《最短路径问题》PPT课件

A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
C 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， C ′
B l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
.
10
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周
长最小时点C的坐标是（ A）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
C′ E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后
依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，
然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
则点C 即为所求． A
C
B l
B′
.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
.
6
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A C
根据是“两点之间，线段最短”，
可知这个交点即为所求.
A
l
A′
.
4
讲授新课
牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我 们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利 用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
.
5
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
①
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
.
3
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之的和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
.
14
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
.
15
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ）
Q P
Q P
MA
l Q
P
B
M Q
l
P
M
l
CLeabharlann Baidu
M
l
D
.
11
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C
关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值
A
C
P
A
BO
BO
A
M
N B
.
20
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B
F
N'
图③
.
21
课堂小结
B
.
7
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
想一想：对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
.
8
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即
为BF+EF的最小值.
.
12
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对 称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长，而再根据已知条件求解.
.
13
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别 为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点
上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，
当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． y
B
A
O
P
x
B'
.
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拓展提升
5.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．