2019年考研数学(三)真题及解析

2019年考研数学三真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)- 3．已知微分方程x

y ay by ce '''++=的通解为12()x x y

C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）

（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 4．若级数

1n n nu ∞

=∑绝对收敛，1n

n v n

∞

=∑

条件收敛，则（ ） （A ）

1

n n

n u v

∞

=∑条件收敛 （B ）

1

n n

n u v

∞

=∑绝对收敛 （C ）

1

n n

n u v

∞

=∑收敛 （D ）

1

n n

n u v

∞

=∑发散

5．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

6．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2

2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）

（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---

7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =

8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2

(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．111

lim 1223(1)n

n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯+⎝

⎭L ．

10．曲线3sin 2cos ()2

2

y x x x x π

π

=+-

<<

的拐点坐标是（ ）

11.

已知函数1

()f x =

⎰

，则1

20

()x f x dx =⎰ ．

12．以,A B P P 分别表示,A B 两个商品的价格．设商品A 的需求函数22

5002A A A B B Q P P P P =--+，则当

13．已知矩阵210111

1,011A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪

-⎝⎭

01b a ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭．若线性方程组Ax b =有无穷多解，则a = ． 14．设随机变量X 的概率密度为,02

()20,x

x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则

{()()1}P F X E X >-= ．

三、解答题

15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0

x x x

x f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．

16．（本题满分10）设函数(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，函数(,)z xy f x y x y =-+-，求

22222

z z z

x x y y ∂∂∂++∂∂∂∂． 17．（本题满分10分）

设函数()y x

是微分方程2

2

x y xy e '-=

满足条件(1)y =

（1）求()y x 的表达式；

（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）求曲线sin (0)x

y e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．

19．（本题满分10

分）设1

(0,1,2,)n a x n =

=⎰

L

（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21

(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；

（2）求极限1

lim n n n a a →∞-． 20．（本题满分11分）

已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

；

向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将

3β用123,,ααα线性表示．

21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪

-⎝⎭

与21001000B y ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．

（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．

22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：

{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．

（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．

23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为2

2()

2,()0,x A e x f x x μσμ

σμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩

，其中μ是已知参数，σ是未知

参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；

（2）求2σ的最大似然估计量．

2019年考研数学三真题解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

【答案】（C ）

【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331

tan ()3

x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）

（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)-

【答案】（D ） 【详解】设

5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++-

令()0f x '=得

121,1x x =-=且

(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在

11x =-处取得极大值

(1)4f k -=+，在2

1x =处取得极小值(1)4f k =-；