清华大学自主招生试题数学

2011年自主招生华约数学试题一、选择题

(1) 设复数z满足|z|<1且

15

||

2

z

z

+=则|z| = ( )

4321 A B C D 5432

解：由

15

||

2

z

z

+=得2

5

||1||

2

z z

+=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍

去），

1

2 。

(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为P A、PB的中点，且侧面与底面所成二面角

。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

1111

A B C D

36812

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2

得高为

。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，

)

，则

1111

(,,(,,

222222

M N

-

，

31213

(,,),(,,

222222

DM AN

=-=-。

设所成的角为θ，则

1 cos

6

DM AN

DM AN

θ==。

解法二：如图，设底面边长为2

得高为

。平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。而

P A = PB = AB = 2，所以QN = AN

=

AQ

= ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角

1

cos 6

ANQ ∠=。

解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。

(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )

A 2B1C 1D 2 - -

此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若222cos cos 3

A B A B π

+=

+，则的最小值和最大值分别为 (

) 3131A1,B ,C1D ,122222222

-

-+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式2

2

cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：2

2

1cos 21cos 21

cos cos 1(cos 2cos 2)222

A B A B A B +++=

+=++ 1

1cos()cos()1cos()2

A B A B A B =++-=--，可见答案是B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，

111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，22211

2O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故

1212211()22

O CA O CB OO O OO O πα

-∠+∠=∠+∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212

OO O OO O πα

-∠=∠=

，

1212124

O CA O CB OO O πα

-∠=∠=∠=

， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。 (6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )

A 有且只有一个

B 有且只有两个

C 有且只有三个

D 有且只有四个

[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。

(7) 已知向量3131

(0,1),(,),(,),(1,1)2222

a b c xa yb zc ==-

-=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )

4

3A1

B C D 232

解：由(1,1)xa yb zc ++=得

1)111222

y z y z y z y z x x ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222

2

2

2

()()2

y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y

+ z ，y - z

三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧

-=⎪

⎨⎪+=-⎩

，代入

22

2

2

2

2

()()2

y z y z x y z x ++-++=+

22222824

2(1)343()3333

x x x x x =+-+

=-+=-+，答案B (8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 (

)

A B C D 533

解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x 联立，

解得A B (3+2+ (3-2- ，

，于是

22CA CB k k =

=

，tan 1CA CB CA CB

k k ACB k k -∠==+，答案A

解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。

tan tan 2

DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠=

==。类似的，有