第二节 芝诺悖论与无限
芝诺悖论
芝诺悖论芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。
两分法悖论运动是不可能的。
由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。
这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。
从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。
从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。
速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。
所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。
阿奇里斯悖论“动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。
由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。
因此被追者总是在追赶者前面。
”—亚里士多德, 物理学 VI:9, 239b15如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。
首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。
然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。
最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。
譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。
追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论的数学解释
芝诺悖论是古希腊思想家芝诺所提出的一个著名的悖论。
这个悖论通过一个有
趣的思想实验，挑战了数学中的一些基本概念，如无限、无限分割以及运动的性质。
该悖论的思想实验是这样的：假设我们要在一个径长为1米的赛道上走到终点，按照常识我们认为只需要分别走过1/2米、1/4米、1/8米……这样依次走下去就能
抵达终点。
但是，芝诺通过一个巧妙的推理来证明，按照这种方式，我们将永远走不到终点。
首先，假设我们已经达到了终点，也就是说，我们已经走过了完整的1米。
然后，我们回想一下之前的分割方式，我们每一次都是走过当前剩余距离的一半。
所以，在到达终点之前，我们还要走过剩下的1/2米、1/4米、1/8米......以此类推。
这个过程应该是无限的，因为我们可以不断把剩余的距离继续一分为二。
但是，无限是一个没有终点的概念，我们永远也无法真正走完所有的无限个分割。
这个悖论揭示了数学中无限性的一些非直觉的性质。
它告诉我们，我们虽然可
以一直不断地将距离分成更小的部分，但是有时候，在无限性面前，我们无法到达预定的目标。
换句话说，即使我们可能无限地将一条线段分割得越来越小，但它不能无限地延伸下去。
在这个例子中，我们永远无法走完所有的分割，即使我们看起来在不断前进。
芝诺悖论在古希腊时期引起了强烈的讨论和思考，对于当时的数学和哲学有着
深远的影响。
通过这种思考悖论，我们可以更好地理解无限性和运动的性质，并且对我们对数学和现实世界的理解带来了新的启示。
芝诺悖论
如果世界真是如此构建的话，那么时空也就变成了“一份一份”的单元，我们就能得到一个最最极限的长度，一个最最极限的面积，一个最最极限的体积（圈量子理论认为，这个长度是普朗克长度10^-33厘米，面积是普朗克长度的平方，体积则是普朗克长度的立方）。而这在原则上就否定了芝诺第一、二悖论关于时空是连续的假设。
时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。
已知最早的批评来自亚里士多德。关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。
然而我想，近年来科学家们正在研究的时空可能的量子结构也许会为芝诺悖论带来一个新的思考方向。
具体来说，在人们的传统观念中，时间和空间（也可以结合起来说成是时空）都是连续的。正如100多年前，绝大多数人和科学家认为物质是连续的。尽管自古以来一些哲学家和科学家曾经推测如果把物质分解到足够小的块，就会发现它们是由微小的原子组成，然而当时几乎没有人认为能够证实原子的存在。今天我们已经得到了单个原子的图像，也研究了组成原子的粒子。物质的粒子性已经是过时的新闻了。 在最近几十年中，物理学家和数学家想知道空间是否也由离散块组成的。它是连续的，就像我们在学校里学到的那样，还是更像一块布，由根根纤维编织而成？如果能探测到足够小的尺度，我们是否能看到空间的“原子”，它们的体积不能被分割成更小的形态？对时间来说，情况又怎样呢？自然界是连续变化的，还是世界以一系列微小的步伐来进化。
芝诺悖论
芝诺悖论一尺之棰，日取其半，万世不竭就拿“阿喀琉斯与乌龟赛跑”的例子来说好了，等乌龟先跑出一段后阿喀琉斯再起跑追赶，结果则是飞毛腿阿喀琉斯怎么也追不上乌龟：当人追上乌龟的上一段的出发点时，乌龟已经往前走了一段路。
并且最关键的是，这个过程可以无限地重复下去。
可是大家想一想，这里的这个“无限”是什么意思呢？假设人一开始在乌龟后方10m，人的速度为11m/s，乌龟的速度为1m/s，小学生都会算这个追及问题——人追上乌龟要1秒的时间。
可是芝诺悖论是怎么算的呢：人先走到乌龟的第一段出发点要10/11秒，再走到乌龟的第二段出发点要10/121秒，再走到乌龟的第三段出发点要………（其实把这些所有所需的无限段时间加起来，你会发现其实就等于1秒）所以，悖论本身对于“无限”隐含的定义其实是“这个步骤无限重复下去，时间无限接近于1秒”！无限接近于一秒（其实还不到1秒），人当然还是追不上乌龟的。
但我们直觉上却认为，一个步骤重复无限次，就必然需要无穷无尽的时间。
因此我们直觉上以为这里“无限”的定义是无穷无尽的时间。
所以芝诺悖论其实告诉我们的是：不管时间再如何无限逼近1秒，只要没到1秒，人就追不上乌龟。
而芝诺自己和我们却错误地理解成了：即使有几百几千年无限的时间，人也追不上乌龟。
说到底，定义标准不统一罢了。
芝诺悖论讲了一个很有趣的事情，说是阿基里斯追不上乌龟。
（阿基里斯就是特洛伊战争中被射穿脚踵的那个，肯定比乌龟跑的快）理由是当阿基里斯跑到乌龟位置时，乌龟就向前走一段距离。
所以永远都追不上。
在这个明显的错误面前，我居然找不到错误所在。
不过在思考了n分钟后，我终于想到了问题之所在。
其实就是一个简单的数学问题。
假设阿基里斯与乌龟之间距离为s，阿基里斯与乌龟的速度分别为a和b，则在阿基里斯到达第一次乌龟的位置时，所需时间为s/a，此时两者之间距离为sb/a。
同理，当阿基里斯到达第二次乌龟的位置时，所需时间为sb/a^2，此时两者之间距离为sb^2/a^2。
芝诺悖论数学报告
•
• •
由 芝 争在芝
芝 诺 议那诺
诺悖
么悖
芝
悖论 论究
长论 的究
诺
引竟 发应
时竟 间有
悖
的该 讨怎
洪着 流怎
论
论样 解
中样 备的
解
释
受魅 为著名的三个 悖论内容是： （1）二分法，（2）阿基 琉斯跑不过乌龟，（3）飞 矢不动
悖论的错误之处
• 从二分法说起，一个人要到一个目的地，首先要通过路程的一半，
数学报告
芝诺悖论
大学需要学习的东西
• 大学需要学习至少两类知识 • 一类是实实在在的东西 • 第二类是奇奇怪怪的东西。
两类知识的重要性分析
实实在在的东西
• 即知识，知识可以帮助我们解
决问题，提高我们的办事能力， 修炼我们为人处世的气质
奇奇怪怪的东西
• 助我们思考，探索，研究。培
养良好的自学能力，以及思考 能力，可以提高我们发现问题 的能力
隔
• 普朗克长度正是光在普朗克时间里所传播的长度
普朗克时间与长度与元电荷量的类比
• 既然时间，长度不是无限可分
的，那么总有那么一次乌龟的
时间乘以他的速度不够飞毛腿
的行程；既然时间不是连续可
分，那么箭也不可能静止，因 为根本就没有为零的时间间隔
• 这就像高中学的元电荷带有的
电荷量是最小电荷量，不可以 继续分割。
然后要通过一半的一半，再通过剩下路程的一半，因为每一段路程 都有剩下的一半所以旅行者永远也到不了终点。
• 解释：每一段确实都有二分之一，就算每一次走过一半，那么芝诺
并没有考虑到旅行者还有自己的脚，他的脚也是有长度的，总有一 次他的脚的长度会比最后的二分之一长。那么此时就是他即将通过 终点之际
芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
芝诺悖论无穷级数求解
芝诺悖论无穷级数求解芝诺悖论是一种古老而有趣的数学悖论，涉及到无穷级数的求解。
该悖论最早由古希腊数学家芝诺提出，他认为对一个无限的任务集合进行求和，将无法完成。
芝诺悖论的核心在于无穷级数的求和问题。
无穷级数是一系列数的和，其中每一项与前一项之间有规律的关系。
例如，常见的无穷级数可以表示为1+1/2+1/4+1/8+...，其中每一项都是前一项的一半。
芝诺悖论的思考方式是，假设我们从第一项开始，每一步都能加上前一项，那么我们应该可以得到一个有限的总和。
然而，如果我们将这个无穷级数的总和表示为S，我们可以通过以下方式推算：S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...将S乘以1/2得到：1/2 * S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...将这个等式的两侧相减：(1 - 1/2) * S = 1化简得到：1/2 * S = 1解得：S = 2根据上述计算，我们得到了一个令人惊讶的结果，即无穷级数1+1/2+1/4+1/8+...的总和等于2。
然而，这与我们的直觉不符。
我们知道这个无穷级数是无限接近于2，但却不等于2。
这就是芝诺悖论的核心所在。
无穷级数的求和并不是一种直观的操作。
尽管我们可以进行一系列推导，看似得到了有理的结果，但这个结果与我们的直觉和实际情况不符。
实际上，芝诺悖论表明了无穷级数求和的难题。
数学家们在近几个世纪里一直在探索如何更准确地定义和求解无穷级数。
他们提出了一系列概念和方法，如级数的收敛性、绝对收敛等，以便更好地处理无穷级数。
总的来说，芝诺悖论向我们展示了数学中的困难和悖论。
它提醒我们，在处理无穷级数时需要谨慎，并不是所有的推导都可以直接应用于无穷情况。
数学家们仍然在努力解决这个问题，以更好地理解和解释无穷级数的求解。
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
论芝诺悖论
芝诺悖论摘要巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。
《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。
”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。
关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性AbstractsParmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness1.概述1.1芝诺简介芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
浅析芝诺悖论中的无限思想
浅析芝诺悖论中的无限思想作者：杨旭曾丽来源：《现代职业教育·中职中专》2019年第08期［摘 ; ; ; ; ; 要］ ;悖论的产生可能引起数学危机，但是通过解决数学危机得以促进数学的发展。
结合芝诺悖论中的“二分法”与庄子的无限分割思想阐述有限与无限之间的辩证关系。
［关 ; ;键 ; 词］ ;芝诺悖论；二分法；一尺之锤；无限［中图分类号］ ;O173 ［文献标志码］ ;A ; ［文章编号］ ;2096-0603（2019）23-0172-02悖论通常是指它的结论实际上违背客观实际，但其推理过程却看似合情合理。
数学中某个悖论的提出在很长时期困扰着一些数学家及数学爱好者，但在其不断推理的过程中却推动了数学的发展。
如芝诺提出的“二分法”“追龟论”“飞矢不动”“二倍等于一半”四大悖论，其结果荒谬，但推理过程却又似乎合乎逻辑，引起广泛的争论。
根据亚里士多德的记载，芝诺四个悖论的主要内容有以下几点：1.“二分法”悖论是指运动不存在。
芝诺认为一位运动者要想从起点到达终点，在这一运动过程中，他必须要先走到原来路程的一半，才有可能抵达终点，而原来路程的一半还会有它的一半，这样每个一半都有它的一半，如此类推下去，以至无穷，那么运动者连动也不能动。
2.“追龟论”是指阿基里斯（古希腊神话中跑步非常快的人）永远都追不上他前方爬的较慢的乌龟。
芝诺提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的乌龟，必须要先追到乌龟爬行的起始位置，每一次当他追到乌龟的起始位置，乌龟又爬到了下一个起始位置，周而复始，纵使阿基里斯速度很快，他却永远追不上乌龟。
3.“飞矢不动悖论”是指射出去的箭矢是不动的。
芝诺介绍道，射出去的箭矢在某一瞬间，它占据着一个固定的位置，并且每一个瞬间它都占据着一个固定的位置。
运动是位置的变化，而箭矢在飞出之后由于任何时刻都待在一个固定的位置，因而飞矢不运动即飞矢在每个时刻都是静止的。
4.“二倍等于一半”：假定时空由最小不可分单位“瞬时”与“此地”组成有两个物体，一物体在瞬时向左移一个单位，另一物体在这瞬时向右移动一个单位，这样，在这瞬间两物体相距了两个单位。
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论古希腊哲学家芝诺的四大数学悖论 1，二分法悖论:任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB 中点E。
依此类推。
这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。
所以，该物体永远也到不了终点B。
不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。
因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段路程，而在此之前又必须先完成前1/4路程......因此，物体根本不能开始运动，因为它被道路无限分割阻碍着。
2,阿基里斯追龟悖论:如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。
乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。
但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。
而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。
3、飞矢不动悖论:任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗,既然飞矢在任何一个时刻都能呆在一个地方，那飞矢当然是不动的。
4、运动场悖论: 芝诺提出这一悖论可能是针对时间存在着最小单位一说,现在的普朗克—惠勒时间 Planck-Wheeler time)。
对此，他做出如下论证:设想有三列实体，最初它们首尾对齐。
设想在最小时间单元内，C列不动，A列向左移动一位，B列向右移动一位。
相对B而言，A移动了两位。
就是说，我们应该有一个能让B相对于A移动一位的时间。
自然，这时间是单元时间的一半，但单元时间是假定不可分的，那么这两个时间就是相同的了，即最小时间单元与他的一半相等。
解决芝诺悖论的有效逻辑方法
解决芝诺悖论的有效逻辑方法
芝诺悖论是一种逻辑上的悖论，涉及到无限的概念。
虽然不能完全解决芝诺悖论，但可以通过一些逻辑方法来有效应对。
1. 限制无限：芝诺悖论涉及到无限的概念，可以通过限制无限来避免悖论的发生。
例如，可以限制无限的步骤或无限的时间，从而避免出现无限的循环。
2. 引入切断点：在芝诺悖论中，悖论的发生通常是由于循环引起的。
可以通过引入一个切断点来打破循环，从而避免悖论的发生。
这个切断点可以是一个临界条件，当满足这个条件时，循环被打破。
3. 重新定义概念：悖论的发生可能是由于概念的不清晰或不准确引起的。
可以重新定义概念，使其避免与悖论相关的问题。
4. 使用数学方法：数学方法可以用来处理无限的概念。
通过数学方法，可以将无限的过程转化为有限的问题来解决悖论。
5. 探索新的逻辑系统：芝诺悖论挑战了传统的逻辑系统。
可以探索新的逻辑系统，如模糊逻辑、多值逻辑等，以寻求解决悖论的有效方法。
需要注意的是，虽然可以通过上述方法来应对芝诺悖论，但无法彻底解决悖论。
这是因为芝诺悖论涉及到一些基本的哲学问题，如无限、时间和空间的本质等，这些问题在逻辑层面无法得到完全的解答。
不过，通过上述方法可以帮助我们更好地理解和处理芝诺悖论。
从芝诺佯谬看无限与有限
从芝诺佯谬看无限与有限李 刚 （PB03203236）关于龟兔赛跑问题，早在公元前5世纪中叶的古希腊，著名哲学家芝诺就曾经有过一种论证：说跑得最快的兔子永远追不上跑得最慢的乌龟。
生活告诉我们，这一论证显然是荒谬的。
不但兔子追上了乌龟，而且跑了比乌龟更多的路程。
因此芝诺的这一论证被后人称之为“芝诺佯谬”或“芝诺悖论”。
这里，我们对龟兔赛跑问题作一运动学的分析：假设兔子以速度1v 向前跑，在它前面l 处，乌龟正在以速度2v )(12v v <爬行。
则：按照运动学的理论来解这道题：当兔子追上乌龟时，设用了时间t .在这段时间里，设兔子跑的路程为1l ,乌龟爬的路程为2l ,则：21l l l -=； t v l *=11；t v l *=22；由以上三式，可得：l t v t v =*-*21； 即：()l t v v =*-21解得：21v v l t -=我们再来看看芝诺是怎样论证的。
他说，当兔子从甲地追赶在乙地的乌龟，但当它跑到乙地的时候，乌龟又到了前面的丙地，所以兔子还要继续追到丙地，到达丙地之后，乌龟又爬到了前面的丁地…… 如此继续不已，兔子便永远也追不上乌龟。
这个论证看似有一定的合理性。
但我们从相反的角度去论证他的谬误：既然兔子“永远”追不上乌龟，那么兔子和乌龟都在向一个“无限前方的目标”跑着，整个路途是一个“无限长的路途”；而兔子到乌龟的距离，始终是一个“有限”的距离；兔子即使只跑完路途的一半，他也已经越过了一个“无限”的距离（无穷大的一半还是无穷大），足以越过他到乌龟之间始终只是“有限”的距离；结论：兔子在跑完路途一半之前就早已追上了乌龟。
我们分析一下芝诺是怎样造成谬误的：芝诺给出的推理本身就存在矛盾才导致矛盾的结果，兔子与乌龟之间的距离，始终是一个“有限”的距离，无论怎么将其“无限”的分割它仍然是一个“有限”的距离，要跑完这个“有限”的距离所须的时间是一个“有限”的时间，这个“有限”的时间无论怎么随着距离的分割而无限分割它仍然是一个“有限”的时间。
论芝诺悖论
论芝诺悖论芝诺悖论摘要巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。
《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。
”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。
关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性AbstractsParmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness1.概述1.1芝诺简介芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论最简单解释
芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一种悖论，它表明了人类思维的局限性。
芝诺悖论的核心思想是：无限可分割的空间，无法被穿越。
这个悖论的简单解释如下：
假设有一个人要从点A走到点B，他必须先走到A的一半，然后再走到剩下一半的一半，再走到剩下一半的一半的一半……如此无限分割下去，他永远也无法到达点B。
因为每次走的距离都是有限的，但是分割的次数是无限的，所以他永远也无法到达终点。
这个悖论的实际应用非常广泛，例如在数学中，它可以用来证明一些定理，如无理数的存在性。
在物理学中，它可以用来解释一些现象，如光的传播和量子力学中的测量问题。
然而，芝诺悖论也引发了一些哲学上的思考。
它表明了人类思维的局限性，我们无法理解无限的概念。
同时，它也挑战了我们对时间和空间的认识，我们是否能够穿越无限的时间和空间？
总之，芝诺悖论是一个非常有趣的哲学问题，它挑战了我们对世界的
认识和理解。
虽然它看起来很抽象，但是它的实际应用非常广泛，我们可以从中学到很多有用的知识。
芝诺悖论无穷级数解释
芝诺（Zeno of Elea ）辩论（Argument ）——从量子的角度能得到完善的解决。
这里用无穷级数做些解释。
阿基里斯与乌龟赛跑问题：古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯和乌龟的赛跑，如果先让乌龟爬行1000米后，再让阿基里斯去追乌龟，那么阿基里斯不可能追上乌龟。
芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从逻辑上讲上述辩论没有任何问题，但显然不符合现实！无穷级数分析：设乌龟的出发点为1A , 阿基里斯的起跑点为0A ，两者的间距为1s ，乌龟的速度为v ，阿基里斯的速度是乌龟的100倍，即为100v .因为乌龟爬行到2A 的时间与阿基里斯到达1A 的时间相等，所以21100s s v v =，即12100s s =. 以此类推，21100n n s s --=,1100n n s s -=，所以 111100n n s s -⎛⎫= ⎪⎝⎭阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为： 123n s s s s s =+++++231111111111100100100100n s s s s s -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 231111111100100100100n s -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11111100100lim .1991100n n s s →∞⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==- 因此，从表面上看，阿基里斯在追赶乌龟的过程中总跑不完，但模型分析计算可知当阿基里100 99s处时，已经追赶上了乌龟。
哲学家芝诺悖论是什么
哲学家芝诺悖论是什么古希腊哲学家芝的诺悖论在数学和哲学这两个方面都享有非常高的荣誉，英国伟人罗素认为芝诺发明的四个悖论既微妙又深邃。
下面是店铺为你搜集芝诺悖论是什么的相关内容，希望对你有帮助!芝诺悖论芝诺悖论一：二分说。
芝诺认为运动是不存在的，他的意思是说，一个人如果要过一段路，那么在走完这段路之前是肯定会走过你要走的这一段路的一半的位置，过了这个位置之后，你又想走完剩下来的这一半，那么就又要走剩下来的这一半路的一半的位置，这样一直下去。
芝诺悖论二：追龟说。
这个悖论与上一个悖论二分说相似，意思是说，一个人到达乌龟的出发点时，乌龟就已经在前面走了一小段路了，于是就必须走过这一小段路程，可是乌龟在你走的时候也在向前走，于是就是这样，你无限接近它，但不能追到它。
芝诺悖论三：飞箭静止说。
这个悖论的意思是，如果你和一个东西在同一个空间但是没有超过它，这个东西是静止的。
那么如果要移动的事物在这个空间里面占有一个小的空间，那么飞在空中的箭是静止不动的。
芝诺悖论四：运动场悖论。
运动场悖论是运动物体的论点，在跑道上有前后两排大小和数目都相同的事物，其中一排是前半段的，另一排后半段的，他们以相同的速度却向着反方向作运动。
芝诺的历史评价虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。
不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销.正如美国数学史家E.T.贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾"以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。
"芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察.虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合:柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。
芝诺悖论——精选推荐
芝诺悖论芝诺悖论，为极限的诞⽣莫定了基础9 ⼈参与 2018年11⽉16⽇ 15:57 分类 : 科学百科评论芝诺悖论是由古代希腊著名的哲学家芝诺提出的⼀系列的关于运动的不可分性的哲学悖论，早在2500年前，古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了涉及⽆穷的四个著名运动悖论和多的悖论，其似是⽽⾮的论证虽然长期引起争论，但是似乎并没有得到令⼈信服的解决。
芝诺悖论被记录在亚⾥⼠多德的《物理学》⼀书中，所以被后⼈所知，芝诺悖论的提出是为了⽀持芝诺的⽼师巴门尼德关于“存在”不动，是⼀的学说。
芝诺悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最为著名的两个是“阿基⾥斯追乌龟”和“飞⽮不动”。
芝诺悖论⼀阿基⾥斯追不上乌龟古希腊⼈⼗分喜欢辩论，芝诺就是⼀个很有才能的雄辩家。
芝诺就提出了著名的阿基⾥斯追不上乌龟的悖论。
芝诺有⼀天对他的学⽣说，⼤家都知道荷马史诗中善于跑步的英雄阿基⾥斯吗？阿基⾥斯是当时世界上跑得最快的⼈，但是我认为，阿基⾥斯还追不上⼀只乌龟。
但是芝诺的学⽣都不相信。
于是芝诺说道：假如派阿基⾥斯和乌龟赛跑，阿基⾥斯的速度是乌龟的10倍。
乌龟先出发，⾛了 100⽶，然后阿基⾥斯就开始追赶乌龟。
当阿基⾥斯跑完100⽶时，乌龟⼜向前爬了 10⽶；阿基⾥斯跑完这10⽶，乌龟⼜向前爬了 1⽶；阿基⾥斯跑完这 1⽶，乌龟⼜向前爬了 0.1⽶。
所以这样下去的话，阿基⾥斯速度再快，但是⾛过⼀段距离总需要⼀些时间，⽽在这段时间内，乌龟⼜会向前⾛⼀段距离，这样⼀来说话，阿基⾥斯永远也追不上乌龟。
学⽣们听了后，都觉得芝诺的说法是错的，但是⼜⽆法指出芝诺的错误。
这个问题也是数学史上著名的阿基⾥斯难题。
其实，我们应该可以想到，这个结论肯定是不对的，阿基⾥斯⼀定是会超过乌龟的，但是⼈们当时却不知道这个芝诺悖论错在哪⾥。
芝诺悖论的问題当时虽然没有得到解决，但是⾯却解决了，可以采⽤微积分也就是⽆限的概念来解决。
⼈们从芝诺悖论中得到了很⼤的启发，也锻炼了⼈们的逻辑思维程度和能⼒，芝诺悖论为极限的诞⽣莫定了基础。
西方哲学史论文——无限概念在西方哲学中的变迁
无限概念在西方哲学史中的变迁梅艺凡关键词：潜无限、实无限、芝诺悖论无限是一个让人感到困惑的概念，日常生活中会经常使用到有关于无限的种种说法，比如自然数和直线的概念。
但是关于无限的一些理解之间存在着明显的矛盾之处，而把这种矛盾展示到极致的是芝诺关于运动的几组悖论。
本文希望在西方哲学史的历程这种来梳理出关于无限的种种看法和理解，来看看各派哲学家怎么来回答芝诺悖论的，并且尝试着提出自己对于该悖论的一些解决办法。
最早把无限的概念引入西方哲学的人是阿那克西曼德，他指出万物的本原是“aperion”（无定形，也就是现在所认为的无限，下文都称为无限）。
他进一步解释说本原不是水，也不是任何别的被称为元素的东西，而是某种本性是无限的东西，从其中产生出所有的一切世界。
从他自己对于无限的说法来看，阿那克西曼德没有提出新的本原，而是在说本原所具有的某种属性，这种属性就是无限。
再看看他对于无限这个属性的具体说法：无限本身是不生不灭、无穷无尽、无边无际的，倘若本原有固定的性质或形态，有生有灭、有穷有尽、有边有际，那就成了规定者，有种种限制，就不能解释许多自然现象了。
可以看出阿那克西曼德并没有详细去探讨关于无限本身的具体意义，只是作为一种本原的理由在解释它存在的理由，但正是由于他提出了“无限”这个概念，由此启发了后世哲学家对此进一步的思考。
一、芝诺悖论与无限芝诺是爱利亚学派的奠基人巴门尼德的学生，他的哲学思想继承了巴门尼德所说的存在是“一”而不是“多”，是“静”而不是“动”的观点，而芝诺的特别之处在于他运用逻辑论证来说明上述观点，如果承认“多”和“动”就会陷入矛盾之中。
芝诺的这些论证在哲学史上影响深远，一般被称为“芝诺悖论”。
芝诺一共有四个关于运动的论证：二分法、阿喀琉斯追龟、飞矢不动、运动场，这是论证全部被记录在亚里士多德的《物理学》当中，下面主要介绍跟无限这个概念紧密联系的三个悖论。
二分法悖论说的是运动是不可能的，因为由于物体在到达目的地以前必须经过其间的中点，同样要到达中点也需要经过中点的中点，以此类推，物体在到达目的地以前就需要经过无限多的点，而在有限的时间内无法通过无限多的区域。
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[两集合：有一一对应，元素个数相 等；部分小于全体，元素个数不相等。形 成悖论。]
11
2.） 在无限集中，“有限”时成立的 许 多命题不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律成 立: (a+b)+c=a+(b+c)
12
在“无限”的情况下，加法结合律不
再 成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 1 [(1) 1] [(1) 1] [ ] 0 1
3）|N| =可数无穷势a ， |Q|=a
4）|R| =不可数无穷（称连续统势c）,
ca
；无理数比有理数多得多。
25
5）无穷集合可能有不同的势，其中 最小的是a ；不存在最大的势。 6）“连续统假设”长期未彻底解决 “连续统假设”：可数无穷是无限集中最 小 的势，连续统势是（否？）次小的势。 ac
的过程，认为无限只存在于人们的思维
中，只是说话的一种方式，不是一个实
体。
21
从古希腊到康托以前的大多数哲学家和 数学家都持这种潜无限的观点。他们认为 “正整数集是无限的”来自我们不能穷举所 有正整数。例如，可以想象一个个正整数写 在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起， 每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里， 那么，这一过程将永无终止。因此，把全体 正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它 只能存在于人们的思维里。
lim an 的过程。 k n 如： ； 自然数N，都 ，使 an N n k 时， 。
16
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出 无限次运算的结果，如 4）递推公式 an an1 d , d * 5）因子链条件（抽象代数中的术语）
1 1 i 1 2
i
17
3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖是直的 （整体看又是圆的） 2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下 去是直的（许多刀合在一起的效果是光滑 的）
18
3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形 的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则 图形的面积→不规则图形的面积？ 法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所 得面积越准
32
法II. 让每个旅游团占据某固定素数的方幂 由于素数有无穷多个，正整数又 “唯一析因”， 知，能安排住下，且还有空房， 3 4 1 2 p1 p1 p1 p1 … … 一团 1 2 3 4 二团 p2 p2 p2 p2 … … 2 3 1 4 三团 p3 p3 p3 p3 … … ………… ………… …… 附：证明“素数有无穷多个”（反证法）
5
三、“有无限个房间”的旅馆
1. 客满后又来1位客人 1 2 3 4 ┅ k ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅ 空出1号房间 ┅
6
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
↓ ↓ ↓ 2 4
1 2 3 4 ↓ ┅ ↓ ┅ 6 8 ┅ ┅ k 2k ┅
┅
空下了奇数号房间
7
3. 客满后又来了一万个旅游团，每个 团中都有无穷个客人
2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 10001 20002 30003 40004 ┅ 10001×k ┅ 1
给出了一万个、又一万个的空房间
8
4. [思] 客满后又来了无穷个旅游团，
每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
9
四、无限与有限的区别和联系
3
1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不 上乌龟。 2. 症结：无限段长度的和可能是有限 的；无限段时间的和也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）最早的“反证法”及“无限”的 思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位？
4
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间 是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和 时间是离散的”。在芝诺看来，两种理论都 有毛病；所以，运动只是假象，不动不变才 是真实。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如 此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散 的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能 不说是巨大的贡献。
例如：“甲是乙”与“甲不是乙” 这两个命题中总有一个是错的；但“本 句话是七个字”与“本句话不是七个字” 又均是对的，这就是悖论。
1
再如：“万物皆数”学说认为“任 何数都可表为整数的比”；但以1为边 的正方形的对角线之长却不能表为整数 之比，这也是悖论。
2
二、芝诺悖论
芝诺（前490？—前430？）是（南意大 利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。 他企图证明该学派的学说：“多”和“变” 是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在” 才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设 计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖 论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看 其中的一个悖论。
13
有限半群若满足消去律则一定是群。 √ 无限半群若满足消去律则一定是群。 ×
14
（2）有限级数一定有“和”。 √ n
a 是个确定的数
i 1 i
i
无穷级数一定有“和”。 × (1) 则不是个确定的数。称为该
i 1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
15
2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的 手 段，往往很重要. 1）数学归纳法 通过有限的步骤，证 明了命题对无限个自然数均成立。 2）极限 通过有限的方法，描写无限
ad c
26
康托1882年曾认为他证明了这一假
设，后来发现有错。直到现在，这一问题
仍吸引着一些数学家的兴趣。
27
六．哲学中的无限
1．哲学对“无限”的兴趣
哲学是研究整个世界的科学。自从提
出“无限”的概念，就引起了哲学家广泛 的 关注和研究。现在我们知道哲学中有下边
一些命题：
28
物质是无限的；时间与空间是无限
的；物质的运动形式是无限的。
一个人的生命是有限的；一个人对客
观世界的认识是有限的。
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2．数学对“无限”的兴趣
数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提
高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限
的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智
慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，
那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧 与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情
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但康托不同意这一观点，他很愿意把这 个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实 体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产 生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗 内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托 当时的处境和待遇都不太好。
23
2．无限集合也有“大小”——从 “一一
对应”说起
19
法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积， （不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求 曲边梯形的面积：划分，矩形面积之和 ~ 曲边 f (i )xi，再取 梯形面积； 越小，就越精确； i 极限 0 ，就是曲边梯形的面积。
20
五、 潜无限与实无限
1．潜无限与实无限简史
潜无限是指把无限看成一个永无终止
…
35
[思]：构造一个“部分到整体的一一 对应”：从[0，1）→[0，+∞）。
36
精品课件！
37
精品课件！
38
答
f :[0,1) 0,
x
1 1 1 x
即
1 f ( x) 1 1 x
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实无限的观点让我们知道，同样是无限集
合，也可能有不同的“大小”。正整数集合是 最 “小”的无限集合。实数集合比正整数集 “大”。
实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合 更大。不存在最“大”的无限集合（即无限集
24
这需要“一一对应”的观点。
1）“一一对应”——双射（单射+满射）
2）集合的势|A|——集合中元素的多少
p1
ps 1
33
[思 ]
构造一个无穷多个运动员百
米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要
求表达出每一个运动员的百米成绩，且要
求接近实际：不能跑进9秒）
34
运动员
1
2
3
4
5
6
… …
百米成绩 10秒 9.9秒 9.89秒 9.889秒 9.8889秒
另
解
1 1 1 1 1 1 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 9 秒 4 6 2 3 5 1
1. 区别 1） 在无限集中，“部分可以等于全 体”（这是无限的本质），而在有限的情 况下，部分总是小于全体。
10
当初的伽利略悖论，就是没有看到 “无 限”的这一特点而形成的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n …
融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的
感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会
充满乐趣。
30
[思] 客满后又来了无穷个旅游团， 每个团中都有无穷个客人，还能否安排？
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答 ：能。 法I. 将所有旅游团的客人统一编号排成下 表，按箭头进入1，2，3，4，5，…各号房间 顺序入住，则所有人都有房间住。 一团：1.1→1.2 1.3 1.4 …… ↙ ↙ ↙ 二团：2.1 2.2 2.3 2.4 …… ↙ ↙ 三团：3.1 3.2 3.3 3.4 …… ……………………………………