第二章第1节整式
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（1）加、减、乘、除、乘方等运算符号将数和表示数的字母连接而成的式子是代数式.
（2）代数式中出现的乘号一般用“·”或省略不写，例如4乘a写作4a.
（3）在代数式中出现除法运算时，一般按分数的写法来写，例如a除以t写作.
（4）代数式中大于1的分数系数一般写成假分数，例如a.
2.单项式
（1）如3a，xy，－6m2，－k等，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫做单项式.对于单项式的理解有以下几点需要注意：
年级
初一
学科
数学
版本
人教实验版
内容标题
整式
编稿老师
巩建兵
【本讲教育信息】
一.教学内容：
整式
1.单项式的有关概念，如何确定单项式的系数和次数；
2.多项式的有关概念，如何确定多项式的系数和次数；
3.什么是整式；
4.分析实际问题中的数量关系，培养用字母表示数量关系以及解决实际问题的能力.
二.知识要点：
1.用字母表示数时，应注意以下几点：
2.说出下列多项式是几次几项式：
（1）a3－ab＋b3
（2）3a－3a2b＋b2a－1
（3）3xy2－4x3y＋12
（4）9x4－16x2y2＋25y2＋4xy－1
四.综合提高题
*1.已知单项式－的次数是8，求m的值.
2.说出下列各式是几次几项式？最高次项是什么？最高次项的系数是多少？常数项是多少？
*2.下列说法不正确的是（）
A.－ab2c的系数是－1，次数是4B.－1是整式
C. 6x2－3x＋1的项是6x2，－3x，1D. 2πR＋2πR2是三次二项式
3.下列整式中是多项式的是（）
A.－B.x＋yC.D.－a2b3
4.下列说法正确的是（）
A.单项式a的指数是零B.单项式a的系数是零
C. 24x3是7次单项式D.－1是单项式
③单项式的次数只与单项式中的字母因数的指数有关，而不能误加入系数的指数，如单项式－（）2a3b4c5的次数是字母a、b、c的指数和，即3＋4＋5＝12，而不是2＋3＋4＋5＝14.
④单独一个非零数字的次数是零.
3.多项式
（1）多项式：是指几个单项式的和.其含义有：
①必须由单项式组成；②体现和的运算法则，如3a2＋b－5是多项式，而3x－中，－不是单项式，故3x－不是多项式.
（3）多项式的次数：是指多项式里次数最高的项的次数.应当注意的是：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和，如多项式3x4＋2y2＋1的次数是4，而不是4＋2＝6，故此多项式叫做四次三项式.
4.单项式与多项式统称为整式.
三.重点难点：
1.重点：单项式和多项式的有关概念.
2.难点：如何确定单项式的次数和系数，如何确定多项式的次数.
解：x，8a3x，－1是单项式.
x的系数是，次数是1；
8a3x的系数是8，次数是4；
－1的系数是－1，次数是0.
评析：判定一个代数式是否是单项式，关键就是看式子中的数字与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系，如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式.
例3.请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积，这些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式.
A.a（1＋m%）（1－n%）元B.am%（1－n%）元
C.a（1＋m%）n%元D.a（1＋m%·n％）元
分析：（1）修这条路实际用的天数等于这条路的全长1500米除以实际每天的工作量，原计划每天修x米，实际施工时，每天比原计划的2倍还多35米，即（2x＋35）米.用1500除以（2x＋35）就可以了.（2）每件衬衣进价为a元，零售价比进价高m%，那么零售价就是a（1＋m%），后来零售价调整为原来的n%，也就是a（1＋m%）n%.
解：因为多项式不含x3项，
所以其系数－（a－1）＝0，
所以a＝1.
因为多项式也不含x项，
所以其系数－（b＋3）＝0，
所以b＝－3.
答：a的值是1，b的值是－3.
评析：多项式不含某项，则某项的系数为0.
【方法总结】
1.“用字母表示数”是代数学的基础，这种符号化的表示方法随着学习的深入会逐渐加深数学抽象化的程度，我们要体会这种抽象化，它更接近数学的本质，也是有效地解决数学问题的工具.
评析：①本题是综合考查本节知识的实际问题，作用有二：一是将本节所学知识直接应用到具体问题的分析和解答中，既巩固了知识，又强化了对知识的应用意识；二是将几何图形与代数有机结合起来，有利于综合解决问题能力的提高.②本题解答关键：长方体的体积公式和表面积公式.
例4.已知多项式－2x2a＋1y2－x3y3＋是七次多项式，则a＝__________.
分析：因为题中两项－x3y3和的次数分别是6和5，故只剩下－2x2a＋1y2的次数是7，即2a＋1＋2＝7，则a＝2.
解：2
评析：本题考查对多项式的次数概念的理解.多项式的次数是由次数最高的项的次数决定的.
例5.把代数式2a2c3和a3x2的共同点填写在下列横线上.
例如：都是整式.
（1）都是____________________；
D.单项式－的系数为－，次数为3
8.下列单项式中的次数与其他三个单项式次数不同的是（）
A.xy2z2B.－0.96a5bC.－m5D. 8a2b3
**9.（2007年华杯初赛）如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式.例如：x3＋2xy2＋2xyz＋y3是3次齐次多项式.若xm＋2y2＋3xy3z2是齐次多项式，则m等于（）
5.组成多项式2x2－x－3的单项式是下列几组中的（）
A. 2x2，x，3B. 2x2，－x，－3C. 2x2，x，－3D. 2x2，－x，3
*6.多项式中，二次项的系数是（）
A. 2B. 1C.D.
*7.下列说法正确的是（）
A.单项式的系数是－2，次数是2
B.单项式a的系数为0，次数为2
C.单项式－5×102m2n2的系数为－5，次数为5
（3）单项式的次数：是指一个单项式中Baidu Nhomakorabea有字母的指数的和.掌握好这个概念要注意以下几点：
①从本质上说，单项式的次数就是单项式中字母因数的个数，如5a3b就是5aaab，有4个字母因数，因此它的次数就是4.
②确定单项式的次数时，不要漏掉“1”.如单项式3x2yz3的次数是2＋1＋3＝6，字母因数的指数为1时，不能认为它没有指数.
4.多项式－＋3x2－7是__________次__________项式，最高次项的系数是__________，常数项是__________.
*5.当x＝2，y＝－1时，单项式－xy5的值为__________.
三.解答题
*1.下列代数式中哪些是单项式，并指出其系数和次数.
abc，－2ab2c，x＋2y，b，3x2＋5x－1，xy－a，x4＋x2y2＋y4，a2－b2，－πr2，24a2b2.
（1）7x2－3x3y－y3＋6x－3y2＋1
（2）10x＋y3－0.5
（3）x－xy－x2y2＋x3－1
**3.一个关于字母a、b的多项式，除常数项外，其余各项的次数都是3，这个多项式最多有几项？试写出一个符合这种要求的多项式，若a、b满足︱a＋b︱＋（b－1）2＝0，求你写出的多项式的值.
（2）都是____________________.
分析：观察两式，共同点有：（1）都是五次式；（2）都含有字母a.
解：（1）五次式；（2）都含有字母a.
评析：主要观察单项式的特征.
例6.如果多项式x4－（a－1）x3＋5x2－（b＋3）x－1不含x3和x项，求a、b的值.
分析：多项式不含x3和x项，则x3和x项的系数就是0.根据这两项的系数等于0就可以求出a和b的值了.
①单项式反映的或者是数与字母，或者是字母与字母之间的运算关系，且这种运算只能是乘法，而不能含有加减运算，如代数式（x＋1）3不是单项式.
②字母不能出现在分母里，如不是单项式，因为它是n与m的除法运算.
③单独的一个数或一个字母也是单项式，如0，－2，a都是单项式.
（2）单项式的系数：是指单项式中的数字因数，如－8xy2，的系数分别是－8，；如果一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或－1，如m就是1·m，其系数是1；－a2b就是－1·a2b，其系数是－1.
解：（1）（2）C
评析：用字母表示数时，要注意书写代数式的惯例（数字在前字母在后，乘号省略，如果是除法写成分数的形式，系数是代分数时写成假分数，数字和字母写在括号的前面等）
例2.找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.
x－7，x，，8a3x，－1，x＋.
分析：单项式表示的是数与字母的积.x－7和x＋表示字母与数字的加减运算，不是单项式.包含有数与字母的除法，也不是单项式.单独一个数字是单项式，它的次数是0.
2.在学习多项式的时候，要注意和单项式的概念进行比较，通过比较两者之间的相同点和不同点，掌握两个概念之间的联系与区别，突出概念的本质，帮助我们理解多项式的概念.
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一.选择题
1.在代数式－2x2，ax，，，1＋a，－b，3＋2a，中单项式共有（）
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
【典型例题】
例1.（1）（2008年宁夏）某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了__________天.
（2）（2008年全国数学竞赛广东初赛）某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高m%，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n%出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二.填空题
1.（2007年云南）一台电视机的原价为a元，降价4％后的价格为__________元.
2.－是__________次单项式，系数是__________.
*3.代数式－mn，，，－ab2c3，0，a2＋3a－1中，单项式有__________个，多项式有__________个.
分析：容积是长×宽×高，表面积（无盖）是五个面的面积，在分辨它们是不是整式，是单项式还是多项式时，牵牵把握住概念，根据概念判断.
解：纸盒的容积为abc；表面积为ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）.它们都是整式；abc是单项式，ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）是多项式.
（2）多项式的项：是指多项式中的每个单项式.其中不含字母的项叫做常数项.要特别注意，多项式的项包括它前面的性质符号（正号或负号）.
另外，一个多项式化简后含有几项，就叫做几项式.多项式中的某一项的次数是n，这一项就叫做n次项.如多项式x3＋2xy＋x2－x＋y－1是六项式，x3的次数是3，叫三次项，2xy、x2的次数都是2，都叫二次项，－x、y的次数都是1，都叫一次项，后面的－1叫常数项.
（2）代数式中出现的乘号一般用“·”或省略不写，例如4乘a写作4a.
（3）在代数式中出现除法运算时，一般按分数的写法来写，例如a除以t写作.
（4）代数式中大于1的分数系数一般写成假分数，例如a.
2.单项式
（1）如3a，xy，－6m2，－k等，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫做单项式.对于单项式的理解有以下几点需要注意：
年级
初一
学科
数学
版本
人教实验版
内容标题
整式
编稿老师
巩建兵
【本讲教育信息】
一.教学内容：
整式
1.单项式的有关概念，如何确定单项式的系数和次数；
2.多项式的有关概念，如何确定多项式的系数和次数；
3.什么是整式；
4.分析实际问题中的数量关系，培养用字母表示数量关系以及解决实际问题的能力.
二.知识要点：
1.用字母表示数时，应注意以下几点：
2.说出下列多项式是几次几项式：
（1）a3－ab＋b3
（2）3a－3a2b＋b2a－1
（3）3xy2－4x3y＋12
（4）9x4－16x2y2＋25y2＋4xy－1
四.综合提高题
*1.已知单项式－的次数是8，求m的值.
2.说出下列各式是几次几项式？最高次项是什么？最高次项的系数是多少？常数项是多少？
*2.下列说法不正确的是（）
A.－ab2c的系数是－1，次数是4B.－1是整式
C. 6x2－3x＋1的项是6x2，－3x，1D. 2πR＋2πR2是三次二项式
3.下列整式中是多项式的是（）
A.－B.x＋yC.D.－a2b3
4.下列说法正确的是（）
A.单项式a的指数是零B.单项式a的系数是零
C. 24x3是7次单项式D.－1是单项式
③单项式的次数只与单项式中的字母因数的指数有关，而不能误加入系数的指数，如单项式－（）2a3b4c5的次数是字母a、b、c的指数和，即3＋4＋5＝12，而不是2＋3＋4＋5＝14.
④单独一个非零数字的次数是零.
3.多项式
（1）多项式：是指几个单项式的和.其含义有：
①必须由单项式组成；②体现和的运算法则，如3a2＋b－5是多项式，而3x－中，－不是单项式，故3x－不是多项式.
（3）多项式的次数：是指多项式里次数最高的项的次数.应当注意的是：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和，如多项式3x4＋2y2＋1的次数是4，而不是4＋2＝6，故此多项式叫做四次三项式.
4.单项式与多项式统称为整式.
三.重点难点：
1.重点：单项式和多项式的有关概念.
2.难点：如何确定单项式的次数和系数，如何确定多项式的次数.
解：x，8a3x，－1是单项式.
x的系数是，次数是1；
8a3x的系数是8，次数是4；
－1的系数是－1，次数是0.
评析：判定一个代数式是否是单项式，关键就是看式子中的数字与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系，如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式.
例3.请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积，这些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式.
A.a（1＋m%）（1－n%）元B.am%（1－n%）元
C.a（1＋m%）n%元D.a（1＋m%·n％）元
分析：（1）修这条路实际用的天数等于这条路的全长1500米除以实际每天的工作量，原计划每天修x米，实际施工时，每天比原计划的2倍还多35米，即（2x＋35）米.用1500除以（2x＋35）就可以了.（2）每件衬衣进价为a元，零售价比进价高m%，那么零售价就是a（1＋m%），后来零售价调整为原来的n%，也就是a（1＋m%）n%.
解：因为多项式不含x3项，
所以其系数－（a－1）＝0，
所以a＝1.
因为多项式也不含x项，
所以其系数－（b＋3）＝0，
所以b＝－3.
答：a的值是1，b的值是－3.
评析：多项式不含某项，则某项的系数为0.
【方法总结】
1.“用字母表示数”是代数学的基础，这种符号化的表示方法随着学习的深入会逐渐加深数学抽象化的程度，我们要体会这种抽象化，它更接近数学的本质，也是有效地解决数学问题的工具.
评析：①本题是综合考查本节知识的实际问题，作用有二：一是将本节所学知识直接应用到具体问题的分析和解答中，既巩固了知识，又强化了对知识的应用意识；二是将几何图形与代数有机结合起来，有利于综合解决问题能力的提高.②本题解答关键：长方体的体积公式和表面积公式.
例4.已知多项式－2x2a＋1y2－x3y3＋是七次多项式，则a＝__________.
分析：因为题中两项－x3y3和的次数分别是6和5，故只剩下－2x2a＋1y2的次数是7，即2a＋1＋2＝7，则a＝2.
解：2
评析：本题考查对多项式的次数概念的理解.多项式的次数是由次数最高的项的次数决定的.
例5.把代数式2a2c3和a3x2的共同点填写在下列横线上.
例如：都是整式.
（1）都是____________________；
D.单项式－的系数为－，次数为3
8.下列单项式中的次数与其他三个单项式次数不同的是（）
A.xy2z2B.－0.96a5bC.－m5D. 8a2b3
**9.（2007年华杯初赛）如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式.例如：x3＋2xy2＋2xyz＋y3是3次齐次多项式.若xm＋2y2＋3xy3z2是齐次多项式，则m等于（）
5.组成多项式2x2－x－3的单项式是下列几组中的（）
A. 2x2，x，3B. 2x2，－x，－3C. 2x2，x，－3D. 2x2，－x，3
*6.多项式中，二次项的系数是（）
A. 2B. 1C.D.
*7.下列说法正确的是（）
A.单项式的系数是－2，次数是2
B.单项式a的系数为0，次数为2
C.单项式－5×102m2n2的系数为－5，次数为5
（3）单项式的次数：是指一个单项式中Baidu Nhomakorabea有字母的指数的和.掌握好这个概念要注意以下几点：
①从本质上说，单项式的次数就是单项式中字母因数的个数，如5a3b就是5aaab，有4个字母因数，因此它的次数就是4.
②确定单项式的次数时，不要漏掉“1”.如单项式3x2yz3的次数是2＋1＋3＝6，字母因数的指数为1时，不能认为它没有指数.
4.多项式－＋3x2－7是__________次__________项式，最高次项的系数是__________，常数项是__________.
*5.当x＝2，y＝－1时，单项式－xy5的值为__________.
三.解答题
*1.下列代数式中哪些是单项式，并指出其系数和次数.
abc，－2ab2c，x＋2y，b，3x2＋5x－1，xy－a，x4＋x2y2＋y4，a2－b2，－πr2，24a2b2.
（1）7x2－3x3y－y3＋6x－3y2＋1
（2）10x＋y3－0.5
（3）x－xy－x2y2＋x3－1
**3.一个关于字母a、b的多项式，除常数项外，其余各项的次数都是3，这个多项式最多有几项？试写出一个符合这种要求的多项式，若a、b满足︱a＋b︱＋（b－1）2＝0，求你写出的多项式的值.
（2）都是____________________.
分析：观察两式，共同点有：（1）都是五次式；（2）都含有字母a.
解：（1）五次式；（2）都含有字母a.
评析：主要观察单项式的特征.
例6.如果多项式x4－（a－1）x3＋5x2－（b＋3）x－1不含x3和x项，求a、b的值.
分析：多项式不含x3和x项，则x3和x项的系数就是0.根据这两项的系数等于0就可以求出a和b的值了.
①单项式反映的或者是数与字母，或者是字母与字母之间的运算关系，且这种运算只能是乘法，而不能含有加减运算，如代数式（x＋1）3不是单项式.
②字母不能出现在分母里，如不是单项式，因为它是n与m的除法运算.
③单独的一个数或一个字母也是单项式，如0，－2，a都是单项式.
（2）单项式的系数：是指单项式中的数字因数，如－8xy2，的系数分别是－8，；如果一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或－1，如m就是1·m，其系数是1；－a2b就是－1·a2b，其系数是－1.
解：（1）（2）C
评析：用字母表示数时，要注意书写代数式的惯例（数字在前字母在后，乘号省略，如果是除法写成分数的形式，系数是代分数时写成假分数，数字和字母写在括号的前面等）
例2.找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.
x－7，x，，8a3x，－1，x＋.
分析：单项式表示的是数与字母的积.x－7和x＋表示字母与数字的加减运算，不是单项式.包含有数与字母的除法，也不是单项式.单独一个数字是单项式，它的次数是0.
2.在学习多项式的时候，要注意和单项式的概念进行比较，通过比较两者之间的相同点和不同点，掌握两个概念之间的联系与区别，突出概念的本质，帮助我们理解多项式的概念.
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一.选择题
1.在代数式－2x2，ax，，，1＋a，－b，3＋2a，中单项式共有（）
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
【典型例题】
例1.（1）（2008年宁夏）某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了__________天.
（2）（2008年全国数学竞赛广东初赛）某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高m%，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n%出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二.填空题
1.（2007年云南）一台电视机的原价为a元，降价4％后的价格为__________元.
2.－是__________次单项式，系数是__________.
*3.代数式－mn，，，－ab2c3，0，a2＋3a－1中，单项式有__________个，多项式有__________个.
分析：容积是长×宽×高，表面积（无盖）是五个面的面积，在分辨它们是不是整式，是单项式还是多项式时，牵牵把握住概念，根据概念判断.
解：纸盒的容积为abc；表面积为ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）.它们都是整式；abc是单项式，ab＋2bc＋2ac（或ab＋ac＋bc＋ac＋bc）是多项式.
（2）多项式的项：是指多项式中的每个单项式.其中不含字母的项叫做常数项.要特别注意，多项式的项包括它前面的性质符号（正号或负号）.
另外，一个多项式化简后含有几项，就叫做几项式.多项式中的某一项的次数是n，这一项就叫做n次项.如多项式x3＋2xy＋x2－x＋y－1是六项式，x3的次数是3，叫三次项，2xy、x2的次数都是2，都叫二次项，－x、y的次数都是1，都叫一次项，后面的－1叫常数项.