清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权

2

()x x x ρ=

-****0123(),(),(),()T x T x T x T x .

证明：

1

1

**2

1

1

*

*20

12

2

1**20

()()()(21)(21)211()()()()()211()22

()()1()1()()()()()1n

m

n m n

m

n m n m n n

m

n m x T x T x dx x T x dx

x x

t x x T x T x dx t T t dt t t t T t dt

t

T x x

x T

x T x dx t T t t ρρρ---=---=-=++-=

--=

-⎰⎰⎰⎰

⎰令，则

由切比雪夫多项式1

01=02

m n dt m n m n ππ

≠⎧⎪⎪

=≠⎨⎪==⎪⎩⎰

所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权2

()x x x

ρ=

-

*00*11*

2

2

2

2*33233()(21)1()(21)21

()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181

T x T x T x T x x T x T x x x x

T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-

14.已知实验数据如下：

i x 19 25 31 38 44 i y

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为

22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 即

5

5327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

解得

0.972579

0.050035a b =⎧⎨

=⎩

拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差

2

4

2

2

0[]0.015023i i

i y a bx σ==--=∑

21.给出()ln f x x =的函数表如下：

x

0.4 0.5 0.6 0.7 ln x

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.356675

用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有

1

100.60.5

0.693147

0.510826

0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52

j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑

所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--

2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===

由拉格朗日插值定理有

20

22

(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)

0.916291

0.6931470.510826

(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)

2.041150 4.0684752)().217097

()

j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以

2ln 0.54(0.54)0.615320

L ≈=-

误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯

23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。

i x -0.3 -0.1 0.1 0.3 ()i f x

-0.20431

-0.08993

0.11007

0.39569

边界条件''(0.3)''(0.3)0s s -==

解：由剖分节点可知012

121211

0.2,,22h h h λλμμ======= 101221236[,,] 6.4215,6[,,] 6.4215d f x x x d f x x x ====

得到方程组

1212 6.421521 6.421522M M ⎡

⎤

⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

解得12 2.5686M M == 注意到030M M ==

得到三次样条插值函数()s x

322322.1405 1.92645 1.0642150.000632,[0.3,0.1]1.28430.002773,[0.1,0.1]2.1405 1.926450.9357850.000632,[0.1,0.()3]x x x x x x x x x x x s x ++-∈--+-∈--⎧+∈=+-⎪

⎨⎪⎩

29.确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所