清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

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《数值分析》第六章答案

习题61．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。

解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。

清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集

20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。

对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。

()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。

故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。

由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。

数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……，，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。

清华大学数值分析报告某实验报告材料

数值分析实验报告一、实验3.1 题目：考虑线性方程组b Ax =，n n R A ⨯∈，n R b ∈，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss 消去过程。

（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6816816816 A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157 b ，则方程有解()T x 1,,1,1*⋯=。

取10=n 计算矩阵的条件数。

分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元方法求解，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。

（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。

（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。

1. 算法介绍首先，分析各种算法消去过程的计算公式，顺序高斯消去法：第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素()0k kk a ≠（若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算()(),1,2,,k ikik k kka l i k k n a ==++，分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2,,k k n ++行，则可将增广矩阵B 中第k 列中()k kka 以下的元素消为零；重复此方法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B Ab ⎡⎤=⎣⎦；列主元高斯消去法：第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子方阵()()()()k kkkknk k nknn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中，选取()k k i k a 使得()(k)max k ki k ik k i na a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。

清华大学李津老师数值分析第二次实验作业

就不再赘述了。二、实际计算生成十个不同的(最好属不同类型或有不同性质的)的 m n 矩阵，这里 m, n 100 ，用你选择的算法对其做 SVD,比较不同方法的效果(比如计算小气一直和对应左右奇异向量的误差，效率等)，计算时间和所需存储量等，根据结果提出对算法的认识。 1.误差在实验中，我们取 m=200，n=100，利用 orth()函数生成了正交矩阵��、��，再生成了不同奇异值分布的奇异值矩阵��，再通过�� = ��，计算出不同的待分解矩阵。各矩阵奇异值分不如下表所示序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 奇异值个数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 奇异值分布 10 → 1 20 → 1 30 → 1 40 → 1 50 → 1 60 → 1 70 → 1 80 → 1 90 → 1 100 → 1
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
经过 matlab 计算，我们得到了两种算法对奇异值的估计误差表，如下所示
序号 svd 1 2 3 4 5 1.2135e-29 1.0336e-28 3.9976e-28 7.9768e-28 1.5711e-27

i 1
100

i
i
2.5232e-27 4.6720e-27 5.8535e-27 8.7958e-27 9.8885e-27
r

i 1
ui uis r
2 2

i 1
vi vis r
2 2
lansvd
svd
lansvd
2 1.6 2.1333 2 2.16 1.8 2.3429 2.15 2 2

清华大学高等数值分析_第二次实验作业

清华大学高等数值分析课程作业第二次实验作业第一题：构造例子特征值全部在右半平面时，观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态，和相应重新启动算法的收敛性。

答：1、计算初始条件1) 矩阵A 的生成根据实Schur 分解，构造矩阵如下形式11112222/2/2/2/2n nA n n n n ⨯-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭其中，A 由n/2个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征向量i i i αβ+ii i i A αββα-⎛⎫= ⎪⎝⎭、这里，取n=1000，得到矩阵A 。

经过验证，A 的特征值分布均在右半平面，如下图所示50100150200250300350400450500-500-400-300-200-1000100200300400500复平面中A 的特征值分布情况实部 Im(x)虚部 R e (x )特征值2) b 的初值为 b=(1,1,1,1..1)T 3) 迭代初值为 x 0=0 4) 停机准则为 ε=10-62、基本的Arnoldi 和GMRES 方法代入前面提到的初始值A 、b 、x0，得到的收敛结果如下10020030040050060010-710-610-510-410-310-210-110两种基本算法的||r k ||收敛曲线 (阶数n=1000)迭代次数||r k ||/||b ||基本的Arnoldi 算法基本的GMRES 算法结果讨论：从图中可以看出，基本的Arnoldi 方法经过554步收敛，基本的GMRES 方法经过535步收敛。

这是由于GMRES 具有残差最优性，会略快于Arnoldi 方法，但是，由于两种方法的基本原理近似，GMRES 方法不会实质性的提速。

此外，从收敛曲线上看，由于特征值均处在右半平面，收敛曲线平滑，收敛速度（收敛因子）比较均匀。

3、重启动的GMRES 和Arnoldi 算法对上述A 、b 、x0使用重启动的Arnoldi 和GMRES 算法。

BUAA数值分析大作业三

北京航空航天大学2020届研究生《数值分析》实验作业第九题院系：xx学院学号：姓名：2020年11月Q9:方程组A.4一、算法设计方案（一）总体思路1.题目要求∑∑===k i kj s r rsy x cy x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。

),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。

2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。

将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。

再将),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。

2.乘积型最小二乘曲面拟合2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j jk y y y y G 0000数表矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为：11-)(-=G G UG B B B C T TT ）（通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。

UG B G G C B B T T T =)()(2.2计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。

清华大学高等数值分析_第三次作业答案

得如下算法： (1) 选初始 x0 ∈ Rn , 计算初始残差 r0 = b − Ax0 , ε > 0 为停机准则； (2) 对 k = 1, 2, . . .直到 rk < ε
T 求解 (D1 D1 + E T E )y1 = (AT rk−1 )(1 : m) ; T 求解 (D2 D2 + F T F )y2 = (AT rk−1 )(m + 1 : n) ;
1 0 0 0 √ √ 3 2 − 2 / 6 0 H= √ √ 0 2/ 6 1/2 − 3/6 √ 0 0 3/6 −1/2
1 1 7. 取上题中的矩阵 A 以及 b = , m = 2, x0 = 0, 完成求解 Ax = 1 1 G b 的 Arnoldi 和 GMRES 算法, 得出 xA 2 和 x2 . 8. 分别取 A1 = (aij ) = ( 2 1 ), i+j−1 1
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高等数值分析第三章作业参考答案
1. 考虑线性方程组 Ax = b, 其中 A 是对称正定矩阵. 用 Galerkin 原理求解方程 K = L = Span(v ), 这里 v 是一个固定的向量. e0 = x∗ − x0 , e1 = x∗ − x1 证明 (e1 , Ae1 ) = (e0 , Ae0 ) − (r, v )2 /(Av, v ), 其中 r = b − Ax0 . v 应当取哪个向量在某种意义上是最佳的? (∗)
证明. 令 x1 = x0 + αv , 那么 r1 = r − αAv, e1 = e0 − αv . 由 Galerkin 原

清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明：11**011**011**0()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()nmn m nmn m n m n nmn m x T x T x dx x T x dxt x x T x T x dx t T t dt t T t dtT x x Tx T x dx t T t ρρρ---=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰令，则由切比雪夫多项式101=02m n dt m n m n ππ≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪==⎪⎩⎰所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权()x ρ=*00*11*2222*33233()(21)1()(21)21()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181T x T x T x T x x T x T x x x xT x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-14.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差解：法方程为22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即55327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解得0.9725790.050035a b =⎧⎨=⎩拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差24220[]0.015023i ii y a bx σ==--=∑21.给出()ln f x x =的函数表如下：用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差〔计算取1n =及2n =〕解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有1100.60.50.6931470.5108260.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===由拉格朗日插值定理有2022(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)0.9162910.6931470.510826(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)2.041150 4.0684752)().217097()j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以2ln 0.54(0.54)0.615320L ≈=-误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。

清华第五版数值分析第6章课件

即：
x x
( ( ( ( ( x1k 1) 1 ( a12 x2k ) a13 x3k ) a14 x4k ) a1n xnk ) b1 ) a11 ( ( ( ( ( x2k 1) 1 (a21 x1k 1) a23 x3k ) a24 x4k ) a2 n xnk ) b2 ) a22
( i 1, 2, , n)
或
i 1 n
x
( k 1) i

bi aij x
j 1
(k ) j

j i 1
a
ij
x
(k ) j
a ii
; i 1, 2, , n
雅可比迭代法的矩阵表示
将系数矩阵分裂为：A
D LU
其中 D diag(a11 , a22 , , ann )
G-S迭代算法描叙
1 输入 A, then, , M . 2 if , b, x0 1 x ( a x a 2.1k M for i 1, 2, 2.1.1s=0， , n 2.1.2 for t ( x0 )i
( k 1) i i 1 ii j 1 ij ( k 1) j
Jacobi迭代算法描述
1 输入 A, b, x0 , , M . n 2 if k M , then 1 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) xi( k ) . 2.1 for i 1, 2, , n aii j 1 2.1.1 s=0, 2.1.2 forj 1, 2, , n
过程建立Jacobi迭代公式，即
a
i 1
n
ij
x j bi , aii 0

数值分析A作业5(清华大学)(杨顶辉)

第四题首先证明G(x)在任何区间[a,b]上是压缩的。

设对于任意区间[a,b]中的任意两个数x,y ，有|G(x)-G(y)|=|G ()||x-y|=||||11bbe e x y x y e eζζζ'-<-++ 取1bbe L e=+<1 故有|()()|||G x G y L x y -<-其中L<1，所以G(x)在区间[a,b]上是压缩的。

假设G(x)有不动点*x ，那么应该满足如下条件：****()ln(1)10x G x x e x =→+=→=由于上式显然不成立，假设错误，即G(x)没有不动点。

第九题第一小题映内性121212,){(,)|0,1}x x D x x x x ∈≤≤（有121212),()){(,)|0,1}x g x D x x x x ∈≤≤（g(即证明121200.7sin 0.2cos 100.7cos 0.2sin 1x x x x ≤+≤≤-≤由于1201,01x x ≤≤≤≤固有1122sin 0,cos 0sin 0,cos 0x x x x ≥>≥>显然有120.7sin 0.2cos 0x x +>此外120.7sin 0.2cos 0.70.20.91x x +<+=<为此，有1200.7sin 0.2cos 1x x ≤+≤而对于另一个不等式，有120.7cos 0.2sin 0.7cos10.2sin10x x -≥->此外，有120.7cos 0.2sin 0.701x x -≤-<因此便证明了1200.7cos 0.2sin 1x x ≤-≤可以得到121212),()){(,)|0,1}x g x D x x x x ∈≤≤（g(即证明了D 的映内性。

压缩性利用1范数进行证明121212120.7sin 0.2cos ()0.7cos 0.2sin 0.7sin 0.2cos ()0.7cos 0.2sin x x G x x x y y G y y y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭+⎛⎫= ⎪-⎝⎭其中12120,,,1x x y y ≤≤即有112211220.7(sin sin )0.2(cos cos )()()0.7(cos cos )0.2(sin sin )x y x y G x G y x y x y -+-⎛⎫-= ⎪---⎝⎭可得到11122112211112222||()()|||0.7(sin sin )0.2(cos cos )||0.7(cos cos )0.2(sin sin )|0.7(|sin sin ||cos cos |)0.2(|cos cos ||sin sin |)G x G y x y x y x y x y x y x y x y x y -=-+-+---≤⨯-+-+⨯-+- 由于x 1和y 1的地位相同，我们不妨假设x 1>y 1那么有1111sin sin cos cos x y x y ><从而得到：111111111111|sin sin ||cos cos |sin sin cos cos (sin cos )(sin cos )x y x y x y y x x x y y -+-=-+-=---令()sin cos f x x x =-那么111111|sin sin ||cos cos |()()x y x y f x f y -+-=-显然f(x)在[0,1]处连续，那么存在11[,]y x η∈，使得111111()()()()(cos sin )()f x f y f x y x y ηηη'-=-=+-而11[,][0,1]y x η∈⊂当4πη=时，（cos sin ηη+所以111111()()(cos sin )()|f x f y x y x y ηη-=+-≤-所以有11111222211222211221122||()()||0.7(|sin sin ||cos cos |)0.2(|cos cos ||sin sin |)||0.2(||||)0.98995||0.4||0.99(||||)G x G y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y -≤⨯-+-+⨯-+-≤-+⨯-+-=⨯-+⨯-≤⨯-+-而1122x y x y x y -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭所以11122||||||||x y x y x y -=-+-所以即得到11||()()||0.99||||G x G y x y -≤⨯-其中L=0.99<1，那么根据压缩映射原理就证明了12(,)G g g =在D 中有唯一的不动点。

中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案

中科院研究⽣院信息⼯程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案6数值分析第三次作业及答案明当h T 0时，它收敛于原初值问题的准确解 y证：梯形公式为 y n ⼗ yn+—[f(X n ，y n )+f(X n^1，y n 』] h由 f (X,y) = —y= y n+ =y n +2( — y n — yn G=L n = 3 Y y n」訓 /乂⼚％l 2+h <12 +h ⼃丫2. (P202(6))写出⽤四阶经典的龙格⼀库塔⽅法求解下列初值问题的计算公式:y n + =y n + — (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)=0.2214x n +1.2214y n +0.0214 6飞=3y n ⼼+x n )2)” k 2 =3(y n +0.1k 1〃(1+Xn +0.1) )L s =3(yn +0.1k2”(1+Xn +0.1)k 4 =3(yn +0.2k 3”(1+Xn +0.2) 0 2yn + =y n +〒(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4).1. ( P201 (4))⽤梯形⽅法解初值问题〔爲证明其近似解为y n 偌〕:并证⽤ . f 2-h 1 因 yoT " yn F ⼃.⽤上述梯形公式以步长h 经n 步计算到y n ,故有nh ：=x.X◎ T 茹Jf 2—h \n7 l 2+h ⼃1) ]y =x + y, 0 e x ￡1; ly(0) =1;2)l y \3%+x)，O *1； [y(0)=1.解：令h =0.2k 1 = f (X n , y n )= h k2=f (Xn+；；,yn+-k1)=Xn+- + 2 2 2 h k s = f (X n +；, y n +-k 2)=X n +- +y n +-k 2 =1.11(X n + y n )+0.11 2 2 2 2X n +y nh 1)4h h ??yn +；；k i =1.1(Xn +y n )+0.1 2 2 h . . h .................................. .2 ⼋ 2 J 'k 4 = f(X n +h,y n +hk 3)=X n + h + y n +hk 3 =1.222(X n +y n )+0.2223. (P202(7))证明对任意参数t，下列龙格库塔—公式是⼆阶的:r hy n 卄yn+^g+G)；* K i = f (X n, yj；K2 = f (X n +th, y n +thK i);[K3 =f(Xn+(1—t)h,yn+(1—t)hK i).证：由⼀元函数的泰勒展开有2 '''"y(X nG =y(X n) +hy'(X n)⼸[f x(X n,y(X n)) +f y(X n,y(X n))f(X n,y(X n))]中严h'2 3!⼜由⼆元函数的泰勒展开有y n41 =y n +；2(⼼+K3)=y n +；2[(f(X n,y n) + ￡%区『)也+f y(X n, y n)thf (X n, Y n)⼗。

数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分

梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证

b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,

b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取

b
a
f ( x)dx 的近似值，即

b
a
P( x)dx 作为

b
a
f ( x)dx
n

北理工数值分析大作业

数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。

（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。

取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。

程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。

《数值分析》杨大地答案(第三章)

数值分析第3章3.1 填空题（1）当A 具有严格对角优势或具有对角线优势且矩阵不可约时，线性方程组b A x =用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛；（2）当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时，Gauss-Seidel 迭代收敛；（3）线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1；SOR 法收敛的必要条件是0<w<2；（4）用迭代法求解线性方程组，若)1(),(≥=q B q ρ时不收敛，q 接近0时收敛较快，q 接近1时收敛较慢；（5）A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111；J B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02110；s B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21010；)22()(=J B ρ；)21()(=s B ρ 解：∵ A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111，∴ L=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100， D=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001， U=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010 //P49D −1=1ad−bc d −b−c a∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=-02110011021001)(1U L D B J //P49 B J 指Jacobi 迭代法的矩阵形式又 ∵ )(U LD +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00211001−−−→−=-=22/12)2122)1r r r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210101001=))((1U L D I -+//P50 B S 指Seidel 迭代法的矩阵形式，U L D B S 1)(-+-= ∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010s B ∴ 22)(=J B ρ21)(=s B ρ //谱半径ρ A =max 1≤i≤n λi3.2 用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组，各分量第三位稳定即可。

（1） ⎝⎛012121⎪⎪⎪⎭⎫210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-453 解：利用Jacobi 迭代法，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=-=+++k k k k k kk x x x x x x x 21331122112122521212123，令0x =()T 0,0,0，代入有：//P48k0 1 2 3 4 5 6 7 kx 1 0 1.5 2.75 3.625 4.25 4.6875 5 5.21875 k x 20 -2.5 -4.25 -5.5 -6.375 -7 -7.4375 -7.75 k x 323.254.1254.755.18755.55.71875k89101112131415k x 1 5.375 5.484375 5.5625 5.6171875 5.65625 5.68359375 5.703125 5.716796875 k x 2 -7.96875 -8.125 -8.234375 -8.3125 -8.3671875 -8.40625 -8.43359375 -8.453125 k x 35.8755.9843756.06256.11718756.156256.183593756.2031256.216796875k16 17 18 19 20 21 22 23 k x 1 5.726563 5.733398 5.738281 5.741699 5.744141 5.745850 5.747070 5.747925 k x 2 -8.466797 -8.476563 -8.483398 -8.488281 -8.491699 -8.494141 -8.495850 -8.497070 k x 36.2265636.2333986.2382816.2416996.2441416.2458506.2470706.247925由题，用Jacobi 迭代法进行第21次迭代后，前三位有效数字稳定，此时x=()T25.6,50.8,75.5-利用Gauss-Seidel 迭代法，得出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=-=+++++1213211122112122521212123k k k k k kk x x x x x x x ，令0x =()T 0,0,0代入有//P50k0 1 2 3 4 5 6 7 k x 10 1.5 3.125 4.4375 5.09375 5.421875 5.585938 5.667969 kx 2 0 -3.25 -5.875 -7.1875 -7.84375 -8.171875 -8.335938 -8.417969 k x 33.6254.93755.593755.9218756.0859386.1679696.208984k8 9 10 11 12 13 kx 15.708984 5.729492 5.739746 5.744873 5.747437 5.748718 k x 2 -8.458984 -8.479492 -8.489746 -8.494873 -8.497437 -8.498718 k x 36.2294926.2397466.2448736.2474376.2487186.249359可见Gauss-Seidel 迭代法进行至12次迭代后稳定，x=()T 25.6,50.8,75.5-3.4 下面一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。

数值分析--清华李庆杨五版第二章_插值法

xi
(i=0,1,…,n )
处与 f ( xi ) 相等,在其它点x就用 (x) 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希
望 (x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。由
l0 ( x) c( x x1 )( x x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1 ( x1 ) 1, l1 ( x0 ) 0 , l1 ( x2 ) 0 的插值多项式
( x x0 )( x x 2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x 2 )
a n x0 n a n 1 x 0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
j 0 j k n
于是
Ak
1
(x
j 0 j k
n
k
xj)
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 jk n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 jk
k
xj)
称
l k (x) 为关于基点
x i 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
l k ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l 0 ( x) 与 l1 ( x) 称为线性插值基函数。且有

数值分析杨大地_答案(第八章)

数值分析第8章数值积分与数值微分8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f (x )dx ba ≈∑A j n j =0f (x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。

[注：第1空，见定理8.1]（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。

[注：分别见定理8.1,8.3] （3）求积公式∫f (x )dx h0≈h2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)−f ′(h )]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。

解：令f(x)=1,x,x 2带入有， {h 2[1+1]+ah 2[0−0]=hh2[0+h ]+ah 2[1−1]=12(h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0−2h ]=13(h 3)//注：x 的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。

∴积分公式为：∫f (x )dxh0≈h2[f (0)+f (h )]+h 212[f ′(0)−f ′(h )]令f(x)= x 3带入求积公式有：h2[0+h 3]+h 212[0−3h 2]=14(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值14(h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。

令f(x)= x 4带入求积公式有，h2[0+h 4]+h 212[0−4h 3]=16(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值15(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。

8.2 确定以下求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。

解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。

数值分析清华李庆杨第五版第七章非线性方程的数值求法

x轴交点的横坐标。
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单
值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。
y
y=f(x)
a b x

由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法
y=x y Q2 P* P2 x* x2 x1 x0 x x1 x3 x* x2 x0 x P1 Q1 P0 y
y= (x)
(x )
P y=x
*
y= (x )
(a)
0 ( x * ) 1
(b)
1 ( x * ) 0
y
P
*
y=x
y
y= (x) (x )
f ( x * ) f ( x * ) f
( m 1)
( x * ) 0, f
( m)
( x* ) 0
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程
如果由迭代格式 xk 1 ( xk ) 产生的序列 x n 收敛, 即 *
lim x n x
n
则称迭代法收敛。
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足
x k x k 1
即可结束计算并取
当然，迭代函数
x
*
xk
( x)
3 x k 1 2 ( x k ) x k 1

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