案例三数列在购房问题中的应用
数列在贷款问题中的应用
住房贷款问题
a1 a2
等额本息还款与等额本金还款虽仅有一字之差，
却是截然不同的两种还款方式。 等额本息还款即借款人每月按相等的金额偿还 贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款 涉及到an与Sn之间的转化 本金计算并逐月结清。 了，很难求解！可否通过 设每个月偿还金额为 x 元，如何求解 x 呢？ 另外的模型先求解 x呢？ 240个月中，一共又产生了多少的利息呢？ 如何构建数列模型？ 设第n个月产生的利息为an可以得到什么？
1 bn bn 4.5% x ,1 n 239 12
1 b1 864836 1 4.5% x 12
b240 0
求解数学模型
bn1
1 bn 1 4.5% x ,1 n 239 12
数据观察
建立数学模型 借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
住房贷款问题
每月偿还金额分为两个部分： 本金（864,836元）平均分配到每个月的部分：
此时已经偿还了3903.48*(n – 1)元的本金，产 生利息的本金金额为3903.48*(24 – (n – 1)) 1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12
a240 240 x 864836
建立数学模型
住房贷款问题
等额本息还款
借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
我们也可以这样考虑：第
n 个月还款后还剩余 bn元未偿还；那么第 n + 1 个月还款后剩余债 务bn + 1与 bn 之间有什么关系呢？
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用
高考数学专题复习：数列在日常生活中的应用一、单选题1．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠%a ，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（ ）（a 取整数，计算过程中参考以下数据：910111.02 1.195,1.02 1.219,1.02 1.243===） A ．8%B ．9%C ．11%D ．19%2．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值101.005 1.05=，111.005 1.06=）（ ） A ．1767B ．1818C ．1923D ．19463．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）． A ．1B ．3C ．9D ．814．某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第1个星期到第15个星期内，记第n 个星期王师傅上班天数为()f n ，张师傅上班天数为()g n ，用a ，b ，c ，d 分别表示()()g n f n -等于2，1，0，1-的个数，则(a ，b ，c ，d )=（ ）A ．(4,7,4,0)B ．(3,7,4,1)C ．(3,7,5,0)D ．(3,8,4,0)5．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r + B ．5(1)(1)ar r r⎡⎤+-+⎣⎦ C ．6(1)a r +D ．6(1)(1)a r r r ⎡⎤+-+⎣⎦6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：781.02 1.149, 1.02 1.172≈≈） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为123,,,a a a ．则2035年年底存栏头数为（参考数据：1415161.08 2.9,1.08 3.2,1.08 3.4≈≈≈）（ ） A ．1005 B ．1080C ．1090D ．1105二、双空题8．某公司为一个高科技项目投入启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为________万元，该公司经过________年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标．（lg 20.30≈，lg30.48≈）9．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________．第2008棵树种植点的坐标应为________． 10．已知桶0A 中盛有2升水，桶0B 中盛有1升水．现将桶0A 中的水的34和桶0B 中的水的14倒入桶1A 中，再将桶0A 与桶0B 中剩余的水倒入桶1B 中；然后将桶1A 中的水的34和桶1B 中的水的14倒入桶2A 中，再将桶1A 与桶1B 中剩余的水倒入桶2B 中；若如此继续操作下去，则桶n A ()n *∈N 中的水比桶n B ()n *∈N 中的水多________升．11．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为________万元．四、解答题12．银行按规定每经过一定的时间结算存（货）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性货款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年货款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行货款利息均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？计算精确到千元，参考数据：101.12.594=，101.313.796=）13．某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2021年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2021为第1年）的利润为150012n⎛⎫+⎪⎝⎭万元（n为正整数）.（1）设从2021起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B万元（须扣除技术改造资金），求n A、n B的表达式；（2）依上述预测，从2021起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？14．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？15．放射性元素在t =0时的原子核总数为0N ，经过一年原子核总数衰变为0N q ，常数1q -称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年． （1）碳14的年衰变率为多少（精确到610-）（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？16．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？17．假设某银行的活期存款年利率为0.35%某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用n a 表示第n 年到期时的存款余额，求1a 、2a 、3a 及n a .18．某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元. （Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg2 ≈0.301，lg3≈ 0.477）参考答案1．B 【分析】设优惠率应不低于%a ，由已知可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，解不等式可得答案. 【详解】设优惠率应不低于%a ，由题意可得，()()()998501%12%5 1.02 1.02 1.021a -+≤⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，即1091.0211%0.91610 1.020.02a --≤≈⨯⨯， 解得%8.4%a ≥， 又∵a 取整数， ∴优惠率应不低于9%， 故选：B ． 2．A 【分析】设每月还款x 元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得． 【详解】设每月还款x 元，共还款11个月， 所以10911(1.005 1.005 1.0051)20000 1.005x ⨯++++=⨯，1111111020000 1.00520000 1.00520000 1.0617671 1.061 1.0051 1.005 1.0050.0051 1.005x ⨯⨯⨯===≈--+++--． 故选：A ． 3．D 【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.【详解】 由题意知，第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂， 第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有339⨯=只蜜蜂， 第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有39=27⨯只蜜蜂，第n 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有133=3n n -⨯只蜜蜂， 所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列， 所以其通项公式为：3n ， 所以，第四天共有4381=只蜜蜂. 故选：D 4．D 【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项. 【详解】每个星期王师傅上班天数依次为4,5,5,4,5,5,…，每个星期张师傅上班天数依次为5,6,5,6,6,5,6,5,6,6,…，因此()()g n f n -依次为1,1,0,2,1,0,2,0,1,2,0,1,1,1,1所以()(3840)a b c d =，，，，，，， 故选：D. 5．D 【分析】根据题意分析得到:到2020年1月1日将之前所有存款为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++，最后根据等比数列求和即可. 【详解】根据题意可得：自2015年1月1日到银行新存入a 元，则到2016年1月1日之前银行存款共(1)a r +，2016年1月1日再存入a 元， 到2017年1月1日之前银行存款2(1)(1)a r a r +++，2017年1月1日再存入a 元， 到2018年1月1日之前银行存款32(1)(1)(1)a r a r a r +++++，2018年1月1日再存入a 元，到2019年1月1日之前银行存款432(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r +++++++，2019年1月1日再存入a 元，到2020年1月1日之前银行存款共计5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++， 因为5432(1)(1)(1)(1)(1)a r a r a r a r a r +++++++++5432(1)(1)(1)(1)(1)a r r r r r ⎡⎤=+++++++++⎣⎦56(1)1(1)(1)(1)1(1)a r r ar r r r⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤==+-+⎣⎦-+， 故选：D. 6．A 【分析】设每年存入x 万元，分别求出2021年初至2027年初到2027年底的所有本利和，求和即可求解. 【详解】设每年存入x 万元，则2021年初存入的钱到2027年底本利和为()712%x +， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为()612%x +， ……2027年初存入的钱到2027年底本利和为()12%x +， 则()()()2712%12%12%40x x x ++++++=，即()71.021 1.02401 1.02x -=-，解得 5.3x ≈.故选：A. 7．C 【分析】依据题意可得每年年初存栏数满足()118%100n n a a -=⨯+-，构造等比数列{}1250n a -，利用等比数列通项公式求得()15018%1250n n a -=-⨯++，问题得解.【详解】由题可得11200a =，()2120018%100a =⨯+-，()3218%100a a =⨯+-，…… 由此下去可得：()118%100n n a a -=⨯+- 令()()118%n n a x a x -+=++ 整理可得()118%0.08n n a a x -=⨯++ 令0.08100x =-，解得1250x =-∴数列{}1250n a -是以50-为首项，公比为18%+的等比数列 ∴()112505018%n n a --=-⨯+∴()15018%1250n n a -=-⨯++则2035年年底存栏头数为()()()1511518%1005018%125018%100a -⎡⎤⨯+-=-⨯++⨯+-⎣⎦50 3.21250 1.081001090≈-⨯+⨯-=故选：C8．2440 6 【分析】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-，从而可求出经过两年后该项目的资金，构造等比数列{}1000-n a ，求出n a ，根据翻一番（即原来的2倍）的目标建立不等式，解指数不等式，即可求出所求． 【详解】设n a 是经过n 年后该项目的资金，则1(120%)200n n a a +=+-， 所以12000(120%)2002200a =+-=， 22200(120%)2002440a =+-=，所以经过两年后该项目的资金为2440万元； 因为1(120%)200n n a a +=+-，设1(120%)()n n a p a p ++=++，则1000p =-， 即11000(120%)(1000)n n a a +-=+-，所以{}1000-n a 是以1.2为公比，1200为首项的等比数列， 所以11200 1.210001000 1.21000n n n a -=⨯+=⨯+， 由已知得1000 1.210004000n ⨯+≥，lg3lg36lg 6lg5lg312lg 2n=≈--+，即该公司经过6年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标． 故答案为：①2440；②6． 9． (1,2) (3, 402) 【详解】 T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k =1,2,3,4……)．一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)． 10．12n． 【分析】根据题意，得到n A ，n B 之间的关系，然后用数列知识求解． 【详解】根据题意可得，11313,44n n n n n A B A A B --+==+， ∴1113113(3)4424n n n n A A A A ---=+-=+， ∴1313()222n n A A --=-，即数列32n A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1003313124424A A B -=+-=为首项，12为公比的等比数列，∴1131112422n n n A -+-=⋅=⇒13122n n A +=+， ∴131322n n n B A +=-=-，∴*1112()22n n n n A B n N +-=⨯=∈．故答案为：12n11．4.368【分析】分别求出2017年、2018年、2019年这三年每一年存入的1万元取出时的本息，再计算他们的和即可求解. 【详解】2017年存入1万元到2020年取回的本息为()33120% 1.2+=万元， 2018年存入1万元到2020年取回的本息为()22120% 1.2+=万元， 2019年存入1万元到2020年取回的本息为()1120% 1.2+=万元，所以取回的金额为3321.2(1 1.2)1.2 1.2 1.2 4.3681 1.2-++==-万元，故答案为：4.368. 12．答案见解析. 【分析】由题意可知，甲方案中增长利率是定值，所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求出10年利润总数；乙方案中每年增长的利润是一定值，所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求出10年利润总数，然后比较两种情况的数值． 【详解】解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（元）， 到期时银行的本息和为()10110%1010 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）， ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）， 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元） 贷款的本利和为：1091.111.11(110%)(110%) 1.117.531.11-⎡⎤+++++=⨯=⎣⎦-（万元）， ∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）， 所以，甲方穿的获利较多． 13．（1）249010n A n n =-，n B =5005001002nn --；（2）至少经过4年. 【分析】（1）利用等差数列的求和公式可求得n A ，利用分组求和法可求得n B ； （2）作差得出25010102n n n B A n n ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，分析数列{}n c 的单调性，可得出340c c <<，由此可得出结论.【详解】（1）依题设，()()()()2201500205004050020500490102n n n A n n n n +=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-， 2111111500225001116005005001001222212n n n n B n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++⋅⋅⋅++-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦； （2）()225005050010049010101022n n n n B A n n n n n ⎛⎫-=----=+-- ⎪⎝⎭， 令25010102n n c n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为单调递增数列， 且32510204c ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，425101608c ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以，当且仅当4n ≥时，n n B A >.至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 14．18281.21元 【分析】根据复利计算即可得出答案. 【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为： ()()()()65411000010.027*******.027*******.027*******.0275++++++++()()()()()56120010.0275110.027********.0275110.0275+-+=++-+18281.21≈（元）即能取到18281.21元.15．（1）0.999879；（2）4221.【分析】（1）根据题意，生物体死亡n 年后，体内每克组织中的碳14的残留量为n a ，则可判断出{}n a 是一个等比数列，由题意列出通项公式，解出q 即可； （2）由题意，利用等比数列的通项公式列方程，解出n. 【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则 57305730112n a a qq===，解得：157301()0.9998792q =≈． 即碳14的年衰变率为0.999879；(2)设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n n a a q ===，解得4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡． 16．424万元 【分析】设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则由规律可得第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即可求得x 的值． 【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：31000(150%)10002x x +-=⨯-，第二年剩余资金为：23333(1000)1000()(1)2222x x x ⨯-⨯-=⨯-+， ⋯⋯以此类推，第五年剩余资金为：5234333331000()[1()()()]22222x ⨯-++++，由题意知，5234333331000()[1()()()]200022222x ⨯-++++=，即553()132[]1000()20003212x -=⨯--，解得：424x ≈，故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金．17．110.035a ，210.070a ，310.105a ，1010.35%nn a . 【分析】本题可根据活期存款年利率的计算方式得出结果. 【详解】11010.35%10.035a ，221010.35%10.070a ，331010.35%10.105a ，1010.35%nna .18．（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为 q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过 n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为 q ，显然 q > 0 ， q ≠ 1. 所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=， 所以21616450q q +-=，解得 54q =或49q =-（舍去）， 所以 154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过 n 年，总投入为 41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414nn⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n⎛⎫⎛⎫+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t⎛⎫=<<⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t-+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫<⎪⎝⎭，解得454lg42lg2(lg3lg5)3lg2lg3115log 5.94152lg2lg53lg21lg5n-+-->===≈--由此得n≥6 .所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入.。
案例三数列在购房问题中的应用讲解学习
《数列的应用举例》一、知识与技能1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识；二、教学重点难点重点：抓住分期付款问题的本质分析问题；难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
四、情感态度与价值观通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。
五、实验与教具多媒体六、教学过程创设情境题型一、等差数列模型（单利问题）例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U：第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%，第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%，第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%，以此类推：第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4%•••各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列•••10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008）298080 （元）2购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元）答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。
题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题题型二、等比数列模型（复利问题）例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，按复利计算该家庭每月实际应付款。
数列在日常经济生活中的应用
跟踪训练3 解：（1）设林区原有的树木量为a，调整计划后， 第n年的树木量为an (n = 1,2,3, L), 则a1 = a (1 + 200 0 0 ) = 3a, a2 = a1 (1 + 100 0 0 ) = 2a1 = 6a, 1 a3 = a2 (1 + ) = 2 1 a4 = a3 (1 + ) = 4 3 a2 = 9a, 2 5 45 a3 = a. 4 4
例1、购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次 付款数组成数列{an }, 则a1 = 2 + (25 − 5) ⋅10 0 0 = （万元）； 4 a2 = 2 + (25 − 5 − 2) ⋅10 0 0 = 3.8(万元） a3 = 2 + (25 − 5 − 2 × 2) ⋅10 0 0 = 3.6(万元） LL， n −1 an = 2 + [25 − 5 − (n − 1) ⋅ 2]⋅10 0 = (4 − )(万元）n = 1,2, L,10) ( 5 1 因而数列{an }是首项为4，公差为 - 的等差数列. 5 5 −1 a5 = 4 − = 3.2(万元） . 5 1 10 × (10 − 1) × (− ) 5 = 31(万元) S10 = 10 × 4 + 2 31 + 5 = 36(万元），
例2、设每年应付款x元，那么到最后一次付款时 （即购房十年后）， 第一年付款及所生利息之和为x ×1.075 元，
9
第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758 元， L 第九年付款及所生利息之和为x ×1.075元， 第十年付款为x元，而所购房余款的现价及
] 其利息之和为[1000 × 92 （28800 + 14400）×1.07510 （元） = 48800 ×1.07510 因此有x(1 + 1.075 + 1.0752 + L + 1.0759 ) = 48800 ×1.07510 , 1.075 − 1 ≈ 48800 × 2.061× 0.071 ∴ x = 48800 ×1.075 × 10 1.075 − 1 ≈ 7141(元） .故每年需交款7141元。
教育部参赛_购房中的数学_古征峰
（5）借助具体问题概括出一般情况下等额本息还款法和等额本金还款法的每月还款公式．
2、过程与方法
通过互联网查找资料，学会收集相关数据；通过由特殊到一般的研究方法，归纳概括出每月应还款钱数，培养学生抽象概括能力和合情推理能力．
3、情感态度与价值观
通过开展数学建模活动解决购房中的贷款问题，让学生体会“数学来源于生活”，并逐步形成数学的应用意识，发展学生的实践能力．
贷款评估员还很快根据房贷计算器给出了两种ppid=115844
同学们今后也有可能会面临这样的问题．现在，就请大家用学过的数列知识解释下房贷计算器是如何算出王先生的每月的还款额的？（让学生思考两分钟）
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课
1、如果你家里急用一笔钱买房子或买车，而你家里有没有足够的存款，你有什么办法解决么？（贷款买房）
2、案例：2012年10月，王先生为了改善目前的住房条件，决定购置一套房子．他经过一番调查，决定要在一套商品房和一套二手房之间进行选择，下面是他目前的经济状况及这两套房的具体情况：
四、教学方法
本节课的重难点在于理解贷款买房的每月还款数额的计算原理，为了突破这一重难点，本节课采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法，从一个具体的事例入手进行解决，再进一步把其中蕴含的计算原理通过课堂探究活动推广到一般的情况中，从而得到贷款买房的每月还款数额的计算公式．在这一探究中教师要充分调动学生的积极性，给予学生足够的思考时间，多让学生发言，进行小组间竞争，并适时予以点拨，在充分发挥教师的主导作用的同时，体现学生的主体地位．
3、若设贷款数为C0，贷款期限为n个月，贷款的月利率为r，则每个月的还款额为多少?看看看哪个小组能够最先给出等额本息还款法的每月还款额公式．
购房中的数学
购房中的数学一、调查方案1．确定要调查的对象以及地点、时间2．定好要调查的数据，“年利率”、“月利率”、“日利率”等3．调查近期按揭年限4．研究楼盘的价格，首期多少，如“多少钱一平方米”5．要比较这两个方案哪一个最佳，主要从三个方面考虑；a．贷款后每年付款是否在这位居民经济能力范围b．首付金额是否在这位居民经济能力范围内c．实际付款数与住房原价值多少6．算出15年后的本息和，该居民实际应付款数7．比较两种方案，根据自己实际实情选择8．得出结论，总结体会二、调查步骤1.首先到该地房地产或者上网查找一些近期楼房资料，例如地租、商品房与二手房分别的价格。
2.分析商品房的数据与二手房的数据3.结合自身实际作比较4说明要搞这次报告的目的遇到的困难1、到售楼部进行咨询时被部里的人员拒绝，所以得不到较为准确详尽的资料2、对于家庭的收入如何分配不了解，不知道对于贷款购房家庭来说，如何进行祖先收入分配才是最合适的，使偿还贷款更加方便轻松。
例子：某人想买房子，但又不知如何下手，下图是他的相关内容：购房需要贷款，这位居民选择了一家银行申请购房贷款。
该一行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。
购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不狗鱼实际购房总额的80%。
还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分曾本金部分和利息部分，起计算公式分别为本金部分=贷款本金/贷款期季数利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）*季利率三、具体分析要比较这两个方案哪一个最佳,主要从三个方面考虑.第一,首付金额是否在这位居民经济能力范围内;第二,贷款后每年付款是否在这位居民经济能力范围内;第三,实际付款数与住房原价值多多少.下面,我们就来一个个解决这些问题.由首期付款不低于实际购房总额的20%,若刚好为20%,则买商品房需首付80*1500*20%=24000元,而二手房需要40000元.由表知,他们均在该居民经济能力范围内。
数学方法在购房贷款决策中的应用
㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０１９ ４数学方法在购房贷款决策中的应用数学方法在购房贷款决策中的应用Һ杨㊀奕㊀(吉林省长春市十一高中高二(２５)班ꎬ吉林㊀长春㊀１３００６２)㊀㊀ʌ摘要ɔ不同还款方式对购房者的贷款成本和还贷压力具有不同影响.为了引导购房者在贷款购房中进行科学决策ꎬ选择适当的还款方式ꎬ本文运用数学知识中的等差数列㊁等比数列㊁复利等相关概念和原理ꎬ分析了等额本金和等额本息还款方式对贷款成本和还贷压力的影响ꎬ并提出相关决策建议.ʌ关键词ɔ购房贷款ꎻ还贷决策ꎻ数学方法ꎻ等额本金ꎻ等额本息一㊁引㊀言由于大多数人没有足够的现金ꎬ贷款购房是一种非常普遍的购房方式.购房贷款主要包括住房公积金贷款和商业银行按揭贷款两种方式.住房公积金贷款是缴存住房公积金的购房者向住房公积金管理部门申请的贷款ꎬ商业银行按揭贷款是购房者向商业银行申请的贷款.住房公积金贷款实行限额管理ꎬ按月偿还本息ꎻ商业银行按揭贷款通常也如此ꎬ但商业银行按揭贷款的利率往往高于住房公积金贷款利率ꎬ按照目前利率行情ꎬ２０年期限ꎬ商业银行按揭贷款利率为４.９％ꎬ而公积金贷款利率仅为３.２５％.如果购房者满足住房公积金贷款申请条件ꎬ应该首选住房公积金贷款ꎬ否则ꎬ就只能选择商业银行按揭贷款.无论住房公积金贷款还是商业银行按揭贷款都有两种不同的还款方式 等额本金和等额本息.这两种还款方式大有学问ꎬ选择不当ꎬ会对还款金额产生很大影响.开发商和商业银行一般推荐等额本息还款方式.那么ꎬ作为购房者ꎬ是接受开发商或银行建议呢?还是另行选择?如果想要做出正确的购房决策ꎬ必须计算一下不同还款方式下的还款金额及其影响.下面ꎬ本文将以住房公积金贷款为例ꎬ运用高中数学知识中的等差数列㊁等比数列等相关原理对等额本金与等额本息的还款方式进行分析.二㊁等额本金还款方式下的还贷分析所谓等额本金还款方式ꎬ也就是每月偿还的本金相等而利息不等的一种还款方式.(一)月还款额分析住房公积金贷款实行限额管理ꎬ如长春地区住房公积金贷款最高限额为８０万元.假定某购房者满足住房公积金贷款申请条件ꎬ申请住房公积金贷款８０万元ꎬ期限２０年ꎬ年利率为３.２５％ꎬ月利率为年利率除以１２.由于一次取得本金ꎬ按月等额偿还本金ꎬ则每月还本为８０００００２４０ꎬ各月支付利息不同ꎬ某月支付利息为该月实际占用的本金乘月利率.各月偿还本息情况具体如下:第１个月偿还本息＝８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ꎻ第２个月偿还本息＝８０００００２４０＋８０００００－８０００００２４０()ˑ３ ２５％ː１２ꎻ㊀第３个月偿还本息＝８０００００２４０＋(８０００００－８０００００２４０ˑ２)ˑ３ ２５％ː１２ꎻ第２４０个月偿还本息＝８０００００２４０＋(８０００００－８０００００２４０ˑ２３９)ˑ３.２５％ː１２.假设以Ｐ表示本金ꎬＰ＝８０００００ꎻＩ表示年利率ꎬＩ＝３ ２５％ꎻＮ表示总月数ꎬＮ＝２４０ꎻｎ表示第ｎ个月ꎬｎɤ２４０ꎬ则上述关系表示为:第ｎ个月偿还本息＝ＰＮ＋Ｐ－ＰＮˑ(ｎ－１)[]ˑＩː１２＝ＰＮ＋Ｐ[Ｎ－(ｎ－１)]ＮˑＩː１２＝ＰＮ＋ＰˑＩː１２ˑＮ－(ｎ－１)Ｎ.(二)还款总额分析还款总额ꎬ即各月本息合计数ꎬ等于各月还款本金加上各月还款利息.可以利用上述公式描述各月的还款本息ꎬ然后加总ꎬ本例中还款总月数为２４０个月ꎬ则还款总额＝８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ２４０２４０第１个月本息＋８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ２３９２４０第２个月本息＋８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ２３８２４０第３个月本息 ＋８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ１２４０第２４０个月本息＝２４０ˑ８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ(２４０２４０＋２３９２４０＋２３８２４０＋ ＋１２４０)ꎬ算式２４０２４０＋２３９２４０＋２３８２４０＋ ＋１２４０为公差ｄ＝１２４０ꎬ项数ｎ＝２４０的等差数列的和ꎬ根据等差数列的和公式ｓ＝(ａ１＋ａｎ)ｎ２ꎬ则该算式的值等于２４０２４０＋１２４０()ˑ２４０２ꎬ那么ꎬ还款总额＝２４０ˑ８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ２４０２４０＋１２４０()ˑ２４０２＝８０００００＋８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ２４１２＝８０００００＋２６１０８３.３３＝１０６１０８３.３３(元).在选择等额本金的还款方式下ꎬ住房公积金贷款８０万元ꎬ２０年期限ꎬ还款总额约为１０６万元.三㊁等额本息还款方式下的还贷分析所谓等额本息还款方式ꎬ也就是每月还款本息相等而本金和利息都不等的一种还款方式.(一)月还款额分析与上例相同ꎬ贷款本金８０万元ꎬ期限２０年ꎬ年利率３ ２５％.那么ꎬ每月应还本息多少呢?本文借助图１来说明.假设每月还款本息和为Ａꎬ贷款后ꎬ第１个月还款Ａ１ꎬ第２月还款Ａ２ꎬ第３个月还款Ａ３ꎬ ꎬ第ｎ个月还款Ａｎꎬ这些金额为每月归还的本息和ꎬ在数值上都等于Ａꎬ即Ａ１＝Ａ２＝Ａ３＝ ＝Ａｎ＝Ａꎬ它们所对应的取得借款日的本金 可以㊀㊀㊀㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０１９ ４称之为 期初本金 ꎬ分别为Ａ１ᶄꎬＡ２ᶄꎬＡ３ᶄꎬ ꎬＡｎᶄꎬ每月归还的本息和(Ａｎ)与其对应的各期初本金(Ａｎᶄ)之间是一种复利关系.等额本息还款方式下各期初本金及基本息和关系图假设以Ｐ表示本金ꎬＰ＝８０００００ꎻｉ表示月利率ꎬｉ＝３ ２５％ː１２ꎻＮ表示总月数ꎬＮ＝２４０ꎻｎ表示第ｎ个月ꎬｎɤ２４０ꎻＡ表示每月等额还款本息和ꎬ根据题设和上图所示关系可以得出如下关系式:①每月还款本息和相等Ａ１＝Ａ２＝Ａ３＝ ＝Ａｎ＝Ａ.②每月还款本息和(Ａｎ)与其对应的期初本金(Ａｎᶄ)之间的复利关系Ａ１ᶄ(１＋ｉ)＝Ａ１ꎬＡ１＝Ａꎬ则Ａ１ᶄ＝Ａ１＋ｉꎬＡ２ᶄ(１＋ｉ)２＝Ａ２ꎬＡ２＝Ａꎬ则Ａ２ᶄ＝Ａ(１＋ｉ)２ꎬＡ３ᶄ(１＋ｉ)３＝Ａ３ꎬＡ３＝Ａꎬ则Ａ３ᶄ＝Ａ(１＋ｉ)３ꎬＡｎᶄ(１＋ｉ)ｎ＝ＡｎꎬＡｎ＝Ａꎬ则Ａｎᶄ＝Ａ(１＋ｉ)ｎꎬＡ２４０ᶄ(１＋ｉ)２４０＝Ａ２４０ꎬＡ２４０＝Ａꎬ则Ａ２４０ᶄ＝Ａ(１＋ｉ)２４０.③贷款本金等于各期初本金之和Ａ１ᶄ＋Ａ２ᶄ＋Ａ３ᶄ＋ ＋Ａｎᶄ＋ ＋Ａ２４０ᶄ＝Ｐꎬ则Ａ１＋ｉ＋Ａ(１＋ｉ)２＋Ａ(１＋ｉ)３＋ ＋Ａ(１＋ｉ)ｎ＋ Ａ(１＋ｉ)２４０＝Ｐ.上式为以公比ｑ＝１１＋ｉꎬ项数ｎ＝２４０的等比数列的和ꎬ等比数列的和公式ｓ＝ａ１(１－ｑｎ)１－ｑꎬ因此ꎬ上式可转换为Ａ １１＋ｉ１－１(１＋ｉ)ｎ[]１－１１＋ｉ＝Ｐꎬ推导ꎬ得Ａ＝Ｐｉ(１＋ｉ)ｎ(１＋ｉ)ｎ－１＝８０００００ˑ３.２５％ː１２ˑ(１＋３.２５％ː１２)２４０(１＋３.２５％ː１２)２４０－１＝４５３７.５７(元)ꎬ即每月偿还等额本息为４５３７.５７元.(二)还款总额分析在等额本息还款方式下ꎬ每月偿还本息和相等ꎬ还款总额等于每月偿还的本息合计数乘还款总月数.由于借款期限２０年ꎬ还款总月数为２４０个月ꎬ每月偿还本息４５３７.５７元ꎬ则还款总额为:还款总额＝４５３７.５７ˑ２４０＝１０８９０１６.８０(元).在选择等额本息的还款方式下ꎬ住房公积金贷款８０万元ꎬ２０年期限ꎬ还款总额约为１０９万元.四㊁不同还款方式的比较对同一笔贷款ꎬ即本金８０万元ꎬ期限２０年ꎬ年利率３ ２５％ꎬ选择不同的还款方式有什么差异和影响呢?表１进行了详细的比较与分析.表１㊀等额本金与等额本息还款方式比较表还款方式等额本金ａ等额本息ｂ影响(ａ与ｂ相比)贷款本金(元)８０００００８０００００ 贷款期限(年)２０２０ 贷款利率(％)３.２５３.２５ 利息合计(元)２６１０８３.３３２８９０１６.８０－２７９３３.４７ꎬ节约本息合计(元)１０６１０８３.３３１０８９０１６.８０－２７９３３.４７ꎬ节约首月还款(元)５５００４５３７.５７９６２.４３ꎬ多付比较分析①首月支付＝８０００００２４０＋８０００００ˑ３.２５％ː１２＝５５００元ꎬ其中ꎬ本金３３３３.３３元ꎬ利息２１６６.６７元.㊀②第２个月ꎬ本金３３３３.３３元ꎬ利息２１５７.６４元ꎬ比第１个月减少３３３３.３３ˑ３.２５％ː１２ꎬ即９.０３元.每月偿还本金均为３３３３.３３元ꎬ利息逐月递减ꎬ每月少还利息９.０３元.③每月还本相等ꎬ利息逐月递减ꎬ递减金额相等ꎬ即为减少的本金应负担的那部分利息.①每月还款本息相同均为４５３７.５７元ꎬ其中第１个月ꎬ利息＝８０００００ˑ３.２５％ː１２＝２１６６.６７元ꎬ本金＝４５３７.５７－２１６６.６７＝２３７０.９０元.②第２个月ꎬ利息＝(８０００００－２３７０ ９０)ˑ３ ２５％ː１２＝２１６０.２５元ꎬ本金＝４５３７.５７－２１６０.２５＝２３７７.３２元ꎬ利息比第１个月减少６.４２元ꎬ本金比第１个月增加６.４２元.③每月还款本息相等ꎬ所还本金逐月增加ꎬ利息逐月减少ꎬ即先还息后还本.①采取等额本金方式比采取等额本息方式少支付利息２７９３３.４７元ꎬ节约利息成本近１０％ꎬ导致总还款额较低ꎬ借贷成本较低.②采取等额本金方式首月多支付９６２.４３元ꎬ以后逐月递减９.０３元.还款前期月支付压力较大.而等额本息方式下先还息后还本ꎬ在提前还款时垫付了利息成本.㊀㊀㊀五㊁还贷决策鉴于两种还款方式的不同特征ꎬ决策如下:与等额本息方式相比ꎬ等额本金还款的优点是可以少支付利息ꎬ降低贷款成本ꎻ缺点是ꎬ前期月还款压力较大.所以ꎬ如果购房者能够承受月还款压力ꎬ且将来有可能提前还款ꎬ建议其选择等额本金还款方式.与等额本金方式相比ꎬ等额本息还款的优点是月还款压力小ꎬ但多支付了利息ꎬ且一旦有资金结余ꎬ提前还款则会有较大的利息损失ꎬ因为等额本息方式先还息后还本ꎬ提前还款是非常不划算的.所以ꎬ如果购房者月还款负担重ꎬ且不准备提前还款ꎬ一直坚持贷款期内平均还款ꎬ建议其选择等额本息还款方式.本文选择了住房公积金贷款进行探讨ꎬ如果购房者不能满足住房公积金贷款申请条件ꎬ则只能申请商业银行按揭贷款.由于按揭贷款的利率较高 ２０年期ꎬ年利率４ ９％ꎬ选择不同还款方式对购房者的影响则更大.因此ꎬ购房者在贷款时不要盲目听从开发商及商业银行的建议随意选择还款方式ꎬ而是应该考虑自身的实际情况审慎决策.ʌ参考文献ɔ[１]康书隆ꎬ余海跃ꎬ刘越飞.住房公积金㊁购房信贷与家庭消费[Ｊ].金融研究ꎬ２０１７(８):６７－８２.[２]黄薪颖ꎬ马维珍.浅析房贷还款方案对购房者的影响[Ｊ].价值工程ꎬ２０１６(４):３４－３６.[３]程兰芳ꎬ马肖肖.居民住房支付能力复合指数的编制[Ｊ].统计与决策ꎬ２０１７(３):５－１１.。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》优质课教案_3
数列在生活中的应用---分期付款教学设计一、选课背景2017年数学高考课标中提出了“数学文化”这一概念。
而数学作为一种文化现象，早已是人们的常识了。
古希腊和文艺复兴时期的许多文化名人，往往本身就是数学家，如柏拉图、达芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素等。
从20世纪初期以来，数学教学的形式化现象越来越严重，学生往往只会做死题，死做题，忽略了数学源于生活，服务于生活的本质。
随着社会的发展，信息化的推进，信用制度的完善和人们生活的需要，分期付款购物已成为一种必然的趋势，作为新一代的高中学生，借助所学知识，掌握分期付款原理，合理安排收支也是其步入社会的一项能力，所以选择这堂课，不但可以作学生刚学完数列知识的习题拓展课，还可以让学生体会到数学学科在实际应用中的价值。
二、学情分析函数应用举例部分又学习过复利（平均增长率）计算，所以知识储备已足。
但由于经济不独立，真正接触过分期付款的同学不多，大多数同学只是听说过这种说法，但实际的操作是一无所知的。
因为这堂课需要大运算，科学计算器必需准备好，但之前了解了下，其实很多同学是不会用的，特别是高指数的运算，所以有必要在课前培训一下。
三、教学目标1.通过生活实例，体会分期付款本质，即本金加利息2.通过本课学习，使学生能推导等额本金与等额本息两种不同还款方式的计算公式，并会将实际生活问题中的数据代入计算，通过结果能初步得出结论。
3.渗透理论与实际相结合的思想，强化数学来源于生活并服务于生活的思想，提高学生的数学文化修养。
四、教学手段采用多媒体辅助，科学计算器和导学案五、教学过程1、引入部分：通过图片展示，首先让学生了解分期付款已经在各个领域走入了我们的生活，为后续学习相关知识的必然性打下基础。
2、通过小明买手机的问题，引出等额本金与等额本息两种不同的还款方式，点出本节课的学习内容。
3、以还6期为例，先引导学生计算等额本息还款法，抓住其特点，即每期还款额相同，再强调分期本身的特点，即本金+利息。
数学练习解数列的应用问题
数学练习解数列的应用问题数学中，数列是指按照一定规律排列的一组数。
数列广泛应用于实际问题中，可以帮助我们解决各种实际应用问题。
本文将通过解决数列的应用问题，介绍数列在实际生活中的重要作用。
一、购物优惠券问题小明最近收到了一家购物商城的优惠券，规定第一天购物可优惠10元，第二天购物可优惠20元，第三天购物可优惠30元，以此类推。
小明想知道如果连续购物n天，他可以享受多少总优惠？为了解决这个问题，我们可以将问题抽象成一个数列。
我们观察到第n天的优惠金额为10n，因此我们可以得到数列的通项公式为an = 10n，其中an表示第n天的优惠金额。
利用数列的求和公式，可以得到小明连续购物n天的总优惠金额为S = (a1 + an) * n / 2 = (10 + 10n) * n / 2。
举个例子，如果小明连续购物5天，他将获得的总优惠为S = (10 + 10*5) * 5 / 2 = 150元。
二、人口增长问题某城市当前的人口为10万人，每年增长3%。
小明想知道经过多少年，该城市的人口将达到20万人？我们可以通过数列来解决这个问题。
我们观察到第n年的人口数量为an = 10 * (1 + 0.03)n，其中an表示第n年的人口数量。
我们需要找到满足an = 20的最小整数n。
通过数列的通项公式，我们可以得到10 * (1 + 0.03)n = 20。
化简后得到 (1 + 0.03)n = 2。
为了解决这个指数方程，我们可以使用逼近法或对数方法。
假设n为整数，则可通过试错法逐渐增加n，直到满足方程 (1 + 0.03)n = 2。
通过计算，我们得到当n = 24时，方程成立。
因此，经过24年，该城市的人口将达到20万人。
三、等差数列问题某车间每天生产的产品数量为一个等差数列。
第一天生产了10个产品，第二天生产了13个产品，第三天生产了16个产品，以此类推。
小明想知道第n天生产的产品数量是多少？我们可以通过数列来解决这个问题。
购房贷款决策问题----报告
购房贷款决策问题-------总结报告高二（8）班王宇杰一．课题报告研究背景随着人们生活水平的不断提高，越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。
但是购房投资是一项金额较大的投资，要人们一次性支付比较困难。
但随着市场经济的发展，向银行贷款购房成了我们买房的主要方式。
我们知道，如果向银行贷款就需要直接面对提供担保、偿还借贷的问题，现实生活中人们选择贷款的期数、月还款额时，却往往因为缺乏这方面的知识，而带来一定的盲目性，给自己带来或多或少的经济损失。
所以在这个市场经济时代，面对不同的决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。
研究目的和意义①目的：通过联系实际，研究生活中的数学问题，培养学生学习数学的兴趣。
提高运用数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。
②意义：1、通过本课题的研究，提高我们对数学的应用能力、理解能力和实践能力，全面提高我们的综合素质。
2、使广大市民对购房的方法有理性的思考，增加市民在购房中的理财意识。
研究方法1、实地调查2、文献资料查阅3、实例分析法4、分组讨论5、撰写研究报告研究的内容在学习数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。
很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。
数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。
本课题是利用数学知识，通过对购房贷款的还款方式问题的研究，选择最佳的还款方式。
二．研究资料1.等额本金还款法所谓等额本金还款法,即借款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。
数列在分期付款中的应用.ppt
P2=3.3(1+2.8%)10+3.3(1+2.8%)9+…+3.3(1+2.8%)
3.31.028 1.02810 1 38.534万元
0.028
即租赁设备方案的收益较大。
例3、从房产公司购买住宅一套，价值22万元，首次付 款2万元后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如 果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购 房款的本利和，问每年应付款多少元(精确到1元)？实际 付款总额比一次性付款多付多少元？
=21.0610 - 53 1.069 -1 x
x≈0.27万元
3
答：每年应还2700元。
例5、某市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每
年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车
数量相同，为保护环境，要求该城市汽车保有量不超
过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
有解量：为设an万20辆01。年每汽年车新保增有汽量车为xa万1万辆辆。，∴第ann+年1=末0.9汽4a车n+保x
an =
x 0.06
+
30-
x 0.06
0.94n-1
当30-
x 0.06
0时，即x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.8时，a
n递减，不超过60万辆。
当30- x <0时，即x>1.8时，a
0.06
此时，lim n+
an
=
x 0.06
60, x
是递增数列，
n
3.6
数学——购房中的数学问题
购房中的数学问题（一）研究背景在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。
于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。
（二）研究目的意义通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。
提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。
通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。
（三）研究方法资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际（四）研究内容在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。
很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。
数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。
问题：某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在2003年重新购房。
某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地厂商林林总总的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？他一时拿不定主意。
以下是他的家庭状况以及可供选择的方案家庭经济状况家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。
现有存款6万元，但是必须留2万元-3万元以备急用。
预选方案1.买商品房：一套面积为80 m2的住宅，每平方米售价为1500元2.买二手房：一套面积为110 m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。
购房还需要贷款。
这位居民选择了一家银行申请购房贷款。
该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。
购房中的数学----数列在房贷中的应用精品教案
购房中的数学——数列在房贷中的应用一、教材内容和内容解析本节课选自人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修5(A)版》第二章《数列》的“探究与发现购房中的数学”，教材将其安排在等差数列与等比数列之后，符合建构主义理论思想，新旧知识的双向互动作用表现为了同化和顺应。
该内容与数学息息相关，体现出数列与生活联系紧密，数学来自于生活，并服务于生活。
本问题的解决需要掌握数列的概念、数列求和公式等基础知识和数据处理的运算能力，合理地建立数学模型。
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，其过程可用下框图体现：二、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了数列的基本知识，如求数列通项、数列求和等；学生已具备了使用PAD上网查阅资料、人机互动等基本技能；教材中的引入材料与课堂中的例子多次取自生活中的实例，学生已逐渐有了数学来自于生活的意识。
皮亚杰的建构主义理论认为，学习是通过新旧经验的相互作用而形成、丰富和调整自己的认知结构的过程。
但该阶段因缺少足够的建模能力和相应的建模思想训练，学生暂时还不能快速从大量阅读材料中快速筛选出所需要的信息，在将实际问题转化为数学问题的能力上还不是很强。
三、目标解析1.知识与技能：（1）能在具体的问题情境中，发现等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题。
（2）能理解购房中的贷款还款方式，掌握复利、等额本金、等额本息等有关术语，会用所学的数列知识解决贷款中的分期还款问题。
2.过程与方法：（1）通过生活中的购房实例，让学生体会到数学来源于生活，服务于生活，激发学生的学习兴趣。
（2）通过使用PAD登陆浏览器搜索相关银行的金融信息，培养学生的信息搜集、选择和处理能力。
（3）按小组推送任务式学习，使学生经历动手实践、自主探究、合作交流的过程，体验探究发现规律的乐趣。
3.情感、态度、价值观：（1）通过对分期付款两种模型的建立，体现数学的方程思想，使学生感悟由具体到抽象，再由抽象到具体的研究方法，培养学生分析问题、解决问题和应用问题的能力。
数学建模 购房问题
A题：购房贷款问题蒋萍（08(3)班 08211337）【摘要】随着人们生活水平的不断提高，越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。
但是购房投资是一项金额较大的投资，要人们一次性支付比较困难。
但随着市场经济的发展，向银行贷款购房成了我们买房的主要方式。
我们知道，如果向银行贷款就需要直接面对提供担保、偿还借贷的问题，现实生活中人们选择贷款的期数、月还款额时，却往往因为缺乏这方面的知识，而带来一定的盲目性，给自己带来或多或少的经济损失。
所以在这个市场经济时代，面对不同的决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。
本文就购房贷款问题，展开一系列的讨论。
针对购房问题进行全面分析，利用递推数列将实际问题数学化，建立了一个数学模型。
利用计算机程序算出结果，不仅求出了各种还款方式的还款金额和利息，而且还指出了等额还款是最优的还款方式。
【关键词】递推数列贷款额利息贷款期限还款额1.问题重述小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的利率是0.6%／月。
他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。
1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？2. 在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3. 如果在第6年初，银行的贷款利`率由0.6%／月调到0.8%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？4. 小王夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：如果第1年的每月还款额是1000元的话，那么第2年的每月还款额就是1500元，第3年的每月还款额是2000元，第4年的每月还款额是2500元，以此类推。
在此情况下，如果贷款利率还是0.6%／月，那么，第1年的每月还款额是多少？以后各年的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？5. 在4提出的还款方式下，在贷款满5年后，打算在第6年初一次还清全部余款，那么，一次的还款额是多少？如果第6年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.8%／月，从第6年起，以后各年的每月还款额是多少？6. 综合上述问题，为小王夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份报告，帮助他们分析各种方法的利弊，和偿还贷款的计划。
研究性课题：分期付款的有关计算
研究性课题：分期付款的有关计算－－－数列知识在按揭购房中的实际应用作者：张晓琳崔云航陈禹(牡丹江铁路三中二年六)在探索中创新，在实践中求知。
为了适应创新教育，素质教育的需要，我们积极主动地开展了研究性学习的活动。
培养自学能力，激发对学习的兴趣。
开展研究性课题，需要我们“探索，创新，应用”。
探索，要求我们不仅仅满足于课堂知识，而是希望能够更深更广的了解知识，发现其中的内涵，学懂学透。
我们在活动中，通过社会调查，借助互联网查阅整理了有关的多方面内容。
不但敢于质疑，而且勤于行动。
创新，让我们不拘泥于陈旧的知识，而是寻求更多更新的知识。
素质教育的目的在于培养学生的创造力“创造是人才的本质。
”在探索的过程中，创造出适用的更简捷的思路和方法。
应用，要求我们不只为了考试而学习，而是要“学以致用”。
为此，我们选择了新教材的“研究性课题：分期还款的有关计算”为题，研究数列部分在实际生活中的应用，即“按揭购房”中分期还款的计算。
一．复习引入，介绍课题1、复习有关复利计息知识来源于生活，数学知识也是如此，在我们的日常生活中，存在有大量的数学素材。
例如新教材P.91例2就是一个以复利计算利息的储蓄问题，我们先来重温一下。
（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。
答：x期后的本利和为y=a（1+r）x（2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后， (12)个月后的本利和是多少？解:已知本金为a元,1月后的本利和为a(1+0.8%)2月后的本利和为a(1+0.8%)23月后的本利和为a(1+0.8%)3……12月后的本利和为a(1+0.8%)12数学的应用非常广泛，数学已渗透到现代科学的各个领域、国民经济的各个部门，正如华罗庚教授所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
2022年精品 《拓展资料数列在生活中的应用》优秀教案
数列在生活中的应用在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。
如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的精彩描述。
首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
〔一〕按揭货款中的数列问题随着中央推行积极的财政，购置房地产按揭货款〔公积金贷款〕制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款〔公积金贷款〕中都实行按月等额还本付息。
这个等额数是如何得来的，此外假设干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决方法。
假设贷款数额a0元,贷款月利率为的比例，以及相关家具、建筑材料、构件具有的相似的比例。
书法中一笔三转、一波三折等要诀，三横三点、三竖的互相联系——形状、距离、长短、方向角度等的处理。
书法中“二〞字一长一短，“十〞字竖笔被分为2∶3的两段，“口〞、“田〞那么上宽下窄，“吕〞、“炎〞、“林〞、“羽〞那么将本身是等大的两半局部分成一大一小，“品〞、“森〞那么将本是等大的三局部写成三种大小，以上规律在行书中更为清晰。
书法美学的规律是与比原那么一致的。
西文中“S〞、“B〞等字母及阿拉伯“3〞、“8〞的上下两半比例适度。
拉丁文26个字母中，下行的是5个，上行8个，中行13个，所以连写数行，参过失落，比例适中，再加上大小写的比例差异，在视觉上也具有书法艺术的整体美感。
油画中的“三色法〞，在一个有固定主调的色彩背景中配置三色〔或三个笔触〕，一色是相对暖色，一色相对冷，第三色那么是中性色，这个中性色绝不该是绝对值的“中间〞色。
中性色稍有偏向，就拉近了或拉大了对两色的色距，对两个色距比例的选择，就是色彩的优选法。
数列在分期付款中的应用
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5
例1： 中国建设银行设立了教育助 学贷款，其中规定一年期以上贷款 月均等额还本付息。如果贷款10000 元，两年还清，月利率为0.4575%， 那么每月应还多少钱呢？
注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金 额平均偿还贷款本金和利息。
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6
表格1
10000元贷款的本金与它的利息之和
付款已深入我们的生活.分期付款方式在今天的商业 活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这 一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额 有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改 进营销策略，方便顾客购物和付款.
房子
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2
美容整形玩起分期付款
首付6万当“人造美女”
武汉旅游促销出现分期付款
设每期付款x元，则
m
2m
(n 1)m
x x(1 p) n x(1 p) n +…… x(1 p) n a(1 p)m
m
a(1 p)m[(1 p)n 1]
x
(1 p)m 1
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13
方案 类别
分几次 付清
付款方法
每期所 付款 付款额 总额
与一次性 付款差额
1 (按月)
120次
贷款后1个月第1次还贷， 再过1个月第2次还贷……
按存入方式计算，这样考虑，每次的还贷相当于在存款，存了24 次后的本息和应该与贷款的100可0编0辑元ppt在还贷结束后的本息和相9等。
【例2】 郭老师想买一套价值30万的住房，首付8万，其余的采用分期等额还款
付息的方式，分10年还清。银行有以下三种付款方式可供选择:
方案
分几次
付款方法
数列日常生活中的应用
数列日常生活中的应用在当今社会经济日益繁荣，人民生活水平日益提高，人民对生活设备的要求也提高了，往往需要购置更多商品，这就要求人们必须懂得合理安排资金，使之得以充分利用。
而当前，随着住房、教育、买车等贷款业务逐渐深入家庭。
我们经常遇到一些分期付款问题。
如何选择付款方式，关系到个人利益，也是一个需要运用数学知识来计算的复杂过程。
做为“热点“的分期付款成为了一种趋势，在今后，更将被广大人民所接受并应用于生活中。
通过研究调查，了解人们对分期付款的认识程.度及应用程度，使资源共享更好地应用于人民，使人们增加对分期付款的了解,并使分期付款更好地服务于人民。
本单元的目的在于让学生通过学习和调查，对分期付款有进一步认识，感受数学在实际生活中应用价值。
一、例述数列在生活中的应用在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。
解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则：An+1=0.8An+0.3Bn;Bn+1=0.2An+0.7Bn;由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）=60+0.5An；则An+1-120=0.5（An-120）；可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列；假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则An=0.5^（n-1）*（a-120）+120当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。
则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。
上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。
第二个应用。
例：某客户为购买房屋，向工商银行贷款n万元，采用分期还款的方式进行偿还，共分m期偿还完毕，每一期所偿还的本金数额相同，请计算每一期应当偿还的贷款数额。
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《数列的应用举例》
一、知识与技能
1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；
2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识；
二、教学重点难点
重点：抓住分期付款问题的本质分析问题；
难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法
通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
四、情感态度与价值观
通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。
五、实验与教具
多媒体
六、教学过程
创设情境
题型一、等差数列模型（单利问题）
例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40%（即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？
解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列{}n a ，则： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：%4.024*********⨯+=a ，
第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：%4.0)2000240000(20002⨯-+=a ， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：%4.0)22000240000(20003⨯⨯-+=a ， 以此类推：
第n 月还欠款以及所欠款产生的利息为：%4.0)]1(2000240000[2000⨯-⨯-+=n a n ∴各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列
∴10年还清欠款总额为：2980802
)20082960(120120=+=S （元） 购买这套商品房实际总价为：458080160000298080=+=S （元）
答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。
题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题
题型二、等比数列模型（复利问题）
例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，按复利计算该家庭每月实际应付款
多少元？购买这套商品房实际总价为多少元？
解：设每月应付款x 元，则第1月付款与到最后一次付款产生的利息之和为119%)4.01(+x ，第2月付款与到最后一次付款产生的利息之和为118%)4.01(+x ，第3月付款与到最后一次付款产生的利息之和为117%)4.01(+x ，……，第119月付款与到最后一次付款产生的利息之和为%)4.01(+x ，最后一次付款（无利息）为x 元。
各月付款连同利息之和为004
.11004.11)1004.1......004.1004.1004.1(120
117118119--=+++++x x 而按复利计算，贷款金额及产生的利息和为120%)4.01(240000+ ∴120120
004.1240000004
.11004.11⨯=--x ，即17.2522≈x （元） 购买这套商品房实际总价为：
4.46266016000012017.2522=+⨯=S （元）
答：该家庭购买这套商品房每月实际应付款2522.17元，购买这套商品房实际总价为4.462660元。
题后感悟：等额本息还款法，
课堂小结
1、等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立模型，应用数列知识解决问题。
2、将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求n a 还是求n S ，特别要准确确定项数n 。