第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质【教师版】

二、填空题
8．设数列{an}为公比 q>1 的等比数列，若 a4，a5 是方程 4x2－8x＋3＝0 的两根，则 a6＋a7
＝
.
答案 18
解析 由题意得 a4＝12，a5＝32，∴q＝aa54＝3. 1＋3
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝ 2 2 ×32＝18.
9．已知数列{an}是等比数列，且 an>0，a3a5＋2a4a6＋a5a7＝81，则 a4＋a6＝
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m 且 n，m∈N*)； (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an； (3)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列；
2 答案 C 解析 奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，得 a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则a2a4a6a8a10＝
a1a3a5a7a9 q5＝32，则 q＝2. 4．在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，求插入的 6 个数的积的值． 解 设这 8 个数组成的等比数列为{an}，则 a1＝1，a8＝2. 插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
.
答案 8
解析 由等比数列的性质，得 a3a11＝a27，∴a27＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知 b5＋b9＝2b7＝8.
11．在等比数列{an}中，若 a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则 a41a42a43a44＝
.
答案 1 024
解析 设等比数列{an}的公比为 q， a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，② ②÷①得 q48＝8，q16＝2， ∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)(q16)10＝210＝1 024. 三、解答题
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝aa32＝3. 6．(2018·长春模拟)公比不为 1 的等比数列{an}满足 a5a6＋a4a7＝18，若 a1am＝9，则 m 的值
为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10.
7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则 n 等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 C
解析 设数列{an}的公比为 q，由 a1a2a3＝4＝a31q3 与 a4a5a6＝12＝a31q12，可得 q9＝3，an－1anan ＋1＝a31q3n－3＝324，因此 q3n－6＝81＝34＝q36，所以 n＝14.
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例 1 等比数列{an}中．
(1)已知 a4＝2，a7＝8，求 an；
(2)若{an}为递增数列，且 a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式 an.
解 (1)∵a7＝q7－4＝8，
a4
2
即 q3＝4，∴q＝3 4，
∴an＝a4·qn－4＝2·(3
又{an}各项均为正数，
∴a4a5a6＝5 2. 反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练 3 等比数列{an}中，若 a12＝4，a18＝8，求 a36 的值．
解
由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36
成等比数列，且a18＝2，故 a12
a36＝4×24
1 (5)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列{λan}(λ≠0)，an ，{a2n}都是等比数列，且公比分别是 q，1，q2.
q an
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 bn 也都是等比数 列，公比分别为 pq 和p.
q
1．an＝amqn－m(n，m∈N*)，当 m＝1 时，就是 an＝a1qn－1.( √ ) 2．等比数列{an}中，若公比 q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ ) 3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × ) 4 ． 若 数 列 {an} 的 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 成 等 比 数 列 ， 且 公 比 相 同 ， 则 {an} 是 等 比 数 列．( × )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为 q，则由 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21 得 3(1＋q2＋q4)＝21，解得
q2＝－3(舍去)或 q2＝2，于是 a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选 B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例 2 已知{an}为等比数列． (1)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25
跟踪训练 2 设各项均为正的等比数列{an}满足 a4a8＝3a7，则 log3(a1a2…a9)等于( ) A．38 B．39 C．9 D．7
答案 C
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7 且 a7≠0，∴a5＝3， ∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9. 题型三 由等比数列衍生的新数列
第 2 课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并 能用相关性质简化计算．
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝a1·qn③
q 其中当②中 m＝1 时，即化为①. 当③中 q＞0 且 q≠1 时，y＝a1·qx 为指数型函数．
＝64.
等比数列的实际应用 典例 某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示 n(n∈N*)年后这辆车的价值． (2)如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得 a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项 a1＝13.5，公比 q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. ∴n 年后车的价值为 an+1＝13.5×0.9n 万元． (2)由(1)得 a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满 4 年时卖掉这辆车，大概能得到 8.9 万元． [素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数 列的问题，解数学模型即解等比数列问题． (2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
答案 A
解析 ∵a2 019＝8a2 016＝a2 016·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则 a1·a15 的值为( )
A．100
B．－100
C．10 000
D．－10 000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a38＝6， ∴a38＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a28＝10 000. 4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则 a8 等于( ) A．64 B．128 C．256 D．512
一、选择题
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列 答案 D 解析 由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此 a3，a6，a9 一定成等比数列．故选 D. 2．在等比数列{an}中，若 a2 019＝8a2 016，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8
答案 B
解析 a2＋a3＝q(a1＋a2)＝3q＝6，
∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3， ∴a1＝1.∴a8＝27＝128.
5．已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比 q
为( )
A.1 B．3 C．±1 D．±3
3
3
答案 B
解析 设等差数列为{an}，公差为 d，d≠0. 则 a23＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)， 化简得 d2＝－2a1d，
例 3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6 等于( )
A．4 2 B．6 C．7 D．5 2
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 也成等比数列， ∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9) ＝5×10，
.
答案 9
解析 因为数列{an}为等比数列，且 a3a5＋2a4a6＋a5a7＝81， 所以 a24＋2a4·a6＋a26＝81，所以(a4＋a6)2＝81，
百度文库
又 an>0，所以 a4＋a6＝9.
10．已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 b7＝a7，则 b5＋b9＝
4)n－4＝2·
2 23
n4
＝
2n5
23 3
(n∈N*)．
(2)由 a25＝a10＝a5·q10－5，且 a5≠0，
得 a5＝q5，即 a1q4＝q5，
又 q≠0，∴a1＝q.
由 2(an＋an＋2)＝5an＋1 得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得 q＝1或 q＝2. 2
＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10) ＝log395＝10. 反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
a1＝2， ∴
q＝2.
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． 反思感悟 (1)应用 an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求 a1.
(2)等比数列的单调性由 a1，q 共同确定，但只要单调，必有 q>0.
跟踪训练 1 已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7 等于( )
＝(a1a8)3＝23＝8. 5．已知 an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 解 不是等比数列． ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前 n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)， 求出基本量． 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
1．在等比数列{an}中，若 a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 答案 A 解析 由 a5＝a2q3，得 q3＝8，所以 q＝2. 2．等比数列{an}中，若 a2a6＋a24＝π，则 a3a5 等于( ) A.π B.π C.π D.4π
432 3 答案 C 解析 a2a6＝a24＝a3a5，∴a3a5＝π2. 3．已知等比数列{an}共有 10 项，其中奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，则其公比是( ) A.3 B. 2 C．2 D．2 2