北京版-数学-八年级上册-《二次根式的乘除法》教案
北师大版八年级数学上册教案《二次根式》教学设计
《二次根式》（第1课时）◆教材分析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。
它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。
再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解。
◆教学目标【知识与能力目标】了解二次根式的概念。
【过程与方法目标】通过经历二次根式概念的发生过程，理解二次根式的含意。
【情感态度价值观目标】培养学生观察、类比、讨论、合作的思想。
◆教学重难点◆【教学重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
【教学难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。
学生每人准备好草稿纸、铅笔； 教师准备课件。
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a 。
问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题。
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础。
第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，baba =． 具体过程如下：（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；◆课前准备 ◆◆教学过程2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ 。
北师大版八年级数学上册2.7《二次根式》教案
举例：讲解(√2 + √3)(√2 - √3)的运算过程，强调平方差公式的运用。
2.教学难点
（1）二次根式的性质理解：特别是乘除法则和加减法则，学生容易混淆，需要通过实例反复讲解和练习。
举例：解释为何√a * √b = √(ab)，以及合并同类项时如何识别同类二次根式。
在讲授二次根式的应用时，我发现学生对于如何将实际问题转化为数学模型的这个过程比较生疏。以后，我打算引入更多贴近生活的案例，让学生感受到数学知识在实际中的应用，从而提高他们解决问题的能力。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生在交流中能够互相启发，碰撞出思维的火花。但我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，今后我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，表达自己的观点。
3.数学抽象：理解二次根式的概念及其性质，发展学生的数学抽象思维，提高对数学符号和表达式的理解和运用能力。
4.数学运算：掌握二次根式的化简与运算方法，培养学生的数学运算能力，使其准确快速地进行数学计算。
5.数据分析：在解决实际问题时，能运用二次根式进行数据分析，培养学生的数据敏感性和分析能力，为科学决策提供依据。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的概念、性质、化简方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它是解决非完全平方数开平方运算的重要工具，广泛应用于数学和实际生活中。
数学北师大八年级上册(2013年新编)《二次根式乘除》教案3
《二次根式乘除》教案教学内容b≥0），b≥0）及其运用．教学目标b≥0）b≥0），并利用它们进行计算和化简＝（a≥0，由具体数据，发现规律，导出b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出．（a<0,b<0）=a b，如教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空；（1）（2（3）．2．利用计算器计算填空（2（1）（3）（5）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1．计算（2（3（4）（1分析：＝（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）（2）（3（4）例2 化简（2（3（1（4分析：（2）（3（4）（5）三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②(2) 化简教材P8练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）=（2）解：（1）不正确．（2）不正确．改正：五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0），六、布置作业课本P12 1，4，5，6．（1）（2）．21．2 二次根式的乘除（二）教学内容b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标b>0）和b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键b>0），1．重点：理解b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；；（2；（3（4．______；3．利用计算器计算填空:（1）=_________，（2=_________，（3）=______，（4=________．__________________；规律：每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4）分析：上面4b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==（3=（4例2．化简：（1（2（3 （4b>0）就可以达到化简之目的．解：（1=（283ba=（3=（4=三、巩固练习 教材P11 练习1． 四、应用拓展例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x 为偶数，所以x=8． 解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩ ∴6<x≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）∴当x=8时，原式的值．五、归纳小结本节课要掌握b>0）和b>0）及其运用． 六、布置作业教材P 11 习题21．2 2、7、8、9．21.2 二次根式的乘除(三)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1（2，（3老师点评：53a2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．2==例1．(1)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．解：因为AB2=AC2+BC2BAC所以132====6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ．三、巩固练习教材P 11 练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=） =）） =2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．。
数学北京课改版《二次根式的乘除法》教案(八年级上)
12.6二次根式的乘除法-------乘法教学目的：1、使学生理解二次根式乘法法则；2、通过()0,0≥≥⋅=b a b a ab 及()0,0≥≥=⋅b a ab b a 的教学，培养学生的逆向思维；。
教学重点：进行简单的二次根式的乘法运算教学难点：积的算术平方根及二次根式的乘法运算法则的综合运用教学过程：一、复习1、用语言叙述并用式子表示积的算术平方根的性质。
2、化简：（1）180 （2）450 （3）3532n m二、新课 把式子()0,0≥≥⋅=b a b a ab 反过来，得到二次根式的乘法运算法则 ()0,0≥≥=⋅b a ab b a 两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
运用这个法则，可以进行二次根式的乘法运算。
例1 计算 （1）714⋅ （2）10253⋅分析：第（2）题先把根号外面的有理数相乘，再利用一次根式的乘法法则进行计算。
解：（1）714⋅=27727727142=⨯=⨯⨯=⨯；（2）230526552610523102532=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅。
指出：（1）在实数一章里，我们已经时确了，有理数的乘法法则和运算律，在实数范围内也成立，如乘法的交换律及结合律等。
（2）在进行二次根式乘法运算时，应先考虑把被开方数进行因式分解。
例2 计算（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358 分析：在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
因些，第（1）题的运算结果应是负号，第（2）题的运算结果应是正号。
解：（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=782563843⨯⨯-=⨯⨯- （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358=()71035273135418⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- =21025225225522=⨯⨯=⨯=⨯⨯练习1 从课后习题中节选例3 计算（1）b a 10253⨯ （2）xy x 11010-⋅ （3）()mn m m 422212+-⋅分析：可以根据二次根式的乘法法则及乘法运算律进行计算。
北京版-数学-八年级上册-11.6.2 二次根式的乘法(教学设计)
11.6 二次根式的乘除法（2）二次根式的除法一、教学目标1、知识目标（1）经历二次根式除法法则的探究过程，会进行简单的二次根式的除法运算．（20,0)a b=≥>，能利用性质对二次根式进行化简．（3）掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简．（4）掌握最简二次根式的概念，能把二次根式化成最简二次根式．2、能力目标通过二次根式除法法则的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力．3、情感目标激励全体学生参与自主学习，培养他们积极探索，勇于创新的精神，引导学生从特殊到一般总结归纳的方法及类比的方法，解决数学问题．二、教学重点0,0)a b=≥>0,0)a b=≥>及利用它们进行计算和化简．三、教学难点二次根式的计算与化简．四教学流程一、知识回顾：二次根式的乘法法则：a b ab⨯=（a≥0，b≥0）．两个非负数算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根．ab a b=⨯（a≥0，b≥0）．积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根．回顾二次根式的乘法和积的算术平方根的性质．通过对二次根式的乘法则和积的算术性质的回顾，为引入本节课奠定基础．1．二次根式的除法法则探究： （1）49=______；49= ______；（2）1649=______；1649= ______．你发现了什么结论？2．二次根式的除法运算法则：a ab b=（a ≥0，b ＞0）． 用语言表述为：两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根．思考：使上述式子成立的a 、b 的条件是什么？ 反过来，就可得到二次根式的性质：a ab b=（a ≥0，b ＞0）． 3．例4 计算：（1）248；（2）4133÷；（3）32． 4．最简二次根式：（1）被开方数不含有能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式．我们把这个二次根式叫做最简二次根式．一般地，二次根式运算的结果应化成最简二次根式． 5．例5 把下列根式化为最简二次根式：（1）18；（2）23；（3）34(0)a b a <．6．不用计算器，利用2 1.414≈计算12的近似值．下面两位同学的算法中，哪种算法比较简单、快速？ 通过对实际问题填空，发现规律，总结出二次根式除法法则．使学生理解并掌握二次根式的除法法则． 理解商的算术平方根的性质的合理性．掌握最简二次根式的概念，会应用进行化简．通过两种算法的对比理解分母有理化．完成例6．课堂小结：1．二次根式的除法法则：a abb=（a≥0，b＞0）．2．二次根式的性质：a ab b=（a≥0，b＞0）．3 ．最简二次根式：（1）被开方数不含有能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式．4．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．通过对本节课知识的回顾，使学生熟练地掌握二次根式的除法的运算和性质，并能应用进行计算和化简．掌握分母有理化的方法．。
新北师大版八年级上册初中数学 课时2 二次根式的乘除运算 教学课件
a b ab(a 0,b 0)
第四页，共十二页。
新课讲解
典例分析
例 1 计算下列式子
(1) 28 7;(2) 1 256;(3)4 xy 1
4
y
分析：(1)(2)两题直接利用公式 计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将
二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相 乘，同时注意确定积的符号．
D. x x x
2.下列运算结果，错误的是( )C
A.-(-1/2)=1/2
B.(-1)0=1
C.(-1)+(-3)=4
D. 2 3 6
第十一页，共十二页。
拓展与延伸
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相
除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
第十二页，共十二页。
第五页，共十二页。
新课讲解
解：
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新课讲解
法则
除法：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
，即：
a a (a 0,b0) bb
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新课讲解
典例分析
例 2 计算 (1) 72 ;(2) 48 . 6 2 3
分析：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)要注
第二章 实数
2.7.2 二次根式的乘除运算
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学习目标 1.掌握二次根式的性质，并能进行相关计算. （重点）
第二页，共十二页。
新课导入
1.什么叫二次根式？ 式子 (a≥0)叫做二次根式.
2.两个基本性质：
第三页，共十二页。
新课讲解知识点1 二次根式 Nhomakorabea乘除法法则 乘法：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；即：
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第2课时)教学详案
第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教学目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算，重要的是培养这种类比学习的能力.教学重难点重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用；难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.教学过程导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：√8，√18，√80，√0.5， √18，√20.（2√2 ，3√2 ，4√5 ，√22，√24，2√5）2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同.最简根式分别为√2 ，√5两类，即√8 ，√18 ，√0.5 ，√18为一组；√80 ，√20为一组.探究新知活动1：二次根式的乘除运算1．填空（1）√4×√9=6，√4×9= 6 ；√16×√25=20，√16×25=20；√4√9＝23， √49＝23；√16√25＝45， √1625＝45．（2）用计算器计算：√6×√7≈6.481，√6×7≈6.481 ；√6√7≈0.925 8， √67≈0.925 8.参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．√4×√9 = √4×9;√16×√25=√16×25; √6×√7= √6×7；√4√9=√49; √16√25=√1625; √6√7= √67.观察上面的式子得上节课的规律：√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)；√ab =√a√b(a≥0,b＞0).反过来也成立：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b =√a b (a ≥0,b ＞0). 【例1】计算:（1）√6×√23； （2）√6×√3√2； （3）√2√5. 【解】（1）√6×√23 =√6×23=√4=2；（2）√6×√3√2=√6×3√2=√6×32=√9=3； （3）√2√5=√25=√2×55×5=√105. 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）√（−4）×（−9）=√−4×√−9 ；（2）√41225×√25=4×√1225×√25=4√1225×25=4√12=8√3.解：（1）错. √（−4）×（−9）=√36=6；（2）错. √41225×√25=√41225×25=√11225×25 =√112 =4√7.做一做：（1）3a 2·2a 3= 6a 5 ,（2）（a +b ）(a -b )= a 2−b 2 ,（3）(a ±b)2=222a ab b ±+， （4）(554−772) ×18= 554×18-772×18=112-. 【例2】计算：（1）3√2×2√3； （2）（√5+1）2；（3）（√13+3）（√13−3）；（4）（√12−√13）×√3； （5）√8+√18√2. 【解】（1）原式=（3×2）×（√2×√3）=6√6；（2）原式=（√5）2+2×√5×1+1=5+2√5+1=6+2√5；（3）原式=（√13）2−32=13-9=4； （4）原式=√12×√3−√13×√3=√12×3−√13×3=√36−√1=5;（5）原式=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.活动2：二次根式的加减运算1.（1）3x 2+2x 2= 5x 2 ;（2）x 2+2x 2+4y = 3x 2+4y .2.类比合并同类项的方法，想想如何计算√80−√45？ 解：√80−√45=4√5−3√5=√5.3. √3+√5能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，且被开方数不相同，所以不能合并.【例3】计算:（1）√48+√3 ； （2）√5−√15 ； （3）(√43+√3)×√6.【解】（1）原式=4√3+√3=（4+1）√3=5√3；（2）原式=√5−√55=(1-15)√5=45√5; （3）原式=√43×√6+√3×√6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：1.加减法的运算步骤：一化简，二判断，三合并.2.合并的前提：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.课堂练习1．下列运算错误的是（ ） A.2+3=5 B.2·3=6C.6÷2=3D.2(2=2.下列各式中，与√3是同类二次根式的是（ ）A. √2B. √5C. √8D. √123.估计√32×√12+√2·√5的结果在（ ） A.6至7之间 B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间4. √8与最简二次根式√m +1能合并，则m =________.5.若最简二次根式√3m −2n 2n+1与√3可以合并，求√mn 的值.参考答案1.A2.D3.B4.15.解：由题意得2n +1=2且3m -2n =3，解得n = 12,m = 43,即√mn =√12×43 =√23 =√63. 课堂小结1.二次根式的乘除运算法则√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a√b =√ab (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.布置作业习题2.10第1，2题板书设计7 二次根式第2课时 二次根式的运算1.二次根式的乘除运算法则：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b=√a b (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则：一化简，二判断，三合并.。
北师大版八年级数学上册《二次根式的运算》教案及教学反思
北师大版八年级数学上册《二次根式的运算》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.1 知识目标•掌握二次根式的加减乘除运算方法；•理解二次根式的化简和合并方法；•了解二次根式的应用领域。
1.2 能力目标•进一步提高学生的数理思维能力和计算能力；•培养学生的自学能力和问题解决能力；•注重培养学生的实际应用能力，增强其综合素质。
2. 教学重难点2.1 教学重点•二次根式的加减乘除运算方法；•二次根式的化简和合并方法。
2.2 教学难点•如何灵活使用二次根式进行计算和化简；•如何将二次根式应用于实际问题中进行解决。
3. 教学内容3.1 二次根式的基础概念和性质•二次根式的定义和符号表示；•二次根式的基本性质和运算规律。
3.2 二次根式的加法和减法•二次根式的加减法根据相关性质进行计算。
3.3 二次根式的乘法和除法•二次根式的乘法应用相关公式进行展开和化简；•二次根式的除法要转化成同底的分式，再进行化简。
3.4 二次根式的应用•二次根式的应用领域（如勾股定理）；•二次根式的实际应用（如物理、化学等）。
4. 教学方法4.1 教学手段采用讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合。
4.2 教学步骤•第一步：回归本质，引出二次根式的基础概念和性质；•第二步：讲解二次根式的加减乘除运算方法，并进行案例讲解；•第三步：练习巩固，进行二次根式的综合应用练习；•第四步：反思总结，对整个教学过程进行总结和反思；5. 教学评估采用多元化的教学评估方法：•课堂表现评估；•练习成绩评估；•课后作业评估；•测验和考试评估。
二、教学反思本次教学主要针对八年级数学上册《二次根式的运算》内容进行了设计和实施。
在此过程中，教师主要采取了讲授、归纳、演示和练习等多种教学方法相结合，力求使学生在知识、能力和素质等方面都得到提高。
教学目标方面，需要注意的是要注重学生的数理思维能力和计算能力的提高。
应该通过一些实际和可视化的案例，鼓励学生动手实践和思考，从而提高他们的自学和解决问题的能力。
北京版八年级数学 二次根式的乘除法(2)+教学设计
2、方法上:（1）类比、
（2）转化、
（3）从特殊到一般、
3、认识上:两个标准:(1)最简二次根式、
（2）分母有理化、
1、计算:
; ;
; 、
2、把下列根式化成最简二次根式:
; ; ; 、
3、把下列各式的分母有理化:
; ; ; 、
课程基本信息
课例编号
27
学科
数学
年级
初二
学期
上学期
课题
二次根式的乘除法（2）
教科书
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标:1、通过类比、转化的方法使学生掌握二次根式的除法法则,能够熟练地应用它进行二次根式的除法运算。2、了解最简二次根式和分母有理化的概念,能够对二次根式进行化简,
教学重点:掌握二次根式的除法法则;了解最简二次根式的概念。
（一）探究法则:
1、类比乘法法则的探究过程,利用特殊例子进行探究:
2、把除法运算转化为乘法进行计算:
例如: 、
同理可得: 、
（二）法则归纳:二次根式的除法法则:
、
用语言表述:两个非负数的算数平方根的商等于这两个数的商的算数平方根、
注意:1、条件;
2、法则逆用: ;
例1计算:
; ; 、
归纳:最简二次根式满足的条件:
（1）被开方数不含有能开得尽方的因子或因式;
（2）被开方数的因子是整数,字母因式是整式、
我们把这个二次根式叫做最简二次根式、
一般地,二次根式运算的结果应化成最简二次根式、
例2把下列根式化为最简二次根式:
; ; 、
交流:
八年级数学上册《二次根式的乘除法》教案、教学设计
2.教学过程：
-引导学生复习平方根、立方根的概念，为新课的学习做好铺垫；
-通过具体例题，展示二次根式乘除法的运算过程，让学生在实际操作中感知和理解规则；
-组织学生进行小组讨论，互相交流解题心得，培养学生的团队协作能力和表达能力；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学习积极性；
2.培养学生严谨、踏实的学风，养成勤奋好学的学习习惯；
3.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高数学学习的实用性；
4.培养学生的创新意识，鼓励学生勇于探索、突破自我。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重情感教育，激发学生的学习兴趣，培养良好的学习氛围，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
此外，我会布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。作业包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生提高解题能力，培养数学思维。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式乘除法的理解，提高学生的运算能力和解决问题的技巧，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
-计算下列各式的值：
a) √12 × √18
b) √50 ÷ √5
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的初步概念和运算法则。在此基础上，学生对二次根式的认识已经有了一定的基础，但乘除法运算可能还较为陌生。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
1.学生对二次根式的理解程度：部分学生可能对二次根式的概念理解不深，容易混淆根号内的运算和根号外的运算；
-合并同类项时对二次根式的识别和转换；
-在复杂问题中灵活运用二次根式乘除法解决实际问题。
北师大版八年级数学 二次根式的乘法和除法(教案)
【学习课题】 第7课时:二次根式的乘法和除法【学习目标】1、探索二次根式的乘法和除法法则 2、会进行简单的二次根式的乘法和除法运算 【学习重点】二次根式的乘法和除法法则的应用【侯课朗读（0a ≥）叫做二次根式【学习过程】 一、学习准备：1、下列各式中,求出x 的取值范围二、阅读理解 2、积的算术平方根= = . = × = ，所以=一般地=(0,0)a b ≥≥积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
（注意：公式中,a b 必须都是非负数。
）=例1、化简:（1（2（3（40,0)a b ≥≥解 （14936==⨯=即时练习：计算（1 （2 （3 （44、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥，0,0)a b ≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1 （2 （3）(-5、商的算术平方根== ， 23= =(0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，其中，公式中字母的取值范围是0,0a b ≥>。
（想一想，公式中为什么字母b 的范围不是0b ≥？）例3、化简（1（2 （3（4即时练习：化简（1 （2 （36、二次根式的除法=(0,0)a b ≥>0,0)a b =≥>．即：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除．运用这个公式可以进行简单的二次根式的除法运算。
例4：化简（1 （2 （3（要求：分母中不能有根号，根号内不能含有分母）7、易错的运算==【达标测评】1、计算:（1 （2（3 （42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c. （1）如果6,9,ab c ==求；（2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2） （3 （44、化简（1（2 （3 （45、计算（1 （2(÷ （3。
7二次根式-初中八年级上册数学(教案)(北师大版)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（例如，计算边长为$\sqrt{5}$的正方形的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.二次根式的乘除运算：熟练掌握二次根式的乘除法则，并进行相关运算。
4.二次根式的加减运算：了解二次根式加减运算的法则，学会合并同类二次根式。
5.应用题：运用二次根式的相关知识解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式的性质和运算法则的学习，使学生能够运用逻辑推理进行数学论证，提高解决问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和运算法则这两个重点。对于难点部分，如二次根式的化简和加减运算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算不同形状的图形面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用尺子和绳子实际测量并计算边长为$\sqrt{2}$的正方形的面积。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义和基本概念。二次根式是指形如$\sqrt{a}$的表达式，其中$a \geq 0$。它是数学中重要的运算工具，广泛应用于几何、物理等多个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算$\sqrt{9}$，这展示了二次根式在简化计算中的实际应用。
在总结回顾环节，我询问了学生们的疑问，很高兴他们能够提出问题，这表明他们确实在思考。但同时，我也意识到我可能需要在课堂上提供更多的即时反馈，帮助他们及时澄清误解。
京改版数学八年级上册教学案：11..6二次根式的乘除法(1)
（5） __________=_______；
（6） __________=_______。
例3计算
（1） ；（2） ÷
三、课堂练习
1、化简：（要求分母不带根号）
（1） ；
范格式
教
学
过
程
教学内容
学生活动
） ；
（3） ；
（4）
2、化简：
； ；
= = ； ；； ；
学 科
数学
班级
初二
任课教师
课 题
11.6 二次根式的乘除法（二）
课型
新授
日期
学习目标：
1、探索二次根式的除法法则；
2、会进行二次根式的除法运算；
学习重点
二次根式的除法运算
学习难点
二次根式的除法运算
教具学具
多媒体
教学方法
讨论法、谈话法
教
学
过
程
教学内容
学生活动
一、复习引入
练习：
8） ==；
9） ==；
10） ==；
1） ==；
12） ==。
二、探索新知
由
可以猜想： =_________
思考
回答
教
学
过
程
教学内容
学生活动
你能举出几个实例进行验证吗？
例1计算：
（1） =_________；
（2） =_________
例2、计算：
（1） =__________；
（2） =__________=_______；
（3） =_____；
讨论
回答
练习
求解
教
学
八年级数学上册《二次根式的乘除运算》教案、教学设计
（3）实施分层教学，针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导。
（4）利用信息技术，如多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个简单的实际问题，引导学生回顾二次根式的定义，为新课的学习做好铺垫。
（2）新课：以实例为主线，引导学生发现二次根式乘除运算的规律，并通过练习加以巩固。
（2）探索以下问题：
a.两个二次根式相乘，它们的根号下的数相乘，结果为什么？
b.两个二次根式相除，它们的根号下的数相除，结果为什么？
（3）查找相关资料，了解二次根式乘除运算在生活中的应用，下节课与同学分享。
3.思考题：
（1）如何将复杂的二次根式乘除运算简化？
（2）在实际问题中，如何运用二次根式乘除运算解决问题？
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法引导学生学习：
1.采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.通过实例分析，引导学生发现二次根式乘除运算的规律。
3.设计丰富的课堂练习，让学生在实践中掌握二次根式乘除运算方法。
4.组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
5.引导学生总结运算规律，形成知识体系。
（三）情感态度与价值观
1.树立正确的数学观念，认识到数学在生活中的广泛应用。
2.培养学生的运算兴趣，激发他们学习数学的热情。
3.培养学生勇于探索、克服困难的品质，增强自信心。
4.培养学生的团队合作精神，使他们学会倾听、交流、协作。
5.培养学生严谨、细致的学习态度，提高他们的思维品质。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的基本概念和性质，能够进行简单的实数运算。在此基础上，他们对二次根式的认识处于初步阶段，对于二次根式的乘除运算，大部分学生还缺乏系统的掌握和应用能力。因此，在本章节的教学中，需要关注以下几点：
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。
2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。
3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。
2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。
3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。
2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。
七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。
通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。
北京版八年级数学 二次根式的乘除法(1)+教学设计
（1） ;（2） ;
回顾问题:长方形的面积= ？
小结:我们把乘法公式反过来写,就得到
（ ≥0, ≥0）、
我们可以利用它把二次根式进行化简、
例2化简下列二次根式:
（1） ;（2） ;(3) 、
小结:我们利用二次根式的乘法法则可以进行计算,也可以逆用公式进行二次根式化简;使被开方数不含有能开的尽方的因子或因、
例3计算:
练习:
小结:1、学习了二次根式的乘法法则,并且能够运用法则进行二次根式的计算和化简、
2、运用从特殊到一般的归纳方法对二次根式的乘法法则进行归纳、
3、认识了公式拓展为多个二次根式相乘;公式逆用可以进行二次根式化简、
1、计算:
（1） ;（2） ;
（3） ;（4） 、
2、化简;
（1） ;（2） ;
教学难点:被开方数含字母的二次根式乘法运算及化简、
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习回顾
问题引入
探索新知
学以致用
课后反思
课后练习
1、二次根式的定义:一般地,式子 （ ≥0）叫二次根式、
注意:
2、二次根式的性质: （ ≥0） 、
问题:一个长方形的长 cm,宽 cm,求这个长方形的面积、
结论:长方形的面积= ？
课程基本信息
课例编号
26
学科数学Βιβλιοθήκη 年级初二学期
上学期
课题
二次根式的乘除法（1）
教科书
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标:1、掌握二次根式乘法法则,能够熟练应用二次根式乘法法则进行运算、化简、
2、经历由特殊到一般地探究过程,归纳二次根式的乘法法则、
数学北师大版八年级上册二次根式的乘除
16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.【难点】综合运用有关法则和性质化简二次根式.第课时1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.导入一:古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.[设计意图]创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?[设计意图]联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,=;(3)×=,=.参考上面的结果,用“>,<或=”填空.×,×,×.老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.[设计意图]培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.[知识拓展](1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).思路二出示教材第6页“探究”.计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,;(3)×=,=.学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.教师演算:×=×5=,==,则×=.由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指计算:(1)×;(2)×.学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.[设计意图]由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.2.积的算术平方根的性质①==,×=2×5=;②==,×=6×=;③==,×=0.1×3=.你认为=(a≥0,b≥0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,==,×=6×=,则有=×;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.进一步明确:=·(a≥0,b≥0).[设计意图]让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.化简:(1);(2)(m>0).学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.解:(1)原式=×=20.(2)原式==·=9m.教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).[设计意图]鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.[知识拓展](1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.3.例题讲解(教材例1)计算:(1)×;(2)×.引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.解:(1)×=.(2)×===3.(教材例2)化简:(1);(2).教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.解:(1)=×=4×9=36.(2)=··=2·a·=2ab.(教材例3)计算:(1)×;(2)3×2;(3)·.〔解析〕根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.解:(1)×===×=7.(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.(3)·===·=x.[解题策略]化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.【变式训练】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.(1)=×;(2)×=4××=4×=4=8.解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.(2)不正确.改正:×=×===4.[设计意图]让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等。
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课型新授课授课教师教学课题二次根式的乘除法总课时：
教
学
目
标
教学重点利用二次根式的乘法运算法则进行计算和化简二次根式
教学难点被开方数含字母的二次根式乘法运算及化简
教学方法自主学习、问题点拨、讲练结合
教学准备Ppt
教学过程
教师活动设计学生活动设计
设计意图
一、目标导学：
知识要点：
1.掌握二次根式乘法法则;
2.能够熟练应用二次根式乘法法则进行运算
3.会利用二次根式乘法法则将二次根式进行化
简；
涉及以前学过的知识：
1.有理数的乘法法则
2.二次根式的性质：a
a=
2
二、自主学习
自学学案：
阅读教材的内容，然后根据自己的理解解答学案
中提出的问题。
1、二次根式的乘法法则
公式表示：_____________
用语言表述为：________________
2根据你对二次根式乘法法则的理解，你能自己
编写一道此类计算题，并将其解答出来。
点拨：公式中注意a、b的取值
例如：()()25
9
25
9-
⨯
-
=
-
⨯
-是不成
立的。
3、根据你的理解你能将下列算式进行计算吗？
了解本节课的目标
自学学案上的内容，根
据自己的理解完成学案
中提出的问题。
通过知识要点的解读，
让学生能够清楚的知道
本节课所要达到的目
标。
通过学生自主学习的方
式，理解二次根式的乘
法法则
通过一组例题交流计算
方法，找到化简二次根
式的基本方法，以及注
意的事项。
（1）53⨯ （2）
273
1
⨯ （3）3223⨯ （4）y x
x 313•
4、二次根式乘法法则逆向应用的法则 公式表示：________________________ 用语言表述：-______________________________
5、判断下列运算是否正确，若不正确说明理由。
27272771422=⨯=⨯=⨯
()()69-4-9-4-=⨯=
⨯
()
()
3535-35-2
2
=⋅=
⨯
7
43169169=+=+=+ ()1
404140)41(404122
22=-=-=- m m m m 555252
2222=⋅=⋅=
6、下列二次根式还能不能继续化简，如果能，它们的依据是什么？ 4、8、12、16、18、24、28
9、27
三、自学检测与巩固练习 例1：化简下列二次根式 （1）48 （2）228-17
（3）54332⨯⨯ （4）3
25m
解题过程： 343
4343
1622
=⨯=⨯=⨯=原式
独立完成，之后，相互交流，纠错
独立完成，之后，相互交流，纠错
通过例题由浅入深，找到解题的最佳方案。
对本节课内容整体有一个更深的认识和印象
检测本节学习效果
（2）方法一 方法二 ()()
1535359
2581781722=⨯=⨯=⨯=-+=
原式 15
22564
289==-=原式 例2： 计算 （1）615⨯ (2) 10253⨯
（3）355202-⨯ （4）752018⨯⨯
巩固练习： 四、小结： 本节课我们学习了什么？ (1) 二次根式乘法法则 (2) 如何化简二次根式 五、课堂检测： 完成课堂检测试题 六、作业
让学生自己回顾本节课
中学习了哪些内容，还
存在哪些不懂的问题，
教师可作适当指导、补
充
学生独立练习完成检测 课下独立完成
巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高。
板 书 设 计
二次根式的乘除法
二次根式乘法法则： 例1： 例2：
板演：
课 后 反 思 采用目标导学、自主学习、问题点拨，反馈检测四个环节，有层次及逐步深入的练习，使学生理解掌握运用二次根式乘法法则计算，以及逆向应用乘法法则将二次根式进行化简，并总结计算中应注意的问题。