不定积分求导(一)

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不定积分求导公式

不定积分求导公式如下
如果对不定积分式子∫f（x）dx进行求导，那么得到的当然还是f（x），而如果是∫f（x-t）dx 这样的式子，就还要先转换积分变量，再进行求导。

求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。

如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

导数公式：
1.C'=0(C为常数)；
2.(Xn)'=nX(n-1) (n∈R)；
3.(sinX)'=cosX；
4.(cosX)'=-sinX；
5.(aX)'=aXIna （ln为自然对数)；
6.(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a\u003e0，且a≠1)；
7.(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8.(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
9.(secX)'=tanX secX；
10.(cscX)'=-cotX cscX；。

不定积分公式总结

不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。

掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。

接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。

2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。

不定积分求导

不定积分求导求导是函数的一个基本方法，也是大学必修的一门课程。

如果你不会用函数的导数来解函数，那么你就不会知道积分和导数的关系。

而不会积分，就会导致求导是一个很大的问题。

数学中有许多定理，这些定理在实际生活中是很重要的。

有些定理还需要函数来表示，但是又要计算积分，于是便出现了很多计算过程很复杂的定理和方法可以用来解决实际问题，这就是函数的导数关系的求导。

本文就是以函数导数方程为例进行说明。

1.首先看函数 f (x)在区间[x, y]上的导数方程的形式。

如果在区间[x, y]上导数方程形式为一个二次函数在区间[x, y]上导的形式，则不存在二次函数。

这就叫做双差形式。

这里就是函数 f (x)的二次函数，取值范围为1-8范围。

由于对等号区域的值变化，函数也会出现变化，因此这个求导过程比较复杂。

这里先设函数 f (x)=1-8,然后利用双差法求出它在区间[x, y之间]上的极限解。

这里我们先利用区间[x, y]上的极值点作为函数的中点，然后利用极限解来求函数的极大值是不可行的，因为极值点在有限时间内是没有变化的。

所以此时函数在区间[x, q]上极值点的极值是[0,10]。

2.再看函数 f (x)在区间[x]上的导数方程方程的形式，一般以(-2,-1)为单位，如果有多个 f (x),则需要求得多个 f (x)的导数方程如图所示, f (x)的不等式是函数 f (x)的自变量。

因此，我们可以在区间[x]上进行求导，将 f (X)的导数方程求解出来。

但是考虑到 f (X)函数的自变量可以是自变量而不是参数，所以我们需要进行参数检验。

另外由于不积分涉及到不等式两边同时导入的情况，故该检验的方法需要单独展开考虑进去。

再来看方程解集的大小，我们知道只要将多个 y (x)解集加起来便可以求得导数方程啦！而这个时候我们就要对所有变量做一次函数和求备求出导出了。

如图所示，取n×3个(e×3个= f (x?1))* e y’’ x+1”式中 e表示第 i个变量为 t时的第一个导函数, n则是第 i个变量为 t时的第二个导函数。

不定积分的第一类换元法

不定积分的第一类换元法
不定积分的第一类换元法是指在求解一个积分的过程中，先用某种函数对积分中的某一部分进行代换，将积分化为另一个可简化的形式，最终得到答案。

这种方法的关键是选择一个合适的换元函数，使得积分变得简单易求。

具体步骤为：设原积分式为f(x)，则先取
u=g(x)作为代换函数，即将f(x)中的一部分用u表示，使得f(x)变成g(x)的一个复合函数。

然后对f(x)求导，得到f'(x)，再用链式法则把f'(x)变成g'(x)和u的一个复合。

将f(x)用u和g'(x)表示后，将其代回原积分式，得到一化简后的积分。

最后，对该积分求解即可得到原积分的解析式。

不定积分的计算方法(I)

29
三、有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数相除多项式 + 真分式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
30
之前的引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式 4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量例2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
1.公式 : 首先看复合函数的导数公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则看出点什么东西没有?
相应的凑微分公式(方法):
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
22
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。

第一、二节不定积分的概念及性质基本积分公式

x2
+c
x2
x2
由定义知 f ( x ) = (e )′ = 2 xe .
2.非零常数因子可提到积分号外非零常数因子可提到积分号外. 非零常数因子可提到积分号外
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx 证 [k ∫ f ( x )dx ]′ = kf ( x ) ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx.
求过点(1,2),切线斜率为 2 x 的曲线方程例9 求过点切线斜率为的曲线方程. 解因 y′ = 2 x 故 y = ∫ 2 xdx = x + c
2
又 x = 1, y = 2 得 c =1 从而所求曲线方程为 y = x + 1.
2
不定积分的定义不定积分的性质不定积分的公式不定积分的求法
C ′(Q ) = Q 2 − 10Q + 100
求总成本函数. 又知固定成本为本 1000 元,求总成本函数求总成本函数解
C ′(Q ) = Q 2 − 10Q + 100 因
2
1 3 C (Q ) = ∫ (Q − 10Q + 100)dQ = Q − 5Q 2 + 100Q + c 3 又 Q = 0, C (Q ) = 1000 得 c = 1000 1 3 故 C (Q ) = Q − 5Q 2 + 100Q + 1000. 3
(1′ )d [ ∫ f ( x )dx ] = [ ∫ f ( x )dx ]′dx = f ( x )dx
( 2)[ f ( x )]′ = f ′( x )
( 2′ )[ f ( x )]′f ( x ) = 1
∫ f ′( x )dx = f ( x ) + c ∫ df ( x ) = f ( x ) + c

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法常见的不定积分求解方法有以下几种：1.直接反求导法：根据已知函数的导函数的特征，反向求解原函数。

例如，对于常见的函数，如多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数，可以直接运用基本导数公式进行反求导。

2. 分部积分法：适用于求解由两个函数的乘积构成的积分。

分部积分法是应用导数的乘法法则对乘积进行转化，即∫[u(x)v'(x)]dx =u(x)v(x) - ∫[v(x)u'(x)]dx。

通过反复使用分部积分法，可以将复杂的积分转化为易于求解的形式。

3.换元积分法：也被称为代换法或变量替换法。

通过对被积函数中的自变量进行替换，将原函数表达式转化为一个更容易求解的形式。

常见的替换方式包括三角代换、指数代换、倒数代换等。

4.三角恒等变换：适用于含有三角函数的积分。

根据三角函数的特性和恒等变换公式，将函数中的三角函数进行替换或转换，进而简化积分表达式。

5.格斯宾公式：适用于含有根式的积分。

格斯宾公式是一种将根式积分转变为有理函数积分的方法，通过对根式进行分子有理化、配凑分母等方式进行变换，从而使得积分变得更容易求解。

6.球体坐标和柱体坐标的应用：在求解具有球对称性或柱对称性的问题时，可以通过将直角坐标系转换为球体坐标系或柱体坐标系，以简化积分的求解。

7.特殊积分方法：一些具有特殊特征的积分可以使用特殊的方法进行求解，如分式分解法、欧拉代换法、辛普森三分法、求和法等。

需要注意的是，不同的积分表达式可能需要结合多种方法来求解。

在实际求解过程中，需要根据具体的积分形式和所学的积分方法选择合适的求解策略。

导数微分不定积分公式

导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。

导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。

2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。

幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。

指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。

对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。

三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。

全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。

导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）（２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

不定积分求导(一)

析：因 f0 (x) cos x
故 f1(x) sin x
f2(x) cos x f3(x) sin x
f0 (x) f4 (x) cos x f1(x) f5(x) sin x
即 T=4 也
f2(x) f6(x)
(5)若 f (x) xex ，则 f / (x) _(1___x__)e__x__ (6)若 y (x 1)(x 2)(x 3)，则 y/ ________
① 0dx C
② dx x C
③
xndx
x n 1
n1
C(n
1)
⑤ exdx ex C
④
1 x
dx
ln
|
x
|
C
⑥ axdx ax C ln a
⑦ sin xdx cos x C
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
一、求导运算公式
六个公式是基础特别留意纯字母常见特例要背熟不符条件用法则
附1：六个基本函数的的求导公式：
① C' 0
② xn ' nxn1
③ ax ' ax ln a
④
log a x'
1 x ln a
⑤ sin x' cos x
⑥ cos x' sin x
一、求导运算公式
a
a
a
b
c
b
iii: f (x)dx f (x)dx f (x)dxa Nhomakorabeaa
c
§207 求导 (一)
一、简单函数的求导运算公式：
六个公式是基础特别留意纯字母常见特例要背熟不符条件用法则

数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文

例6 求sec xdx.
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x) C
由其中一条积分曲线
y F(x)
沿纵轴方向平移而得到的.
( x0 , y0 )
O
x
前页后页返回
满足条件 F( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1x an , 则
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
前页后页返回
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).

2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.

解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大学数学（二）
—— 一元微积分学
第二讲不定积分的计算方法
第五、六章一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积、经济应用问题等。

不定积分公式及方法总结

一、基本求导公式1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x'=2. (sin )cos x x '= (c o s )s i nx x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(c o t )c s cx x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (c s c )c o t c s x x x'=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. ()2arctan 11x x '+=()a r c s i n x '=()2arccot 11x x '+=-()a r c c o s x '=二、基本积分公式1.1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1l n ||+d x x Cx =⎰ 2. d ln xxa a x C a=+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰ 4. 2secd tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ c o t d l n |s i n |xx x C =+⎰ 6.sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ c s cd l n |c s cc o t x x x x C=-+⎰ 7.21d arctan 1x x C x =++⎰ a r c s i n x x C =+2211d arctan xx C a x a a=++⎰ arcsinxx C a=+8.ln x x C =+(ln x x C =+9.2211d ln 2x ax C a x a x a-=+-+⎰ 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式21cos 2sin 2x x -= 21c o s 2c o s 2x x +=2. 正余切与正余割正割 1sec cos x x = 22sec 1tan x x =+余割 1csc sin x x= 22csc 1cot x x =+四、常用凑微分类型1.11()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰; 2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰;4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a=>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x⋅=⎰⎰;6. (sin )cos d (sin )d sin f x x x f x x = ⎰⎰; (cos )sin d (cos )d cos f x x x f x x =-⎰⎰;7.2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;2(cot )cscd (cot )d cot f x x x f x x =-⎰⎰;8.(sec )sec tan d (sec )d sec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰; (csc )csc cot d (csc )d csc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰;9.(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x ⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法(1)可作代换t a x sin =；(2) 22x a +，可作代换t a x tan =； (3)22a x -，可作代换t a x sec =；(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t =；可作代换t =；可作代换t =六、分部积分基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰ 基本方法：()f x dx ⎰()()()f x u xv x '=−−−−−→分解()()u x v x d x '⎰−−−→凑微分()()u x d v x⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；一般地，按“反对幂指三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '.反三角函数对数函数幂函数指数函数三角函数1.()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰） 1sin 22x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2x x x x x '+=+⋅+⎰⎰31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2u u ⎰） 41(25)8x C =++ 3.()222222d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰（d u u e u e C =+⎰） 2x e C =+类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x '==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x=-=-+⎰5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰6. 33421tan tan tan sec d d tan 4x x x C x x x = =+⎰⎰ 7.2524sincos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰()222sin 1sin dsin x x x =-⎰()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x x x x C =-+=-++⎰8.22221111d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1a r c t a n .xC a a=+ 9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。

基本求导积分公式

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。
2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0
线性规划模型为
2．解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
解：库存总成本函数
令得定义域内的唯一驻点q＝200000件。
即经济批量为200000件。
例9计算定积分：
解：
例10计算定积分：
解：
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数ex，lnx，在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；
2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
5
需求量
3
6
5
6
20
（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
4
3
7
3
11
3
11
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
找空格对应的闭回路，计算检验数：＝1，＝1，＝0，＝－2

不定积分-(公式大全)

所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x旳原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上旳一种原函数，
C是一种任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上旳原函数 ⑵ f(x)该在区间I上旳全体原函数能够表达
为F(x)＋C 证明：
＝
1
2 xsin2x＋
1
2 cos2x＋C
2
4
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才能够求出成果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx
2
2
1 x2e2x xe2xdx 1 x2e2x ( 1 xe2x 1 e2xdx)
则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝
1
xsin2x－
1
2 ∫sin2xdx
2
2
2
2
1 x2e2x 1 xe2x 1 e2x C
2
2
4
由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数旳
次数能够降低一次。假如所得到旳积分式还需要用分
部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面简介:

不定积分的求导

不定积分的求导在微积分学中，不定积分是一个重要的概念，它是求导的逆运算。

不定积分的求导是微积分学中的一个基本问题，也是学习微积分的重要内容之一。

本文将从基本概念、求导规则和实例三个方面来介绍不定积分的求导。

一、基本概念不定积分是指函数的原函数，也就是说，如果函数F(x)的导函数是f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

不定积分的求导就是求被积函数的导数。

二、求导规则1. 常数规则如果f(x)是常数函数，那么∫f(x)dx = f(x) + C，其中C为常数。

2. 幂函数规则如果f(x)是幂函数，即f(x) = x^n，其中n为常数，那么∫f(x)dx =(x^(n+1))/(n+1) + C。

3. 指数函数规则如果f(x)是指数函数，即f(x) = e^x，那么∫f(x)dx = e^x + C。

4. 三角函数规则如果f(x)是三角函数，即f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)等，那么∫f(x)dx的求法需要根据具体的函数来确定。

5. 分部积分法如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx。

三、实例1. 求∫x^2dx的导数。

根据幂函数规则，∫x^2dx = (x^3)/3 + C，所以它的导数为d/dx[(x^3)/3 + C] = x^2。

2. 求∫e^xdx的导数。

根据指数函数规则，∫e^xdx = e^x + C，所以它的导数为d/dx[e^x + C] =e^x。

3. 求∫xsin(x)dx的导数。

根据分部积分法，∫xsin(x)dx = -xcos(x) + ∫cos(x)dx = -xcos(x) + sin(x) + C，所以它的导数为d/dx[-xcos(x) + sin(x) + C] = -xsin(x) - cos(x)。

不定积分求导公式运算法则

不定积分求导公式运算法则不定积分和求导可是数学里的一对“欢喜冤家”，它们之间有着千丝万缕的联系。

要搞清楚不定积分求导公式的运算法则，咱们得一步步来。

先来说说不定积分。

不定积分呢，就像是在寻找一个函数的“前世今生”。

比如说，给你一个函数的导数，让你去找出原来的那个函数，这就是不定积分要干的事儿。

咱们来举个例子感受一下。

比如说，已知函数 f'(x) = 2x，那它的不定积分就是∫2xdx = x² + C （这里的 C 是常数哦）。

那求导又是什么呢？求导就像是给函数做个“体检”，看看它在每个点的变化快慢。

比如说，函数 f(x) = x²，它的导数就是 f'(x) = 2x 。

不定积分求导公式的运算法则里有一个很重要的性质。

如果 F(x) 是f(x) 的一个原函数，也就是 F'(x) = f(x) ，那么对∫f(x)dx = F(x) + C 求导，结果就是 f(x) 。

还记得我之前教过的一个学生小明吗？有一次在课堂上，我讲不定积分求导公式的运算法则，小明一脸懵。

我就问他：“小明，你是不是没听懂啊？”小明挠挠头说：“老师，我感觉这些公式在我脑子里打架，分不清谁是谁了。

”我笑了笑，给他举了个例子：“你看啊，假如你每天上学的路程和时间有个关系，路程对时间求导就是速度，那速度的不定积分就是路程，是不是很好理解？”小明眼睛一亮，好像有点开窍了。

咱们继续说这运算法则。

如果有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的不定积分分别是 F(x) 和 G(x) ，那么∫[f(x) ± g(x)]dx = F(x) ± G(x) + C ，对这个式子求导，结果就是 f(x) ± g(x) 。

再复杂一点，如果函数是 f(ax + b) 的形式，那么先做变量代换 u = ax + b ，求出不定积分后再把 u 换回来。

总之啊，不定积分求导公式的运算法则虽然有点复杂，但只要多练习，多琢磨，就一定能掌握。

不定积分

第五章
不定积分
§ ５．１原函数
考虑质点沿直线运动，已知位移 s = s( t ) ，求即时速度：v ( t ) = s ′(t ) 是求导运算；反过来，如果知道每个时刻的即时速度 v (t ) ，求位移 s( t ) ，则是个逆运算，即要找一个函数 s( t ) ，
定义在区间 I 上给定函数 f ( x ) ，若存在 F ( x) 使得 F ′( x ) = f ( x ) ， x ∈ I 或
cos x dx d sin x 1 1 + sin x =∫ = ln +C 2 2 cos x 1 − sin x 2 1 − sin x
算
=
1 tg n−1 x − I n− 2 。 n −1
师
I n = ∫ tg n− 2 x
1 − cos 2 x dx = ∫ tg n− 2 x d tgx − ∫ tg n− 2 x dx 2 cos x
∫ f ( x) dx = G[t ( x )] + C 。
第二换元法主要用来求含有的积分。
例１３ I = ∫ a 2 − x 2 dx
例４解
∫a
2
dx − x2
x) x dx 1 d(a 1 1+ a = = ln ∫ a2 − x2 a ∫ 1− (a x ) 2 2a 1 − x + C a
另一种解法：
2
例５ ∫ 解
x dx x + 2x + 3
2
精
例６ I = ∫
华
又一解法：
中
解
I =−
d ( 3x − 1 ) 1 3 I= ∫ 1 2 3 ( 3x − ) − 4

不定定积分求导公式

不定定积分求导公式不定积分求导公式一、常数函数•对于任意实数a，有：∫a dx=ax+C，其中C为常数。

•例如：∫5 dx=5x+C二、幂函数x n+1+C，其•对于任意实数n（不等于-1），有：∫x n dx=1n+1中C为常数。

x4+C•例如：∫x3 dx=14三、指数函数a x+C，其中C为常数。

•对于常数a>0且a≠1，有：∫a x dx=1lna2x+C•例如：∫2x dx=1ln2四、对数函数 dx=ln|x|+C，其中C为常数。

•对于常数a>0且a≠1，有：∫1x dx=ln|x|+C•例如：∫1x五、三角函数•∫sinx dx=−cosx+C•∫cosx dx=sinx+C•∫sec2x dx=tanx+C•∫csc2x dx=−cotx+C•∫secxtanx dx=secx+C•∫cscxcotx dx=−cscx+C六、其他常见函数•∫e x dx=e x+C dx=arcsinx+C•∫√1−x2 dx=arctanx+C•∫11+x2 dx=ln(x+√x2+1)+C•∫√x2+1 dx=ln|x+√x2−1|+C•∫√x2−1以上是一些常见的不定积分求导公式及其示例。

对于更复杂的函数，可以通过分部积分、换元法等技巧进行求解。

根据不同函数的性质，选择合适的公式进行求导，可以简化计算过程并得到准确的结果。

在实际应用中，这些公式在求解微分方程、计算曲线面积和体积等问题中起到重要的作用。

当然！以下是更多的不定积分求导公式：七、分式函数• ∫1x dx =ln |x |+C • ∫1x 2 dx =−1x +C • ∫√x =2√x +C • ∫1x n dx =−1(n−1)x n−1+C • ∫√x n =n n−1√x n−1n +C八、反三角函数• ∫arcsinx dx =xarcsinx +√1−x 2+C• ∫arccosx dx =xarccosx −√1−x 2+C• ∫arctanx dx =xarctanx −12ln |1+x 2|+C • $\int \arccot x \,dx=x\arccot x+\frac{1}{2}\ln|1+x^2|+C$九、双曲函数• ∫sinhx dx =coshx +C• ∫coshx dx =sinhx +C• ∫tanhx dx =ln |coshx |+C• ∫cothx dx =ln |sinhx |+C十、反双曲函数•$\int \arcsinh x \,dx=x\arcsinh x-\sqrt{1+x^2}+C$ •$\int \arccosh x \,dx=x\arccosh x-\sqrt{x^2-1}+C$ •$\int \arctanh x \,dx=x\arctanh x+\frac{1}{2}\ln|1-x^2|+C$•$\int \arccoth x \,dx=x\arccoth x+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C$以上是一些常见的不定积分求导公式及其示例。

不定积分 求导(一)

不定积分求导公式

不定积分公式总结

不定积分求导

不定积分的第一类换元法

不定积分的计算方法(I)

常用求导积分公式及不定积分基本方法

第一、二节不定积分的概念及性质 基本积分公式

常见不定积分的求解方法

导数微分不定积分公式

导数微分不定积分公式

不定积分 求导(一)

数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文

2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.

不定积分公式及方法总结

基本求导积分公式

不定积分-(公式大全)

不定积分的求导

不定积分求导公式运算法则

不定积分

不定定积分求导公式

不定积分求导(一)

第一、二节不定积分的概念及性质基本积分公式

不定积分求导(一)