基本不等式题型总结

基本不等式题型总结 2020.9.13（周日）

➢ 课前10分钟小测

1、解一元二次方程

（1）0322

=--x x （2）0622

=--x x 【解析】 【解析】

0)3)(1(=-+x x 0)2)(32(=-+x x

1-=x 或3=x 2

3

-=x 或2=x

2、解一元二次不等式

（1）0322

≤--x x （2）0622

>--x x 【解析】 【解析】

0)3)(1(≤-+x x 0)2)(32(>-+x x

31≤≤-x 2

3

-x

一、知识点总结与讲解

公式一：ab b a 2≥+

公式二：4

)(2

b a ab +≤

公式一推导过程：

0)(2≥-b a

即022

2

≥+-b ab a 即ab b a 22

2

≥+

用a 替代2

a ，用

b 替代2

b ，则上式可变为如下：

ab b a 2≥+

公式二推导过程：

ab b a 2≥+ b a ab +≤∴2

即2

b

a a

b +≤

即4

)(2

b a ab +≤

公式说明：

“一正二定三相等”即： ①b a ,必须是正数

②当ab 是定值时，b a +有最小值为ab 2；

当b a +是定值时，ab 有最大值为4

)(2

b a +；（即“积定和最小，和定积最大”）

③当且仅当b a =时，不等式取得等号。

二、题型分析与讲解

1、已知x,y 都是正实数，且5=xy ，求y x +的最小值。 【解析】522,0,0=≥+∴>>xy y x y x ， 当且仅当5=

=y x 时，取得等号，所以y x +的最小值为52。

2、已知x,y 都是正实数，且5=+y x ，求xy 的最大值。

【解析】4

25

4)(,0,02=+≤∴>>y x xy y x ， 当且仅当25=

=y x 时，取得等号，所以xy 的最大值为4

25

。 3、已知x,y 都是负实数，且5=xy ，求y x +的最大值。

【解析】52))((2)]()[(,0,0,0,0-=---≤-+--=+∴>->-∴<

-=-y x 时，即5-==y x 时取得等号，所以y x +的最大值为52-。

4、已知x,y 都是负实数，且5-=+y x ，求xy 的最大值。

【解析】4

25

4)]()[())((,0,0,0,02=-+-≤--=∴>->-∴<

当且仅当25=-=-y x 时，即25-==y x 取得等号，所以y x +的最大值为4

25

。 试一试：

（1）已知x,y 都是正实数，且21=+

y x ，求y

x

的最大值； 【解析】14

)1

(1,01,0,02

=+≤

⋅=∴>∴>>y

x y x y x y y x ， 当且仅当1==y x 时，取得等号，

y

x

的最大值为1。 （2）已知x,y 都是负实数，且8-=+y x ，求xy 的最大值；

【解析】164

][))((,0,0,0,02

=--≤

--=∴>->-∴<

（3）已知a,b 都是负实数，且2=ab ，求b a +的最大值；

【解析】22))((2)]()[(,0,0,0,0-=---≤-+--=+∴>->-∴<

-=-b a ，即2-==b a 时取得等号，b a +的最大值为22-。

（4）已知0

x 1

+

的最大值。 【解析】212)1(1,0,0-=-⋅--≤-+--=+∴>-∴

x x x x x x x 当且仅当x x 1-

=-，即1-=x 时取得等号，x

x 1

+的最大值为2-。 题型2、通过凑项求最值，注意“一正二定三相等”中的“二定”

1、已知1>x ，求1

1

-+

=x x y 的最值。 【解析】311

1)1(2111)1(11,01,1=+-⋅-≥+-+-=-+=∴>-∴>x x x x x x y x x 当且仅当1

1

1-=

-x x 时，即2=x 时，取得等号，函数有最小值为3。 2、已知1>x ，求1

1

2-+=x x y 的最值。

【解析】22221

1)1(22211)1(2112,01,1+=+-⋅-≥+-+-=-+

=∴>-∴>x x x x x x y x x 当且仅当1

1

)1(2-=

-x x 时，即122+=x 时，取得等号，函数有最小值为222+。 3、已知0,0>>y x ，且52=+y x ，求xy 的最值。

【解析】已知52=+y x ，所以x y 25-=，8

254)25

(2)25(2)25(2

=-+⋅≤-=-=∴x x x x x x xy 当且仅当x x -=25时，即25,45==y x 时，取得等号，xy 有最大值为8

25

。

4、已知0,0>>y x ，且523=+y x ，求xy 的最值。