极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程

◆ 知识梳理 一、极坐标

1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对

(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或2

2

2

tan (0)x

y y

x x

ρθ⎧=+⎪

⎨

=≠⎪⎩

，θ的象限由点(,)x y 所

在象限确定.

二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ；

（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ；

（3）圆心在点)2,(π

a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。

2、直线的极坐标方程

（1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； 三、常见曲线的参数方程

第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换

【知识点】

定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0)

:'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩的作用下，

点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。 定义2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ

平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ

，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+

即有： x x h

y y k '=+⎧⎨'=+⎩

，

在平面直角坐标系中，由x x h

y y k

'=+⎧⎨'=+⎩所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程；

（II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 练习：

1．将点)2,2(-P 变换为点)1,6(-'P 所用的伸缩变换公式是 （ ）

A.⎪⎩⎪⎨⎧='='y

y x x 231 B.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 321 C.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 D.⎩⎨⎧='='y y x x 23

2.在同一直角坐标系中，将直线22x y -=变成直线2''4x y -=，则满足图象变换的伸缩变换公式是______________.

3.在平面直角坐标系中将曲线1:22=+y x C 按照变换'4:3'2x x y y ϕ=⎧⎪

⎨=⎪⎩得到的曲线'C 的方程为

___________。

4.已知曲线1cos :()sin x C y θθθ

=⎧⎨

=⎩为参数.若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的1

2，纵坐标压缩为原来

的，得到曲线2C ，则曲线2C 的参数方程为________，普通方程为

___________。

【典例2】把圆22

1:(3)(1)4C x y ++-=先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长

度后得到圆2C ，求圆2C 的普通方程。

练习：

1. 点)3,2(-P 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点'P 的坐标是

_________。

2. 抛物线24x y =先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的

顶点坐标是_________。

3. 将曲线22:240C x y x y +-+=先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的曲线的方程是_________。

第二节 极坐标与直角坐标互化

【知识点】cos sin x y ρθ

ρθ

=⎧⎨

=⎩ 或222tan (0)x y y

x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪

⎩

，θ的象限由点(,)x y 所在象限确定. 练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标

（1）(3,)4π ； （2）2(2,)3π ； （3） (4,)2π

；

（4

）(

,)2π ； （5

）7)6π ； （6）5(1,)4

π

； 练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标 （1

） ；（2

）(0, ； （3） 1

(0,)2

； （4）(3,0) ； （5

）(3, ； （6

）(2,-- ； 考点二：曲线的极．坐标方程与直．角坐标方程的互化 练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

（1）cos 2sin 10ρθρθ-+=: ； （2: ； （3: ；

（4）2sin ρθ=: ； （5）4cos 2sin ρθθ=-: ； （6）4cos ρθ=: ； (7): ； （8: ；

；； 注意：极．．．．：直线0θθ=或射线0θθ= →直：y kx =（或y kx =（0x ≥）或y kx =（0x ≤）

练习二：把下列曲线的直．角坐标方程化为极．

坐标方程: