2020-2021学年福建省福州三中高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年福建省福州三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.43754．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.57．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）二、多选题（共4小题）.9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝110．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是．三、解答题（共6小题）.17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x\x＞﹣1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）．故选：A．2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．解：sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝sin78°sin18°+cos78°cos18°＝cos（78°﹣18°）＝cos60°＝．故选：C．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解：由表格可知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的近似根在（1，1.5），（1.25，1.5），（1.375，1.5），（1.375，1.4375），（1.40625，1.4375），故程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为：1.4375，故选：D．4．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解：log20.8＜log21＝0，0＜0.82＜1，20.8＞20＝1；∴a＜b＜c．故选：A．5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（x）≥0恒成立，排除C，D，f（﹣x）＝＝＝f（x），即函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，故选：A．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.5解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，∴，∴．故选：D．7．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣解：设﹣x＝θ，则x＝﹣θ，则sinθ＝，则cos（x+）＝cos（﹣θ+）＝cos（﹣θ）＝﹣cos（﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，故选：C．8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）解：当x∈（﹣2π，2π），f（x）＝a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0），则有f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，偶函数的对称性，只需研究x∈（0，2π）时，f（x）＝a cos2x+2sin x﹣a+2＝0有两个零点，设t＝sin x，则h（t）＝at2﹣2t﹣2有一个根t∈（﹣1，1），①当a＜0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向下，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，这与a＜0矛盾，不符合题意；②当a＞0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向上，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，则存在t∈（﹣1，0），只需h（1）＝a﹣2+2＜0，解得a＜4，所以0＜a＜4，综上所述，实数a的取值范围为（0，4）．故选：D．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1解：，∴A正确；f（x）在R上是增函数，∴f（﹣2）＜f（3），∴B错误；，＝，∴f（2x）＝2f（x）g（x），∴C正确；[f（x）]2﹣[g（x）]2＝，∴D错误．故选：AC．10．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．解：将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象，故g（x）的周期为，且g（x）的最大值为2，最小值为﹣2，若g（x1）•g（x2）＝﹣4，所以g（x1）和g（x2）是函数g（x）的最大值和最小值，所以|x1﹣x2|＝+，k∈Z，当k＝0时，|x1﹣x2|＝；当k＝1时，|x1﹣x2|＝．故选：BD．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．解：设，则a+b＝log26+log3＝log26﹣log36＞0，故A错误；﹣＝log62+log63＝log66＝1，故B正确；∵a＝log26＞0，b＝log3＜0，∴ab＜0，故正确；+＝（log62）2+（﹣log63）2＝（log62）2+（log63）2＝（log62+log63）2﹣2log62log63＞1﹣2×（）2＝1﹣＝，故D正确．故选：BCD．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增解：对于A，由于ω＞0，f（0）＝sin＞sin0，设t＝ωx+，则t∈[，2ωπ+]，因为f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2ωπ+＜6π，解得≤ω＜，故A正确，对于B，f（x）＝1即此时f（x）取最大值，则满足ωx+＝，，的x是f（x）＝1的解，共3个，故B正确，对于C，f（x）＝﹣1，即此时f（x）取最小值，则满足ωx+＝，的x是f（x）＝﹣1的解，但当ω接近时，ωx+＝＜6π，也是f（x）＝﹣1的解，这时f（x）＝﹣1有3个解，故C错，对于D，当x∈（0，）时，由ω×+＝（ω+2）×＜＜，所以f（x）是递增的，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝9，∵圆心角为1rad的弧长l＝r，∴3r＝9，则r＝3，l＝3，则对应的扇形的面积S＝lr＝×3×3＝．故答案是：．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝ 2.5．解：根据题意，f（x）为偶函数且满足f（x+4）＝f（x），则f（5.5）＝f（﹣2.5）＝f（2.5），又由当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（2.5）＝2.5，则有f（5.5）＝f（2.5）＝2.5，故答案为：2.5．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝7．解：因为角θ的终边经过点P（﹣4，3），所以，所以＝．故答案为：7．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝1；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是[0，1）．解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝sin（）+1＝2，则f[f（﹣3）]＝f（2）＝|log22|＝1；作出函数f（x）的图象如图，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），不妨设a＜b＜c＜d，由图可知，|log2c|＝|log2d|，得log2（cd）＝0，即cd＝1．a+b＝﹣2，且﹣1＜b≤0，则abcd＝（﹣b﹣2）b＝﹣（b+1）2+1∈[0，1），故答案为：2；[0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．解：（1）＝（2﹣2lg2）+3+（﹣）+lg2＝4．（2）因为，，两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，可得2sinαcosα＝，可得sinα+cosα＝＝＝，可得＝＝＝﹣．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，故＝；（2）因为，由（1）可知，＝，所以，因为，所以，又，所以，故＝＝＝19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？解：（1）因为函数y＝ka x（k＞0，a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越快，而函数y＝log a（x+1）+q（a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越慢，依题意应选择函数y＝ka x（k＞0，a＞1），则有，解得k＝8，a＝，所以函数的解析式为y＝8•（）x（x∈N）；（2）由（1）可知，当x＝0时，y＝8，设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则有8，所以x＝log≈11.36，所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；解：（1）函数＝＝＝所以函数f（x）的最小正周期为π，令，解得，所以函数f（x）的单调递减区间为；（2）因为函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，所以有，解得，又因为m＞0，所以m的最小值为．21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由函数图象知，A＝1，T＝﹣，∴T＝π，所以ω＝＝2，∵x＝时，f（）＝cos（2×+φ）＝1，∴2×+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）的解析式为f（x）＝cos（2x﹣）；（2），2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）∈[，1]，要使2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，恒成立，令t＝f（x），则t∈[，1]，即2t2﹣mt﹣1≥0，因为g（t）＝2t2﹣mt﹣1图象开口向上，且g（0）＝﹣1，∴要使t∈[，1]时，2t2﹣mt﹣1≥0，则有，解得m≤﹣1，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，在[0，π]上，2x﹣∈[﹣，]，①当a＞1或a＜﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上无交点；②当a＝1或a＝﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝2021；③当﹣1＜a＜或＜a＜1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有2个交点，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上有偶数个交点，不可能有2021个交点；④当a＝时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有3个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝1010．综上可得，当a＝1或﹣1时，n＝2021；当a＝时，n＝1010．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．解：（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，则任意x∈R，使得f（x）＝x2+ax+＞0，所以△＝a2﹣4×1×＜0，解得﹣1＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣1，1）．（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，又因为g（x）在（0，+∞）上为减函数，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数且任意x∈（1，+∞），f（x）＞0，所以﹣≤1，且f（1）＞0，即﹣≤1，且1+a+＞0，解得a＞﹣，所以a的取值范围为（﹣，+∞）．（3）因为当x＞1时，g（x）＝﹣lnx＜0，所以h（x）＝min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上无零点，①当a≥0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣≤0，作出h（x）的图象，可得h（x）只有一个零点x＝1，②当a＜0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣＞0，当△＝a2﹣4×1×＜0，即﹣1＜a＜0时，h（x）只有一个零点x＝1，当△＝a2﹣4×1×＝0，即a＝﹣1时，f（x）的零点为x＝﹣＝，h（x）由两个零点x＝，x＝1，当△＝a2﹣4×1×＞0，即a＜﹣1时，令f（x）＝0，解得x1＝，x2＝，且0＜x1＜1，0＜x2，若x2＝＜1，即﹣＜a＜﹣1时，函数h（x）有3个零点x＝x1，x＝x2，x＝1，若x2＝＞1，即a＜﹣时，函数h（x）有1个零点x＝x1，若若x2＝＝1，即a＝﹣时，函数h（x）有2个零点x＝x1，x＝1，综上所述，当a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）时，h（x）只有一个零点，当a＝﹣1或﹣时，h（x）有两个零点，当a∈（﹣，﹣1）时，h（x）有三个零点．。