交比(射影几何)

交比
二、线束中四直线的交比
1. 线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的pS(p), 其坐标可表示为
a b
R.
称a, b为基线, 为参数. 注1 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标。容易看出 =0 ↔ a; =1 ↔ a+b; = ↔ b 注2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结 构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比.
源自文库比
证明：设p1,p2,p3,p4 是通常线束S(p) 中的四条直线，它们 的斜率依次是k1,k2,k3,k4 。设S的直角坐标为(x0,y0) ，则 这四条直线的直角坐标方程为ki(x-x0)-y+y0=0 ，对应的 齐次方程为kix1-x2+(y0-kix0)x3=0 ，齐次坐标为pi[ki,-1,y0kix0] 。考虑两条固定的直线a:y=y0 和b:x=x0 ，则a,b 的 齐次坐标分别是[0,-1,y0] 和[1,0,-x0] 。于是pi 的齐次坐标 为 a+kib ，于是有
定理8 对于通常线束中以ki为斜率的 四直线pi (i=1,2,3,4)，有
( p1 p 2 , p 3 p 4 ) ( k 1 k 3 )( k 2 k 4 ) ( k 2 k 3 )( k 1 k 4 ) .
注 容易看出，斜率参数 k R . ( k tan ).
这表示P3为P1P2的中点. 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远 点，则P为P1P2的中点 ( P1 P2 , P P ) 1 .
交比 例1 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)= 1.
1, , 2. 2
交比 调和比是最重要的交比！ 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义, 有
( P1 P2 , P3 P4 ) P1 P3 P2 P3 P2 P4 P1 P4 1.
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
( P1 P2 , P3 P ) ( P1 P2 P3 ) P1 P3 P2 P3 1.
2 3 2 1
a '
3 1 2 1
b ',
2 4 2 1
4 1 2 4
a '
4 1 2 1
b'
即
a ', b ', a '
3 1 2 3
b ', a '
b '.
由交比的定义, 有
( p1 p 2 , p 3 p 4 ) ( 1 3 )( 2 4 ) ( 2 3 )( 1 4 ) .
(6)
注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构. 因此有 相同的组合性质, 并可类似定义调和直线组.
交比 3. 交比为射影不变量 定理6 设线束S(p)中四直线pi被直线 s截于四点Pi(i=1,2,3,4)，则
交比
交比 — 最根本的射影不变量
一、点列中四点的交比
1. 定义
定义. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 P2, 其齐次坐标 依次为a, b, a+1b, a+2b, 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个 交比, 其定义为
( P1 P2 , P3 P4 )
( p1 p 2 , p 3 p 4 ) ( k 1 k 3 )( k 2 k 4 ) ( k 2 k 3 )( k 1 k 4 ) .
交比
(2) 三角函数表示 设直线pi与x轴正向的夹角为i (i=1,2,3,4). 将ki=tani代入 上式, 利用三角恒等式化简可得
定理9 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有
交比 设线束中的四直线li 与x 轴正向的夹角为
( p1 p 2 , p 3 p 4 ) (ta n 1 ta n 3 )(ta n 2 ta n 4 ) (ta n 2 ta n 3 )(ta n 1 ta n 4 )
(sin 1 c o s 3 c o s 1 sin 3 )(sin 2 c o s 4 c o s 2 sin 4 ) (sin 2 c o s 3 c o s 2 sin 3 )(sin 1 c o s 4 c o s 1 sin 4 ) sin 1 3 sin 2 4 sin 2 3 sin 1 4 ,
交比 2. 定义 定义3 设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1p2，其齐次 坐标依次为a, b, a+1b, a+2b，则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构成 的一个交比，定义为 (5) ( p1 p 2 , p 3 p 4 ) 1 ,
2
称p1, p2为基线偶， p3, p4为分线偶。 则 定理5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+ib (i=1,2,3,4).
则称
定义 若(P1P2,P3P4 )= –1,
点组P1,P2,P3,P4为调和点组 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭
点P4为P1,P2,P3的第四调和点 推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比这四点 的6个交比值只有3个： 1
r, 1 r , 1 1 r ; 1 r, 1 1 r , r r 1 .
不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
交比 (2) 交比的初等几何意义 如果限于通常平面, 则(2)式右边四个因式都是两点之间的有 向距离, 即
( P1 P2 , P3 P4 ) P1 P3 P2 P4 P2 P3 P1 P4 .
P3 P1 1 P2 , P4 P1 2 P2 .
则显然 1
1,
由
( P1 P2 , P3 P4 )
1 2

1
2
r.
可得 2
1 / r,
从而P4的坐标为(r,1,0).
注 若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使 得交换后第1,2位置为已知点, 再计算.
( P1 P2 , P3 P4 ) ( 1 3 )( 2 4 ) ( 2 3 )( 1 4 ) .
注 定理可以作为交比的一般定义.
交比
2. 性质 (1) 交比组合性质 定理2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序 时, 交比值变化规律如下：
1.
交比 (2) 由交比求坐标 定理4 设Pil(P) (i=1,2,3,4)，并已知
( P1 P2 , P3 P4 ) k , ( k 0,1, )
还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。
例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的 方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求P4的坐标。 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)。设
( p1 p 2 , p 3 p 4 ) sin ( p 1 p 3 ) sin ( p 2 p 4 ) sin ( p 2 p 3 ) sin ( p 1 p 4 ) .
其中(pi pj)表示由pi到pj的夹角.
推论5 设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线. 则p3, p4为p1, p2 夹角的内外平分线(p1p2, p3p4)= –1, 且p3p4 . 证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.
( p 1 p 2 , p 3 p 4 ) ( P1 P2 , P3 P4 ).
证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分 别为a, b, a+1b, a+2b, 直线s的齐次坐标为c. 可以求出点Pi的坐标分别为
a2 P1 c2 a3 c3 , a3 c3 a1 c1 , a1 c1 b2 a2 , P2 c2 c2 b3 c3 , b3 c3 b1 c1 , b1 c1 b2 , c2
1
2
.
(1)
称P1, P2为基点偶, P3, P4为分点偶. 定理1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib ( i=1,2,3,4 )， 则有
( P1 P2 , P3 P4 ) ( 1 3 )( 2 4 ) ( 2 3 )( 1 4 ) .
(4)
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定：
P2 P P1 P 1.
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
交比 3. 特殊情况 定理3 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有 某二点相同. 证明 根据定理1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, . 4. 调和比
( P1 P2 , P3 P4 ) ( p 1 p 2 , p 3 p 4 ).
由定理6, 得下述重要结论 定理7 交比为射影不变量. 注 由定理7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式相互移植、相互转化.
交比 4. 直线交比的初等几何意义
(1) 斜率表示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束中，取 定基线xx0=0, yy0=0，则直线的斜率k可以 作为参数来表示线束S(p)。 由定理5可得
交比 推论4 设 P0 , P1 , P* 为点列l(P)中取定的相异三点, Pl(P). 则
( P* P0 , P1 P ) : P x
为点列l(P)与 R 之间的一个双射. 其中
P P* P P0 P P1 无 穷 远 点 x 0 分 别 “ 相 当 于 ” 拓 广 直 线 上 的 原 点 单 位 点 x 1 x
(2)
交比 证明. 以P1, P2,为基点, 参数表示P3, P4. 设 a+1b=a', a+2b=b'. 从中解出a, b, 得
a a ' 2 b ' 1
2 1
,
b
b ' a '
2 1
.
于是, P1, P2, P3, P4的坐标可表示为
a ', b ',
基 点 偶 与 分 点 偶 交 换 (1). 不 变 r r 基 点 偶 与 分 点 偶 的 字 母 同 换 1 基 点 偶 或 分 点 偶 字 母 对 换 r ( 2 ). 改 变 r 换 中 间 或 首 尾 字 母 对 换 r 1 r.
推论 由定理2, 相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同 的值：
而 于是
P3 ( P1 1 P2 ),
P4 ( P1 2 P2 ).
( p1 p 2 , p 3 p 4 )
1 2
( P1 P2 , P3 P4 ).
交比 注 定理6也可看做：设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定 点S连线依次为pi (i=1,2,3,4)，则
r r 1
r r 1
(1 2, 3 4 ) r
(1 4 , 3 2 )
由题设 r
r 2r
2
已知四点相异
r 0
r 2
(1 3, 2 4 ) 1 r 1 .
交比
5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比
此步不可省！若不共线则交比无定义！
例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2).
解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令
i Q i P1 i P2 .
i=1,2.
2 3.
对于i=1, 有 1 3 . 对于i=2, 同理求得 2 -3 . 于是，
( P1 P2 , Q 1 Q 2 )
1 2