北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

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北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ．函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ．对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。

收敛数列的性质(6)

非平凡子列都收敛.
证
必要性
设
lim
n
an
a,
{ank }是{an}的任一子列
0,N 0,使得当k N时有 ak a . 由于nk k,
所以当k
N时更有nk
N , 从而也有 ank
a
.
即lim k
ank
a.
充分性考虑{an}的非平凡子列{a2k },{a2k1}与{a3k }. 按假设,
数列{cn}满足 : 存在正数N0 ,当n N0时有an cn bn ,
则数列{cn
}收敛,且
lim
n
cn
a.
证
0,由lim n
an
lim
n
bn
a,
分别存在N1与N2 ,
使得当n N1时有a an , 当n N2时有bn a .
取N max{N0, N1, N2}则当n N时,按假设及上不等式同时成立, 即有
由此定理可见，若数列an 的任何非平凡子列都收敛，则所有
这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，
2. n 1
数列{1 2 }是收敛于1的. n 1
故由迫敛性得证.
12
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
,
求证 lim n® ¥
xn =
a.
证由定理2.5可得 a≥0
任给 0,
lim n

收敛数列的性质

b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
前页后页返回
lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an

§2.2收敛数列的性质

n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .

此定理的逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若且时, 有直观:
(2) lim yn lim z n a
n n

n
lim xn a

定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a

(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:

北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
由于
lim
n
bn

b,对来自0,N2 ,s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim 1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5：若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
当nN时 , 恒有
§1.2收敛数列的性质
收敛数列性质
一、收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.

工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板

第6章函数的 Riemann积分与Lebesgue积分初步
0 1
6.1定积分的基本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基本定理
0 4
6.4定积分的计算：分部积分与换元公式
0 5
6.5积分中值定理
0 6
6.6关于定积分的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分初步
10.3函数项级数的一致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致收敛性
10.4函数项级数和函数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项级数的收
敛性
D
9.4一般级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项级数的比较判别法
E
9.5绝对收敛和条
件收敛
C
9.3正项级数的其他判别法
F
9.6级数的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数项级数的几个基本概念
05
2.5连续函数
03
2.3函数的基本概念和
性质
06
2.6函数极限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函数的性质
*2.10关于函数极限和连续的进一步讨论
探索类问题
05

1.3.2收敛数列的性质

n
使得，对任意n Z+ , yn M 成立.
推论：无界数列必发散。
例如,数列n2 ,2n 1 等，是无界数列，
因此，当n 时，数列发散
性质3、(存在性) 单调有界数列必有极限。
1 例如：数列 1 是单调递增数列， n 1 对任意n Z ,1 1成立， n 1 所以，当n 时，数列 1 的极限存在。 n
n
1 n+1 n
0.
n
n
n
例题：讨论下列数列的极限情况。
（2）、yn n+1 n
解：因为
1，所以
n n
yn n 1 n
1
n 1 n
当 n 时，分母
1 n 1 n 0
n 1
，由观察可知， n ，分子为常数
，即
lim yn lim( n+1 n )= lim
1.3.2 收敛数列的性质
性质1、(唯一性) 若数列 yn 收敛，则其极限值唯一。
即：甲同学lim yn =A，乙同学lim yn =B,
n n
ห้องสมุดไป่ตู้
若lim yn 存在，则A=B。
n
反之，若A B， lim yn不存在。
n
性质2、(有界性) 收敛数列必有界。
即：若lim yn =A, 则，必存在正数M,

例题：讨论下列数列的极限情况。
（1）、yn (1)
n 1
1 n
n
n
解：当 n 为奇数时， y 为一正数，当 n 为
偶数时，y 为一负数．当 n 越来越大时，y 越来越小，当 n 时，y 与常数 0 无限接近，所以数列 y 的极限是 0，即 n 1 1 lim yn lim(1) =0. n n n

北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)

f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分）设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0

第二节收敛数列的性质

n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0.
b n n
B
例4
求
lim
n
a0nm b0nn
a1nm1 b1nn1
am bn
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n lim 1 n n2 n n 1 1
1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1
1 n2
1,
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
lim n
xn
a.
注意:
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例2 求数列 {n n} 的极限。
解：记 an n n 1 hn ，这里 hn 0(n 1) ，则有：
1 an 1 hn 1
2 n1
左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证。
, a0 b0
0
小结:当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
n
a0nm b0nn
a1 n m 1 b1nn1
am bn
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
•

工科数学分析,杨小远,数列极限

lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ）例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!

2-2 收敛数列的性质与收敛判定

这些项在原数列
的一个数列称为原数列
例如， x 1 , x 2 , , x i , x n ,
x n1 , x n 2 , , x n k ,
在注意：子数列 x n 而 xn 在原数列
k k
中，一般项
xn 是第 k 项，
k
x n 中却是第 nk
xn yn
n

lim x n
n

a b
( b 0 )。
lim y n
n
2010年8月
南京航空航天大学理学院数学系
11
例3 求
lim
a0n
m k
a1n
m 1 k 1
am bk
n
b 0 n b1 n
a0
0 , b0 0 , m 和 k为非负整数
an 1 1 n
2
1
12

1 23
...
1 ( n 1) n
2
2010年8月
1 n
, n 1 , 2 ,....
南京航空航天大学理学院数学系 24
例2 证明 lim ( 1
n
1 n
) 存在。
k n1
n
证明：
数列 x n 2 . 无界
n
数轴上对应于有界数列的点xn 都落在闭区间
[ M , M ]上 .
2010年8月南京航空航天大学理学院数学系 3
定理证
收敛的数列必定有界.
设 lim x n a ,
n
由定义,
取 1,

北航工科数分(2)期中(07-08)

2007－2008学年第二学期期中考试试题数学分析（下） 2008年4月27日一．填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数∑∞=+13)23(n nnn x的收敛域是 .2. 设函数222)(π-=xx f 在],[ππ-上的Fourier 级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa , 则=0a , n a = , nb = .3. 函数y xe z 2=在点)0,1(P 处，沿着从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数为 .4. 3221)ln(limyx e x yy x ++→→= .5. 曲线⎩⎨⎧=++=++64222z y x z y x 在点)1,2,1(处的法平面为 .二．选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 )}({x f n 是定义在区间I 上的函数列，与“函数项级数∑∞=1)(n n x f 在区间I上一致收敛”等价的论断是 ………………………………………………..( ) A ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈,都有 ε<-)()(x f x f n m ;B ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈, 都有 ε<∑=|)(|mnk k x f ;C ．函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于0;D ．对每一给定的+∈∃>∀∈N N I x ,0,ε，当N n m >>，都有.|)(|ε<∑=mnk k x f2. 设),(y x f 在),(00y x 的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是……...( ) A ．若),(y x f 在),(00y x 处连续，则),(),(00y 00y x f y x f x ，一定存在; B ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处连续;C ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数一定存在;D ．若),(),(y x f y x f y x ，存在且连续, 则),(y x f 在),(00y x 处连续.3. 设n R E ⊂，下列叙述中不正确的是……………………………………...( ) A ．如果E 是一个列紧集，则E 必是一个有界闭集; B ．开集E F ⊆，则有o E F ⊆;C ．若E 是闭集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点;D ．若E 是开集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 …………………..………………………..…………( )A ．+∞⎰B ．1+∞⎰; C ．1 1.6dx x⎰; D. 221(ln )dx x x ⎰.5. 方程1212=-+y xx dxdy 的通解为…………………………………….………()A. x x e x C e 121)(+; B. x xe x C e121)(+-;C. x xe x C e 121)(+--; D. xx e x C e 121)(-+.三、（10分）求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程x xe y y y 322'3''=+-的通解.五、（10分）设广义积分为dx a x x p⎰+∞+0)(cos ，其中0,0>>p a ，试证明（1）当1>p 时，积分绝对收敛，（2）当10≤<p 时, 积分条件收敛.六、（10分）设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，且,22y x u +=yx v =, 求22xz ∂∂.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f1) 求偏导数),(),,(y x f y x f y x ，并讨论偏导数在)0,0(处的连续性? 2) 讨论函数),(y x f 在)0,0(处的可微性?2007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. )3,3[-2. =0a 235π-, 2)1(2na nn -=, n b = 03.22-4. 2ln5. z x =二．选择1．B 2. D 3. C 4. B 5. B三．解：级数∑∞=1n n nx 的收敛半径是1=R ,当1±=x 时级数发散，所以定义域为)1,1(- ………3分设 =)(x s ∑∞=1n nnx ，∑∞=-==11)()(n n nxx x S x f 逐项积分，得到⎰∑⎰∞=--==xn xn xxdx nxdx x f 011,1)(………7分所以2')1(1)(x x x x x x S -=⎪⎭⎫⎝⎛-= ………10分四. 解：特征方程 ,0232=+-r r 的特征根为：，，2121==r r ………3分所以对应齐次方程通解为： ,221x x e c e c Y += ………5分,3=λ不是方程的根，设xeB Ax y 3)(*+=为方程的一个特解，带入方程得x B A Ax 2232=++，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧-==231B A 所以 xe x y 3)23(*-= ………8分所以通解为： .)23(3221x x x e x e c e c y -++= ………10分五、解：（1）当1>p 时，axaxx pp+≤+1c os 而⎰+∞+01dxax p收敛，所以原积分绝对收敛。

工科数学分析中的探索类问题及教学案例

ｏ数介值定理的应用．
（）Ｈｅｅ７ｉ定理：函数，ｚｎ设（）定义在
［，］在这两个剩余区间中再去掉中间的三分之１，
。
一
开区间，下四个闭区间．余如此重复下去，次去每
ｕ。ｚ；一｛（ｏ）ｚ１０＜ — ｏ＜艿，）
匙，为科学的皇后 ” 数学被认为是科学的语言和成．思维的工具．们的授课群体是工科的学生，教学我在过程中如果采用与传统数学系一样的教学模式显然是不行的．工科学生更关心的是数学能带给他们什
么，能解决什么问题，因此教学的核心是让学生体会
解，强调数学的应用性．根据数学分析的经典内容，我们设置了系列探索类问题，括：础理论问题，包基
１设置系列探索类问题的研究
康德说“ 自然科学的发展，决于其方法和内容取
与数学结合的程度，学成为打开知识大门的金钥数
下面极限ｌｆｘ）Ａｉ（＝ｍ
Ｏ、
掉上次区间中的三分之一．托集是由所有区间中康被去掉的三分之一区间以后在［，］剩余的点．Ｏ１上（）证明被去掉区间的长度之和为１但康托集ａ，
有无穷多个点．．
断思考” 这看似简单的回答却给出了一个真理：．几
乎所有的伟大发现都归功于不断的思考．因此数学教育要为学生创造一种环境，学生身临其境地介使

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即 a a n a , a c n a ,
当 nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立 ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 11 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
lim1 qn n 1 q
1
qn
lim lim
n1q n1q
1 1 lim qn 1q 1qn
1
1
q
.
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5：若数 {an}{列 ,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
取 N m N 1 ,N a 2 ,则 xn当 N时有
a b ( x n b ) ( x n a ) x n b x n a 2 .
上式a仅 b时当才能 . 故成极限唯立一.
收敛数列性质
, 定义2.1 (数列有界的定义) 对数{a列 n}，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 a n M ,n 1 ,2 ,3 ,
§1.2 收敛数列的性质
收敛数列性质
一、收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.
证明设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
由定义, 0 , N 1 N ,N 2 N , 使得
N 1,nN 1:xna, N 2, nN 2:xnb
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1时 1 ,于是
1
liman
n
Байду номын сангаас
1
1
ln im a1n
11. 1
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lin m a1 na2 n ak nak
又lim n lim1 n n2n n 11
1,
n
lim n lim 1 n n21 n 1n12
1,
由夹逼定理得
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1n 2 2 n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a 0求 , :l证 ia m n 1 1 n
证先 a 1 设当 n , a 时 ,有
则M 称是 {an}的上 . 界
相应的, 可以给出有界和有下界的定义
一个数列即有上界又有下界, 则称为有界数列.
定理2.2 (有界性)
若数列{an}收敛，则必有界。
收敛数列性质
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o设 ln i m ana, 且 a,则 N当 , nN时 ,有 an;
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN 时 ,有 anbn;
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , x a n { .
收敛数列性质
(2)令ba,则
2
N 1 , 当 n N 1 时 , |a n a | , 即 a n a a 2 b . N 2 , 当 n N 2 时 , |b n b | , 即 b n b a 2 b .
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有， |b n 界 | 可 M 和得
0 , N 1 ,n N 1:|a n a | 2 (M 1 ),
N 2,nN 2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 n a , N , 得 | x a n b n a | { .b
取 N m N 1 ,N a 2 } 当 x n , N { , 由 a n 上 b n . 得
(3)用反证(法 2)可由得 .
注 (3 )中即 a n b n ,也使a 可有 b . 有
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得式; 可
( 2 ) | a n b n a | | a n b n a n a b n a b | b
s.t
当
nN 2 时 ,有 | bnb|b 2 2.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|b nb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求 ln i m 2 5n n2 2 3 4n n 1 4.
解
原式
2 lim n 5
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
|
bn
b||b|, 2
且此 |bn|时 |b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
3 o设 ln i a m n a ,ln i b m n b ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a n b n , 则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
即 anaa 2;
同理 2 a , N ， 2 ,当 n N 2 取 ,a n ,
证明
ln i a m n ln i b m n ln i c m n .
设 ln i a m n ln i c m n a ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N 2 x }{ ,上两式同时成立,
3
n 4
n
4
n2 1
n2
ln im2ln imn3lnimn42 lnim5lnim n4 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计l 算 i( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
解 li(1 m q q 2 . .q .n 1 ) n

北航工科数学分析杨小远-第2节 收敛数列的性质

北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中

收敛数列的性质(6)

收敛数列的性质

§2.2收敛数列的性质

北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

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最新02-2 收敛数列的性质

1.3.2收敛数列的性质

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第二节 收敛数列的性质

工科数学分析,杨小远,数列极限

2-2 收敛数列的性质与收敛判定

北航工科数分(2)期中(07-08)

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第二节收敛数列的性质