21.江西省2008年—2014年中考数学压轴题图文解析

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《挑战中考数学压轴题》系列产品·21
例
பைடு நூலகம்
2013 年南昌市中考第 25 题
已知抛物线 yn＝－(x－an)2＋an（n 为正整数，且 0＜a1＜a2＜…＜an）与 x 轴的交点为 An－1(bn－1,0)和 An(bn,0)． 当 n＝1 时， 第 1 条抛物线 y1＝－(x－a1)2＋a1 与 x 轴的交点为 A0(0,0) 和 A1(b1,0)，其他依此类推 （1）求 a、b 的值及抛物线 y2 的解析式； （2）抛物线 y3 的顶点坐标为(_____，_____)； 依此类推第 n 条抛物线 yn 的顶点坐标为(_____，_____)（用含 n 的式子表示） ； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________； （3）探究下列结论： ①若用 An－1 An 表示第 n 条抛物线被 x 轴截得的线段的长，直接写出 A0A1 的值，并求出 An－1 An； ②是否存在经过点 A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的 长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
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江西省 2008--2014 年中考数学压轴题图文解析 目录
例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10 例 11 2014 年江西省中考第 11 题 / 2 2013 年江西省中考第 24 题 / 3 2013 年江西省南昌市中考第 25 题 2012 年江西省中考第 14 题 / 7 2012 年江西省中考第 23 题 / 8 2011 年江西省中考第 24 题 / 10 2010 年江西省中考第 24 题 / 12 2009 年江西省中考第 24 题 / 14 2009 年江西省中考第 25 题 / 16 2008 年江西省南昌市中考第 20 题 2008 年江西省中考第 24 题 / 19 / 18 /5
答案
12．
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例
2013 年江西省中考第 24 题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现： 在等腰△ABC 中，AB＝AC，分别以 AB、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角 形，如图 1 所示，其中 DF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 于点 G，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可） ． ①AF＝AG＝
备用图（仅供草稿使用）
动感体验
请打开几何画板文件名“13 南昌 25” ，拖动抛物线的顶点 P 在射线 y＝x(x＞0)上运动， 可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．
思路点拨
1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算． 2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上． 3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．
满分解答
（1）填写序号①②③④． （2）如图 4，作 DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为 F、G． 因为 DF、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高， 所以 F、G 分别是 AB、AC 的中点． 又已知 M 是 BC 的中点，所以 MF、MG 是△ABC 的中位线． 所以 MF
1 1 AC ， MG AB ，MF//AC，MG//AB． 2 2
所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC． 所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
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因为 DF、EG 分别是直角三角形 ABD 和直角三角形 ACE 斜边上的中线， 所以 EG
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例
2014 年江西省中考第 11 题
如图，在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC 沿射线 BC 方向平移 2 个 单位后，得到△A′B′C′，联结 A′C，则△A′B′C 的周长为_______．
动感体验
请打开几何画板文件名“14 江西 11” ，拖动点 B′运动，可以体验到，△A′B′C′向右移动 2 个单位后，△A′B′C 是等边三角形．
1 AB ；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． 2
（2）数学思考： 在任意△ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，则 MD 与 ME 有怎样的数量关系？请给出证明过 程； （3）类比探究： 在任意△ABC 中，仍分别以 AB、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如 图 3 所示，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，试判断△MDE 的形状．答：_________．
1 1 AC ， DF AB ． 2 2
所以 MF＝EG，DF＝NG． 所以△DFM≌△MGE．所以 DM＝ME． （3）△MDE 是等腰直角三角形．
图4
图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE 的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝ ∠MGE 的过程有一些不同． 如图 4，如图 5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC． 如图 4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE． 如图 5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13 江西 24” ，拖动点 A 可以改变△ABC 的形状，可以体验到， △DFM≌△MGE 保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA 保持不变．
思路点拨
1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题 意把图形规范、准确地重新画一遍． 2．三个中点 M、F、G 的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的 角？