较复杂情景中灵活自如地运用整体法。

【关键词】整体法 加速度不等系统

【问题引入】

如图1，一只质量为m 的小猫跳起来抓住悬吊在天花板上质量为M 的

竖直木杆，在这瞬间悬绳断了，当小猫继续向上爬时，使得小猫离地的高度 不变，在此过程中，木杆下落的加速度多大？

解析：取猫为研究对象，它相对地面静止，故有mg f =。

再取杆为研究对象，由牛顿第二定律得：Ma f Mg =+/

又由牛顿第三定律可得，猫对杆的摩擦力f f =/

由以上各式可得:g M

m M a += 在运用牛顿运动定律分析此类加速度不等的连接体问题时，通常用隔离法求解，那么，能否用整体法进行求解呢？

【评析点悟】

其实在加速度不等的系统中，牛顿第二定律同样适用，可以表述为：

系统所受的合外力等于系统中各部分物体质量与其对应加速度的乘积之和，即： 合F = +++332211a m a m a m

当系统内各部分加速度相同时，则有：合F =（1m +2m +3m +……）a m a 总=，此即我们熟悉的牛顿第二定律常用式。

下面就以上例题用整体法分析：猫相对地面静止，其加速度为零，杆下落的加速度待求，设为a ；对整体，猫和杆所受合外力只有两者的重力，即g m M )(+，故有：a g m M M )(=+，即可得结果。

与隔离法相比，整体法解题思路清晰，步骤简洁明快，避开了系统内相互作用力的分析，删繁就简，使牛顿运动定律在多对象问题中应用自如，有效地提高了学生应用动力学

知识解题的能力，下面通过较复杂情景中的应用与隔离法作一比较。

如图2，有一倾角为θ、质量M 的木楔ABC 静置于粗糙水平地

面上，有一质量m 的光滑物块在木楔上由静止开始沿斜面下滑。在

此过程中木楔没有动，求地面对木楔的摩擦力和支持力大小。

解析：利用隔离法解题：

先取物块m 为研究对象，受力分析如图3，

可得：θsin g a =

再取木楔为研究对象，受力分析如图4，

水平方向上：θsin /1N f =

由牛顿第三定律有：1/1N N =

而对物块m ，可得：θcos 1mg N =

由以上各式联立，可得：

θθθcos sin sin /1mg N f ==

竖直方向上：θθ2/12cos cos mg Mg N Mg N +=+=

如利用整体法分析，受力分析与运动分析如图5，其中

将物块加速度沿水平、竖直方向正交分解。

在水平方向上，由加速度的水平分量不难确定地面对木楔的

摩擦力方向水平向左，大小由牛顿第二定律可得：

θθθcos sin cos mg ma f ==

竖直方向上：θθ2sin sin mg ma N mg Mg ==-+

可得：θθ22cos )sin 1(mg Mg mg Mg N +=-+=

通过以上比较不难看出，在加速度不等的系统中应用整体法解题优势明显，其实，不管是定性分析，还是定量求解，该法较隔离法更能全面把握问题关键，凸显运动和力的关系，有效提高解题速度，更深入地理解牛顿运动定律。下面就此类问题进行实战演练。

【应用巩固】

练习1：（2004年全国理综）如图6，在倾角为a 的固定光滑斜

面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知木板的质

量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以

保持其相对斜面的位置不变，则此时木板沿斜面下滑的加速度为（ ） A. a g sin 21 B. a g sin C.a g sin 2

3 D.a g sin 2 解析：当绳子突然断开，猫保持相对斜面的位置不变，即相对地面的位置不变，处于平衡状态，木板沿斜面下滑，取猫和木板整体为研究对象进行受力分析，由牛顿第二定律可得：ma a mg 2sin 3=，即可得答案为C 。

变式训练1：倾角为θ的光滑斜面上，放有一质量为M 的木板，其上表面粗糙，为使木板在斜面上静止不动，今有一质量为m 的猫在上奔跑，试确定猫的运动方向及加速度大小。

（参考答案：猫应具有沿斜面向下的加速度，大小为θsin g m

m M +） 练习2：如图7，在某箱子内的竖直杆上套有一金属环，设箱子和竖直

杆的质量之和为M ，金属环的质量为m ，现给箱子一个竖直向上的恒力F

的作用，使箱子以加速度a 匀加速上升，环以g 5.0的加速度匀加速下滑，

试求 F 的大小。

解析：取箱子和环为研究对象，由牛顿第二定律可得：

g m Ma mg Mg F 5.0)(⨯-=+-

可解：mg a g M F 2

1)(++= 变式训练2：如图8，某箱子放在水平地面上，箱内固定一竖直杆， 在杆上套着一个环，箱和杆的质量为M ，环的质量为m ，已知环沿着

杆以加速度a （g a <）加速下滑，试分析此时箱对地面的压力。

(参考答案：ma mg Mg -+)

变式训练3：如图9，A 为电磁铁，C 为胶木秤盘，A 和C(包括支架)

的总质量为M ，B 为铁片，质量为m ，整个装置用轻绳悬于o 点，当电

磁铁通电，铁片被吸引上升的过程中，轻绳上拉力F 的大小为 （ ）

A.mg F =

B.g m M F Mg )(+<<

C.g m M F )(+=

D.g m M F )(+>