北大量子力学习题

2 2
[q, p] = iη, f (q)是q 的可微函数，证明
3、证明
ˆ , [B ˆ ]] + [B ˆ ,A ˆ ]] + [C ˆ ,[A ˆ ,B ˆ ,C ˆ , [C ˆ ]] ≡ 0 [A
ˆ, B ˆ 是厄密算符 4、如果， A
（1）证明
ˆ +B ˆ ,B ˆ )n , i[A ˆ ]是厄密算符； (A
1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势
V(r )
试给出有 n个l
⎧ V0 r > 0 =⎨ ⎩ 0 r < a0
= 0 的束缚态条件。
1 3 R 21 (r )Y10 (θ, ϕ ) − R 21 (r )Y1−1 (θ, ϕ ) 2 2
3、设氢原子处于状态
ϕ(r , θ, ϕ ) =
这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
S11
证明： S 21
2 2
+ S12 + S 22
2 2
=1 =1
S11S12 ∗ + S 21S 22 ∗ = 0
φ (r ) =
其中， Z ′e 表示原子实的电荷， A
Z ′e A + 2 r r
> 0 ，证明，电子在原子实电场中的能量为 1 2η2
E nl = −
μe 4 z ′ 2
(n + δ l )2
而 δ l 为 l 的函数，讨论 δ l 何时较小，求出 δ l 小时， E nl 公式，并讨论能级的简 并度。 9、粒子作一维运动，其哈密顿量
这表明 S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数
⎧∞ ⎪ V(X ) = ⎨0 ⎪V ⎩ 0
5、求粒子在下列位场中运动的能级
x<0
0≤x≤a
x>a
⎧∞ ⎪ V(X ) = ⎨ 1 μω 2 x 2 ⎪ ⎩2
6、粒子以动能 E 入射，受到双 δ 势垒作用
x≤0 x＞0
V(x ) = V0 [δ( x ) + δ( x − a )]
1、粒子处于位场
⎧0 V=⎨ ⎩V0
2、一粒子在一维势场
x〈 0 x≥0
(V0 〉 0)
中，求：E＞ V0 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）
V( x )
中运动。
⎧∞ ⎪ = ⎨0 ⎪∞ ⎩
x〉 0 0≤x≤a x〉 0
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于 ϕ n ( x ) 态，证明： x
7、设粒子在半径为 a ，高为 h 的园筒中运动，在筒内位能为 0，筒壁和筒 外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实 电场近似地可用下面的电势表示：
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
V1 ，问 τ 取什么值时，粒子仍恢复到原来 V1 场的基态。
8、设一维谐振子处于基态，求它的 Δx
2
, Δp 2 x ，并验证测不准关系。
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第四章 量子力学中的力学量 1、 若H
(
)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
⎛ˆ q ˆ⎞ ˆ = ⎜P μυ − A⎟ c ⎠ ⎝
不变。
2P 的三条塞曼线的波长。 ρ 13．带电粒子在外磁场 B = (0,0, B ) 中运动，如选
ˆ2,L ˆ ] = [L ˆ2,L ˆ ]= 0 [L + −
(2)
ˆ Y =C Y L + lm 1 lm +1
ˆ Y =C Y L − lm 2 lm −1
(3)
ˆ2 − L ˆ2 = 1 L ˆ L ˆ ˆ ˆ L x y + + + L−L− 2
(
)
2 2
11、设粒子处于 Ylm ( θ, ϕ ) 状态，利用上题结果求 Δl x , Δl y 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 ΔX 2 随时间
8、如 u ni 是能量 E n 的本征函数（ i为简并指标 ），证明
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
∗ ∫ u ni (xp x + p x x )u nj dx = 0
从而证明： i ∫ u ni p x xu nj dτ
eA ⋅ e
（提示，考虑 f ( λ )
ˆ +B+ 1 A ˆ ,B ˆ A 2 =e
ˆ
[ ]
ˆ
= e λA ⋅ e λB ⋅ e − λ (A + B ) , 证明
ˆ
df = λ[A , B]f 然后积分） dλ
ˆ 和A ˆ 7、设 λ 是一小量，算符 A
−1
存在，求证
ˆ − λB ˆ −1 + λA ˆ −1B ˆ −1 + λ2 A ˆ −1 + λ2 A ˆ −1B ˆ −1B ˆ −1 + Λ ˆ ) −1 = A ˆA ˆA ˆA (A
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证
其中 υ =
j/ ρ
6、一维自由运动粒子，在 t
= 0 时，波函数为
ϕ (x , 0 ) = δ (x )
求：
ϕ( x, t ) = ?
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第三章 一维定态问题
(n = 1,2 Λ )
≤ E 2n
(λ , x ) = (1 − λ )V1 + λV2 ）
1 2 ⎧ ⎪ 2 KX = ⎨1 Kb 2 ⎪ ⎩2
（2）若粒子的势场
V( X )
x <b x >b
中运动，试估计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下
ρ = ϕ∗ϕ
j= ρ 1 ˆϕ ˆ ϕ − ϕP ˆ ϕ∗ − q A ϕ∗P ∗ϕ 2μ μc
1 1 = e ikr 和ϕ 2 = e − ikr 的几率流密度。 r r
= A e kx + Be −kx , 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样
(
)
的结论？（其中 k 为实数） 4、一维运动的粒子处于
⎧ Axe −λx x ≥ 0 ϕ(x) = ⎨ 0< x <0 ⎩0
的状态，其中 λ
> 0, 求归一化系数 A 和粒子动量的几率分布函数。 ∇×υ = 0
求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的 几率和这些力学量的平均量。 4、证明
1 2 1 ∂ ∇ ,r = + r ∂r 2 1 2 ∇ ,r = ∇ 2
5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域 几率。 6、设 V
[
]
[
]
(E − V = T〈 0) 的
(r ) = Br 2 + A / r 2 , 其中A, B〉 0 ，求粒子的能量本征值。
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第二章 波函数与波动力学
1、设 ϕ
(x ) =
1 − a2x2 Ae 2
(a为常数)
（1）求归一化常数 （2） x 2、求 ϕ1 3、若 ϕ
= ?, p x = ? .
= a / 2,
(x − x )
2
a2 ⎛ 8 ⎞ = ⎜1 − 2 2 ⎟. 12 ⎝ n π ⎠
3、若在 x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为
⎧ Aeikx + Be −ikx ψ = ⎨ ikx − ikx ⎩ Ce + Be
位垒左 位垒右
如
C = S11 A + S12 D B = S 21 A + S 22 D
求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
7、质量为 m 的粒子处于一维谐振子势场 V1 ( x) 的基态，
V1( x ) =
1 2 kx 2
k>0
（1）若弹性系数 k 突然变为 2k ，即势场变为
V2( X ) = kx 2
随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 V2 基态几率；
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com （2）势场 V1 突然变成 V2 后，不进行测量，经过一段时间 τ 后，势场又恢复成
9、一维谐振子处在基态
=
η δ ij 2
ϕ(xLeabharlann Baidu) =
π
−a e 1/ 2
a
2x2 / 2
求： （1）势能的平均值 A
=
1 mω 2 X 2 ; 2
（2）动能的平均值 T
2 = Px / 2m;
（3）动量的几率分布函数 其中 a
=
mω η ˆ ,L ˆ ] = ± ηL ˆ [L z ± ±
10、若 L ± = L x ± iL y , 证明 (1)
的变化为：
(Δ X ) = (Δ X )
2 t 2
0
+
2
2 μ
1 ⎡1 2 (XP X + p X X )0 − (x )0 (p x )0 ⎤ + Δ Px t2 ⎢ ⎥ μ 2 ⎣ ⎦t 2
(
)
（注：自由粒子 Px , Px 与时间无关）。
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第五章 变量可分离型的波动方程
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论
1、列出下列波函数在动量表象中的表示 （1）一维谐振子基态： ψ
(x, t ) =
1 πa 3 n
a π
12
e
−
a2x2 i − ωt 2 2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 第一章 绪论
1、计算下列情况的 de − Broglie 波长，指出那种情况要用量子力学处 理： （1）能量为 0.025eV 的慢中子
(μ
n
= 1.67 ⋅ 10 − 24 克
（2）氢原子基态： ψ
(r , t ) =
−
e
r i − E 2t a0 η
2、求一维无限深位阱（0≤ x ≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩 阵元。
1 1 ⎞ ρ ˆ =⎛ A − yB , xB , 0 ⎜ ⎟ 或 A = (0, xB,0) 2 2 ⎝ ⎠
试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。 14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场 E 及均匀磁场 B 中运动，求其能谱 和波函数（取磁场方向为 Z 轴方向，电场方向为 X 轴方向）。
12、计算氢原子中 3D →
ˆB ˆ 是厄密算符的条件。 （2）求出 A
5、证明：
ˆ ˆ e −L ˆ + 1 L ˆ, + 1 L ˆ ˆ,A ˆ, L ˆ ,A ˆ, L ˆ, L ˆ,A eL A = A+ L 2! 3! ˆ ,B ˆ 都对易，证明 6、如果 A , B 与它们的对易子 A
[ ]
ˆ B
[ [ [ ]
ˆ
]] [ [ [ ] ]] + Λ
)；被铀吸收；
（2）能量为 5MeV的a 粒子穿过原子 μ a
= 6.64 ⋅ 10 − 24 克 ；
（3）飞行速度为 100 米/秒，质量为 40 克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用 de − Broglie 关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子 能量可能值。
=
1 2 2 2 px + py + pz + V( x,y ,z ) 2μ
iη ∂V , ∂x px , μ
(
)
证明： [ H , Px ] =
[ H , x ] = − iη
2、设
（1）
[q, p f (q)] = 2ihpf , η （2） [p , p f (q )] = p f ′; i
2
2 px H0 = + V(x ) 2m
的能级为 E n ，试用 Feynmen
( 0)
− Hellmann 定理，求
λPx m
H = H0 +
的能级 E n 。 10、设有两个一维势阱
V1 (x ) ≤ V2 (x )
若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为 E1n , E 2n （1）证明 E1n （提示：令 V