4.2 三铰拱的内力计算

FP FP2 I lC
1 F
FP3 F I
FH
A FVA
D
E
C f 拉杆
B FVB
l/2 l
l/2
FH=0是其计算特点之一 是其计算特点之一 (2)计算拉杆内力 计算拉杆内力 取截面I-I之右为隔离体。 取截面 之右为隔离体。 之右为隔离体 由∑MC = 0，得 ，
l FS = ( FV B ⋅ − FP 3 ⋅ lCF ) / f 2
4m
4m
FVB=50kN
40 × 4 + 10 × 8 × 12 = 70 kN ↑ ） （ 16 10 × 8 × 4 + 40 × 12 0 = 50 kN ↑ ） （ FV B = FV B = 16 0 M C 50 × 8 − 40 × 4 FH = = = 60 kN （推力） f 4
0 FV A = FV A =
M0
F
0 VA
l/2
l
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小
结
M = M 0 − Fຫໍສະໝຸດ Baidu y
0 FQ = FQ cos ϕ − FH sin ϕ 0 FN = − FQ sin ϕ − FH cos ϕ
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高） 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
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小 结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为 0 FV A = FV A
0 FV B = FV B 0 MC FH = f
(2) 支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情 支座反力与 和 （亦即三个铰的位置） 况有关，而与拱轴线形状无关。 况有关，而与拱轴线形状无关。 (3) 推力 H与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果 推力F 与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f → 0，则f → ∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可 ， ，这时，三铰在一直线上， 变体系。 变体系。
4.2.3 内力图的绘制
一般可将拱沿跨长分为若干等分（ 一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等 、 、 等 ），应用式 应用式（ ）分别计算其内力值（注意： 分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截 面的x、 和 均不相同 可列表计算，见例4-1）， 均不相同， ），然后 面的 、y和φ均不相同，可列表计算，见例 ），然后 逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧， 逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力 图须注明正负号。 图须注明正负号。
= − ( −50)( −0.447 ) − (60 )( 0.894 ) = −75 .99 kN
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用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算， 用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 所示。 表4-1所示。 所示
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【例4-1】已知拱轴线方程 】 拱的内力图。 拱的内力图。
y=
4f x(l − x ) 2 l
，试作图示三铰
q=10kN/m
FP=40kN C ϕE f=4m E yE B FH=60kN
解： (1) 计算支座反力
y FH=60kN A x FVA=70kN 4m 4m D
q
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
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仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
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(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载 时，M图将为零，FQ 显见，当全跨同时作用均布荷载q时 图将为零， 图将为零 图也将为零(只须将相应内力图相叠加 即可得到验证)， 只须将相应内力图相叠加， 图也将为零 只须将相应内力图相叠加，即可得到验证 ， 拱仅受轴向压力F 作用。 拱仅受轴向压力 N作用。
4.2 三铰拱的内力计算
4.2.1 支座反力的计算 1、竖向支座反力 、
FHA A FVA x a2 a1 FP1 y K C f B FVB FP2 FHB
∑M
B
=0
l/2 l
l/2
0 FV A = FV A
FP1
0 FHA = 0 A
FP2 K C
0 MC
∑M
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(3)计算内力 计算内力 以截面E为例，计算其内力值。 以截面 为例，计算其内力值。 为例
y 代入y 式中， 将x =12m代入 和 y ′ 式中，得yE = 3m， ′ = tan ϕ E = -0.5， 代入 ，E ， F =40kN 查得φ 查得 E = -26º34′。因此，有 。因此， q=10kN/m
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
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(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线， 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线， 是最合理的拱轴线。 是最合理的拱轴线。 4.2.4 带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算 【例4-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 】 F 下的支座反力和内力。 下的支座反力和内力。 F F I l
D E
F V0A
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l/2
F V0B
(1)计算支座反力 计算支座反力 由整体平衡条件∑F 由整体平衡条件 y = 0、 、 ∑MB = 0和∑MA = 0，可分 和 ， 别求得
0 0 FH = 0, FV A = FV A , F V B = FV B
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(4)作内力图 作内力图
60.6 60 60.6
58.1 D A C E B 76
D A
C
5
E
5 91.9
B
78
67
78 77.8
15
20
15
20
M图(kN·m) 图
FN图(kN)
C 4.9
17.9
E
q=10kN/m y A D x FVA=70kN 4m
FP=40kN C ϕE f=4m E yE B FH=60kN
3）轴力计算 ）
F NE左 F NE右
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0 = − F NE左 sin ϕ E − FH cos ϕ E
= − ( −10 )( −0.447 ) − (60 )( 0.894 ) = −58 .11 kN
0 = − F NE右 sin ϕ E − FH cos ϕ E
FP2 B FHB l/2 FVB FP1
S
FH
A
x FVA
K ϕ FH y M R
(2) 由∑FR=0，得 ，
0 FQ = FQ cos ϕ − FH sin ϕ
l/2 l FP1
FP2 B l/2
0 FVB
FP1 A
0 FVA
0
A
K C
0 MC
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得 ，
0 FN = − FQ sin ϕ − FH cos ϕ
(2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。 (3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力， 截面内轴力较大，且一般为压力（ 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 压力为负）。 正、压力为负）。
4 7.1
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
FQ图(kN)
4m 4m l=16m
4m
FVB=50kN
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所示的二次抛物线三铰拱： 【讨论】对于如图4-5a所示的二次抛物线三铰拱： 讨论】对于如图 所示的二次抛物线三铰拱 (1) 当仅在左半跨或右半跨作用均 布荷载q时 图都是反对称的， 布荷载 时，其M图都是反对称的， 图都是反对称的 如图所示； 图都是对称的。 如图所示；而FQ图都是对称的。
0 M E = M E − FH y E = 200 − 60 × 3 = 20 kN⋅ m
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2）剪力计算 ）
0 FQ E左 = FQE左 cos ϕ E − FH sin ϕ E = ( −10 )( 0.894 ) − (60 )( −0.447 ) = 17 .88 kN 0 FQ E右 = FQE右 cos ϕ E − FH sin ϕ E = ( −50)( 0.894 ) − (60 )( −0.447 ) = −17 .88 kN
P
C ϕE
y
E yE B FH=60kN
D x
f=4m
sin φ E = -0.447 cos φ E = 0.894
FH=60kN
A
FVA=70kN
4m
4m 4m l=16m
4m
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式， 将上述截面 的各相关值代入公式，即可得各内力值 的各相关值代入公式 1）弯矩计算 ）
A
=0
0 VB
B
0 FVB
FV B = F
0 FVA
l/2 l
l/2
拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同
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2、水平支座反力 、
a2
由三铰拱整体平衡 条件 ∑ Fx = 0 ，可得
FHA A FVA
a1 FP1 K C y x f
FP2 FHB
B FVB
FHA = FHB = FH 取铰C左边隔离体， 取铰 左边隔离体， 左边隔离体 由 ∑ M C = 0 ，可得
l=16m q=10kN/m A D
0 FVA
FP=40kN B C E
16m
0 FVB
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(2)计算各截面几何参数（y和φ ） 计算各截面几何参数（ 和 计算各截面几何参数 1) 求y
y q=10kN/m FP=40kN C ϕE f=4m x FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN E yE B FH=60kN
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y = 2 x(l − x) l
FH=60kN
D
A
l=16m q=10kN/m A D
0 FVA
得 2) 求φ
x2 y = x− 16
x 8
FP=40kN B C E
tan ϕ = y ′ = 1 −
16m
0 FVB
代入各x值 即可查得相应的 值 代入各 值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图,将拱沿跨度分为 个等分，计有9个控制截面 将拱沿跨度分为8个等分 个控制截面， 为绘内力图 将拱沿跨度分为 个等分，计有 个控制截面， 求出各截面的y、 等值 列于表中。 等值， 求出各截面的 、 φ等值，列于表中。
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4.2.2 内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。 试求指定截面 的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。 的内力
a2
(1) 由∑MK=0，得 ，
M = M − FH y
0
a1 FP1 K C FHA A FVA x y
FQ0
l l FV A − FP 1 − a1 − FH f = 0 2 2
l/2 l FP1
l/2
FP2 K C
0 MC
0 FHA = 0
A
B
0 FVB
M − FH f = 0
0 C
0 FVA
l/2 l
l/2
0 MC FH = f
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P1 P2 C P3 F
解：该三铰拱由拉杆AB来 该三铰拱由拉杆 来 阻止支座的水平位移， 阻止支座的水平位移，因 此，拱的一个支座改为可 动铰支座。相当简支梁如 动铰支座。 图4-8b所示 I 所示
FH
A FVA
D
E
C f 拉杆
F I
B FVB
l/2 l
l/2
FP1 A
FP2 C
FP3 B F l/2 l
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小
结
(4) 内力与拱轴线形式 内力与拱轴线形式(y,φ)有关。 有关。 有关 (5) 关于 值的正负号：左半跨 取正号；右半跨 取负 关于φ值的正负号 左半跨φ取正号 右半跨φ取负 值的正负号： 取正号； 即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。 号，即式 中