2016高考数学专题-导数讲义doc

导数知识要点

一、导数与积分

1. 导数

设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数

)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x

y ∆∆有极限（即

x

y

∆∆无限趋近于某个常数），我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作)(0/

x f 或0

/

x x y =

即

x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)

()(lim lim

)(0000

0/ 注：当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x

0000/)

()(lim )()(lim

)(0x x x f x f x x f x x f x f x x o

x --=∆-∆+=→→∆ 2. 导函数

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/

x f ，从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/

x f 或/

y

即 )(/

x f ＝/

y ＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)

()(lim

lim

00 注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/

x f 在点0x 的函数值。 3. 导数的几何意义

函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为

))(()(00/0x x x f x f y -=-。

例. 求曲线)2ln(+=x y 在点P ）0,1-（处的切线方程

例. 经过原点）0,0（作函数23

3)(x x

x f +=的图像的切线，则切线方程为

4. 几种常见函数的导数 0'=C （C 为常数）

1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=

x x sin )(cos '-= x x 1)(ln '=

x x e e =')(

a

a a x x ln )('= a

x x a ln 1

)(log '

=

5. 运算法则

（1）导数的运算法则

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

)0(2'''

≠-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛v v u v vu v u （2）复合函数的求导法则

)]([x u f y =的导数'

''

x u x

u y y =

例. 31292)(2

3

-+-=x x x x f

6. 定积分 （1） 概念

如果函数)(x f 在区间[]

b a ,上连续，用分点b x x x x x x a n i i ==-πΛπππΛπππ1210

将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]

i i x x ,1-上任取一点),,2,

1(n i i Λ=ξ，作和式

)()(1

1

i n

i n

i i f n a

b x f ξξ∑∑==-=

∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作dx x f b

a

⎰)

(，即)(lim )(1

i n

i n b

a

f n

a

b dx x f ξ∑⎰=∞

→-= 这里a 和b 分别叫做积分的下限和上限，区间[]

b a ,叫做积分区间，函数)(x f 叫做被积函数，

x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式.

注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间[]

b a ,有关, 与积分变量记号无关

⎰⎰⎰=

=

b

a b

a

b

a

du u f dt t f dx x f )()()(

（2）性质 ① dx x f k dx x kf b

a

b

a

⎰⎰=)()( （k 为常数）

② []

⎰⎰⎰±

=

±b

a

b

a b a

dx x f dx x f dx x f x f )()()()(2

12

1

③

dx x f x f dx x f b

a b

c

a

⎰⎰⎰=

+)

()()

(c

（b c a ππ）

（3）微积分基本定理

一般的，如果)(x f 是区间[]

b a ,上的连续函数，并且)()('

x f x F =，那么

)()()

(a F b F dx x f b

a -=⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，

为了方便，常常把)()(a F b F -记作b a x F )(，即)()()()

(a F b F x F dx x f b

a b a -==⎰. 例．计算下列定积分的值

① ⎰-2

15

)1(dx x

② dx x ⎰-2

2

2cos π

π

（4）常见定积分的公式 ①

b

a

n b

a n x n dx x 111

++=⎰ （1-≠n ）

②

b

a b

a

Cx dx C =⎰ （C 为常数）