2016高考数学专题-导数讲义doc
高考(2016-2018)数学(理)真题分项版解析——专题07导数的应用(解析版)
专题07导数的应用考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)理解选择题解答题★★★2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)掌握解答题★★★3.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题掌握选择题★☆☆分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为12~17分,属于高档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．2018年理数天津卷已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.答案(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x0极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．2．2018年理北京卷设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．答案(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，∞）解析分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f ′（x）=［2ax–（4a1）］e x［ax2–（4a1）x4a3］e x（x∈R）=［ax2–（2a1）x2］e x．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f (1)=3e≠0．所以a的值为1．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3．2018年江苏卷记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．答案（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，∞）内存在“S点”．解析分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=xx2，则f′（x）=1，g′（x）=2x2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x得，即（**）此时，满足方程组（**即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.4．2018年理新课标I卷已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．答案（1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017年高考全景展示1.2017课标II ，理11若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 答案A 解析试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减 所以()f x 极小值为()111(111)1f e -=--=-，故选A 。
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2016高考数学专题-导数讲义docDx x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f在点0x 的函数值。
3. 导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,0x f x ）处的切线方程为))(()(00/x x x fx f y -=-。
例. 求曲线)2ln(+=x y 在点P ）0,1-（处的切线方程例. 经过原点）0,0（作函数233)(x x x f +=的图像的切线，则切线方程为4. 几种常见函数的导数'=C （C 为常数） 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=x x sin )(cos '-= x x 1)(ln '=x x e e =')(aa a x x ln )('=ax x a ln 1)(log '=5. 运算法则（1）导数的运算法则''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u（2）复合函数的求导法则)]([x u f y =的导数'''xu xu y y =例. 31292)(23-+-=x x x x f6. 定积分 （1） 概念如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点bx x x x x x a n i i ==- 1210 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x,1-上任取一点),,2,1(n i i=ξ，作和式)()(11ini ni if nab x f ξξ∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作dx x f ba ⎰)(，即)(lim)(1i nin baf nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=这里a 和b 分别叫做积分的下限和上限，区间[]b a ,叫做积分区间，函数)(x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式.注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间[]b a ,有关, 与积分变量记号无关⎰⎰⎰==ba babadu u f dt t f dx x f )()()(（2）性质 ① dxx f k dx x kf bab a⎰⎰=)()( （k 为常数）② []⎰⎰⎰±=±baba b adx x f dx x f dxx f x f )()()()(2121③ dx x f x f dx x f babca⎰⎰⎰=+)()()(c（bc a ）（3）微积分基本定理一般的，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么)()()(a F b F dx x f ba-=⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，常常把)()(a F b F -记作bax F )(，即)()()()(a F b F x F dx x f b aba-==⎰. 例．计算下列定积分的值① ⎰-215)1(dx x② dx x ⎰-222cos ππ（4）常见定积分的公式 ① ban b an x n dx x 111++=⎰ （1-≠n）② babaCx dx C =⎰（C 为常数）③ ba ba x dx x cos sin -=⎰④ babax dx x sin cos =⎰⑤ ba baxdx xln 1=⎰⑥ b ax bax e dx e =⎰（5）利用定积分求平面图形的面积① 画图象：在直角坐标系内画出大致图象 ② 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分 例. 如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335二、导数的应用1. 函数的单调性设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 内满足0)(' x f ，则)(x f y =为增函数； 0)(' x f ，则)(x f y =为减函数设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则0)('≥x f ，则)(x f y =为增函数； 0)('≤x f ，则)(x f y =为减函数注：①0)('x f 是)(x f 递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)('x f ，有一个点例外即x =0时0)0('=f ，同样0)('x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果)(x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例1、判断下列函数的单调性及单调区间 （1）xx x f ln 23)(2-=（2）1ln )(-=x x x f （3）2)1(2)(x e x x f x --=（4）2)(-=x e x f x（5）)20)(cos 1(sin )(π≤≤+=x x x x f例2、已知函数）常数（R a x xaxx f ∈≠+=,0)(2.若函数)(x f 在[)∞+，2上单调递增，求a 的取值范围.变式训练： 已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围例3、设函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中1-≥a ，求)(x f 的单调区间变式训练：已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，试判断函数单调性例4、当0>x 时，证明不等式 xe x 221<+变式训练：当1>x 时，证明不等式 )1ln(x x +>2. 函数的极值 （1）定义设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0极大值x f y =；如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0极小值x f y=. 极大值与极小值统称为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
(全国通用)2016届高考数学复习 第三章 第一节 导数的概念及其运算课件 文
[解题指导]
解
(1)∵y′＝x2，
∴在点 P(2，4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0. 1 3 4 (2) 设 曲 线 y ＝ x ＋ 与 过 点 P(2 ， 4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3
导数的概念及运算 1．导数的概念及几何意义
(1)函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
f（x2）－f（x1） x2－x1 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为___________________ ， 若
Δy Δ x＝x2－x1，Δ y＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 . Δx
a ln a(a>0) f′(x)＝___________
f′(x)＝____ ex
x
1 f′(x)＝______ xln a (a>0，且 a≠1) 1 x f′(x)＝___
(2)导数的运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； ②[f(x)· g(x)]′＝_________________
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲
线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程
为y－y0＝f′(x0)· (x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题12 导数的概念及运算 理(含解析)新人教A版
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题12 导数的概念及运算理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)， y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．【热点题型】 题型一 导数的运算例1、分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋x 2.【提分秘籍】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【举一反三】分别求下列函数的导数： (1)y ＝11＋x ＋11－x； (2)y ＝sin 2x2；(3)y ＝ln （2x ＋1）x.【解析】 (1)∵y ＝11＋x ＋11－x＝21－x ，∴y ′＝0－2（1－x ）′（1－x ）2＝2（1－x ）2.(2)∵y ＝sin 2x 2＝12(1－cos x )＝12－12cos x ， ∴y ′＝－12(cos x )′＝－12·(－sin x )＝12sin x .(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln （2x ＋1）x ′＝[ln （2x ＋1）]′x －x ′ln （2x ＋1）x 2＝（2x ＋1）′2x ＋1·x －ln （2x ＋1）x 2＝2x2x ＋1－ln （2x ＋1）x2＝2x －（2x ＋1）ln （2x ＋1）（2x ＋1）x2. 题型二 导数的几何意义及其应用 例2、已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．【提分秘籍】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【举一反三】(1)函数f (x )＝ln x －2xx在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3 【答案】 (1)C (2)B 【解析】题型三 导数几何意义的综合应用【例3】 (2014·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)【解析】 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2， f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)·(1－x 0)．整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．于是，当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值；g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．【提分秘籍】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x 0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t 满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可．【举一反三】设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值． 【解析】【高考风向标】【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单 调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k>，即11()1f k k ->-，11()1f k k>-，选项A,B 无法判断，故选C ． 【2014·安徽卷】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 【解析】解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．【2014·安徽卷】设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立． 当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．【2014·福建卷】已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x. 【解析】方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x.证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x.由(2)知，当x >0时，x 2<e x，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x.取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x. 【2014·广东卷】 曲线y ＝e －5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y ＝－5x ＋3【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.【2014·江西卷】若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【答案】(－ln 2，2)【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．【2014·江西卷】已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．【解析】【2014·全国卷】 曲线y ＝x ex －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C【解析】因为y ′＝(x ex －1)′＝ex －1＋x ex －1，所以y ＝x ex －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2.【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】y′＝a－1x＋1，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.【2014·陕西卷】设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N＋，求g n(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．【解析】(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． 方法三：【2014·四川卷】设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .【解析】(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 【高考押题】1．曲线y ＝x 3在原点处的切线 ( ) A ．不存在B ．有1条，其方程为y ＝0C ．有1条，其方程为x ＝0D ．有2条，它们的方程分别为y ＝0，x ＝0 【答案】 B【解析】 ∵y ′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝0＝0，∴曲线y ＝x 3在原点处的切线方程为y ＝0. 2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【答案】 A 【解析】3．曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为 ( ) A.13B.12C.23D ．1【答案】 A【解析】 y ′|x ＝0＝(－2e－2x)|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x【答案】 A 【解析】5．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【答案】 A【解析】 设三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知得y ＝－x 是函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点(0，0)处的切线，则y ′|x ＝0＝－1⇒c ＝－1，排除B ，D.又∵y ＝3x －6是该函数在点(2，0)处的切线，则y ′|x ＝2＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3⇒12a ＋4b －1＝3⇒3a ＋b ＝1.只有A 项的函数符合，故选A.6．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 【答案】 1【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．【答案】 －3【解析】 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞) 【解析】9．求下列函数的导数： (1)y ＝x nlg x ； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 3(2x ＋1)．【解析】 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n·1x ln 10＝xn －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n lg x ＋1ln 10. (2)∵y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3，∴y ′＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3′＝－12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(3)y ′＝1（2x ＋1）ln 3·(2x ＋1)′＝2（2x ＋1）·ln 3.10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 【解析】。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
2016高考数学 2.3计算导数课件 北师大版选修2-2
探究一
探究二
探究三
点评
由导数的定义求导数是函数求导的基本方法,确定函数 y=f(x)在 x=x0
处的导数有两种方法:一是应用导数定义法,二是导函数的函数值法.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1利用定义求 y=x
f(x+x)-f(x)
解:y'= lim
x
Δ→0
=
3
的导数.
3
(+Δ) -3
§2.3
计算导数
学习目标
思维脉络
1.会用导数的
定义求函数
1
y=c,y=x,y=x2,y=
x
的导数.
2.记住基本初等函
数的求导公式.
3.能利用求导公式
求简单函数的导
数.
4.逐步深化对导函
数与函数内在联系
的认识.
1
2
1.导函数
一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值
(2)y'=(x12)'=12x11.
1
(3)∵y=3ln x+ln 2=3ln x-2ln x=ln x,
∴y'=(ln
1
x)'=
.
探究一
探究二
探究三
探究三导数公式的应用
在求曲线的切线方程时,我们可以利用求导公式先求出函数的导数,从而求
得切线的斜率,最后求出切线的方程.
典例提升 3
求函数 y=lg x 在点(1,0)处的切线方程.
为
.
解析:∵y'=ex 在点(2,e2)处的切线斜率为 e2,
∴切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 y=e2x-e2.
导数说题——16年全国卷21题ppt课件
(x
1)
令g(x)
(2 x)ex (x 1)2
,
g'(x)
ex (x - 2)2 (x 1)3
1
又因为ex 0, (x - 2)2 1 0,
所以x (,1)时，g' (x) 0, g(x)单调递增；
x (1， )时，g' (x) 0, g(x)单调递减.(x 1).
又x 1时，g(x) ；x 时，g(x) 0；g(2) 0.
14
拓展变式：
1、2015年山东卷理科数学
(21)设函数f (x) ln( x 1) a(x2 x),其中a R. (1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由； (2)若x 0, f (x) 0成立，求a的取值范围。
2、2016年山东卷理科数学
(20)已知f
(x)
a(x
ln
x)
2x x2
1
,
a
R.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a 1时，证明 f (x) f ' (x) 3 对于任意的 x 1,2成立。
2
15
题目价值：
• 凭借导数的性质及其应用解决函数问题已经成为 高考数学解答题的必考题型，纵观近几年高考题 ，我们发现导数题年年变，但形变质不变。所以 ，学生解决数学问题，一定要追根溯源，提炼出 题目想要考察的的最原始的数学思想、技巧、方 法和知识点；而教师一定要注重对学生的启发和 引导，引导学生回归教材，研究教材，在此基础 上加强训练学生一题多解，多题一解的能力，使 学生做到举一反三，以不变应万变
故当x (1,)时，f '(x) 0, f (x)在(1,)上单点递增. 又当x 1时，f (x) 0,所以f (x)不存在两个零点； (2)若a e ,则ln(2a) 1,
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
2016年高考数学专题精解课件：2.3.导数的概念及其简单应用
(2)由 y=xex 可得 y′=ex+xex=ex(x+1),从而可得 y=xex 在(-∞,-1)上递减,在 (-1,+∞)上递增,所以当 x=-1 时,y=xex 取得极小值-e-1.因为 y′|x=-1=0,切点
为(-1,- 1 ),故切线方程为 y=-e-1.即 y=- 1 .
e
e
答案:(1)(e,e) (2)y=- 1 e
第十七页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
利用导数研究函数的单调性
【例 2】 设 a 是实数,函数 f(x)=ax2+2(a-1)x-
2ln x.
(1)讨论函数 f(x)的单调区间;
(2)设定义在 D 上的函数 y=g(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 l∶y=h(x),当
g x hx
若可导函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则
在区间(a,bf)′上(恒x)成≤立0 .可导
函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数是f′(x)>0的
必要不条充件分.
(2)可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的 条件.必要不充分
第十二页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
③若 a>1,则 f(1)= 1 a -1= a 1 < a ,综上,a 的取值范围是
2
2 a 1
(- 2 -1, 2 -1)∪(1,+∞).
第十页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
1.怎么考
本讲主要考查导数的几何意义,导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性,求函数 的极值、最值等. (1)对导数的几何意义的考查主要是利用导数求解曲线的切线斜率,多以选择、填空题的形式出 现,难度中等偏下. (2)对导数的运算法则一般不单独考查,在利用导数研究函数的单调性等问题时,作为解题工 具而出现. (3)对函数的单调性、极值、最值的考查,主要是体现在解答题的第(2)问中,通过对单调性、 极值、最值的研究,进而考查不等式证明、不等式恒成立、函数零点等.考查了分类讨论 思想、数形结合思想及推理论证能力,综合性很强. 2.怎么办 熟练掌握导数的几何意义、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性,求函数的极值、最值的 一般步骤.
2016高考数学 2.2导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
探究三
正解:y'=3x2(解法同错解),设过点 M(1,1)的切线与 y=x3+1 相切于点
P(x0,x03 +1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3x02 ,过点
x30 +1-1
x30 +1-1
x30
2
2
M(1,1)的切线的斜率 k=
,由 3x0 =
得,3x0 =
,解得 x0=0 或
x0 -1
x0 -1
x0 -1
3
27
x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此,y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两条,分别为
2
4
27
y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1.
§2.2
导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,
体会由平均变化率过
渡到瞬时变化率的过
程,了解导数概念建
立的背景.
2.理解瞬时变化率的
含义,并知道瞬时变
化率就是导数.
3.会求函数 f(x)在某
一点 x0 处的导数.
4.理解导数的几何意
义,并能利用几何意
义解决相关问题.
5.会求与导数相关的
切线问题.
1
2
1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值 y 关于 x 的平均变化率为
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第10节 导数及其运算课件 理 苏教版
x－1 (2)(2014· 山东高考)设函数 f(x)＝aln x＋ ，其中 a 为常数． x＋1 若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【思路点拨】
(1)由图象和切线概念求解．
(2)求出切线斜率即 f′(1)，再写出切线方程．
[解析] (1)①y′＝3x2，过点(0,0)的切线斜率 k＝0， ∴切线为 y＝0， 由 y＝x3 的图象知在 P(0,0)附近位于直线 y＝0 的两侧，①正确． ②y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，y′＝2x＋2. ∴过点 P(－1,0)处切线斜率 k＝0， 因此 x＝－1 不是过 P(－1,0) 处的图象切线．②错误． ③y＝sin x 则 y′＝cos x，过点 P(0,0)的切线斜率 k＝1，切线 方程为 y＝x，由 y＝sin x 图象可知，在点 P(0,0)附近图象位于直线 两侧．③正确．
－
α，则切线方程为 y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故 0－2＝α(0－ 1)，解得 α＝2. (2)∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1＝0.
【规律方法】 1．熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前 提．求导之前，应首先进行合理变形化简，转化为易求导的结构形 式，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止 与乘法公式混淆． 3．求导数值时一定要先求出导函数，再求导数值．
1 xln a
f′(x)＝ 1 x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ； ；
(2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
2016届高考数学(人教,文)专题复习课件：专题3 导数及其应用
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考点21
导数与函数的单调性
考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间
考法4 已知单调性求解参数范围
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考点21
导数与函数的单调性
考法3 利用导数讨论函数单调性或求单调区间
利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出 现．所给的函数可以是多项式函数、复合函数，或者是含参数的函数． 1．讨论函数f(x)单调性 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该子 区间上的单调性． 2．求函数的单调区间 求函数的单调区间可以类似于1中讨论函数单调性的方法，确认在每个子区间上的单调性，也就得到了对应的单调区 间．此外，还可以根据下面的方法求解： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时， f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜ 0时， f(x)在相应的区间上是减函数．还可以列表，写出函数的单调区间． 要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数f′(x)在某一区间内的符号是否有影 响．若有影响，则必须分类讨论． 【注意】利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题： (1)确定函数的定义域．解决问题的过程中，只能在函数的定义域内进行，通过讨论导数值的符号，来判断函数的单 调区间． (2)在划分函数的单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点． (3)如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把 增区间写为(－∞，－2)∪(1，＋∞)是不正确的，因为(－∞，－2)∪(1，＋∞)不是一个全区间，该函数在(－∞， －2)∪(1，＋∞)上不一定是单调递增的．
2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：13.1 导数的概念及基本运算
瞬时 速度 v. 物体的运动方程为 s＝ s(t)在时刻 t0 时的 ______
即 v＝ s′(t0)．
2．导函数 如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间 (a， b) 内可导．对于开区间 (a， b) 内每一个确定的 x0 ，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间 (a，b)内构成一个 新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a ， b) 内的 导函数 ，记作f′(x)或y′. ________ 3．求导数的方法 (1)常用的导数公式： 0 (C为常数)， C′＝____ N* )． m· xm－1 (m∈____ (xm)′＝__________ (2)导数的运算法则： u′±v′ ， (u±v)′＝___________ C· u′ (C· u)′＝_________ (C为常数)．
－2
项式的求导法则，即(am)′＝mam－1(m∈Q)．
跟踪训练
1．在本例(1)中求y′|x＝0.
解：∵y′＝30x4＋8x3－6x－1， ∴y′|x＝ 0＝－1.
考点2
导数的几何意义及应用
函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x
＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)
(2)未知切点求切线方程
①设出切点坐标(x0，f(x0))；
②表示出切线斜率； ③表示出切线方程； ④代入已知点坐标，求出x0，近而求出切线方程．
失误防范 1．求过点(x0，y0)的曲线的切线方程时，要注意判断已知点 (x0，y0)是否满足曲线方程，即是否在曲线上．过点P(x0，y0)
作切线，点P暂不当作切点．在点P作切线，P为切点．
2016届高考数学二轮复习 2.6 导数的简单应用课件
-11能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
1.已知曲线 y= x3+ ,则曲线过点 P(2,4)的切线方程 为 .
1 3
4 3
关闭
3 设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A ������0 , ������0 + 3
0
1
4 3
1 3
4 3
-9能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
【例 1】设 a ∈R,函数 f(x)=x +ax +(a-3)x 的导函数是 f'(x),若 f'(x)是偶 函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( A.y=-3x B.y=-2x C.y=3x ) D.y=2x
-4能力目标解读 热点考题诠释
1 2
-x
1.(2014 江西高考,理 13) 若曲线 y=e 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 处的切线,及求导公式. . 命题定位:本题主要考查导数的几何意义,重点是应用导数求曲线某点
关闭
设点 P 的坐标是(x0 ,e-������ 0 ),则由题意知, y'|������ =������ =-e-������ 0 =-2,得 x0=-ln 2,
2
-������± ������2-3 3
,
即 f(x)在 -∞, 在 在 ,
-������- ������2 -3 3
上递增, 上递减,
-������- ������2 -3 -������+ ������2 -3 3 3
【师说】2016届高考数学(理)一轮课件：2-2导数的应用(一)
(3)求函数极值的步骤 第一步，求导数f′(x)； 第二步，求方程⑧__________的根； 第三步，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果⑨ __________，那么f(x)在这个根处取极大值；如果⑩________，那 么f(x)在这个根处取极小值．
答案：①f′(x)＞0 ⑤f′(x)＞0 ⑩左负右正 ⑥f′(x)＞0
2．可导函数的极值 (1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许 多极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大 值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函 数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值．
2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函 数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧④__________， 右侧⑤__________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做 函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点 的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧⑥ __________，右侧⑦________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值 点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极 值点，极大值和极小值统称为极值．
解析：f′(x)＝ex－a. (1)若a≤0，f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即f(x)在R上递增． 若a＞0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)． (2)∵f(x)在R内单调递增， ∴f′(x)≥0在R上恒成立． ∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立， ∴a≤(ex)min，又∵ex＞0，∴a≤0.
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导数知识要点一、导数与积分1. 导数设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆有极限（即xy∆∆无限趋近于某个常数），我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000/ 注：当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆ 2. 导函数如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/x f 或/y即 )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值。
3. 导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
例. 求曲线)2ln(+=x y 在点P ）0,1-（处的切线方程例. 经过原点）0,0（作函数233)(x xx f +=的图像的切线，则切线方程为4. 几种常见函数的导数 0'=C （C 为常数）1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=x x sin )(cos '-= x x 1)(ln '=x x e e =')(aa a x x ln )('= ax x a ln 1)(log '=5. 运算法则（1）导数的运算法则''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u （2）复合函数的求导法则)]([x u f y =的导数'''x u xu y y =例. 31292)(23-+-=x x x x f6. 定积分 （1） 概念如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x x a n i i ==-πΛπππΛπππ1210将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点),,2,1(n i i Λ=ξ，作和式)()(11i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作dx x f ba⎰)(，即)(lim )(1i ni n baf nab dx x f ξ∑⎰=∞→-= 这里a 和b 分别叫做积分的下限和上限，区间[]b a ,叫做积分区间，函数)(x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式.注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间[]b a ,有关, 与积分变量记号无关⎰⎰⎰==ba babadu u f dt t f dx x f )()()(（2）性质 ① dx x f k dx x kf baba⎰⎰=)()( （k 为常数）② []⎰⎰⎰±=±baba b adx x f dx x f dx x f x f )()()()(2121③dx x f x f dx x f ba bca⎰⎰⎰=+)()()(c（b c a ππ）（3）微积分基本定理一般的，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么)()()(a F b F dx x f ba -=⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，常常把)()(a F b F -记作b a x F )(，即)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰. 例．计算下列定积分的值① ⎰-215)1(dx x② dx x ⎰-222cos ππ（4）常见定积分的公式 ①ban ba n x n dx x 111++=⎰ （1-≠n ）②ba baCx dx C =⎰ （C 为常数）③ ba ba x dx x cos sin -=⎰ ④ba bax dx x sin cos =⎰⑤ba bax dx xln 1=⎰⑥b ax ba xedxe =⎰（5）利用定积分求平面图形的面积 ① 画图象：在直角坐标系内画出大致图象② 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分 例. 如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332 D ．335二、导数的应用1. 函数的单调性设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 内满足0)('φx f ，则)(x f y =为增函数； 0)('πx f ，则)(x f y =为减函数设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则0)('≥x f ，则)(x f y =为增函数；0)('≤x f ，则)(x f y =为减函数注：①0)('φx f 是)(x f 递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)('φx f ，有一个点例外即x =0时0)0('=f ，同样0)('πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果)(x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例1、判断下列函数的单调性及单调区间（1）x x x f ln 23)(2-= （2）1ln )(-=xxx f （3）2)1(2)(x e x x f x--= （4）2)(-=x e x f x（5）)20)(cos 1(sin )(π≤≤+=x x x x f例2、已知函数）常数（R a x xax x f ∈≠+=,0)(2.若函数)(x f 在[)∞+，2上单调递增，求a的取值范围.变式训练： 已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围例3、设函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中1-≥a ，求)(x f 的单调区间变式训练：已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，试判断函数单调性例4、当0>x 时，证明不等式 xe x 221<+变式训练：当1>x 时，证明不等式 )1ln(x x +>2. 函数的极值 （1）定义设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f π，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0极大值x f y =；如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f φ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0极小值x f y =. 极大值与极小值统称为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有)(='xf。
但反过来不一定。
如函数3xy=，在0=x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
假设x使0)(='xf，那么x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若x是)(xf的极大值点，则x两侧附近点的函数值必须小于)(xf。
因此，x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf。
x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，同理，如上右图所示，若x是极小值点，则在x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，在x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf，从而我们得出结论：若x满足0)(='xf，且在x的两侧)(xf的导数异号，则x是)(xf的极值点，)(xf是极值，并且如果)(xf'在x两侧满足“左正右负”，则x是)(xf的极大值点，)(xf是极大值；如果)(xf'在x两侧满足“左负右正”，则x是)(xf的极小值点，)(xf是极小值。
例. 求函数44313+-=xxy的极值。
（2）判断)(xf是极值的方法当函数)(xf在点x处连续时，①如果在x附近的左侧0)(’φxf，右侧0)(’πxf，那么)(xf是极大值；②如果在x附近的左侧0)(’πxf，右侧0)(’φxf，那么)(xf是极小值.注：①若点x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy==，0=x使)('xf=0，但0=x不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是极小值点 （3）求极值步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；③ 求方程/y =0的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。