第七章 保形变换

z
1 （3） w 可称为倒数映射，它可分解： z 1 w w1 w1 z
关于圆周的对称点：设 C 为以原点为中心，半径 为 r 的圆周。在以圆心为起点的一条射线上，如 果有两点P与 P 满足关系式 OP OP r 2，则称 P与 P 是关于圆周C的对称点。
设P在圆周C外，从P作圆周的切线PT，切点为T， 由T作OP的垂线 T P ，与OP交于 P ，则P与 P 即互为对称点（如图）。因为 OPT ∽ OTP ， OP OT 所以 OT OP ,即 OP OP r 2 。
z
Argw(t0 ) Argf ( z0 ) Argz(t0 ) Argf ( z0 ) Argw(t0 ) Argz(t0 )
若假定 平面的 x轴与 w 平面的 u 轴，y 轴与 v 轴 的正向相同，且将原来的切线正向与映射后的 切线正向之间的夹角理解为曲线C经过 w f ( z ) 映射后在 z0 处的转动角。
w(t0 ) f ( z0 ) z(t0 ) 0
z
结论：1）导数 f ( z0 ) 0 的辐角 Argf ( z0 ) 是曲 线C经过 w f ( z) 映射后在 z0 处的转动角。
2 ）转动角的大小与方向跟曲线 C 的形状与方向 无关。故称此种映射具有转动角不变性或保角 变换。
定义:如果 w f ( z) 在区域D内是单叶且保角的, 则称变换 w f ( z) 在D内是保形的,也称为D内 的保形变换. 例:讨论解析函数 和保形性.
w z
n
(n为正整数)的保角性
解 :由
角的. n 又由于 w z 的单叶性区域是顶点在原点张 角不超过 2 n 的角形区域.故在此角形区域内 n w z 是保形的.在张角超过 2 n 的角形区 域内,不是保形的.但在其中各点的邻域内是保形 的.
f ( z0 ) 的几何意义
设 z z0 re , w w0 e 。且用 s 表示C上的 点 z0与 z 之间的一段弧长， 表示 上的对应 点 w0 与 w 之间的弧长（如图）。
i i
y
( z)
s
z
v
C

( w)

w

u
z0
r
x
w w0 f ( z ) f ( z0 ) s i ( ) e z z0 z z0 s r
f ( z0 ) lim z z0 s
s 1 lim ） （而 lim z z0 z z0 r
此极限值称为曲线C在 z0 处的伸缩率。 上式表明： f ( z0 ) 是经过映射 w f ( z ) 后通过 z0 点 的任何曲线C在 z0 的伸缩率，它与曲线C的形状 及方向无关。故称这映射具有伸缩率不变性。
恒为常 数，此时分式线性映射将整个复平面映射成 一点。分式线性映射是由德国数学家默比乌 斯（1790~1868）首先研究的，故也称为 默比乌斯映射（双线性映射，线性映射）。 分式线性映射的逆映射仍是线性映射。
dw ad bc 0 必要的，否则 0 ，故 dz
w
1 （ 1） w z b （2）w az （3）w z az b 这是因为当 c 0 时，分式线性映射 w cz d a b 变为映射 w z ，类似于（1）、（2）的 d d 简单映射。当 c 0 时，分式映射改为： bc ad 1 a w . c cz d c
处切线的正向与 x
2）相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的 夹角就是C1与C2在交点处的两条切线之间的夹 角。
解析函数导数的几何意义
z0 为D内一点， 设函数w f ( z ) 在区域D内解析， 且 f ( z0 ) 0 ，又设通过 z0 在 平面内任意引一 条有向光滑曲线C：z z(t ),( t0 ), 它的正向相 应于参数t增大的方向，且 z0 z(t0 ), z(t0 ) 0( t0 ) 映射 w f ( z ) 就将曲线C映射成 w 平面内通过 z0 的像点 w0 f ( z0 ) 的一条有向光滑曲线 : w f [ z(t )],( t ) 它的正向相应于参数t增大 的方向。
规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远点 ∞处的 1 夹角，等于它们在映射 下所映成的通过原 z 点 0 的两条象曲线的夹角。
映射 w 1z 在 0 处解析，且 w( ) | 0 1 0 1 w 所以映射 w 在 0 处，即 z 在z 处 1 是共形的。再由 z w 知 w 处该映射是共形 1 w 的，即映射 z 在 z 0 处是共形的。
i
z
z w
z
w1
z
w
分式线性映射的性质
1、保角性
1 1）w z
这个映射将 z 映射成 w 0 .如果改写 1 为z w ，可知当 w 时，z 0 。由此可 1 w 知，在扩充复平面上映射 是一一对应的。 z 1 1 w 又 z z 2 当 z 0 且 z 时，w 0 ，故 除去 z 0 与 z 映射 w 1 z 是共形的。
结论：映射 w az b(a 0) 在扩充复平面内为共 形映射。 定理：分式线性映射在扩充复平面上是一一对应 的，且具有保角性。
2 2
(t0 ) Argz1 (t0 ) Argw2 (t0 ) Argz Argw1 2 (t0 )
即
(t0 ) Argw1 (t0 ) Argz Argw2 2 (t0 任何两条曲线C1与C2 之间的夹角，其大小和方向都相同于经过 w f ( z ) 映射后的曲线 1 与 2 之间的夹角（保 角性）。
z(t0 t ) z(t0 ) z(t0 ) lim t 0 t
z(t0 t ) P0
C
z (t 0 )
所表示的向量与C相切于点 z0 z(t0 ) 。且方 向与C的正方向一致。如果规定这个方向作为C上 点 z0 处切线的正向。则有：
z ( t 0 )
Argz(t0 ) 就是在C上点 z0 1） 轴正向之间的夹角；
z z1(t ),( t ) 与C2：z z2 (t ),( t ) 设曲线C1： ), z1(t0 ) 0, z(t0 ) 0 相交于点 z0 。且 z0 z1(t0 ) z2 (t0 又设映射w f ( z ) 将C1与C2分别映射为相交于 点 w0 f ( z0 ) 的曲线 1 : w w1(t ),( t ) 与 : w w (t ),( t ) 。 故有：
2、解析函数的导数的几何意义
z z(t ), t z 平面内的一条有向连续曲线C：
它的正向取为t增大时点z移动的方向，且 z(t0 ) 0( t0 ) ，则C在 z0 点有切线，z (t0 ) 就 是切向量。事实上，切线可看作割线P0P当P沿C 无限趋向于点P0时的极限位置。因此，
规定：无穷远点的对称点是圆心O。
T
r O P
P
1 i 1 i 如果设 z re ，则 w1 1 ,从 e , w w 1 z r re 而 w1 z 1 ，由此可知， 与 w1 是关于单位圆周 z 1 的对称点， 是关于实轴的对称点。因 w1与 此，要从 作出 w 1 ，应先作出点 关于圆周 z z 1 对称的点 w1 ，然后再作出 w1关于实轴的对 称点，即得（如图）。
dw n 1 nz 0 ( z 0) dz 得 w z n 在Z平面上除原点 z 0 外处处是保
定理4:设 w f ( z)在区域D内单叶解析,则 (1) w f ( z) 将D保形变换成区域 G f ( D) . 1 (2)反函数 z f ( w)在区域G内单叶解析,且
z0 为D内一 定理3：设函数w f ( z ) 在区域D内解析， 点，且 f ( z0 ) 0 ，则映射在 z0 具有两个性质： 1）保角性：通过 z0 的两条曲线间的夹角与经过 映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持 不变。
2）伸缩率不变性：通过 z0 的任一条曲线的伸缩 率均为 f ( z0 ) 而与其形状与方向无关。
第七章 共形映射
§1
§2
解析变换的特性
分式线性变换
§3 某些初等函数所构成的共形映射
在第一章曾经说过，一个复变函数 w f ( z ) 从几何观点看来，可以解释为从 z 平面到 w 平 面之间的一个变换。本章主要讨论解析函数所 构成映射的一种重要变换——共形映射（保形 变换）。 共形变换在数学上以及在流体力学、弹性力 学、电学等学科中都有重要的应用。共形映射 之所以重要，原因在于它把比较复杂区域上所 讨论的问题转化到比较简单区域上去讨论。
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性
定理1: ( 保域定理)设 w f ( z) 在区域D内解析 且不恒为常数,则D的象 G f ( D) 也是一个区域. 推论:设 w f ( z) 在区域D内单叶解析,则D的象 G f ( D) 也是一个区域.
定理2:设函数 w f ( z)在点 z 0 解析且 f ( z0 ) 0, 则 f ( z) 在 z 0 的一个邻域内单叶解析.
1 结论：映射w 在扩充复平面上是处处共形的， z
为一共形映射。 2）w az b( a 0) 显然这个映射在扩充复平面上是一一对应的。 因 w a 0 ，所以当 z 时，映射是共形的。 1 1 , 为讨论 z 也是共形的 ，此时， z w ,令 1 映射 w az b 变为 a b ，而 ( ) | 0 0 ，因 a 而 a b 在 0 处是共形的，即 w az b 在 z 处是共形的。
推论:若 w f ( z)在区域D内单叶解析,则 w f ( z) 在D内是保角的. 例:试证: w e 将互相正交的直线族 Re z C1 与 Im z C2 ,依次变为互相正交的直线族 v utgC1 与圆周族 u 2 v 2 e2C2
iz
3、单叶解析变换的保形性
1 f (w0 ) f ( z0 )
1

( z0 D, w0 f ( z0 ) G)
注: (1)保形变换理论的基本任务是:寻找一个函 数 f ( z ) 将区域D保形变换成区域G. (2)两个保形变换的复合仍然是一个保形变换.
§2 线性变换
线性变换是保形变换中比较简单的但又很重 要的一类映射，它是由 az b a b ( c d 0, a , b, c, d为常数 ) w cz d
分式线性映射的三种简单类型
三种映射的几何性质
（1） 这是一个平移映射。因为复数相加可以化为向量 相加，所以在映射 w z b 之下， 沿向量 b 的 方向平行移动一段距离 b 后，就得到 。 （如图）
w zb
z
w
b
w
z w zb
( z ) ( w)
w

z w az
（2）w az, (a 0) i i 这是一个旋转与伸缩映射.设 z re , a e ， 则 w rei ( ) 。因此，把 先转一个角度，再 将 z 伸缩到 a 倍，就得到 w 。（如图）