分析化学中的有效数字及其运算
2.2分析化学中的有效数字及其运算
2.2分析化学中的有效数字及其运算、分析结果的有效数字及其处理1. 有效数字的概念既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。
由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字（重复测定时不会发生变化的准确数字）和它后面的不定数字（重复测定时会发生变化的数字），但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少。
能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字（si g n i fi ca nt fig u re）,由确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量的多少因而不是有效数字。
如用示值变动性为土0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。
可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。
有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为土0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。
再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL ,其不确定度为± 0.1 mL ,最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。
2. 有效数字的确定有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度。
例如，称得样品的质量为（0.200 0± 0.000 2）g，可见其不确定度为土0.0002 g,相对不确定度土1 %°。
又如，氯的相对原子质量为35.452 7（9），可见其不确定度为土0.000 9,相对不确定度为土0.03%°。
分析化学 第2节 有效数字与运算规则
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保留三位有效数字
3. 注意点 （1） 分数；比例系数；实验次数等不记位数 （2）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4
位有效数字
（3）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（4）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:
0.1000 mol/L
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某人用差示光度分析法分析药物含量，称取 此药物试样0.0520g，最后计算此药物的质量 分数为96.24%。问该结果是否合理？为什么 ？ 答：该结果不合理。因为试样质量只有三位 有效数字，而结果却报出四位有效数字，结 果不可能有那样高的精度。最后计算此药物 的质量分数应改为96.2%。
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43181 10.98% 1.98×10-10
2×105 100
二数字修约规则
1 四舍六入五后有数（不为0）就进一 五后没数（不为0）看前方— 奇进偶舍 2 只允许对原测量值一次修约至所需位数， 不能分次修约。 3 修约标准偏差时应使准确度变得更差些
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数字修约规则和实例
第二章 误差和分析数据 处理
第二节 有效数字及其 运算法则
一、有效数字 二、数字的修约规则 三、有效数字运算规则
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一、有效数字(significant figure)
(一)有效数字：－－实际上能测到的数字
23.43、23.42、23.44mL 记录测量值时规定只允许数的 末位欠准
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三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ 52.1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001
高等教育出版社 分析化学 第三版04 有效数字及其运算规则 提高分析结果准确度的方法
9
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误 差最大的数. (与小数点后位数最少的数一致)
50.1 ±0.1 ±0.01 1.46 + 0.5812 ±0.001 52.1412 52.1
50.1 1.5 + 0.6 52.2
10
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差 最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
位数越多准确度越高。
1
例1：若称取某样品的质量为1.5184 g 分析天平(精度为 0.0001g)： so,实际质量1.5183~1.5185g
托盘天平(精度为0.1g)：应记为: ?
1.5g
2
例2：滴定管读数为24.31 mL 24.3是准确的，最后一位是估计值 记作24.314 记作24.3
若后面数为0, 舍5成双:
8
10.2350----10.24, 250.650----250.6 若5后面还有不是0的任何数皆入: 18.0850001----18.09
运算规则
笔算：先修约，后运算 计算器：最后修约结果。 1. 加减法：尾数取齐（绝对误差） 2. 乘除法：位数取齐（相对误差） 3. 其它 (1)测量值和常数相乘、除时，以测量值为准 (2)测量值的平方、开方、对数等，与测量值 相同
精 密 度
随机误差
误差和偏差的计算
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3、有效数字的概念、记录和运算规则 4、对有限测定数据进行统计处理的初步方法 （1） 随机误差的分布规律：
t分布 正态分布 区别和联系
（2）描述 测定值
集中趋势： 平均值和中位数
偏差、平均偏差、相对 分散性： 平均偏差、标准偏差、 相对标准偏差和极差
计算
（3）置信度与置信区间的含义，μ的置信区间的计算； （4）显著性检验的含义和方法(t检验法、F检验法) （5）可疑值的取舍
第2章有效数值及运算规则2(1)分析化学
有效数字位数：
由第一个不为零的数字算起，直到最后 一位。
例：0.06050=6.050×10-2（四位）
0：在第一个非零数字前作定位用，
不是有效数字 在第一个数字后是有效数字
数字“零”在数据中具有双重作用 （1）作普通数字用
如 5.080， 4位有效数字 （2）作定位用
例： (0.0325 5.103 60.0)/ 139.8 = 0.071179184 = 0.0712
0.0325 5.103 60.06 139.8
相对误差：
± 0.0001/0.0325 100% =±0.3% ± 0.001 /5.103 100% =±0.02% ± 0.01 /60.06 100% =±0.02% ±0.1 /139.8 100% =±0.07%
7.9936 0.9967-5.02 = 8.0200- 5.02 = 3.00
例2.
(1.276 4.17)+1.710-4-(0.002176 0.0121) = 5.32092 + 0.00017- 0.0000263296 = 5.321 + 0.00017- 0.0000263 = 5.3211473 = 5.32
CaCO3% 2
0.2510
1000 100 90.3187251%
结果保留到哪一位?
为什么体积写为:25.00mL;100.0mL?
称样量0.2510g，体积6.80mL，浓度0.2480、 0.2450mol/L末位的“0”能否去掉？
一、 有效数字的概念
有效数字—实际能测量到的数字。
0.812 9.344 = 7.587 4位
大学化学：有效数字运算规则
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2
有效数字及其运算规则
一.有效数字
2．数字零在数据中具有双重作用： （1）若作为普通数，是有效数字
如 0.3180 4位有效数字 3.18010 -1 （2）若只起定位作用，不是有效数字。
如 0.0318 3位有效数字 3.1810 -2 3．改变单位不改变有效数字的位数：
19.02 mL → 19.0210-3 L
不能数次修约。
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5
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点）
（4）有关化学平衡计算中的浓度，一般保留二位或三位 有效数字。pH值的小数部分才为有效数字，一般保留一 位或 二位有效数字。 例如,[H+]=5.210 -3 mol·L-1 ，则pH = 2.28
三. 有效数字的运算规则 ▪ 2. 乘除运算 ▪ 先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除
运算，计算结果仍保留相同有效数字。
▪ 例：计算 0.0121×25.64×1.05782 =? ▪ 修约为： 0.0121×25.6×1.06 =? ▪ 计算后结果为：0.3283456，结果仍保留为三位有效数
字。
▪ 记录为：0.0121 × 25.6 × 1.06 = 0.328 ▪ 注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果
进行修约.
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 ▪ 2. 乘除运算 ▪ 例：计算2.5046×2.005×1.52 =? ▪ 修约为：2.50×2.00×1.52 =? ▪ 计算器计算结果显示为 7.6，只有两位有效数字，但我
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分析化学有效数字(精)
则为：0.0121×25.64×1.058=0.328
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七、有效数字的应用：
1.正确的记录测量数据 2.正确的选用测量的仪器 例：移取盐酸溶液25.00ml 移取盐酸溶液25ml
18
3.正确的表示分析结果 例：七叶神安片 本品每片含三七叶总皂苷以人参皂苷Rb3 （C53H90O22）计不得少于5.0mg。
0.07kg ±0.01kg
9
2.表示测量的误差大小，反映测量的准确度。
例：A称得某物质量为0.5180g， B称得此物质量为0.518g。 绝对误差： A ±0.0002g 相对误差：
0.0002 100% 0.04% 0.5180
B ±0.002g
0.002 100% 0.4% 0.518
大量数据运算，可先多保留一位有效数字
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第1题：计算下组数据的偏差、平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差
4.1261 4.1256
4.1265
4.1258
第2题：将下列测量值修约为三位有效数字。 4.135 4.105 4.1249 4.1351
第3题：读出下列有效数字的位数 2.3000 0.05060 pH=6.85 2.000×10-5
12
五、数字修约规则
四舍六入五成双： 12.21500→12.22 ，12.22500→12.22 12.21510→12.22，12.22501→12.23 对原测量值一次修约： 2.2349：2.24（×），2.23 （√）
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修约标准偏差 ：取二位。有余数即进位
RSD 1.213%修约为RSD 1.3%
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四、有效数字位数计算
1、“0”即可是有效数字，也可是用于定位的 无效数字。
有效数字运算规则
00:58:31
5
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点）
（4）有关化学平衡计算中的浓度，一般保留二位或三位 有效数字。pH值的小数部分才为有效数字，一般保留一 位或 二位有效数字。 例如,[H+]=5.210 -3 mol·L-1 ，则pH = 2.28
00:58:31
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有效数字及其运算规则
一.有效数字
2．数字零在数据中具有双重作用： （1）若作为普通数，是有效数字
如 0.3180 4位有效数字 3.18010 -1 （2）若只起定位作用，不是有效数字。
如 0.0318 3位有效数字 3.1810 -2 3．改变单位不改变有效数字的位数：
19.02 mL → 19.0210-3 L
(２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。
(３)标准溶液的浓度，用 4 位有效数字表示。
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四.有效数字规则在分析化学中的应用
2．按有效数字的运算规则正确地计算数据—报出合理的 测试结果。 注意：算式中的相对分子质量取 4 位有效数字。
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9
有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算
几个数据的乘除运算中，所得结果的有效数字的位数 取决于有效数字位数最少的那个数，即相对误差最大 的那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
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有效数字及其运算规则
（5）表示误差时，取一位有效数字已足够，最多取二位。
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分析化学有效数字的规定
分析化学有效数字的规定1.有效数字及其运算规则1. 1有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如℮、π。
(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定例： pM＝5.00 （二位） [M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）(3). 不能因为变换单位而改变有效数字的位数注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
有效数值运算规则
有效数字及其运算规则一、有效数字(significant figure)概念：分析工作中实际上能测量到的数字。
包括：除最后一位为可疑数字，其余的数字都是准确的。
可理解为：在可疑数字的位数上有±1个单位的误差。
如：分析天平称量：1.21 23(g)（万分之一）滴定管读数：23.26(mL)二、有效数字的确定1. 记录测量数据时，只允许保留一位可疑数字。
2. 有效数字的位数反映了测量的相对误差，不能随意舍去或保留最后一位数字。
例：0.5780−⨯→0.5783. 若有一位数字大于或等于8，其有效数字位数应多算一位。
例1：9.37实际是三位有效数字，但已接近于10.00，故认为是四位有效数字。
例2：9.0⨯0.241÷2.84=0.764 （结果保留3位有效数字）4. 数据中的“0”作具体分析。
(1)数字中间的“0”，都是有效数值。
例：1.0005(2)数字后边的“0” ，都是有效数值。
例：5.0000(3)数字前面的“0” ，都不是有效数值，只起定位作用。
例：0.0052 5. 常数π,e等非测量所得数据以及、2，1/2等，5视为无限多位有效数字。
6. pH、pM、pK等对数值，有效数字位数仅取决于小数部分数字的位数。
如：pH=12.68,应为两位有效数值。
pH=12.68 即[H+]=2.1⨯10-13 两位不是四位7. 有效数字单位变化时，不能改变有效数字的位数。
20.00mL−−−→0.02000L例题看看下面各数的有效数字的位数:1.0008 43181 五位有效数字0.1000 10.98% 四位有效数字0.0382 1.98×10-10三位有效数字54 0.0040 二位有效数字0.05 2×105 一位有效数字3600 100 位数模糊pH=11.20对应于[H+]=6.3×10-12二位有效数字三、数字修约规则在计算一组准确度不同（即有效数字位数不同）的数据时，应按照确定了的有效数字将多余的数字舍弃。
第三章 5节有效数字及运算6节提高准确度的方法
并对结果进行显著性检验。
3、“内捡”及“外 险”： 将一部分试样重复安排结不同的分析者进行测定，称之为“内 捡”。 有时又将部分试佯送交其它单位进行对照实验，称之为“外险”。
（二）空白试验 定义：在不加试样的情况下，按照与试样测定完全相同的条件和 操作方法进行试验，所得的结果称为空白值。 从试样测定结果中扣除空白值就起到了校正误差的作用。 作用：检验和消除由试剂、溶剂(大多数是水)和分析器皿(因 被侵蚀)中某些杂质引起的系统误差。对微(痕)量 组分的测定 具有很重要的作用。 空白值：一般比较小，经扣除后就可得到比较可靠的测定结果。
在重量分析中，设法减小沉淀的溶解度，使待测组分沉淀更
加完全；减少沉淀对杂质的吸附等等
2、辅助方法校正测定结果 例如采用重量法测定硅的含量时，分离硅沉淀后的滤液中含
有微量硅，可以采用光度法测出其含量，并将它加进重量法的
结果中去，这样就校正了因沉淀不完全而带来的负误差。
四、适当增加平行测定次数, 减少随机误差 在消除了系统误差之后．适当增加平行测定的次数可以减小随 机误差的影响，提高测定结果的准确度。 在一般的定量分析中，平行测定3—4次即可，如对测定结果的 准确度要求较高时，可以再增加测定次数(通常为10次左右)。
相对含量有关，一般具体要求如下： 高含量组分 (一般大于10％)，
对中含量组分 (1％—10％)， 微量组分 (＜1％），
四位有效数字
三位有效数字 两位有效数字。
对于各种误差的计算，一般只要求一至两位有效数字。
第六节
提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法 二、减少测量的相对误差
二、减少测量的相对误差
仪器和量器的测量误差也是产生系统误差的因素之一。
知识总结——有效数字及其在分析化学中的应用
第一节 有效数字及其在分析化学中的应用一．知识储备1．有效数字的位数有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的数字。
其位数由全部准确数字和最后一位可疑数字组成，作用是既能表示数值的大小，又能反映测量的精度。
例如，利用万分之一的分析天平称取某样品的质量 1.3526 g ,其中前四位数字是准确数字，最后一位数字“6”是可疑数字，有效数字的位数是5位。
又如滴定管的读数为25.32 mL ，其中前三位数字是准确数字，最后一位数字“2”是可疑数字，有效数字的位数是4位。
超出仪器准确度而纪录下来的数字是无意义的数字，即不是有效数字。
确定有效数字的位数是可以遵循以下几条原则：1 有效数字的位数与测定方法有关。
在纪录测量数字时只纪录一位可疑数字。
2 数字1-9都是有效数字.3 “0”要视在记录测量数字的位置而定.(1)当“0”在数字前,只是作为定小数点位置时不是有效数字，如0.01232 mol · L -1,数字1前面的两个“0”不是有效数字,仅起定位作用.所以, 该数字是四位有效数字，而不是五位有效数字; (2)“0”在数字中间和数字后,是有效数字,如 0.1020 mol · L-1是四位有效数字;(3)以“0”结尾的正整数,有效数字的位数不确定.如3600，其有效数字的位数不确定.这种情况应根据实际表示成3.6×103,它是两位有效数字;表示成3.60×103,它是三位有效数字;表示成3.600×103,它是四位有效数字。
3 在分析化学中经常遇到指数和对数，在相互转换过程中要保持有效数字位数一致。
例如 [H +] =0.000018 mol · L -1，可表示成 [H +] =1.8×10-5 mol · L -1 或pH=4.74，都是两位有效数字。
4 非测定所得数字位数可以认为没有限制，例如 反应方程式的系数。
5 不能因为改变单位的表示方法而改变有效数字的位数。
分析化学有效数字及其运算规则
• 计算各10g 下列物质的物质的 量。
• ⑴ NaOH ⑶SO3
⑵H2
22
课后练习
• 在100 mL 0.1 mol / L NaOH的溶液中，所 含NaOH的质量是多少？
• 配制500ml 0.1mol/L的Na2CO3 溶液需要无 水碳酸钠多少克？
23
2、下列四个数据修约为四位有效数字后为 0.7314的是（ ）
A.0.73146 D.0.731451
B.0.731349 C.0.73145
18
3、用分析天平准确称量某试样重，下列记录 正确的是（ ）
A.1.45g B. 1.450g C. 1.4500g
D. 1.45000g 4、下列数据中具有三位有效数字的是（ ） A.0.030 B.1.020 C.8.00×103 D.pH=4.74 5、下列数据修约为两位有效数字，修约结果 错误的是（ ）
1、误差的分类 2、误差和偏差的表示方法
准确度与误差 精密度与偏差
1
计算下列分析结果的绝对平均偏差和 相对平均偏差
分析结果： 37.40% 、37.20%、37.32%、37.52%、 37.34%
2
§分析结果既表示量 的大小，又反映准确度的高低。
差最大的数为标准）
如:32.2 + 2.45 + 4.5782
(0.1 0.01 0.0001)
32.2
修约后:
2.4
+ 4.6
39.2
13
乘除法:
以有效数字位数最少 (即以相对误差最大的数）
的有效位数为准
如
36.78 0.02 5.6756
结果为1位有 效数字
0.0121 25.64 1.05782
分析化学1—5有效数字及其运算规则
注意: 先修约,后计算.
§1—5 有效数字及其运算规则
在定量分析中，实验数据和分析结果既表示 量的大小，又反映准确度的高低。
例如 测量硅酸盐中SiO2含量：
ms = 0.4538g mSiO2 = 0.1374g
0.1374
w=
100% = 30.2776553%
SiO2 0.4538
一、有效数字的意义和位数
有效数字：实际可测得到的数字。
例:修约下列数到四位有效数字
0.123649 0.1236
1.2055
1.206
11.165
11.16
100.3456 100.3
三、计算规则
加减法: 以小数点后位数最少的 数字为根据(即以绝对误
差最大的数为标准）
如:32.2 + 2.45 + 4.5782
(0.1 0.01 0.0001)
32.2
修约后:
2.4
+ 4.6
39.2
乘除法:
以有效数字位数最少 (即以相对误差最大的数）
的有效位数为准
如
36.78 0.02 5.6756
结果为1位有 效数字
0.0121 25.64 1.05782
3位
修约后: 0.0121×25.6×1.06 = 0.328
在乘除法运算过程中,首位数 为9的数字如9.23,9.76等按4位有 效数字报出.
它由仪器本身精确度来决定，由 全部准确数字和最后一位不确定 反映测量的准确度
1.005 四位
0.0075 二位
0.0056000 五位 230
pＨ=2.0 一位
2105 一位
分析化学有效数字
18 18
第18页，本讲稿共23页
3.正确的表示分析结果
例：七叶神安片
本品每片含三七叶总皂苷以人参皂苷Rb3（C53H90O22）计不得少于5.0mg
。
19 19
第19页，本讲稿共23页
分析数据处理与报告（例）
(1)记录数据
x(Fe%)
13.18（？） 13.92 13.99 14.20 14.28
23 23
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10 10
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四、有效数字位数计算
1、“0”即可是有效数字，也可是用于定位的无效数字。
2、变换单位或改用科学记数法时，有效数字位数不变。
11 11
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3、pH、pKa等对数值，其有效数字位数取决于小数部分数字的位数。
+
-13
pH、pC、logK等：如 pH=12.68，即[H ]=2.1×10 mol/L其有
16 16
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乘除法：以其中相对误差最大的那个数，即有效数字位数最少的那个数为依据 。
如：0.0121、25.64、1.05782 三数相乘， 则为：0.0121×25.64×1.058=0.328
17 17
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七、有效数字的应用：
1.正确的记录测量数据
2.正确的选用测量的仪器 例：移取盐酸溶液25.00ml
20.00g
200g
4
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13ml?
13.0ml? 13.00ml?
13.000ml?
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一、有效数字定义：
有效数字：分析工作中实际上能测量到的数字
分析化学 第二章
( x )2
i 1
n
μ为总体平均值，在校正了系统误差情况下， n 为测定次数无限 多时，μ即代表真值。 有限次测定时，标准偏差称为样本标准偏差，以 s 表示：
s ( xi x ) 2
i 1 n
n -1
(n-1)称为自由度，表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目。
相对标准偏差：s与平均值之比称为相对标准偏差，以 sr 表示:
5位有效数字 2位有效数字
（2）常数如：ln5、π……，以及分数、倍数等非测量数 据其有效数字为无限多位,计算时可不与考虑。 （3）pH、pKa、pKb、lgK、pM等对数值，其小数部分 为有效数字。 例如： pH = 2.38，C=4.210-3 mol/L （4）改变单位并不改变有效数字的位数。
di xi x
b. 相对偏差d r：绝对偏差占平均值的百分比
dr
xi x x
100%
在实际工作中（如分析化学实验），对于分析结果 的精密度经常用平均偏差和相对平均偏差来表示。 c. 平均偏差又称算术平均偏差，各测量值绝对偏差的算术 平均值，用来表示一组数据的精密度。
d
i 1
例如，甲、乙、丙、丁四人同时测定铜合金中Cu的百分 含量，各分析6次。设真值=10.00%，结果如下：
真值 x
•精密度好，准确 度不好，系统误 差大
• • • •
甲 乙 丙 丁
•准确度、精密度都 好，系统误差、偶然 误差小
•精密度较差，接近 真值是因为正负误 差彼此抵销 •精密度、准确度差。 系统误差、偶然误差大
二、有效数字的修约规则 1.修约规则： 用“四舍六入五成双”对数字进行修约。其作法是， （1）当数据中被修约的数字小于或等于4时则舍去； 当数据中被修约的数字大于或等于6时则进入。 （2）当数据中被修约的数字等于5时，分两种情况： a. 5后面的数字为“0”时， 若“5”前面为偶数则舍去，为奇数则进入。
分析化学有效数字及其运算规则
练习巩固
常见仪器的有效数字记录
• 滴定管 • 量筒 • 移液管 • 容量瓶 • 托盘天平 • 分析天平
二、数字的修约规则
a.四舍六入五留双 b.“5”后有值,全进位 c.“5”后无值,奇进偶不 进. 注：数字修约需一步到位.
例:修约下列数到四位有效数字
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.123649 0.1236
1.2055
• 物质的量：n • 质量：m • 物质的量浓度：c • 体积：V
计算下列各物质的物质的量。
课后练习
• 在100 mL 0.1 mol / L NaOH的溶液中，所 含NaOH的质量是多少？
• 配制500ml 0.1mol/L的Na2CO3 溶液需要无 水碳酸钠多少克？
的有效位数为准
如36.57.68705.062结效果数为字1位有
0.0 12 2 1.6 5 4 1.0578
3位
修约后: 0.0121×25.6×1.06 = 0.328
在乘除法运算过程中,首位数 为9的数字如9.23,9.76等按4位有 效数字报出.
9.23×0.1245×3.0451
注意: 先修约,后计算.
1.206
11.165
11.16
100.3456 100.3
三、计算规则
加减法: 以小数点后位数最少的 数字为根据(即以绝对误
差最大的数为标准）
如:32.2 + 2.45 + 4.5782
(0.1 0.01 0.0001)
32.2
修约后:
2.4
+ 4.6
39.2
乘除法:
以有效数字位数最少 (即以相对误差最大的数）
可疑数值的取舍
分析结果的报告
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精心整理
2.2分析化学中的有效数字及其运算
一、分析结果的有效数字及其处理
1.有效数字的概念
既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，
数字
、3和1
有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。
再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0mL，其不确定度为±0.1mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。
2.有效数字的确定
有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
定度
．．。
例如，称得样品的质量为(0.2000±0.0002)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。
又如，氯的相对原子质量为35.4527(9)，可见其不确定度为±0.0009，相对不确定度为±0.03‰。
所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字。
)，其中
字的差异程度，因而分析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3.数字修约规则
舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。
过去人们习惯采用“四舍五入”规则，其缺点是见五就进，必然会导致修约后的测量值
系统偏高；现在则通行“大五入小五舍五成双一次修约”规则，逢五时有舍有入，由五的舍入所引起的误差本身可自相抵消。
“大五入小五舍五成双一次修约”规则规定，把多余的不定数字看成一个整体(一次修约)，与5(添零补齐位数)比较，前者大于后者就入(大5入)，前者小于后者就舍(小5舍)，前者等于后者就使修约后其前一位为偶数即前一位为奇数时进、为偶数时舍(5
=22222)0003.0(3)001.0()00006.0(2±⨯+±+±⨯±g/mol
=±0.002 g/mol
这表明Na 2CO 3的摩尔质量的千分位(小数点后的第三位数字)有±2的不确定度，因此其有效数字应保留到千分位(小数点后第三位)，即
＝[2×2298968(6)+12.011(1)+3×159994(3)]g/mol
＝(105.989±0.002)g/mol
[例2-11]配制EDTA 标准溶液，若称取0.9618(2)gEDTA 基准试剂，溶解后转入250.0(3)mL 容量瓶中定容，则EDTA 标准溶液的浓度是多少?
[解2-11]由于定容V M m c EDTA
EDTA EDTA =，M EDTA =372.237(9)g/mol 因此222定容V M m c RU RU RU RU EDTA EDTA EDTA ++±= =)0.2503.0()237.372009.0()9618.00002.0(22±+±+±±
五位)
[例[解23018±0.01
-)15.6152±0.0001
7.5648±0.01
前一加数的不定数字为百分位，后一加数的不定数字为万分位，其和7.5648的百分位、千分位和万分位数字都是不定数字，所以其和应保留到百分位，划掉的数字是应舍弃的数字。
即
23.18-15.6152=7.56
注意：减法运算可使运算结果有效数字减少，加法运算反之
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
(2)乘除运算
若间接测定结果是通过乘除运算得到的，则因乘除运算结果的相对不确定度主
要决定于相对不确定度最大(有效数字位数最少)的乘数或除数[如式(2-32)]，所以乘除
．．
运算的有效数字位数应与相对不确定度最大
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．有效数字位数最少
．．．．．．．．)．的乘数或除数的有
8．这．
[例
[解
3
100.0
[例2-14]0.15283＝3.568×10-3(运算前后均为4位有效数字)
[例2-15]0725
.0=0.269(运算前后均为3位有效数字)
(4)对数运算
对数运算误差传递如式(2-36)，因此对数运算结果的尾数(小数点后的位数)与原有效数字位数近似相同。
[例2-16]计算2×10-10mol/LH+溶液的pH 。
[解2-16]pH ＝-lg(2×10-10)=9.7
其对数运算结果的整数部分即数字9是与H+浓度单位大小有关的数字而不是有效数字，其对数运算结果的尾数即小数部分才是有效数字，运算前后均为一位有效数字。
[例[解因此10[例[解接近似规则计算：Cl Cl M M 22=＝2×35.4527 g/mol=70.9054g/mol(保留到万分位) 按准确方法汁算：2222)0009.0(222±⨯±=⨯±=Cl Cl M M U U g/mol ＝±0.002 g/mol
Cl Cl M M 22==2×35.4527(9)g/mol ＝(70.905±0.002)g/mol(保留到千分位)。