不定积分 求导(一)

, fn1(x) fn '(x) ,则 f ( 2014 x) ___c_o_s__x_, f2015(x) __s_in__x___
析：因 f0 (x) cos x
故 f1(x) sin x
f2(x) cos x f3(x) sin x
f0 (x) f4 (x) cos x f1(x) f5(x) sin x
即 T=4 也
f2(x) f6(x)
(5)若 f (x) xex ，则 f / (x) _(1___x__)e__x__ (6)若 y (x 1)(x 2)(x 3)，则 y/ ________
法1： y/ (x3 6x2 11x 6)/ 3x2 12x 11
法2：y/ (x 1)/ (x 2)(x 3) (x 1)(x 2)/ (x 3) (x 1)(x 2)(x 3)/
① (cos )/ sin
6
6
② (cos )/ sin
6
6
③
(log 3
2)/
1 3 lg
2
④
(log 3
2)/
1 2 lg
3
⑤ (3x )/ x 3x1
⑥ (ex )/ ex
⑦ (sin 3 x)/ 3sin 2 x
⑧ (sin 3 x)/ cos3 x
(2) (t cos )/ ___________
④
log a x'
1 x ln a
⑤ sin x' cos x
⑥ cos x' sin x
一、求导运算公式
六个公式是基础 特别留意纯字母 常见特例要背熟 不符条件用法则
附2：几个常用函数的导数
① ex / ex
② ln x/ 1 x
③ cf (x)' cf '(x)
④
f( 1x( x))/
记作： f (x)dx F (x) C
积 被 被积
x
原
任
分 积 积分
的函
意
号 函 表变 数 达量 式
微数 分
常 数
(2)常见的不定积分公式
① 0dx C
② dx x C
③
xndx
x n 1
n1
C(n
1)
⑤ exdx ex C
④
1 x
dx
ln
|
x
|
C
⑥ axdx ax C ln a
注1.法则要用文字背：
① af x bgx chx/af 'x bg'x ch'x
加减求导可换序 系数能提是特例
② f x gx hx / f 'x gx hx f x g'x hx f x gx h'x
先乘后导如何求 逐个求导再相加
③
f x' gx
f 'xgx f xg'x
gx2
分母分母要平方 子前母后要相减
2.《固学案》P：4 Ex1
3.《固学案》P：5
Ex1
4.课本P：18 A组 Ex4 ①②③
预习：
商函数及复合函数的求导法则
x(x a1)(x a3) (x a8)
x(x a1)(x a2 ) (x a7 ) 故 f / (0) a1a2 a8 (a1a8 )4 84 212
等比数列中,下标和等 对应项积等(常数列除外) 法3：隐函数求导技巧 先取对数后求导……
作业：
1.《固学案》P：1 Ex9
隐函数求导技巧 先取对数后求导
(5)若 f (x) xex ，则 f / (x) _(1___x__)e__x__
法1：积函数求导法则……
法2： 隐函数求导技巧 先取对数后求导
由题意得 ln y ln x x
两端求导得 y/ 1 1
yx
将 y xex 代入上式得 f / (x) ( 1 1)xex (1 x)ex
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
积分下限
注：一般的，定积分是一个数值；不定积分是一个函数
2.定积分：
(1)含义： (2)运算方法及性质：
①方法： i:定义法
分割取近似，求和取极限
ii:基本定理法
b
f (x)dx F(b) F(a)
二、和差积函数的求导法则：
加减求导可换序 系数能提是特例 先乘后导如何求 逐个求导再相加
三、 f / (x) 与 f / (x0 ) 的区分
一、求导运算公式
六个公式是基础 特别留意纯字母 常见特例要背熟 不符条件用法则
附1：六个基本函数的的求导公式：
① C' 0
② xn ' nxn1
③ ax ' ax ln a
§207 求导 (一)
一、简单函数的求导运算公式：
六个公式是基础 特别留意纯字母 常见特例要背熟 不符条件用法则
二、和差积函数的求导法则：
加减求导可换序 系数能提是特例 先乘后导如何求 逐个求导再相加
三、 f / (x) 与 f / (x0 ) 的区分
概求应 念导用
导数概述
导
①求切线斜率 ②判定单调性
析：分类讨论，谁是自变量？……
i：当θ是自变量t是参量时，(t cos )/ t sin
ii：当t是自变量θ是参量时，(t cos )/ cos
iii：当θ及t均是参量时， (t cos )/ 0
二、和差积函数的求导法则
加减求导可换序 系数能提是特例 先乘后导如何求 逐个求导再相加
练习2.和差积函数的求导法则
(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (x 1)(x 2)
3x2 12x 11 法3：由题意得 ln y ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3)
两端求导得 y/ 1 1 1
y x 1 x 2 x 3
将 y (x 1)(x 2)(x 3) 代入上式……
数 ③求极值 ④求最值
数
⑤堪根
学
⑥解证不等式
Hale Waihona Puke Baidu
⑦证等式……
其 他 学
积 ⑧曲边梯形面积 分 ⑨数列求和
科
函数的求导运算
1.六个简单函数的求导公式： 2.复杂函数的求导法则：
六
复
个 简 ±×÷复合法则 杂
单
函
函
数
数
六个公式两特例 简单函数两标准 单个函数纯字母 不符条件用法则 哪里不符那里变 一直变到纯字母
1 x2
⑤
(
f
(xx))/
1 2x
⑥ (tan x)/ sec2 x
⑦
(a
n
xn
an1
xn1
...
a1
x
/
a0)
nan xn1 (n a 1) n1 xn2 ...2a2 x a1
特别地
(ax3
bx
2
cx
d
/
)
3ax2
2bx c
练习1.求导运算公式的应用
(1)下列求导运算正确的是___________
(10)(2010年江西)等比数列 an中，a1 2, a8 4 ,函数
f x x(x a1)(x a2)L (x a8) ，则 f ' 0
法1：理论上可以：先展开后求导……
法2：积函数的求导法则
因 f / (x) (x a1)(x a2 ) (x a8) x(x a2 )(x a3) (x a8)
④ f (g(h(x)))/ f '(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x)
复合函数框套框 一直框到纯字母 从外向内逐个导 导后相乘剥洋葱
求导的逆运算——积分
1.不定积分：
(1)含义：
① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
a
②定积分的性质
b
b
i: kf (x)dx k f (x)dx
a
a
b
b
b
ii: [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
b
c
b
iii: f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
c
§207 求导 (一)
一、简单函数的求导运算公式：
六个公式是基础 特别留意纯字母 常见特例要背熟 不符条件用法则
(3)求下列函数的导数
① f(x)=ex－sinx+1
f ′(x)=ex－cosx
② y=xlnx
y′=lnx+1
引申：求上述函数导函数的导数
① f // (x) ex sin x
②
y//
1 x
(4)设 f0(x) cos x, f1(x) f0 '(x), f2(x) f1 '(x),L , fn1(x
x
三、 f / (x) 与 f / (x0 ) 的区分
定义
区分
f / (x0 ) 函数f(x)在x=x0处的导数 常量 点导 先导后代
f / (x) 函数f(x)的导函数
变量 线导 直接求导
注 ： 在不引起混淆的情况下，均简称为导数
练习3. f / (x) 与 f / (x0 ) 的区分 (7)求函数 f (x) x2 在 x 2的导数
⑥若
f
x
log a
x,则f
'x
1 x ln
a
特别地 若 f x ln x,则 f 'x 1 x
C' 0
xn ' nxn1
sin x' cos x
cos x' sin x
ax ' ax ln a ex ' ex
log a
x'
1 x ln
a
ln x' 1 x
复杂函数的求导法则 (参课本P：14 + P：17)
3
析：因 y/ cos x x sin x
故
y/
x 3
cos
3
3
sin
3
= 1 3
26
(10)(2010年江西)等比数列 an中，a1 2, a8 4 ,函数
f x x(x a1)(x a2)L (x a8) ，则 f ' 0 【C】
A. 26
B. 29
C. 212
D. 215
⑦ sin xdx cos x C
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
求导的逆运算——积分
1.不定积分： 2.定积分：
(1)含义：四大步 参课本P：39～45
六个简单函数的求导公式 (参课本P：14)
①若 f x C,则 f 'x 0
②若 f x xn,则 f 'x nxn1
③若 f x sin x,则 f 'x cos x
④若 f x cos x,则 f 'x sin x
⑤若 f x ax,则 f 'x ax ln a
特别地 若 f x ex ,则 f 'x ex
误： ∵ f (2) 4 ∴ f (2) 0
正： ∵ f (x) 2x ∴ f (2) 4
(8)设 f (x) x ln x ，若 f '(x0) 2 ，则 x0 【B】
e A. e2 B.
ln 2
C. 2
D. ln 2
析：因 f′(x)=lnx+1 故 lnx0=1
(9)y=xcosx在 x 处的导数值是________