解三角形 高一期末复习

解三角形
一、知识梳理：
三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方。

（2）正弦定理：
R R C
c
B b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ①
C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = R
c
C 2s i n =
③=a R A 2sin ⋅ R B b 2s i n
⋅= R C c 2sin ⋅= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
A 为锐角 A 为钝角或直角 图形
关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数
一解
两解
一解
一解
(3)余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos ,cos 22
222
2
2
-+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状.
(4)面积公式：)(2
1
sin 2121c b a r C ab ah S a ++===
（其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性：
C B A -=+π,2
cos 2sin ,sin )sin(C
B A
C B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关
系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

二、典型例题：
题型一：利用正、余弦定理解三角形
1、在ABC ∆中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。

2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______
①
30,16,8===A b a ，有两解； ②
60,20,18===B c b ，有一解； ③
90,2,15===A b a ，无解 ④
150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知4
1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长
（2）求)cos(C A -的值.
题型二：判断三角形形状
1、在ABC ∆中，,cos sin 2sin C B A =且C B A 2
22sin sin sin +=，试判断ABC ∆的形状。

2、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 2
2=，试判断ABC ∆的形状.
3、在ABC ∆中，已知c
c b A 22cos 2
+=（c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），判断ABC ∆的形状.
4、在ABC ∆中，若A A c b B B c a sin )cos (sin )cos (-=-，判断ABC ∆的形状.
题型3：三角恒等变形
1、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . （1）求A ∠的度数；
（2）若,3,3=+=c b a 求c b ,的值.
2、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知C 2cos =4
1
-. （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求b 及c 的长.
题型4：正弦定理余弦定理综合应用
1、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，已知b c a 22
2=-，且
,s i n c o s 3c o s s i n C A C A =求b .
2、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，（1）求角C 的大小；（2）求
B A sin sin +的最大值.
题型5：其他知识综合
1、已知向量),,(),,(a b c a n b c a m --=+=
且0=⋅n m ，其中C B A ,,是ABC ∆的内角，
c b a ,,分别是角C B A ,,的对边.
（1）求角C 的大小
（2）求B A sin sin +的取值范围.
2、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且满足5
5
22cos =
A ，3=⋅AC A
B . （1）求AB
C ∆的面积； （2）若1=c ，求a 的值.
课后练习
1、在ABC ∆中，20=bc ，35=∆ABC S ，ABC ∆的外接圆半径为3，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3
2、在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于（ ）
A.
22
6- B. 2
2
6+ C. 12+ D. 23-
3、在ABC ∆中 3,3,2=⋅==AC BA AC AB ，则A ∠等于（ ）
A.
120 B.
60 C.
30 D.
150 4、在ABC ∆中，下列条件中解三角形其有两个解的是（ ） A. 75,45,10===C A b B. 60,48,60===C b a C. 80,5,7===A b a C. 45,16,14===A b a 5、在ABC ∆，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（ ）
A.
30 B.
90 C.
120 D.
60
6、在ABC ∆中，已知三边之比4:3:2::=c b a ，则
=-C
B
A 2sin sin 2sin （ ）
A. 1
B. 2
C. 2-
D. 2
1
7、在ABC ∆中，已知,sin cos sin 2C B A =那么ABC ∆的形状是_______三角形。

8、在平行四边形ABCD 中，已知1,2,1=⋅==AD AB AD AB ，则=AC _____ 9、在钝角ABC ∆中，2,1==b a ，则最大边c 的取值范围是________。

10、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，向量))sin(,2
cos
2(B A C
m +-=
，n m B A C n
⊥+=)),sin(2,2
(cos .
（1）求角C ；
（2）若22
22
1c b a +=，试求)sin(B A -的值.
11、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且.2tan tan 1b
c
B A =+ （1）求角A ；
（2）)2
cos
2,(cos ),1,0(2
C B n m =-=
，试求n m
+的最小值.。