一元二次方程难点归类精编版
一元二次方程知识点总结与易错题精编版
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。
一元二次方程学习中的重难点
一元二次方程学习中的重难点第一部分：搞明白要做什么1.首先，我们的教学目标如下：（1）会用公式法解一元二次方程；（2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力；（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.2.其次，我们的教学重难点如下（1）教学重点知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.（2）教学难点:求根公式的推导.3.而后，总体设计思路:以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.第二部分：弄清楚要怎么做1.我们的教学过程设计如下：整体教学流程：形成表象,提出问题分析问题,探究本质得出结论,解决问题拓展应用,升华提高归纳小结,布置作业.2.形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(学生选两题做)(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程）(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望3.分析问题,探究本质由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.进而提出下面的问题:既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根据学生学习程度的不同,可ax2+bx=-c 以采用学生独立尝试配方, 合x2+x=-作尝试配方或教师引导下进行x2+x+=-+配方等各种教学形式.(x+)2=然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.当b2-4ac≥0时，(x+)2=注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,x+=便于学生的理解.x=-即x=x1= , x2=当b2-4ac<0时，方程无实数根.设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.第三部分：我的看法在前一阶段中，我摘取了一元二次方程中的公式法。
一元二次方程重难点题型
一元二次方程是初中数学的重要内容，其中涉及的重难点题型主要有以下几种：
直接开平方法解方程：通过配方等方法，将一元二次方程化为形如(x−a)2=b的形式，然后直接开平方求解。
这种题型需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式。
配方法解方程：通过配方将一元二次方程化为完全平方的形式，然后求解。
这种题型需要掌握配方的技巧和方法。
因式分解法解方程：通过因式分解将一元二次方程化为两个一次方程的乘积，然后求解。
这种题型需要掌握因式分解的方法和技巧。
判别式与根的情况：根据判别式Δ=b2−4ac的值，判断一元二次方程的根的情况（有两个不相等的实根、有两个相等的实根或无实根）。
这种题型需要理解判别式的含义和作用。
一元二次方程的应用：将一元二次方程应用于实际问题中，如利润问题、面积问题等。
这种题型需要理解题意，建立数学模型，然后求解一元二次方程。
在掌握这些重难点题型的过程中，学生需要注重理解概念、掌握方法、多做练习，并注重总结归纳和反思。
同时，教师也需要根据学生的实际情况，有针对性地进行指导和辅导，帮助学生更好地掌握一元二次方程的知识和技能。
人教中考数学一元二次方程的综合热点考点难点
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ， 由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】 由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=5．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.6．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-， 又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
21章一元二次方程重难点、易考点汇总
21章一元二次方程重点、易考点一、一元二次方程的概念 1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是________________． 二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是 ， 主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________． ~三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.注意：222121212()2x x x x x x +=+-⋅22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 2121212()4x x x x x x -=+-⋅五、实际问题与一元二次方程&列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．考点一：一元二次方程的定义 题型（一）判断一元二次方程１、是一元二次方程。
一元二次方程-重难点讲解
一元二次方程-重难点讲解知识要点：1、直接开平方法概念：一般地，对于形如的方程)a(a x 02≥=，由平方根的定义的a x ±=。
方法步骤：（1）将方程化为形如)0()(22≥=+=p p m x p x 或的形式；（二次项系数为1） （2）两边开平方解答； (1)注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
①降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
①方法是根据平方根的意义开平方。
(2)平方根有哪些性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； ②零的平方根是零； ③负数没有平方根2、配方法定义：将一元二次方程配成：n m x =+2)(的形式，再利用直接开平方法求解的方法 1、用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；①方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ①方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ①把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；①进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是给负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程没有根。
2、配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a ab b a +=++、222)(2b a ab b a -=-+3、配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
3．计算24b ac -的值； 3、因式分解方法提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。
完整版)一元二次方程难题集锦
完整版)一元二次方程难题集锦
1.已知方程$x^2-x-1=0$的两个实数根为$\alpha$和$\beta$，则代数式$\alpha^2+\alpha(\beta^2-2)$的值为
2.
2.已知一元二次方程$2x^2-2x+3m-1=0$的两个实根为
$x_1$和$x_2$，且满足不等式$x_1<x_2$，则实数$m$的取值
范围为：
3.若$a$、$b$为质数，且方程$a^2-13a+m=0$和$b^2-
13b+m=0$有相同的实数根，则：
4.在直角三角形$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$a$、$b$、$c$分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，$a$、$b$是关于$x$的方程$x^2-7x+c+7=0$的两根，则$AB$边上的中线长为：
5.已知方程$x^2+(m-1)x+m-2=0$的两个实数根之和为5，
则$m$的值为：
6.在直角三角形$\triangle ABC$中，$CD$为斜边上的高线，$AD$、$BD$为方程$x^2-6x+4=0$的两根，则$\triangle
ABC$的面积为多少？
7.设$a$、$b$、$c$为三个不同的实数，使得方程
$x^2+ax+1=0$和$x^2+bx+c=0$有一个相同的实数根，且方程$x^2+x+a=0$和$x^2+cx+b=0$也有一个相同的实数根，则
$a+b+c$的值为：
8.设$m$是不小于$-1$的实数，且方程$x^2+2(m-2)x+m^2-
3m+3=0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$。
1）若$x_1^2+x_2^2=6$，求$m$的值；。
一元二次方程教学目标和重难点
一元二次方程
一、教学目标
1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
二、重难点分析
1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．。
一元二次方程知识点归纳和重难点精析
一元二次方程知识点归纳和重难点精析一、知识点归纳1.一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
2.一元二次方程的解法公式一元二次方程的解法公式为x=[-b ±sqrt(b²-4ac)] / (2a)。
其中，sqrt表示求平方根，x为未知数，a、b、c为方程的系数。
二、重难点精析九年级数学一元二次方程的重难点1.高次项：一元二次方程中，二次项的系数a不能为0.且最高次数为2.这是在解一元二次方程时需要特别注意的难点。
2.整体化简：在求解一元二次方程时，需要将方程进行整体化简，从而得到未知数的值。
这需要学生具备一定的化简和运算能力。
针对重难点的解决方法及相关思考题1.高次项注意事项：在一元二次方程中，要确保二次项的系数不为0.且最高次数不超过2.如有其他高次项，可将其合并或转化为二次项。
2.整体化简技巧：为了更好地求解一元二次方程，学生需要掌握整体化简的方法。
可以通过移项、合并同类项等方式，将方程化简为更易于求解的形式。
思考题：求解一元二次方程x²-6x+9=0时，有哪些方法可以解题?哪种方法更适合处理此类方程?三、扩展知识一元二次方程的历史背景及应用领域一元二次方程作为九年级数学的重要知识点，在实际生活和后续学习中有着广泛的应用。
例如，在解决实际问题时，一元二次方程可用于解决诸如最大化、最小化、平均值等优化问题。
此外，在物理、化学、生物等科学领域中，一元二次方程也常常用于描述现象和解决问题。
相关知识点补充在求解一元二次方程的过程中，可能会涉及到其他数学知识点，如三角函数、平移和缩放等。
这些知识点对于理解一元二次方程的解法和实际应用都有一定的帮助。
例如，三角函数可以用于求解一元二次方程的近似解；平移和缩放可以用于将复杂的一元二次方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
因此，学生在学习的过程中需要注意知识点的联系与运用。
(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
(精选版)一元二次方程难题集锦
(精选版)一元二次方程难题集锦一元二次方程是数学中的重要概念，它的解决涉及到方程理解与解题能力的培养。
下面是一些精选的一元二次方程难题，供大家练和思考。
题目一已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = -3$，求方程的系数 $a$，$b$，$c$。
题目二一块田地的面积为 $45$ 平方米，它的长是宽的 $5$ 倍。
假设长和宽都增加 $x$ 米，那么田地的面积将增加 $20x + 25x^2$ 平方米。
请问这块田地的长和宽各是多少米？题目三设一元二次方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，已知 $x_1^2 + x_2^2 = 10$，$x_1 + x_2 = 3$，求该方程的表达式。
题目四已知一元二次方程的一个根为 $x = 1$，且方程的系数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+b+c = 5$，$a-b+c = 3$，求方程的另一个根。
题目五已知一元二次方程的两个根为 $x_1 = 2 - \sqrt{3}$，$x_2 = 2 + \sqrt{3}$，求该方程的表达式。
题目六一元二次方程 $ax^2 + bx + c$ 的图像是一个抛物线，如果$a>0$，则抛物线开口朝上；如果 $a<0$，则抛物线开口朝下。
请问，对于下列方程，它们的图像是开口朝上还是开口朝下？1. $2x^2 - 3x + 1 = 0$2. $-x^2 + 2x - 3 = 0$3. $3x^2 + 2x + 1 = 0$题目七一元二次方程 $ax^2 + bx + c$ 的判别式定义为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
请问，对于下列方程，它们的判别式是否大于 $0$？1. $x^2 - 6x + 1 = 0$2. $2x^2 + 3x + 1 = 0$3. $3x^2 + 4x + 1 = 0$以上是一些精选的一元二次方程难题，希望能够帮助你提高解题能力和对方程的理解。
第21章一元二次方程重难点总结(教案)
在今天的一元二次方程教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个数学工具。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我希望能够激发学生的兴趣，让他们意识到数学与现实生活的紧密联系。这种方法似乎很有效，我看到学生们在听到问题时都显得很兴奋，这为后续的学习打下了一个良好的基础。
在理论介绍环节，我发现有些学生对一元二次方程的基本概念接受得很快，但也有一些学生显得有些困惑。我意识到，对于这样的抽象概念，仅仅通过语言描述是不够的，还需要结合图形和具体例题来加深理解。因此，我及时调整了教学方法，通过图解和动画来展示方程的解和抛物线的关系，这帮助学生更好地理解了方程的根的性质。
-对于因式分解法的应用，学生容易在分解过程中出现错误，需引导学生理解并掌握因式分解的技巧。
（3）图解法的应用：利用抛物线图像分析一元二次方程的根；
-图解法对于学生的几何直观能力要求较高，需要通过具体实例和绘图练习来提高学生的图解能力。
（4）一元二次方程根的判别式Δ的应用；
-判别式Δ的意义及其与根的关系是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习，让学生明确判别式Δ对根的影响。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的解法（公式法、配方法、因式分解法）和根的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在实际问题中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用，是解决平方关系问题的有力工具。
一元二次方程的特殊解法知识点总结和重难点精析
一元二次方程的特殊解法知识点总结和重难点精析【知识点总结】一元二次方程的特殊解法是九年级数学的一个重要知识点，主要包括直接开平方法、因式分解法和公式法等。
1.直接开平方法是通过将方程化为平方的形式，直接开平方求得方程的解。
如：x²=64.可以直接开平方得到x=±8.2.因式分解法是将方程的左边分解成两个一次因式的乘积，从而得到方程的解。
如：x²-7x+6=0.可以分解因式得到(x-1)(x-6)=0.解得x=1或x=6.3.公式法是适用于所有一元二次方程的解法，根据方程的系数，使用公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求得方程的解。
【重难点精析】一元二次方程特殊解法的重点在于正确使用各种解法，并理解各种解法的适用范围和条件。
1.直接开平方法适用于形如x²=p或(nx+m)²=p的方程，需要注意的是，当方程化为平方的形式后，需要对p进行判断，当p≥0时，可以直接开平方;当p<0时，方程没有实数解。
2.因式分解法适用于方程的左边可以分解成两个一次因式的乘积的情况。
在使用因式分解法时，需要注意的是将方程的左边分解因式后，要善于观察两个一次因式中未知数的系数和常数项之间的关系，从而得到方程的解。
3.公式法适用于所有一元二次方程，但在使用公式法时，学生容易出现错误。
需要注意的是，在使用公式求根时，要根据方程的系数准确计算出b²-4ac的值，并判断出方程的根的情况。
同时，在计算过程中要注意符号和运算的准确性。
【题目解析】以下是一个关于一元二次方程特殊解法的题目：已知方程x²-6x+9=0.求方程的解。
解析：该方程可以化为(x-3)²=0.直接开平方得到x-3=0.解得x=3.【总结】一元二次方程的特殊解法是九年级数学的一个重要知识点，也是学生需要掌握的一个重要技能。
在实际解题过程中，学生应该根据方程的特点选择合适的解法，并注意一些容易出现的问题，如计算准确、符号正确等。
中考数学一元二次方程的综合热点考点难点附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为 ； ②当FC ∥AB 时，AD= ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2， 解得k=2，∴当k=2时，S 的值为2 ∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值． 【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得 1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.7．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=517-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3； （1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0 解得m=；∵﹣1≤m ＜1 所以m=． （2）T=+=====2﹣2m ．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.9．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ， 根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．10．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ , 得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.。
一元二次方程重难点
一．一元二次方程的定义二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理①根与系数的关系——对方程根的个数的判别②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题④利用韦达定理求代数式的值（22121212121211,,,,x x x x x x x x x x +-±±等） ⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用一．一元二次方程的定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值【例】已知x 是一元二次方程x 2+3x-1=0的实数根，求代数式：235(2)362x x x x x -÷+---的值．知识导航一元二次方程重难点基础学习【巩固】先化简，再求值：222412()4422a a a a a --÷-+--，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．2.公共解问题【思考】已知两个二次方程x 2+ax+b=0与x 2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程2022a cb dx x ++++=也有一个根为1．【例1】一元二次方程x 2−2x −54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2−(k +2)x +94＝0的根，求k 的值．【巩固】当k 为何值时，方程x 2-（k+2）x+12=0和方程2x 2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根．【变式1】若两个不同的关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a 的值及这两个方程的公共实数根．【变式2】已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2-abx+（a+b ）=0有没有公共根．请说明理由．【拓展1】已知：关于x 的方程ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0有一个相同的实数根，且a •b •c ≠0，求a+b+c 的值【拓展2】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且二次三项式x 2+2ax+b 2与x 2+2cx-b 2有一个公因式，证明：△ABC 一定是直角三角形．三．一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程：（1）2243620x x ++=． （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3）2154111x x x x -+=+-- （4）24221933x x x x =+---+ （7）x+2x −8＝0 （2）x+4x -−6＝0【巩固】（1）已知关于x 的方程x 2-（2a+1）x+a 2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5，求a 的取值范围．（2）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值．在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。
部编数学九年级上册专题01《一元二次方程》重难点题型分类(解析版)含答案
专题01 《一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程》中“判断一元二次方程的个数”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代数式的值”、“赋值法求一元二次方程的定根”、“根据面积问题列一元二次方程”、“根据实际问题列一元二次方程”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：判断一元二次方程的个数方法点拨：一元二次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是只含一个未知数，三是含未知数项的最高指数是2。
1．（2021·全国·八年级课时练习）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）①220x -=；②221x y +=；5=；④12x x +=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．【详解】解：220x -=是一元二次方程；221x y +=含有两个未知数，不是一元二次方程；5=未知数在根号内，不是一元二次方程；12x x +=未知数在分母中，不是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．2．（2021·全国·九年级课时练习）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x +=；④20x a -=（a 为任意实数）；1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x+=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.（2021春•仓山区校级月考）下列关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②x 24＝0；③2x 2﹣3x +1＝0；④x 2﹣2+x 3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【解答】解：①ax 2+bx +c ＝0，当a ＝0时，该方程不是一元二次方程；②x 24＝0属于分式方程；③2x 2﹣3x +1＝0符合一元二次方程的定义；④x 2﹣2+x 3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①21x x ++不是方程；②2960x x -=是一元二次方程；③2102y =是一元二次方程；④ 215402x x -+=不是整式方程，故不是一元二次方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑥232y =；是一元二次方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定义．故答案为：②③⑥．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．考点2：利用一元二次方程的概念求字母的值方法点拨：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.时刻记住一元二次方程中二次项系数不能等于0。
《一元二次方程》重难点题型汇编，学会十个考点轻松考高分
《一元二次方程》重难点题型汇编，学会十个考点轻松考高分文章有点长，感兴趣的朋友请耐心看完！【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【答案】解：①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得m²﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
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第六课时一元二次方程难点专项专训一：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A．m≠3 B．m≥3C．m≥－2 D．m≥－2且m≠32．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.(1)m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程．(2)m取何值时，它是一元一次方程？利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3．若关于x的一元二次方程(3a－6)x2＋(a2－4)x＋a＋9＝0没有一次项，则a＝________.4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1 B．0 C．1 D．26．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k 的值．7．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2015a－a2＋12 016的值．利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m ＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝24．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y 的值．方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝27．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( )A ．x ＝－2±52B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0； (2)4x 2－3x －5＝x －2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．x ＝3B ．x ＝－4C ．x 1＝3，x 2＝－4D ．x 1＝3，x 2＝412．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝213．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0； (2)2x 2－3x ＋1＝0.用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．方法2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是()A．－2或3 B．2或－3C．－1或6 D．1或－617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2x－3xx－2＝2.方法3特殊值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.专训三：根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解2．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．(2015· 咸宁)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？利用根的判别式求代数式的值4．(2015·福州改编)已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)·x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式确定三角形的形状5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．专训四：一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用，一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的灵活运用．一元二次方程与三角形三边关系1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为()A．3 B．4C．3或4 D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步) ∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ _______，第二步应用了________思想，确定a的值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形3．已知a，b，c是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．4．已知△ABC的三边长a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．一元二次方程与等腰三角形5．等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是()A．27 B．36 C．27或36 D．186．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．专训五：可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？行程问题3．从甲站到乙站有150 km，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，匀速行驶，1 h后快车在慢车前12 km，结果快车比慢车早25 min到达乙站，快车和慢车每小时各行多少千米？工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．(2)若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程．(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？答案专训一1．D 点拨：由题意，得⎩⎨⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．解：(1)当⎩⎨⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1.即当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎨⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．3．－2 点拨：由题意得⎩⎨⎧a 2－4＝0，3a －6≠0.解得a ＝－2.4．解：由题意，得⎩⎨⎧m 2－1＝0，m －1≠0.解得m ＝－1.5．A 点拨：∵关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a(a ≠0)，∴a 2－ab ＋a ＝0.∴a(a －b ＋1)＝0.∵a ≠0，∴a －b ＝－1.6．解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2－16＝0，得k 2－16＝0，解得k ＝±4. ∵k ＋4≠0，∴k ≠－4.∴k ＝4.7．解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2 016x ＋1＝0的一个根， ∴a 2－2 016a ＋1＝0.∴a 2＋1＝2 016a ，a 2－2 016a ＝－1.∴a 2－2 015a －a 2＋12 016＝a 2－2 015a －2 016a 2 016＝a 2－2 015a －a ＝a 2－2 016a ＝－1.8．解：存在．由题意可知m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，∴m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1.∴(7m 2－14m ＋a)(3n 2－6n －7)＝[7(m 2－2m)＋a][3(n 2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(7＋a)，由－4(a ＋7)＝8得a ＝－9，故存在实数a ，且a 的值等于－9.专训二1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0， x 2＋4x ＝2， (x ＋2)2 ＝6， x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0， (x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0， (x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58. 6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0， x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12.8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0， ∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13. ∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2， 4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4. ∴x 1＝32，x 2＝－12. 10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94，y－12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1.∴x ＝3±12×2.∴x 1＝1，x 2＝12.14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23.15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0， 所以⎩⎨⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎨⎧n ＝－4，p ＝0. 所以m ＝n ＋8＝4，所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0. 16．B17．解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48， 即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48. 解得y 1＝7，y 2＝－7. 当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332；当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，无实数根． ∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.18．解：经验证，x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x＋62－35x ＋6x 2＝0，即6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋62＝0.设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2，原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103.当x ＋1x ＝52时，解得x ＝2或x ＝12；当x ＋1x ＝103时，解得x ＝3或x ＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.19．解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y ＝2，整理，得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x ＝3，∴x ＝－1.当y ＝－1时，x －2x ＝－1，∴x ＝1.经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎨⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029.方程组⎩⎨⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t ，进而求出x.专训三1．C 点拨：当k ＝0时，方程为一元一次方程，解为x ＝1；当k ≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2≥0，所以当k ＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k ＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解； 当k ≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C . 2．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0， 即m<－1.∴对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4.∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根． 3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2. ∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0. ∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数．∴m ＝1或m ＝2. ∵两根不相等，∴m ≠2.∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0. ∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32.当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114， 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526. 5．解：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0， 即b 2＋c 2＝a 2.∴此三角形是直角三角形．专训四 1．C2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义3．解：△ABC 是直角三角形．理由如下：原方程可化为(b ＋c)x 2－2max ＋cm －bm ＝0，Δ＝4ma 2－4m(c －b)(c ＋b)＝4m(a 2＋b 2－c 2)．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．4．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解之得b 1＝4，b 2＝34.当b ＝4时，a ＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b ＝34时，a ＝34－1<0，不合题意舍去．因此△ABC 的面积为6.5．B6．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b.故△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2.故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0.所以2ax(x ＋1)＝0.所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.专训五1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x .整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x＋0.5＝150x ＋10，整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解，第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．因此第二次采购玩具60件．2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘x(x －10)， 整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意． 因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．3．解：设慢车每小时行x km ，则快车每小时行(x ＋12)km ，由题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 于是x ＋12＝72.∴快、慢车每小时分别行72 km 、60 km .4．解：(1)设乙工程队单独施工x 天可完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天可完成此项工程，由题意得20⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x ＋30＝1， 整理，得x 2－10x －600＝0，解得x 1＝30，x 2＝－20，经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60.故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫20－a 3 (3)由(2)和题意，得1×a ＋(1＋2.5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－a 3≤64.解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．。