第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质【教师版】
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质

一、选择题 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列
2.在等比数列{an}中,若 a2 019=8a2 016,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m 且 n,m∈N*); (2)若 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·al=am·an; (3)若 m,p,n 成等差数列,则 am,ap,an 成等比数列;
(4)在等比数列{an}中,连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列;
2
4.在 1 与 2 之间插入 6 个正数,使这 8 个数成等比数列,求插入的 6 个数的积的值.
5.已知 an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列?
1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法,指应用通项公式,前 n 项和公式,等差中项,等比中项等列出方程(组), 求出基本量. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
2.等比数列{an}中,若公比 q<0,则{an}一定不是单调数列.(
)
3.若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.(
)
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.(
)
1
题型一 等比数列通项公式的推广应用 例 1 等比数列{an}中. (1)已知 a4=2,a7=8,求 an; (2)若{an}为递增数列,且 a25=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式 an.
人教版高中数学必修五课件:第二章 数列2-4-2 等比数列的性质

【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1,an公=2比n-为1,4所的以等a比ann数122 列,22nn=故1 242a,n2=4n-1.
答案:an2=4n-1
2.由a4·a7=-512,得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0,_q_>_1_或a1<0,_0_<_q_<_1_时,{an}为递增数列. (2)当____,0<q<1或a1<0,____时,{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时,{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中,a6=6,a9=9,则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m,n,p,l∈N*),那么aman=apal吗? 提示:相等,aman=2m-1×2n-1=2m+n-2, apal=2p-1×2l-1=2p+l-2,因为m+n=p+l, 所以m+n-2=p+l-2,所以aman=apal.
探究2:对任意的等比数列{an},若有m+n=p+l(m,n,p,l∈N*), 那么aman=apal吗? 提示:相等,设等比数列{an}的公比为q,则am=a1qm-1, an=a1qn-1,ap=a1qp-1,al=a1ql-1,aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2, apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2, 因为m+n=p+l,所以aman=apal.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5

名师点评
抓住各项序号的数字特征,灵活运用等比数列的性质,可以顺利地 解决问题.
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4.an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列? 不是等比数列. ∵a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35, ∴a1a3≠a22, ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法,指应用通项公式,前n项和公式,等差中项,等比中 项等列出方程(组),求出根本量. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列. (1)假设an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
a2a4+2a3a5+a4a6=a23+2a3a5+a25 =(a3+a5)2=25, ∵an>0, ∴a3+a5>0, ∴a3+a5=5.
(2)假设an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
方法二 设这四个数依次为2qa-a,aq,a,aq(q≠0),
2qa-a+aq=16, 由条件得aq+a=12,
解得aq==82,
a=3, 或q=13.
当a=8,q=2时,所求的四个数为0,4,8,16;
当 a=3,q=13时,所求的四个数为 15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am·an= ap·aq . ①特别地,当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an= a2k . ②对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ,
高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第二课时 等比数列的性质

第二课时 等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题,思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么?[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n },{b n }是项数相同的等比数列,则{a n ·b n }也是等比数列.特别地,若{a n }是等比数列,c 是不等于0的常数,则{c ·a n }也是等比数列.(2)在等比数列{a n }中,若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积. (4)在等比数列{a n }中,每隔k 项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为q k +1.(5)当m ,n ,p (m ,n ,p ∈N *)成等差数列时,a m ,a n ,a p 成等比数列.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时,{a n }为递增数列.( ) (3)当q =1时,{a n }为常数列.( )解析:(1)正确,根据等比数列的定义可以判定该说法正确. (2)错误,当q >1,a 1>0时,{a n }才为递增数列.(3)正确,当q =1时,数列中的每一项都相等,所以为常数列. 答案:(1)√ (2)× (3)√2.由公比为q 的等比数列a 1,a 2,…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,…是( )A .等差数列B .以q 为公比的等比数列C .以q 2为公比的等比数列D .以2q 为公比的等比数列解析:选C 因为a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n =q 2为常数,所以该数列为以q 2为公比的等比数列.3.已知等比数列{a n }中,a 4=7,a 6=21,则a 8的值为( )A .35B .63C .21 3D .±21 3解析:选B ∵{a n }成等比数列. ∴a 4,a 6,a 8成等比数列∴a 26=a 4·a 8,即a 8=2127=63.4.在等比数列{a n }中,各项都是正数,a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=4,则a 4+a 8=________.解析:∵a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 24, ∴a 24+a 28=41,又a 4a 8=4,∴(a 4+a 8)2=a 24+a 28+2a 4a 8=41+8=49,∵数列各项都是正数, ∴a 4+a 8=7. 答案:7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数,使这n +2个数成等比数列,则插入的n 个数的积为( )A .10nB .n 10C .100nD .n 100(2)在等比数列{a n }中,a 3=16,a 1a 2a 3…a 10=265,则a 7等于________. [解析] (1)设这n +2个数为a 1,a 2,…,a n +1,a n +2, 则a 2·a 3·…·a n +1=(a 1a n +2)n 2=(100)n 2=10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10=(a 3a 8)5=265,所以a 3a 8=213, 又因为a 3=16=24,所以a 8=29. 因为a 8=a 3·q 5,所以q =2. 所以a 7=a 8q =256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组,先解出a 1和q ,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.[活学活用]1.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A .7 B .5 C .-5D .-7解析:选D 因为数列{a n }为等比数列,所以a 5a 6=a 4a 7=-8,联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 4a 7=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=4,a 7=-2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4,所以q 3=-12或q 3=-2,故a 1+a 10=a 4q3+a 7·q 3=-7.2.在等比数列{a n }中,已知a 4a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,则a 10=________. 解析:由a 4·a 7=-512,得a 3·a 8=-512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8=-512,a 3+a 8=124, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3=-4,a 8=128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3=128,a 8=-4.(舍去). 所以q =5a 8a 3=-2.所以a 10=a 3q 7=-4×(-2)7=512. 答案:512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是________.(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.[解析] (1)设这四个数分别为a ,aq ,aq 2,aq 3,则a -1,aq -1,aq 2-4,aq 3-13成等差数列.即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq -1)=(a -1)+(aq 2-4),2(aq 2-4)=(aq -1)+(aq 3-13),整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q -1)2=3,aq (q -1)2=6,解得a =3,q =2.因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45. [答案] 45(2)解:法一:设前三个数为aq ,a ,aq ,则a q ·a ·aq =216, 所以a 3=216.所以a =6. 因此前三个数为6q ,6,6q . 由题意知第4个数为12q -6. 所以6+6q +12q -6=12,解得q =23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二:设后三个数为4-d,4,4+d ,则第一个数为14(4-d )2,由题意知14(4-d )2×(4-d )×4=216,解得4-d =6.所以d =-2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ,a ,aq . 推广到一般:奇数个数成等比数列设为: …a q 2,aq,a ,aq ,aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为: a q 3,aq,aq ,aq 3. 推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为: …a q 5,a q3,aq ,aq ,aq 3,aq 5… (3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为:a ,aq ,aq 2,aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为( )A .-4或352B .4或352C .4D .1712解析:选B 设插入的第一个数为a ,则插入的另一个数为a 22.由a ,a 22,20成等差数列得2×a 22=a +20.∴a 2-a -20=0,解得a =-4或a =5. 当a =-4时,插入的两个数的和为a +a 22=4.当a =5时,插入的两个数的和为a +a 22=352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元,计划从2018年2月起,每月生产总值比上一个月增长m %,那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元?[解] 设从2018年1月开始,第n 个月该厂的生产总值是a n 万元,则a n +1=a n +a n m %, ∴a n +1a n=1+m %.∴数列{a n }是首项a 1=a ,公比q =1+m %的等比数列.∴a n =a (1+m %)n -1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20=a (1+m %)20-1=a (1+m %)19(万元).数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求和公式解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解.[活学活用] 如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =2 2.过点 A 作BC 的垂线,垂足为A 1 ;过点 A 1作 AC 的垂线,垂足为 A 2;过点A 2 作A 1C 的垂线,垂足为A 3 ;…,依此类推.设BA =a 1 ,AA 1=a 2 , A 1A 2=a 3 ,…, A 5A 6=a 7 ,则 a 7=________.解析:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC =22,所以AB =AC =a 1=2,AA 1=a 2=2,…,A n -1A n =a n +1=sin π4·a n =22a n =2×⎝⎛⎭⎫22n ,故a 7=2×⎝⎛⎭⎫226=14. 答案:14层级一 学业水平达标1.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于( ) A .-24 B .0 C .12D .24解析:选A 由题意知(3x +3)2=x (6x +6),即x 2+4x +3=0,解得x =-3或x =-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2.对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A .a 1,a 3,a 9成等比数列 B .a 2,a 3,a 6成等比数列 C .a 2,a 4,a 8成等比数列D .a 3,a 6,a 9成等比数列解析:选D 设等比数列的公比为q ,因为a 6a 3=a 9a 6=q 3,即a 26=a 3a 9,所以a 3,a 6,a 9成等比数列.故选D.3.在正项等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析:选D 设公比为q ,则由等比数列{a n }各项为正数且a n +1<a n 知0<q <1,由a 2·a 8=6,得a 25=6.∴a 5=6,a 4+a 6=6q+6q =5. 解得q =26,∴a 5a 7=1q 2=⎝⎛⎭⎫622=32.4.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q 为( )A.13 B .3 C .±13D .±3解析:选B 设等差数列为{a n },公差为d ,d ≠0.则a 23=a 2·a 6,∴(a 1+2d )2=(a 1+d )·(a 1+5d ),化简得d 2=-2a 1d , ∵d ≠0,∴d =-2a 1,∴a 2=-a 1,a 3=-3a 1,∴q =a 3a 2=3.5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)=6,则a 1·a 15的值为( ) A .100 B .-100 C .10 000D .-10 000解析:选C ∵a 3a 8a 13=a 38,∴lg(a 3a 8a 13)=lg a 38=3lg a 8=6.∴a 8=100.又a 1a 15=a 28=10000,故选C.6.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.解析:设此三数为3,a ,b ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a =3+b ,(a -6)2=3b , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =15,b =27.所以这个未知数为3或27. 答案:3或277.设数列{a n }为公比q >1的等比数列,若a 4,a 5是方程4x 2-8x +3=0的两根,则a 6+a 7=________.解析:由题意得a 4=12,a 5=32,∴q =a 5a 4=3.∴a 6+a 7=(a 4+a 5)q 2=⎝⎛⎭⎫12+32×32=18. 答案:188.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10,n ∈N *),则第10个正方形的面积S =a 210=22·29=211=2 048. 答案:2 0489.在由实数组成的等比数列{a n }中,a 3+a 7+a 11=28,a 2·a 7·a 12=512,求q . 解:法一:由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q -4+a 7+a 7q 4=28, ①a 7q -5·a 7·a 7q 5=512, ② 由②得a 37=512,即a 7=8. 将其代入①得2q 8-5q 4+2=0.解得q 4=12或q 4=2,即q =±142或q =±42.法二:∵a 3a 11=a 2a 12=a 27, ∴a 37=512,即a 7=8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3+a 11=20,a 3a 11=64,即a 3和a 11是方程x 2-20x +64=0的两根,解此方程得x =4或x =16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3=4,a 11=16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3=16,a 11=4.又∵a 11=a 3·q 8,∴q =±⎝⎛⎭⎫a 11a 318=±418=±42或q =±⎝⎛⎭⎫1418=±142. 10.在正项等比数列{a n }中,a 1a 5-2a 3a 5+a 3a 7=36,a 2a 4+2a 2a 6+a 4a 6=100,求数列{a n }的通项公式.解:∵a 1a 5=a 23,a 3a 7=a 25, ∴由题意,得a 23-2a 3a 5+a 25=36, 同理得a 23+2a 3a 5+a 25=100,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3-a 5)2=36,(a 3+a 5)2=100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3-a 5=±6,a 3+a 5=10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3=2,a 5=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3=8,a 5=2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=12,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=32,q =12.∴a n =2n-2或a n =26-n .层级二 应试能力达标1.在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则( ) A .a 1=1 B .a 3=1 C .a 4=1D .a 5=1解析:选B 由题意,可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=1,即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3=1,又a 1·a 5=a 2·a 4=a 23,所以a 53=1,得a 3=1.2.已知等比数列{a n }中,a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9等于( ) A .2 B .4 C .8D .16解析:选C 等比数列{a n }中,a 3a 11=a 27=4a 7,解得a 7=4,等差数列{b n }中,b 5+b 9=2b 7=2a 7=8.3.已知数列{a n }为等差数列,a 1,a 2,a 3成等比数列,a 1=1,则a 2 016=( ) A .5B .1C .0D .-1解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,则由a 1,a 2,a 3成等比数列得(1+d )2=1+2d ,解得d =0,所以a 2 016=a 1=1.4.设各项为正数的等比数列{a n }中,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( )A .230B .210C .220D .215解析:选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,∴a 301·q1+2+3+…+29=a 301·q29×302=230, ∴a 1=2-272,∴a 3·a 6·a 9·…·a 30=a 103·(q 3)9×102=(2-272×22)10×(23)45=220. 5.在等比数列{a n }中,若a 7=-2,则此数列的前13项之积等于________. 解析:由于{a n }是等比数列,∴a 1a 13=a 2a 12=a 3a 11=a 4a 10=a 5a 9=a 6a 8=a 27,∴a 1a 2a 3…a 13=(a 27)6·a 7=a 137, 而a 7=-2.∴a 1a 2a 3…a 13=(-2)13=-213. 答案:-2136.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则a 2-a 1b 2=________.解析:由题意,知a 2-a 1=-1-(-7)3=2,b 22=(-4)×(-1)=4.又因为b 2是等比数列中的第三项,所以b 2与第一项同号,即b 2=-2,所以a 2-a 1b 2=2-2=-1. 答案:-17.已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列ab 1,ab 2,…,ab n ,…为等比数列,其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.求数列{b n }的通项公式.解:依题意a 25=a 1a 17,即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d ),所以a 1d =2d 2,因为d ≠0,所以a 1=2d ,数列{ab n }的公比q =a 5a 1=a 1+4d a 1=3,所以ab n =a 13n -1,①又ab n =a 1+(b n -1)d =b n +12a 1,② 由①②得a 1·3n -1=b n +12·a 1. 因为a 1=2d ≠0,所以b n =2×3n -1-1.8.容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ,容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ,A ,B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b ),先将A 中农药的14倒入B 中,混合均匀后,再由B倒入一部分到A 中,恰好使A 中保持m L ,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n 次操作后,A 中农药的浓度为a n ,B 中农药的浓度为b n ,则a 0=a %,b 0=b %.b 1=15(a 0+4b 0),a 1=34a 0+14b 1=15(4a 0+b 0);b 2=15(a 1+4b 1),a 2=34a 1+14b 2=15(4a 1+b 1);…;b n =15(a n -1+4b n -1),a n =15(4a n -1+b n -1).∴a n -b n =35(a n -1-b n -1)=…=35(a 0-b 0)·⎝⎛⎭⎫35n -1. ∵a 0-b 0=15,∴a n -b n =15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%,n ∈N *,解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.。
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)

2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中, 特别要注意它们的区别,避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列, Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn; 解 因为{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以an =19-2(n-1)=-2n+21,
的m的个数;若不存在,请说明理由.
解 若存在m,使b1,b4,bt成等差数列, 则2b4=b1+bt,
∴ 7 ×2= 1 + 2t-1 ,
7+m
1+m 2t-1+m
2.4 等比数列(二)
28
7m+1 7m-5+36
∴t=
=
=7+
36
,
m-5
m-5
m-5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m-5=36,18,9,6,4,3,2,1, 即m=41,23,14,11,9,8,7,6时,t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值,且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn=an+an m(m∈N*)知 b1=1+1 m,b2=3+3 m,b8=151+5 m,
∵b1,b2,b8成等比数列,
等比数列的性质(教师版)

1 a7 a6a8 1 解:∵a2· a4· a6· a8· a10=32,∴a6=2,∴log2a7- log2a8=log2 =log2 =log2 a6=log2 2= .[答案]D 2 2 a8 a8
-2-
考向四 两个重要性质的应用 例 4—1 若数列{an}为等比数列,则下列命题正确的是________. 1 ①{a2 k}(k≠0)为等比数列. n},{a3n}均为等比数列;②{ban}为等比数列;③{ },{|an|}均为等比数列;④{an± an 2 3 an+1 an+1 2 a3n+1 a3n+3 a3n· q 解析:设数列{an}的公比为 q,则① 2 =( ) =q2, = = =q3,∴{a2 n},{a3n}均为等比数列. an an a3n a3n a3n ban+1 an+1 ②当 b=0 时,数列{ban}不是等比数列;当 b≠0 时, = =q.∴{ban}不一定是等比数列. ban an 1 an+1 an 1 |an+1| an+1 1 ③ = = , =| |=|q|,∴{ }与{|an|}均为等比数列. 1 an an an+1 q |an| an an+1± k ④当 k≠0 时, 不是常数,∴{an± k}(k≠0)不是等比数列.答案:①③ an± k 例 4—2 在等比数列{an}中,若 a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100=________. b9 解:因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,…,a99+a100 成等比数列,从而得 a99+a100= 8. a (1)若{an}是等比数列,公比为 q,则数列 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为 qm 的等比数列; an 1 (2)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,其公比分别是 q1 , q2 ,则:{an· bn},b ,{λan}(λ≠0),{|an|},a ,{a2 n}, n n { an}仍是等比数列。 变式 4—1 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列, 则称 f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在(-∞, 0)∪(0, +∞)上的如下函数: ①f(x)=x2; ②f(x)=2x; ③f(x)= |x|; ④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 。 a2 n an 2=q2,符合题意; 解:设等比数列{an}的公比为 q,则对于 f(x)=x2,f(an)=a2 ,由等比数列定义得, 2 = n an-1 an-1 2an x 而对于 f(x)=2 ,f(an)=2an,由等比数列定义得, =2(an-an-1),不为定值,故不符合题意;对于 f(x)= |x|, 2an-1 |an| an = |q|为定值,符合题意;对于 f(x)=ln|x|,f(a )=ln|a |,由等比数列定义得, f(an)= |an|,则 = n n an-1 |an-1| ln|an| 并不为定值,故不符合题意;故①③正确. ln|an-1| 变式 4—2 在等比数列{an}中,存在正整数 m,有 am=3,am+5=24,则 am+35=________. am+5 5 am+15 解析:∵ =q =8,又 =q10=(q5)2=82.∴am+15=24× 82=1536. am am+5 考向五 等比数列的证明 例 5—1 已知数列{an}满足 a1=1, an+1=2an+1(n∈N*). 求证: 数列{an+1}是等比数列, 并写出{an}的通项公式。 an+1+1 证明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),又 a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0,∴ =2, an+1 ∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列.∴an+1=2n,可得 an=2n-1. 1 例 5—2 已知数列{an}中,a1= ,点(n,2an+1-an)在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3….,令 bn=an+1-an-1,求证数 2 列{bn}是等比数列; 1 3 3 1 3 解:由已知得 2an+1=an+n,又 a1= ,∴a2= ,b1=a2-a1-1= - -1=- ,又∵bn=an+1-an-1,∴bn+1 2 4 4 2 4 an+1+ n +1 an+n an+1-an-1 - -1 2 2 2 bn+1 an+2-an+1-1 1 =an+2-an+1-1,∴ = = = = . bn an+1-an-1 an+1-an-1 an+1-an-1 2 3 1 ∴{bn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 an+1 (1)定义法: =q(q 为非零常数)⟺数列{an}是等比数列; (2)中项公式法: a2 an+2(n∈N*)且 an≠0⟺ n+1=an· an 数列{an}是等比数列。
高中数学人教A版必修五教学课件:第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质

-6 解析:a4a7=a1· a10= =-2. 3
答案:B
3. 等比数列{an}中, 若 a9=-2, 则此数列前 17 项之积为____________.
解析:由题意得 a1a2a3…a15a16a17 =(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 =a17 9 =(-2) =-2 .
2 ∴a6 =a2· a10,
1 ∴a10=162 × =13 122. 2
2
法三:由公式 ap· aq=ap+k· aq-k 得
2 a2· a10=a2+4· a10-4=a6 .
1 ∴a10=1622× =13 122. 2
答案:13 122
探究二
an+1=can+d(c≠1,cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路:充分发挥项的 “下标”的指导作用,分析等比数列项 与项之间的关系,选择恰当的性质解题. (2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
1.在等比数列中,若 a2=2,a6=162,则 a10=________.
解析:法一:∵a6=a2q4,其中 a2=2,a6=162, ∴q4=81, ∴a10=a6q4=162×81=13 122. 法二:∵2,6,10 三数成等差数列, ∴a2,a6,a10 成等比数列.
-
1n-1 4n-1 n-1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )=3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题,需要抓住变中的不变量,即数据在改
变,但其变化规律不改变,事实上,给出的图形只是问题的载体,我 们只需从“形”中抽象出“数”,即可将问题归结为等比数列.
a1=1, 1 ∴ 或 1 q = . q=2,
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5

6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页,共30页。
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(wèntí)导
学
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tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
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优质实用高中数学公开课课件精选人教版第2章数列2.4第2课时等比数列的性质

∴aa73==146, 或aa73==41.6, 当a3=4,a7=16时,a3+a7=a3+a3q4=20, ∴1+q4=5,∴q4=4, 当a3=16,a7=4时,a3+a7=a3+a3q4=20, ∴1+q4=54,∴q4=14, ∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
《等比数列的性质》
执教教师:XXX
自主学习 新知突破
• 1.了解等比数列的性质的由来. • 2.掌握等比数列的性质并能综合运用.
等比数列的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)an=amqn-m(m,n∈N*); (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*), 则am·an=ap·aq=a2k; (3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列;
p,q∈N*)时am+an=ap+aq p,q∈N*)时aman=apaq
相同 (1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是
点 常数;(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定
•积1组.成将新公的比数为列q的a1等a2比,数a2a列3,{aan3}a依4,次…取,相此邻数两列项是的(乘 ) • A.公比为q的等比数列 • B.公比为q2的等比数列 • C.公比为q3的等比数列 • D.不一定是等比数列
(4)数列{an}为等比数列,则数列{λan}(λ为不等于0的常数) 与a1n仍然成等比数列.
•=1_.__(1_)_在__等_.比数列{an}中,若a2=2,a6=12,则a10 •项(2之)在积等等比于数__列__{_a_n_}_中.,若a7=-2,则此数列的前13
解析: (1)方法一:设{an}的公比为q, 则aa11qq5==21,2, 解得q4=6, ∴a10=a1q9=a1q·(q4)2=2×36=72. 方法二:∵{an}是等比数列, ∴a26=a2·a10, 于是a10=aa226=1222=1424=72.
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质

等差数列
(1)强调每一项与前一项的 差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中 别 项唯一
(4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈ N*)时, am+an=ap+aq
等比数列
(1)强调每一项与前一项的比
(2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等 比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时, aman=apaq
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2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a
与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a=
.
答案:5
-4-
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1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an = ���������2��� . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.
高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5

1 1 ∴{bn}是首项为 a-4,公比为2的等比数列.
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中, 已知 a1 =1,且 a1=b1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a, b 使得对一切正整数 n, 都有 an=logabn +b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,说明理由.
1 bn+1 2n 1d 1 ∴ = = , bn 1 2 2nd
+
∴数列{bn}是等比数列.
[辨析]
①在解方程变形过程中,不可在方程两边同时约
去含未知量的因式, 错解中, 由 d2=a1d 约去 d 得出 d=a1 是错 bn+1 误的, ②在判定{bn}是等比数列, 做除法 b 时, 应先说明 bn≠0. n
等比数列的综合应用
1 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 = a≠ 4 , 且 an + 1 =
n为偶数 . n为奇数
1 记 bn=a2n-1-4,n=1,2,3,„„. (1)求 a2、a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
[解析]
1 1 1 1 1 (1)a2=a1+4=a+4,a3=2a2=2a+8.
(8){an}是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项积相 等,且等于首末两项之积.即:a1an=a2 an-1 =a3 an-2 =„= ak an-k+1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列,则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列.
重点难点展示
重点:等比数列的性质. 难点:灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题.
[正解]
∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,
高中数学:第2章 数列 §2.4-第2课时

第2课时等比数列的性质1.等比数列{a n}中,a4=4,则a2·a6等于A.4B.8C.16D.32解析因为{a n}是等比数列,所以a2·a6=a24=16.★答案★ C2.在正项等比数列{a n}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a40a50a60的值为A.32B.256C.±64D.64解析因为a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,所以a1a99=16,又a40a60=a1a99=a250,{a n}是正项等比数列,所以a50=4,所以a40a50a60=a350=64.★答案★ D3.在等比数列{a n }中,a n >a n +1,且a 7·a 11=6,a 4+a 14=5,则a 6a 16等于A.32B.23C.16D.6解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11=a 4·a 14=6,a 4+a 14=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=3a 14=2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=2,a 14=3.又因为a n >a n +1,所以a 4=3,a 14=2. 所以a 6a 16=a 4a 14=32. ★答案★ A4.在等比数列{a n }中,公比q =2,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5=________. 解析 因为数列{a n }为等比数列,所以a 3=a 1·q 2,a 4=a 2·q 2,a 5=a 3·q 2, 所以a 3+a 4+a 5=a 1·q 2+a 2·q 2+a 3·q 2=q 2(a 1+a 2+a 3), 又因为q =2,所以a 3+a 4+a 5=4(a 1+a 2+a 3), 因为前3项和为21,所以a 1+a 2+a 3=21, 所以a 3+a 4+a 5=4×21=84. ★答案★ 845.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.解析 设此三数为3,a ,b ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a =3+b ,(a -6)2=3b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =15,b =27.所以这个未知数为3或27.★答案★ 3或27[限时45分钟;满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列解析a n-1a na n-2a n-1=a n-1a n-2·a na n-1=q·q=q2(n≥3),所以新数列是公比为q2的等比数列.★答案★ B2.已知等比数列{ a n}中a7=-1,a19=-8,则a13=A.-22B.22C.16D.-32解析由等比数列的性质得:a19a7=(q6)2=8,q6=22,a13=a7·q6=(-1)·22=-2 2.★答案★ A3.已知等比数列{a n}中,a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于A.2B.4C.8D.16解析由数列{a n}是等比数列,且a3a11=4a7,得a27=4a7,∴a7=4或a7=0(舍).所以在等差数列{b n}中,有b5+b9=2b7=2a7=8.★答案★ C4.设各项为正数的等比数列{a n}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.230B.210C.220D.215解析 由a 1·a 2·a 3·…·a 30=230得a 301·21+2+…+29=a 301·229×302=230.∴a 101·2145=210. ∴a 101=2-135.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30=a 101·22+5+8+…+29=a 101·2155=2-135×2155=220.★答案★ C5.已知数列{a n }(n ∈N *)是首项为1的等比数列,设b n =a n +2n ,若数列{b n }也是等比数列,则b 1+b 2+b 3=A.9B.21C.42D.45解析 设数列{a n }的公比为q ,则a 2=q ,a 3=q 2,∴b 1=a 1+21=3,b 2=a 2+22=q +4,b 3=a 3+23=q 2+8.∵数列{b n }也是等比数列,∴(q +4)2=3(q 2+8),解得q =2.当q =2时,a n =2n -1,b n =3·2n -1,符合题意,故q =2.∴b 1+b 2+b 3=3+6+12=21.★答案★ B6.(能力提升)已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是A.-15B.-5C.5D.15解析 由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),得log 3a n +1-log 3a n =1且a n >0,即log 3a n +1a n=1,得a n +1a n =3,所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3,所以a 5+a 7+a 9=9×33=35.所以log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1335=-log 335=-5.★答案★ B二、填空题(每小题5分,共15分)7.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7的值等于________. 解析 设{a n }的公比为q ,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去),所以a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.★答案★ 428.若-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,则b =________,ac =____________.解析 因为-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,所以b 2=(-1)×(-9)=9,设公比为q ,则b =-1·q 2<0,故b =-3,又-1,a ,b 成等比数列,所以a 2=-b =3,同理c 2=27,所以a 2c 2=3×27=81.又a ,c 符号相同,所以ac =9.★答案★ -3 99.(能力提升)画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析 这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10,n ∈N *),则第10个正方形的面积S =a 210=22·29=211=2 048.★答案★ 2 048三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(11分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 22,且S 1,S 2,S 4成等比数列,求{a n }的通项公式.解析 设{a n }的公差为d .由S 3=a 22,得3a 2=a 22,故a 2=0或a 2=3.由S 1,S 2,S 4成等比数列,得S 22=S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ). 若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d =0,此时S n =0,不符合题意;若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0,或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n -1.11.(12分)互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数列,求这三个数.解析 设三个数为aq,a ,aq ,∴a 3=-8,即a =-2,∴三个数为-2q ,-2,-2q .(1)若-2为-2q 和-2q 的等差中项,则2q+2q =4, ∴q 2-2q +1=0,q =1,与已知矛盾; (2)若-2q 为-2q与-2的等差中项,则1q +1=2q ,2q 2-q -1=0,q =-12或q =1(舍去),∴三个数为4,-2,1; (3)若-2q 为-2q 与-2的等差中项,则q +1=2q ,∴q 2+q -2=0,∴q =-2或q =1(舍去), ∴三个数为1,-2,4.综合(1)(2)(3)可知,这三个数为-2,1,4.12.(12分)(能力提升)已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 2=3,4S 2=S 4. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{2a n }是等比数列; (3)求使得S n +2>2S n 成立的n 的集合. 解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =3,4×(2a 1+d )=4a 1+6d .解得a 1=1,d =2, 所以a n =2n -1.(2)依题意,得2a n 2a n -1=22n -122n -3=4,所以数列{2a n }是首项为2,公比为4的等比数列. (3)由a 1=1,d =2,a n =2n -1,得S n =n 2, 所以S n +2>2S n ⇒(n +2)2>2n 2⇒(n -2)2<8. 所以n =1,2,3,4, 故n 的集合为{1,2,3,4}.。
高一数学 第二章 2.4(二)等比数列(二)

§2.4 等比数列(二)1.一般地,如果m ,n ,k ,l 为正整数,且m +n =k +l ,则有a m ·a n =a k ·a l ,特别地,当m +n =2k 时,a m ·a n =a 2k .2.在等比数列{a n }中,每隔k 项(k ∈N *)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.3.如果{a n },{b n }均为等比数列,且公比分别为q 1,q 2,那么数列{1a n },{a n ·b n },{b n a n},{|a n |}仍是等比数列,且公比分别为1q 1,q 1q 2,q 2q 1,|q 1|.一、选择题1.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于( )A .9B .10C .11D .12答案 C解析 在等比数列{a n }中,∵a 1=1,∴a m =a 1a 2a 3a 4a 5=a 51q 10=q 10.∵a m =a 1q m -1=q m -1, ∴m -1=10,∴m =11.2.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y =x 2-2x +3的顶点是(b ,c ),则ad 等于( )A .3B .2C .1D .-2 答案 B解析 ∵y =(x -1)2+2,∴b =1,c =2.又∵a ,b ,c ,d 成等比数列,∴ad =bc =2.3.若a ,b ,c 成等比数列,m 是a ,b 的等差中项,n 是b ,c 的等差中项,则a m +c n=( ) A .4 B .3 C .2 D .1答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知:m =a +b 2,n =b +c 2, 则a m +c n =2a a +b +2c b +c =21+q +2q 1+q=2. 4.已知各项为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6等于( )A .5 2B .7C .6D .4 2答案 A解析 ∵a 1a 2a 3=a 32=5,∴a 2=35.∵a 7a 8a 9=a 38=10,∴a 8=310.∴a 25=a 2a 8=350=5013, 又∵数列{a n }各项为正数,∴a 5=5016. ∴a 4a 5a 6=a 35=5012=5 2. 5.在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9的值为( )A.43B.34 C .2 D .343答案 A解析 ∵a 4a 6=a 25,∴a 4a 5a 6=a 35=3,得a 5=313. ∵a 1a 9=a 2a 8=a 25,∴log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9=log 3(a 1a 2a 8a 9)=log 3a 45=log 3343=43. 6.在正项等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 设公比为q ,则由等比数列{a n }各项为正数且a n +1<a n 知0<q <1,由a 2·a 8=6,得a 25=6.∴a 5=6,a 4+a 6=6q+6q =5. 解得q =26,∴a 5a 7=1q 2=(62)2=32. 二、填空题7.在等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=16,则a 3=________.答案 4解析 由题意知,q 4=a 5a 1=16,∴q 2=4,a 3=a 1q 2=4. 8.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=________. 答案 -6解析 由题意知,a 3=a 1+4,a 4=a 1+6.∵a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 23=a 1a 4,∴(a 1+4)2=(a 1+6)a 1,解得a 1=-8,∴a 2=-6.9.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为________. 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n },则a 1=1,a 8=2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7=(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)=(a 1a 8)3=23=8.10.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则a 2-a 1b 2的值是________.答案 12解析 ∵-1,a 1,a 2,-4成等差数列,设公差为d ,则a 2-a 1=d =13[(-4)-(-1)]=-1, ∵-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,∴b 22=(-1)×(-4)=4,∴b 2=±2.若设公比为q ,则b 2=(-1)q 2,∴b 2<0.∴b 2=-2,∴a 2-a 1b 2=-1-2=12. 三、解答题11.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为21,中间两项和为18,求这四个数.解 设这四个数分别为x ,y,18-y,21-x ,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x (18-y )2(18-y )=y +(21-x ), 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =3y =6或⎩⎨⎧ x =754,y =454.故所求的四个数为3,6,12,18或754,454,274,94. 12.设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列,c n =a n +b n ,证明数列{c n }不是等比数列.证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ,p ≠0,q ≠0,p ≠q ,c n =a n +b n .要证{c n }不是等比数列,只需证c 22≠c 1·c 3成立即可. 事实上,c 22=(a 1p +b 1q )2=a 21p 2+b 21q 2+2a 1b 1pq ,c 1c 3=(a 1+b 1)(a 1p 2+b 1q 2)=a 21p 2+b 21q 2+a 1b 1(p 2+q 2).由于c 1c 3-c 22=a 1b 1(p -q )2≠0,因此c 22≠c 1·c 3,故{c n }不是等比数列. 能力提升13.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列,c 、a 、b 成等比数列,且a +3b +c =10,则a 等于( )A .4B .2C .-2D .-4答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b =a +c , ①a 2=bc , ②a +3b +c =10, ③①代入③求得b =2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a +c =4,a 2=2c ⇒a 2+2a -8=0, 解得a =2或a =-4.当a =2时,c =2,即a =b =c 与已知不符,∴a =-4.14.等比数列{a n }同时满足下列三个条件:①a 1+a 6=11 ②a 3·a 4=329 ③三个数23a 2,a 23,a 4+4a依次成等差数列,试求数列{a n }的通项公式.解 由等比数列的性质知a 1a 6=a 3a 4=329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 6=11a 1·a 6=329解得⎩⎨⎧ a 1=13a 6=323求⎩⎨⎧ a 1=323a 6=13当⎩⎨⎧ a 1=13a 6=323时q =2 ∴a n =13·2n -1 23a 2+a 4+49=329,2a 23=329 ∴23a 2,a 23,a 4+49成等差数列, ∴a n =13·2n -1 当⎩⎨⎧ a 1=323a 6=13时q =12,a n =13·26-n 23a 2+a 4+49≠2a 23, ∴不符合题意,∴通项公式a n =13·2n -1.1.等比数列的基本量是a 1和q ,依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组),然后解方程(组),求得a 1和q 的值,再解决其它问题.2.如果证明数列不是等比数列,可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明,即存在a n ,a n +1,a n +2,使a 2n +1≠a n ·a n +2.3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.。
高中数学人教版必修5课件:2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)

an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q , 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质,会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点:等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中: 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
【注】等式两边相乘的项数必须一样多!
追 踪
利用等比数列的性质填空:
练 在等比数列{an}中: 习 (1)若a5=2,a10=10,则a15=__,
a6·a9=__。
(2)若a13·a22=14,a10=4 ,则a25=___。
(3)若a2·a4=4,则a3=___。
提 升
利用等比数列的性质填空:
吗?
1、等比数列性质一:
• 设数列{an}是公比为q的等比数列,则:
an=amqn-m (m,n∈N*)
【例】a10=a5q( ), a12=a20q( )
是等比数列通 项公式的推广
追
踪 在等比数列{an}中: 训
练
(1)a5=3,q=
1 3
,a9=__。
(2)a4=4,a7=-32,则q=__。
明朝未及,我只有过好每一个今天,唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢(先别急着纠正我的错误,你确实可以在评判过去中学到许多)。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢?为何不及时行乐呢?如果你的回答是“不”,那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们:不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说:“靠,我真失败,我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做,他们都会反反复复,一次一次地尝试。如果一条路走不通,那就走走其他途径,不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质,没有人生来害怕失败,记住这一点。宁愿做事而犯错,也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难,但是随着时间的流逝,你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机,所以当你觉得做某事还不是时候,先做起来再说吧。喜欢追梦的人,切记不要被 梦想主宰;善于谋划的人,切记空想达不到目标;拥有实干精神的人,切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意,明天不再升起;月亮不会因为你的抱怨,今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛,不等于世界就漆黑一团;蒙住别人的眼睛,不等于光明就属于自己!鱼搅不浑大海,雾压不倒高山,雷声叫不倒山岗,扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长,总高不过它的脑袋。人的脚指头再长,也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想!以前认为水不可能倒流,那是还没有找到发明抽水机的方法;现在认 为太阳不可能从西边出来,这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的,没有做不到的!不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧,放弃一样东西则需要勇气!终而复始,日月是也。死而复生,四时是也。奇正相生,循环无端,涨跌相生,循环无端,涨跌相生,循环 无穷。机遇孕育着挑战,挑战中孕育着机遇,这是千古验证了的定律!种子放在水泥地板上会被晒死,种子放在水里会被淹死,种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
最新2.4--第2课时-等比数列的性质教学讲义ppt课件

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⒉在等比数列{an}中,an>0,a2 a4+2a3a5+1a44a56=836,
那么a3+a5= _6 .
⒊在等比数列{an}中, a15 =10, a45=90,则
a30 =__3_00或__-_3_0___.
⒋在等比数列{an}中,a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=__4_8_0_.
性质5: 若{cn}是公差为d′ 的等差数列,则数列{an+cn} 是公差为d+d′的等差数列.
猜想5:若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列
{bn•dn}是公比为q·q′的 等比数列.
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
10 9 8●
等比数列的图象2 数列: 8,4,2,1, 1, 1,1,
2 48
7
6
5
4
●
递减数列
3
2
●
1
● ●● ●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
等比数列的图象3
18
16
14 数列:4,4,4,4,4,4,4,…
12
常数列
10
8
6
4
●●● ● ●●●● ● ●
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
等比数列的图象4
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学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质,并 能用相关性质简化计算.
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1① =amqn-m② =a1·qn③
q 其中当②中 m=1 时,即化为①. 当③中 q>0 且 q≠1 时,y=a1·qx 为指数型函数.
又{an}各项均为正数,
∴a4a5a6=5 2. 反思感悟 借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量.
跟踪训练 3 等比数列{an}中,若 a12=4,a18=8,求 a36 的值.
解
由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36
成等比数列,且a18=2,故 a12
a36=4×24
.
答案 9
解析 因为数列{an}为等比数列,且 a3a5+2a4a6+a5a7=81, 所以 a24+2a4·a6+a26=81,所以(a4+a6)2=81,
又 an>0,所以 a4+a6=9.
10.已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9=
∵a1=q,且{an}为递增数列,
a1=2, ∴
q=2.
∴an=2·2n-1=2n(n∈N*). 反思感悟 (1)应用 an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求 a1.
(2)等比数列的单调性由 a1,q 共同确定,但只要单调,必有 q>0.
跟踪训练 1 已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7 等于( )
例 3 已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( )
A.4 2 B.6 C.7 D.5 2
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列,
∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 也成等比数列, ∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9) =5×10,
一、选择题
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 答案 D 解析 由等比数列的性质得,a3·a9=a26≠0,因此 a3,a6,a9 一定成等比数列.故选 D. 2.在等比数列{an}中,若 a2 019=8a2 016,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8
.
答案 8
解析 由等比数列的性质,得 a3a11=a27,∴a27=4a7.
∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.
再由等差数列的性质知 b5+b9=2b7=8.
11.在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则 a41a42a43a44=
.
答案 1 024
解析 设等比数列{an}的公比为 q, a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a41·q6=1,① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a41·q54=8,② ②÷①得 q48=8,q16=2, ∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a41·q166=a41·q6·q160=(a41·q6)(q16)10=210=1 024. 三、解答题
7.(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,
则 n 等于( )
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 C
解析 设数列{an}q12,可得 q9=3,an-1anan +1=a31q3n-3=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14.
答案 A
解析 ∵a2 019=8a2 016=a2 016·q3,∴q3=8,∴q=2.
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则 a1·a15 的值为( )
A.100
B.-100
C.10 000
D.-10 000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)=lg a38=6, ∴a38=106,∴a8=102=100.∴a1a15=a28=10 000. 4.等比数列{an}中,a1+a2=3,a2+a3=6.则 a8 等于( ) A.64 B.128 C.256 D.512
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m 且 n,m∈N*); (2)若 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·al=am·an; (3)若 m,p,n 成等差数列,则 am,ap,an 成等比数列;
(4)在等比数列{an}中,连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列;
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例 1 等比数列{an}中.
(1)已知 a4=2,a7=8,求 an;
(2)若{an}为递增数列,且 a25=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式 an.
解 (1)∵a7=q7-4=8,
a4
2
即 q3=4,∴q=3 4,
∴an=a4·qn-4=2·(3
=(a1a8)3=23=8. 5.已知 an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列? 解 不是等比数列. ∵a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35, ∴a1a3≠a22,∴数列{an}不是等比数列.
1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法,指应用通项公式,前 n 项和公式,等差中项,等比中项等列出方程(组), 求出基本量. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为 q,则由 a1=3,a1+a3+a5=21 得 3(1+q2+q4)=21,解得
q2=-3(舍去)或 q2=2,于是 a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选 B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例 2 已知{an}为等比数列. (1)若 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求 a3+a5; (2)若 an>0,a5a6=9,求 log3a1+log3a2+…+log3a10 的值. 解 (1)a2a4+2a3a5+a4a6=a23+2a3a5+a25
1 (5)若{an}是等比数列,公比为 q,则数列{λan}(λ≠0),an ,{a2n}都是等比数列,且公比分别是 q,1,q2.
q an
(6)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是 p 和 q,那么{anbn}与 bn 也都是等比数 列,公比分别为 pq 和p.
q
1.an=amqn-m(n,m∈N*),当 m=1 时,就是 an=a1qn-1.( √ ) 2.等比数列{an}中,若公比 q<0,则{an}一定不是单调数列.( √ ) 3.若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.( × ) 4 . 若 数 列 {an} 的 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 成 等 比 数 列 , 且 公 比 相 同 , 则 {an} 是 等 比 数 列.( × )
=(a3+a5)2=25, ∵an>0, ∴a3+a5>0, ∴a3+a5=5.
(2)根据等比数列的性质,得
a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1a2…a9a10) =log395=10. 反思感悟 抓住各项序号的数字特征,灵活运用等比数列的性质,可以顺利地解决问题.
1.在等比数列{an}中,若 a2=8,a5=64,则公比 q 为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A 解析 由 a5=a2q3,得 q3=8,所以 q=2. 2.等比数列{an}中,若 a2a6+a24=π,则 a3a5 等于( ) A.π B.π C.π D.4π
432 3 答案 C 解析 a2a6=a24=a3a5,∴a3a5=π2. 3.已知等比数列{an}共有 10 项,其中奇数项之积为 2,偶数项之积为 64,则其公比是( ) A.3 B. 2 C.2 D.2 2
∵d≠0,∴d=-2a1,∴a2=-a1,a3=-3a1,∴q=aa32=3. 6.(2018·长春模拟)公比不为 1 的等比数列{an}满足 a5a6+a4a7=18,若 a1am=9,则 m 的值
为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,∴a1am=a5a6,∴m=10.
跟踪训练 2 设各项均为正的等比数列{an}满足 a4a8=3a7,则 log3(a1a2…a9)等于( ) A.38 B.39 C.9 D.7
答案 C
解析 ∵a4·a8=a5·a7=3a7 且 a7≠0,∴a5=3, ∴log3(a1a2…a9)=log3a95=log339=9. 题型三 由等比数列衍生的新数列
2 答案 C 解析 奇数项之积为 2,偶数项之积为 64,得 a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,则a2a4a6a8a10=
a1a3a5a7a9 q5=32,则 q=2. 4.在 1 与 2 之间插入 6 个正数,使这 8 个数成等比数列,求插入的 6 个数的积的值. 解 设这 8 个数组成的等比数列为{an},则 a1=1,a8=2. 插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)